专题05 二次函数与一元二次不等式压轴题
1. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴方程是
a
b
x
2
，顶点为
a
b
ac
a
b
4
4
,
2
2
．
(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，图象的对称轴方程是
2
2
1
x
x
x
，与x 轴的交点为
)
0,
(
),
0,
2
1
x
x
（
．
(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h(a≠0)，图象的对称轴方程是
k
x
，顶点为
)
,h
k
（
．
2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x 轴交点的横坐标是方程
0
2
c
bx
ax
的实根．
(2)当
0
4
0
2
ac
b
a
时，恒有f(x)>0；当
0
4
0
2
ac
b
a
时，恒有f(x)<0.
3. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况
(1)若－b
2a∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝
)
2
(
a
b
f
.
(2)若－b
2a[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
4. 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根
)
(
,
2
1
2
1
x
x
x
x
有两个相等的实数根
a
b
x
x
2
2
1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
}
|
2
1
x
x
x
x
x
或
}
2
|
{
a
b
x
x
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
}
|
2
1
x
x
x
x
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题型一
二次函数的解析式及最值
例1.（1）设二次函数
2
( )
(
2)
3
2
f x
a
x
ax
在R 上有最大值，最大值为
m a ，当
m a 取最小值时，
a （
）
A．0
B．1
C．
1
2
D．
2
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出
m a ，然后利用基本不等式即得.
【详解】
2
( )
(
2)
3
2
f x
a
x
ax
在R 上有最大值
m a ，
2
0
a
且当
3
2(
2)
a
x
a
时，
( )
f x 的最大值为
2
8(
2)
9
4(
2)
a
a
a
，
即2
0
a
且
m a
2
9
9
9
9(2
)
9
2
(2
)
7
2
7
2
4(
2)
4
2
4
2
a
a
a
a
a
a
，
当且仅当9(2
)
9
4
2
a
a
时，即
0
a
时，
m a 有最小值2，
故选：A．
（2）．已知y 是x 的二次函数，该函数的图象经过点
0,5
1,2
3,2
A
B
C
、
、
；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图象，回答下列问题：
①当1
4
x
时，y 的取值范围是________；
②当
3
m
x
m
时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）：
③是否存在实数m、n（其中
2
m
n
），使得当m
x
n
时，m
y
n
?
若存在，请求出m、n、若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
(2)①1
5
y
；②
2
2
1
4
5,
2
1
2
2,
2
m
m
m
y
m
m
m
；③存在
5
5
1,
2
m
n
，理由见解析；
【分析】（1）利用待定系数法将、、
A
B
C 三点坐标代入即可求得二次函数表达式；（2）根据函数表达式利
用五点作图法作出函数图象，①由图象可知当1
4
x
时，y 的取值范围是1
5
y
；②对m 进行分类讨论，
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根据对称轴与区间的关系分别写出y 的最大值的表达式；③由
2
m
n
可知，y 一定在对称轴
2
x
处取最
小值1，可得
1
m ，又因为
1
x 时
2
y
，可得
1,
2
m
n
，又
2
m
n
，此时实数m、n 不满足题意；当
,
x
n y
n
，解得
5
5
2
n
，即存在
5
5
1,
2
m
n
满足题意.
【详解】（1）设二次函数表达式为
2
(
0)
y
ax
bx
c a
，
将、、
A
B
C 三点坐标代入可得
2
2
5
1
1
2
3
3
2
c
a
b
c
a
b
c
，解得
1
4
5
a
b
c
；
所以二次函数表达式为
2
4
5
y
x
x
（2）利用五点作图法列表如下：
x
0
1
2
3
4
y
5
2
1
2
5
通过描点、连线可得图象如下图所示：
①由图可知，当1
4
x
时，
2
x
时y 取最小值为1，
4
x
时y 取最大值为5，
所以y 的取值范围是1
5
y
；
②由
2
4
5
y
x
x
可知，对称轴为
2
x
，
当2
3
2
m
m
时，即
1
2
m
时，在
3
m
x
m
内，
当
3
x
m
时，y 取最大值为
2
2
(
3)
4(
3)
5
2
2
y
m
m
m
m
；
当2
3
2
m
m
>
时，即
1
2
m
时，在
3
m
x
m
内，
当x
m
时，y 取最大值为
2
4
5
y
m
m
；
所以y 的最大值为
2
2
1
4
5,
2
1
2
2,
2
m
m
m
y
m
m
m
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③由
2
m
n
可知，当m
x
n
时，必有
2
x
时y 取最小值为1，
又需满足当m
x
n
时，m
y
n
可得
1
m ，
当
1
x
m
时，
21
4
5
2
y
，
所以，当
1,
2
m
n
时，满足m
x
n
时，m
y
n
；
但
2
m
n
，即
2
n
时不合题意舍去；
当
,
x
n y
n
，且
2
n
时，
即
2
4
5
n
n
n
，解得
5
5
2
n
或
5
5
2
n
（舍）
所以
5
5
1,
2
m
n
满足当m
x
n
时，m
y
n
.
练习题：
（1）.已知平面直角坐标系xOy ，一次函数
3
3
4
y
x
的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数
3
2
y
x
的
图象上，且MO
MA
．二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过点A 、M ．
(1)求线段AM 的长；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数
3
3
4
y
x
的图
象上，且四边形ABCD是菱形，求点C 的坐标．
【答案】(1)
13
2
AM
(2)
2
5
3
2
y
x
x
(3)
(2,2)
C
【分析】（1）由MO
MA
可得
3
(1, )
2
M
，根据两点间距离公式即可求得线段AM 的长；
（2）由二次函数的图象经过
(0,3)
A
、
3
(1, )
2
M
，列方程组即可求得解析式；
（3）由菱形的性质，可得|
| |
|
AB
DC
和|
| |
|
AB
DA
，解方程即可求解.
【详解】（1）在一次函数
3
3
4
y
x
中，当
0
x
时，
3
y ，所以
(0,3)
A
．
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因为MO
MA
，所以M 为OA 垂直平分线上的点，
线段OA 的垂直平分线的解析式为
3
2
y
，
又因为点M 在正比例函数
3
2
y
x
，所以
3
(1, )
2
M
，
又因为
(0,3)
A
，所以
2
2
3
13
(1
0)
(
3)
2
2
AM
.
（2）因为二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过
(0,3)
A
、
3
(1, )
2
M
．
所以
3
1
2
0
0
3
b
c
c
，解得
5
2
3
b
c
，
故二次函数的解析式为
2
5
3
2
y
x
x
.
（3）因为点D 在一次函数
3
3
4
y
x
的图象上，设
3
( ,
3)
4
D n
n
，
设
0,
3
B
m
m
，
2
5
( ,
3)
2
C n n
n
，
因为四边形ABCD是菱形，所以|
| 3
AB
m
，
2_
2
3
5
13
|
| |
| |
3
(
3) | |
4
2
4
D
C
DC
y
y
n
n
n
n
n
，
2
2
3
5
(
0)
(
3 3)
4
4
AD
n
n
n
，
因为|
| |
|
AB
DC
，所以
2
13
3
4
m
n
n
①，，
因为|
| |
|
AB
DA
，所以
5
3
4
m
n
②，
解①②得，
1
0
n
（舍去），
2
2
n
，
将
2
n
，代入
2_ 5
( ,
3)
2
C n n
n
，所以
(2,2)
C
．
即满足条件的点C 坐标为
(2,2)
C
．
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题型二
二次函数求参数
例2.（1）设
I
M 表示函数
2
4
2
f x
x
x
在闭区间I 上的最大值．若正实数
．．．a 满足
0,
,2
2
a
a
a
M
M
，则正
实数a 的取值范围是（
）
A．
1
2
3, 2
B．2
3,1
C．2,2
3
D．2
3,4
【答案】A
【分析】作图分析函数
f
x 的特点，再分类讨论.
【详解】函数
f
x 的图像如下：
f
x 的对称轴为x=2，
2
2
f
，
0
4
2
f
f
；
分类讨论如下：①当
4
a 时，
0,
,
,2
2
M
a
f a
M a
a
f
a
，
依题意，
2
f a
f
a
，而函数在
2
2
x
时是增函数，
2
a
a
，
2
f a
f
a
，故不可能；
②当
4
a
时，
0,
2
M
a
，依题意，
2
,2
M a
a
，即
,2
1
M a
a ，
令
1
f x ，解得：
1
2
3
x
，
2
1
x ，
3
2
3
x
，
4
3
x
，如图；
则有：
2
3
a
并且2
1
a ，解得：
1
2
3
2
a
；
或者
3
a
并且2
2
3
a
，无解；
故选：A.
（2）.已知函数
2
y
x
bx
c
只有一个零点，不等式
2
0
x
bx
c
m
的解集为
0
0
,
2
x
x
，则m 的值为
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
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【分析】根据函数有一个零点可得
2
4
0
b
c
，再将不等式的解集转化为方程
2
0
x
bx
c
m
的两根，
最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.
【详解】函数
2
y
x
bx
c
只有一个零点，则
2
4
0
b
c
，
不等式
2
0
x
bx
c
m
的解集为
0
0
,
2
x
x
，
即
2
0
x
bx
c
m
的解集为
0
0
,
2
x
x
．
设方程
2
0
x
bx
c
m
的两根为
1
2
,
x x ，
则
1
2
1
2
,
x
x
b x
x
c
m
，且
2
1
2
x
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x x
，则
2
4(
)
4
b
c
m
，
整理得
2
4
4
4
b
c
m
，∴
1
m ．
故选：D .
(3).已知不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为{
2
3}
x
x
∣
，且对于
1,5
x
，不等式
2
2
0
bx
amx
c
恒成立，
则m 的取值范围为（
）
A．
,4 3
B．
,4 3
C．
13,
D．
,13
【答案】B
【分析】由不等式的解集为{
2
3}
x
x
∣
知可用a 表示,b c ，代入
2
2
0
bx
amx
c
中并用参数分离与基本
不等式求得m 的取值范围.
【详解】由不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为{
2
3}
x
x
∣
，可知2,3
为方程
2
0
ax
bx
c
的两个根，
故
0
<
a
且
2
3
1,
2
3
6
b
c
a
a
，即
,
6
b
a c
a
，
则不等式
2
2
0
bx
amx
c
变为
2
12
0
ax
amx
a
，
由于
0,
1,5
a
x
，则上式可转化为
12
m
x
x
在
1,5 恒成立，
又
12
12
2
4 3
x
x
x
x
，当且仅当
2 3
x
时等号成立，
故
4 3
m
.
故选：B.
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练习题：
(1).已知函数
2
,
R
f x
x
ax
b a b
的值域为
0,
，若关于x 的不等式
f
x
c
的解集为
,
6
m m
，
则实数c 的值为(
)
A．9
B．8
C．0
D．6
【答案】A
【分析】由题意可得
2
4
a
b
，然后求出不等式
f
x
c
的解，结合已知条件可得出关于c 的方程，进而可求
得c 的值.
【详解】由题意知
2
2
2
2
4
a
a
f x
x
ax
b
x
b
，
因为函数
f
x 的值域为
0,
，所以，
2
0
4
a
b
，可得
2
4
a
b
，
由
f
x
c
可知
0
c
，且有
2
2
a
x
c
，解得
2
2
a
a
c
x
c
，
所以，
2
a
m
c
，
6
2
a
m
c
，
所以，
6
6
2
m
m
c
，解得
9
c
.
故选：A.
(2).已知函数
2
( )
,( ,
)
f x
x
ax
b a b
R
的值域为[0,
)
,若关于x 的不等式
( )
c
f x ＜的解集为(m,m 8)
,则实数
c 的值为（
）.
A．24
B．12
C．20
D．16
【答案】D
【分析】将二次函数化成顶点式，即可求出函数的值域，找出,a b 的关系，再根据三个＂二次＂的关系，可
知，m 和
8
m 是不等式
( )
c
f x ＜对应的一元二次方程的根，由根与系数的关系，即可求出c 的值．
【详解】因为
2
2
2
( )
2
4
a
a
f x
x
ax
b
x
b
，值域为
2
,
4
a
b
，
2
0
4
a
b
，即
2
4
a
b
，又
( )
c
f x ＜
即为
2
0
x
ax b
c
+
+ -
<
的解集为(m,m 8)
，所以m 和
8
m 是
2
0
x
ax b
c
+
+ -
=
的两个根，因为m 的任意性，不
妨设
4
m ，所以有
4
4
4 4
a
b
c
，
解得
0,
0
a
b
，所以
16
c
，经检验，符合题意．
故选D．
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(3).已知函数
2
2
3
6
f
x
ax
a
x
a
R
．
(1)若
0
f x
的解集是
2
3
，
，
，求实数a 的值．
(2)若
2
0
f x
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当
1
a 时，函数
5
3
f
x
m
x
m
在
2 2
, 有解，求
2
3
m 的取值范围．
【答案】(1)1
(2) 1 9
2 2
，
(3)
7 +
，
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集的端点值为一元二次方程的根，由此求解出a 的值；
（2）要使
2
0
f x
恒成立，即
2
2
3
8
0
ax
a
x
，根据a 的取值进行分类讨论，由此求解出不等式
解集；
（3）将问题转化为“
2
3
0
x
mx
m
在
2,2
有解”，然后分析二次函数
2
3
y
x
mx
m
在
2,2
的最
小值小于等于0 ，由此求解出m 的取值范围，即可求出
2
3
m 的取值范围.
【详解】（1）由题意可知：
0
a
且
4
2 2
3
6
0
9
3 2
3
6
0
a
a
a
a
，解得
1
a ．
（2）若
2
0
f x
恒成立，则
2
2
0
2
3
8
0
f x
ax
a
x
当=0
a
时，
2
2
3
8
0
ax
a
x
不恒成立；
当
0
a
时，
2
0
2
3
32
0
a
a
a
解得：1
9
2
2
a
.
实数a 的取值范围为：1 9
2 2
，.
（3）
1
a 时，
5
3
f
x
m
x
m
在
2,2
有解，
即
2
3
0
x
mx
m
在
2,2
有解，
因为
2
3
y
x
mx
m
的开口向上，对称轴
2
m
x
，
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①
2
2
m
即
4
m
，
2
x 时，函数取得最小值4
2
3
0
m
m
即
7
3
m
，∴
4
m
．
②2
2
2
m
即4
4
m
时，当
2
m
x
取得最小值，此时
2
3
0
4
m
m
，解得2
4
m
．
③当
2
2
m
即
4
m 时，当
2
x
时取得最小值，此时4
2
3
0
m
m
，解得
7
m ，
综上，
2
m
或
7
m ．
所以：
2
3
m 的范围为：
7 +
，
.
题型三
一元二次不等式
例3(1)．设实数a
b
c
d
、、、
满足a
b
且c
d
，若关于x 的不等式(
)(
)
0
x
a x
b
x
的解集是开区间( , )
c d ，
则关于x 的不等式(
)(
)
0
x
c x
d
x
的解集是开区间（
）
A．( , )
a b
B．(
,
)
b
a
C．( , )
c d
D．(
,
)
d
c
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系求出a b c d
, ,
,
的关系，然后把,c d 的关系，换成,a b 的关系求解不等式.
【详解】由题意可得：,c d 是方程
2
(
1)
0
x
a
b
x
ab
的两根，
1
c
d
a
b
cd
ab
，
又(
)(
)
0
x
c x
d
x
，即
2
(
1)
0
x
c
d
x
cd
，
2
(
)
0
x
a
b x
ab
，
即
0
x
a
x
b
又因为a
b
解得a
x
b
，
故选：A.
(2)．一元二次不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
2
3
x
x
，则不等式
2
0
cx
bx
a
的解集为（
）
A．
1
1
,
,
3
2
B．1 1
,
3 2
C．
1
1
,
,
2
3
D．
1
1
,
2
3
【答案】A
【分析】由题可得2，3 为
2
0
ax
bx
c
的两根，利用韦达定理算出, ,
a b c 的关系式，再将, ,
a b c 换成同一参
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数再求
2
0
cx
bx
a
的根即可.
【详解】因为不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
2
3
x
x
，
故a<0且2，3 为
2
0
ax
bx
c
的两根.
根据韦达定理有
2
3
5
2 3
6
b
a
c
a
，故
5
6
b
a
c
a
，
故
2
0
cx
bx
a
可写成
2
6
5
0
ax
ax
a
，
因为a<0 ，
所以
2
6
5
1
0
2
1 3
1
0
x
x
x
x
解得
1
3
x
或
1
2
x
，
所以不等式
2
0
cx
bx
a
的解集为
1
1
3
2
，
，
故选：A.
(3).已知关于x 的不等式
2
1
1
0
ax
a
x
a
R
-
，
．
（1）若不等式的解集为
1
1
2
x
x
，求a ；
（2）当a
R
时，解此不等式．
【答案】（1）2（2）
0
a
时，
(1,
)
x
，0
1
a
时，
1
(1,
)
x
a
，
1
a 时，不等式的解集为空集，
1
a 时，
1
( ,1)
x
a
，a<0时，
1
(
,
)
(1,
)
x
a
.
【分析】
（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a；
（2）不等式化为(
1)(
1)
0
ax
x
，
讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。
【详解】（1）由题得，(
1)(
1)
0
ax
x
，解集为
1
1
2
x
x
，则有
0
1
1
1 1
2
1
1
1
2
a
a
a
，解得
2
a
；（2）由题
(
1)(
1)
0
ax
x
，a
R
：当
0
a
时，不等式化为
1
0
x
，解得
1
x ；当
0
a
时，不等式等价于
1
(
)(
1)
0
x
x
a
，若0
1
a
，解得
1
1
x
a
；若
1
a ，解得x，若
1
a ，解得1
1
x
a
；当a<0 时，不
等式等价于
1
(
)(
1)
0
x
x
a
，解得
1
x
a
或
1
x .综上，
0
a
时，不等式的解集为(1,
)
，0
1
a
时，不等
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式的解集为
1
(1, )
a ，
1
a 时，不等式的解集为空集，
1
a 时，不等式的解集为1
(
,1)
a
，a<0 时，不等式的解
集为
1
(
, )
(1,
)
a
.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。
练习题：
(1).设, ,
a b cR ，若不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
1
2
x
x
，则不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为（
）
A．
1
,
[1,
)
2
B．(
, 2]
[1,
)
C．
1 ,1
2
D．[ 2,1]
【答案】D
【分析】由题知
,
2
b
a c
a ，且a<0 ，再解不等式即可.
【详解】解：因为不等式
2
0
ax
bx
c
的解集是
1
2
x
x
，
所以，1
，2 是方程
2
0
ax
bx
c
的两个根，且a<0，
所以，由韦达定理，即
,
2
b
a c
a ，且a<0 ，
所以，不等式
2
0
ax
bx
c
化为
2
2
0
ax
ax
a
，解得2
1
x
，
所以，不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为[ 2,1]
.
故选：D
(2)．已知实数
1
2
,
,
,
x x m n 满足
1
2,
x
x m
n
，且
1
1
0
m
x
n
x
，
2
2
0
m
x
n
x
，则下列结论正确的
是（
）
A．
1
2
m
x
x
n
B．
1
2
m
x
n
x
C．
1
2
x
m
x
n
D．
1
2
x
m
n
x
【答案】A
【分析】结合二次不等式的求解分别求出不等式（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0，的解集，然后即
可进行比较．
【详解】由题意，实数
1
2
,
,
,
x x m n 满足
1
2,
x
x m
n
，且
1
1
0
m
x
n
x
，
2
2
0
m
x
n
x
，
可得m＜x1＜n，m＜x2＜n，
因为x1＜x2，m＜n，所以m＜x1＜x2＜n ，
故选A．
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(3).解不等式
2
1
1
0
ax
a
x
.
【答案】当
0
a
时，解集为1 ,1
a
；当=0
a
时，解集为
,1
；
当0
1
a
时，解集为
1
,1
,
a
；当=1
a
时，解集为
|
1
x x
；当
1
a 时，解集为
1
,
(1,
)
a
．
【分析】需要分类讨论，先讨论=0
a
，
0
a
和
0
a
，
0
a
时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出
不等式的解集，
0
a
时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．
【详解】当=0
a
，原不等式等价于
1
0
x
，解得
1
x ．
当
0
a
时，原不等式
2
1
1
0
1
1
0
ax
a
x
ax
x
1）当
0
a
时，原不等式
1 (
1)
0
x
x
a
，此时1
1
a ，原不等式解集为1 ,1
a
2）当
0
a
时，原不等式
1 (
1)
0
x
x
a
①当1
1
a ，即
1
a 时，原不等式解集为
1
,
(1,
)
a
②当1
1
a ，即=1
a
时，易得原不等式解集为
|
1
x x
③当1
1
a ，即0
1
a
时，易得原不等式解集为
1
,1
,
a
综上所述得：当
0
a
时，解集为1 ,1
a
；
当=0
a
时，解集为
,1
；
当0
1
a
时，解集为
1
,1
,
a
；
当=1
a
时，解集为
|
1
x x
；
当
1
a 时，解集为
1
,
(1,
)
a
．
【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：
第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有
无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小．
题型四
能力创新题
1.定义：若函数
F x 在区间
,a b 上的值域为
,a b ，则称区间
,a b 是函数
F x 的“完美区间”，另外，定义
区间
F x 的“复区间长度”为
2 b
a
，已知函数
2
1
f
x
x
，则（
）
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A．
1,1
是
f
x 的一个“完美区间”
B．1
5 1
5
,
2
2
是
f
x 的一个“完美区间”
C．
f
x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3
5
D．
f
x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3
2 5
【答案】C
【分析】由
2
1
0
f
x
x
恒成立，利用“完美区间”的定义逐项判断.
【详解】因为
2
1
0
f
x
x
恒成立，若区间
,a b 是函数
f
x 的“完美区间”，则0
a
b
，
A. 因为1
0
，所以
1,1
不是函数
f
x 的“完美区间”，故A 错误；
B. 因为1
5
0
2
，所以1
5 1
5
,
2
2
不是函数
f
x 的“完美区间”，故B 错误；
C. 当
1
b 时，
,a b
0,1 ，则
2
2
1
1
f
x
x
x
在
0,1 上是减函数，所以
f
x 在
,a b 上是减函数，
所以
2
2
1
1
f a
a
b
f b
b
a
，则
2
2
1
a
b
b
a
，即
1
0
a
b
a
b
，
解得a
b
（舍去）或
1
a
b
，又
2
1
a
b
，
则
2
b
b
，解得
0
b
（舍去）或
1
b ，此时
0
a
，则
2
2
b
a
；
当
1
b 时，若0
1
a
时，
1
,a b
，则
min
1
0
f
x
f
，若函数
f
x 在区间
,a b 上的值域为
,a b ，
则
0
a
，
2
1
f b
b
b
，解得
1
5
2
b
（舍去）或
1
5
2
b
，则
2
1
5
b
a
；
若
1
a 时，则
2
1
f x
x
在
,a b 上是增函数，若函数
f
x 在区间
,a b 上的值域为
,a b ，
则
2
2
1
1
f a
a
a
f b
b
b
，解得
1
5
2
1
5
2
a
b
，因为
1
5
1
2
a
，不合题意；
综上：
f
x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2
1
5
3
5
（
）
，故C 正确，故D 错误；
故选：C
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2．高斯
1777 1855
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯
被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设
,
x
R
用
x
表示不超过x 的最大整数，则
y
x
称为高斯函数，例如：
2.3
2,
2.1
3,
已知函数
2
2
2,
0,2
f x
x
x
x
.设函数
y
f
x
的值域为集合D ，则D 中所有正整数元素个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】先求解出二次函数
2
2
2,
0,2
f x
x
x
x
的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合D ，从
而D 中所有正整数元素个数可知.
【详解】函数
f
x 图象的对称轴为
1
4
x
，
当
0,2
x
时，
min
1
17
4
8
f
f x
，
2
8
2
2
4
f
，
所以
17 ,4
8
f x
，
所以
y
f
x
的值域
3, 2, 1,0,1,2,3
D
，
故其值域中所有正整数元素为1,2,3个数为3 ，
故选：A .
3.设二次函数
2
,
R
f
x
x
bx
c b c
．
(1)若c
b
，且
f
x 在
0,2 上的最大值为
2
c
，求函数
f
x 的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数
0
1,2
x
，使得不等式
0
0
f
x
x
成立，求实数c 的取值范围．
【答案】(1)
2
( )
1
f x
x
x
；
(2)
2
c 或
6
c
.
【分析】（1）由c
b
，则
2
f x
x
bx
b
，由
( )
f x 在[0,2] 上的最大值为
2
c
，可得
max
max
0 ,
2
2
0
f x
f
f
c
f
，可得b 的值，可得函数
( )
f x 的解析式；
（2）只需当
[1,2]
x
时
( )
1
f x
c
x
b
x
x
.设
c
g x
x
b
x
，
[1,2]
x
，则只需
max
min
2
g x
g x
对任
意的实数b 都成立，分类讨论c 可得答案.
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【详解】（1）若c
b
，则
2
f x
x
bx
b
，
当
[0,2]
x
时
max
max
0 ,
2
2
0
f x
f
f
c
f
故
2
f
2
c
，解得：
1
b = - ，故
2
( )
1
f x
x
x
.
（2）由题意得：存在
[1,2]
x
，使
( )
1
f x
c
x
b
x
x
.
设
c
g x
x
b
x
，
[1,2]
x
，则只需
max
min
2
g x
g x
对任意的实数b 都成立.
1、当c =0 时，
max
min
1
2
g x
g x
，此时不成立.
2、当
0
c
时，
g x 在[1,2]递增，故
max
min
1
2
2
c
g x
g x
恒成立，故
2
c .
3、当0
1
c
时，
g x 在[1,2] 递增，故
max
min
1
2
2
c
g x
g x
恒成立，故
2
c 舍去.
4、当1
4
c
时，
g x 在1, c
上递减，在
,2
c
上递增，
max
min
max
1 ,
2
max 1
,2
,
2
2
c
g x
g
g
c
b
b
g x
c
b
若1
2
c
，则
max
min
2
2
2
2
c
g x
g x
c
恒成立，故
16
c
舍去.
若2
4
c
，则
max
min
1
2
2
g x
g x
c
c
恒成立，故
3
2 2
c
舍去.
5、当
4
c
时，
g x 在[1,2] 上递减，故
max
min
1
2
2
c
g x
g x
恒成立，故
6
c
.
综上：
2
c 或
6
c
.
1．“关于x 的不等式
2
2
0
x
ax
a
的解集为R ”的一个必要不充分条件是（
）
A．0
1
a
B．
1
0
3
a
C．0
1
a
D．a<0 或
1
3
a
【答案】C
【分析】求出满足题意的充要条件为0
1
a
，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】因为不等式
2
2
0
x
ax
a
的解集为R ，
所以应有
2
2
4
4
1
0
a
a
a a
，
解得0
1
a
.
选择的必要不充分条件的范围，应该大于0
1
a
包含的范围，显然只有C 项满足.
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故选：C.
2．已知函数
2
2
f x
ax
x
的定义域为区间[m，n]，其中,
,
a m n
R
，若f（x）的值域为[-4，4]，则n
m
的
取值范围是（
）
A．[4，4
2 ]
B．[2
2 ，8
2 ]
C．[4，8
2 ]
D．[4
2 ，8]
【答案】C
【分析】先讨论
0
a
，再结合二次函数的图象与性质分析
0
a
时，n
m
的最大值与最小值，同理可得a<0
时的情况即可得解.
【详解】若
0
a
，
( )
2
f x
x
，函数为增函数，
[ , ]
x
m n
时，则
( )
2
4,
( )
2
4
f m
m
f n
n
，所以
2
( 2)
4
n
m
，
当
0
a
时，作图如下，
为使n
m
取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时
1
4
a
，
由
2
2
( )
4
2
4
( )
4
2
4
f n
am
m
f m
an
n
，
即
2
2
4
0
ax
x
，
所以
2
4
,
m
n
mn
a
a
，
所以
2
2
4
16
4
8 2
n
m
m
n
mn
a
a
，即
8 2
n
m
，
当
1
4
a
时，即
1
0
a
4
时，此时
,
m n 在对称轴同侧时n
m
最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在
对称轴右侧，
则由
2
2
( )
2
4,
( )
2
4
f n
an
n
f m
am
m
，
解得
2
4 16
2
4 16
,
2
2
a
a
n
m
a
a
，
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4 16
4 16
1
4
1
4
8
8
4
2
1
4
1
4
1
4
1
4
2
2
a
a
a
a
n
m
a
a
a
a
a
a
，
当且仅当1 4
1 4
a
a
,即
0
a
时取等号，但
0
a
，等号取不到，
4
n
m
，
a<0 时，同理，当
1
4
a
时，
max
(
)
8 2
n
m
，当
1
4
a
时，
min
4
n
m
，
综上，n
m
的取值范围是[4,8 2]，
故选：C
3．若关于x 的不等式
2
4
2
0
x
x
a
在区间(1,4) 内有解，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,2)
B．(
, 2)
C．( 6,
)
D．(
, 6)
【答案】B
【分析】构造函数
2
( )
4
2
f x
x
x
a
，若不等式
2
4
2
0
x
x
a
在区间(1,4) 内有解，可得函数
2
( )
4
2
f x
x
x
a
在区间(1,4) 内的最大值大于0 即可，根据二次函数的图象和性质可得答案．
【详解】解：令
2
( )
4
2
f x
x
x
a
，
则函数的图象为开口朝上且以直线
2
x
为对称轴的抛物线，
故在区间(1,4) 上，
( )
f x
f
（4）
2
a
，
若不等式
2
4
2
0
x
x
a
在区间(1,4) 内有解，
则2
0
a
，
解得
2
a ，
即实数a 的取值范围是(
, 2)
.
故选：B．
4.（多选题）已知不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为|
1
x x 或
3
x
，则下列结论正确的是（
）
A．
0
c
B．
2
4
0
a
b
c
C．
0
cx
a
的解集为
1
|
3
x x
D．
2
0
cx
bx
a
的解集为|
1
x x 或
1
3
x
【答案】ABC
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【分析】由题意可得
2
0
ax
bx
c
的两个根为1 和3，且a<0 ，利用韦达定理得
4 ,
3
b
a c
a
，再逐个分
析判断即可.
【详解】因为不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为|
1
x x 或
3
x
，
所以
2
0
ax
bx
c
的两个根为1 和3，且a<0 ，
由韦达定理得1
3
,1 3
b
c
a
a
，得
4 ,
3
b
a c
a
，
因为
3
0
c
a
，所以A 正确，
因为
8
12
5
0
2
4
a
b
c
a
a
a
a
，所以B 正确，
不等式
0
cx
a
可化为3
0
ax
a
，因为a<0 ，所以3
1
0
x
，得
1
3
x
，
所以
0
cx
a
的解集为
1
3
x x
，所以C 正确，
不等式
2
0
cx
bx
a
可化为
2
3
4
0
ax
ax
a
，因为a<0，
所以
2
3
4
1
0
x
x
，即(
1)(3
1)
0
x
x
，得
1
1
3
x
，
所以不等式
2
0
cx
bx
a
的解集为
1
1
3
x
x
，所以D 错误.
故选：ABC.
5．（多选题）已知关于x 的不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
, 2
3,
，则（
）
A．a<0
B．不等式
0
bx
c
的解集为
|
6
x x
C．4
2
0
a
b
c
D．不等式
2
0
ax
bx
a
的解集为
1 1
,
3 2
【答案】BC
【分析】根据题意结合韦达定理，即可得到, ,
a b c ，然后对选型逐一判断，即可得到结果.
【详解】∵关于x 的不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
, 2
3,
，
∴
0
2
3
2 3
a
b
a
c
a
，即
b
a ，
6
0
c
a a
；故选项A 错误；
不等式
0
bx
c
可化为
6
0
x
，故不等式
0
bx
c
的解集为
|
6
x x
，故选项B 正确；
4
2
4
2
6
4
0
a
b
c
a
a
a
a
，故选项C 正确；
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∵
2
0
ax
bx
a
，∴
2
0
ax
ax
a
，
即
2
1
0
x
x
，且
1
4
3
0
，所以
2
1
0
x
x
的解集为R，故选项D 错误；
故选：BC.
6．已知函数
2
2
( )
2(
2)
f x
x
a
x
a
，
2
3
( )
2(
2)
8
g x
x
a
x
a
．设
1
max
,
H
x
f
x
( )
g x
．
2
min
,
H
x
f x
g x
（其中
max
,p q 表示p，q 中较大值，
min
,p q 表示
p，q 中较小值），记
1
H
x 的最小值为A，
2
H
x 的最大值为B，则A
B
（
）
A．16
B．16
C．8a
D．8
16
a
【答案】A
【解析】根据
2
2
( )
2
4
4, ( )
2
4
12
f x
x
a
a
g x
x
a
a
，由
1
max
,
H
x
f
x
( )
g x
．
2
min
,
H
x
f x
g x
，得到
max
( )
4
12
B
g x
a
，
min
( )
4
4
A
f x
a
求
解.
【详解】因为函数
2
2
( )
2(
2)
f x
x
a
x
a
，
2
3
( )
2(
2)
8
g x
x
a
x
a
，
所以
2
2
( )
2
4
4, ( )
2
4
12
f x
x
a
a
g x
x
a
a
，
如图所示：
当
2
x
a
时，
( )
( )
4
4
f x
g x
a
，
当
2
x
a
时，
( )
( )
4
12
f x
g x
a
，
因为
max
( )
4
12
g x
a
，
所以
2
max
( )
4
12
H
x
g x
g x
a
，
因为
min
( )
4
4
f x
a
，
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所以
1
min
( )
4
4
H
x
f x
f x
a
，
所以
4
4,
4
12
A
a
B
a
，
所以
16
A
B
，
故选：A
【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入
手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、
对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
7．已知不等式
2
0
ax
bx
c
+
<
+
的解集为{ | 2
3}
x
x
，则
=
b
c
，
36
2
b
c
a
的最小值是
【答案】
5
6
10
【分析】根据不等式的解集可得, ,
a b c 之间的关系，然后将
36
2
b
c
a
用a 表示，再用基本不等式求其最小
值即可．
【详解】
2
0
ax
bx
c
的解集为{ 2
3}
x
x
∣
0,2
3
,2 3
b
c
a
a
a
，
5 ,
6
b
a c
a
，
5
6
b
c
，
0
36
36
36
(
2)
2 2 (
2)
2
2
2
6
1
2
3
2
b
c
a
a
a
a
a
a
a
，当且仅当
2
3
2
6
a
a
，即=4
a
时取等
号
故
36
2
b
c
a
的最小值为10．
故答案为：
5
6
，10．
8．在R 上定义运算
:
(1
)
x
y
x
y
.已知不等式: (
)
(
)
2
x
a
x
a
①若
2
a
时，上述不等式的解集为
；
②若上述不等式对任意实数
1,2
x
恒成立，则a 的范围为
.
【答案】
,0
1,
1
a
2
【分析】先根据新定义化简不等式，(
)(1
)
2
x
a
x
a
，再代入a 值求不等式即得①；分离参数，求函数
最值，解决恒成立问题，即得②.
【详解】依题意，
(1
)
x
y
x
y
，故不等式即(
)
(
)
(
)(1
)
2
x
a
x
a
x
a
x
a
，
①
2
a
时，不等式即(
2)( 1
)
2
x
x
，即
1
0
x x
，
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故不等式的解集为
,0
1,
；
②依题意，对任意实数
1,2
x
，(
)(1
)
2
x
a
x
a
恒成立，
化简整理即
2
2
2
a
a
x
x
在
1,2
x
时恒成立，
设
2
2
1
1
( )
2
4
f x
x
x
x
，在
1,2
x
上单调递增，则
min
( )
(1)
0
f x
f
，
所以
2
2
min
2
0
a
a
x
x
，解得1
a
2
.
故答案为：
,0
1,
；1
a
2
.
9．（1）解关于x 的不等式
2
3
3
0
x
a
x
a
，a R ；
（2）当
4,
x
时，不等式
2
3
3
9
x
a
x
a
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
,9
.
【分析】（1）分别在
3
a
、
3
a
和
3
a
的情况下，解一元二次不等式求得结果；
（2）将恒成立的不等式化为
9
3
3
3
a
x
x
，结合基本不等式可求得
9
3
3
3
x
x
的最小值，进而
得到a 的取值范围.
【详解】（1）
2
3
3
3
x
a
x
a
x
x
a
；
当
3
a
时，由
2
3
3
0
x
a
x
a
得：
3
a
x
；
当
3
a 时，不等式
2
3
3
0
x
a
x
a
无解；
当
3
a 时，由
2
3
3
0
x
a
x
a
得：3
x
a
；
综上所述：当
3
a
时，不等式解集为
,3
a
；当
3
a
时，不等式解集为；当
3
a 时，不等式解集为
3,a ；
（2）当
4,
x
时，不等式
2
3
3
9
x
a
x
a
可化为
2
3
9
9
9
3
3
3
3
3
x
x
a
x
x
x
x
x
，
4,
x
，
3
1,
x
，
9
9
3
2
3
6
3
3
x
x
x
x
（当且仅当
6
x
时取等号），
9
3
3
9
3
x
x
，
9
a
，即实数a 的取值范围为
,9
.
10．已知二次函数
2
0, ,
R
f
x
ax
bx
c a
b c
满足条件：①
0
f x
的解集为
| 1
3
x
x
；②
f
x
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的最大值为4.
(1)求a，b，c 的值；
(2)在区间
1,1
上，二次函数
f
x 的图象恒在一次函数
4
y
x
m
图象的下方（无公共点），求实数m 的取
值范围.
【答案】(1)
1
a ，
2
b
，
3
c
(2)
4
m
【分析】（1）根据不等式解集的端点即为对应方程的根，得到根与系数的关系，再由最大值可得出, ,
a b c ；
（2）转化为不等式恒成立，分离参数后，由二次函数求区间上的最大值即可得解.
【详解】（1）因为不等式
0
f x
的解集为
| 1
3
x
x
，
所以1
，3 是方程
2
0
ax
bx
c
的两根，
所以1
3
2
b
a
，1 3
3
c
a
，即
2
3
b
a
c
a
，
函数
2
f x
ax
bx
c
的对称轴为
1
x ，
且函数
2
f x
ax
bx
c
在
1
x 处取得最大值4，即有
4
4
a
b
c
a
，
所以
1
a ，因此
1
a ，
2
b
，
3
c
.
（2）依题意，
2
2
3
4
f x
x
x
x
m
在
1,1
上恒成立，
即有
2
2
3
x
x
m
在
1,1
x
上恒成立，
而
2
2
2
3
1
4
g x
x
x
x
在
1,1
上单调递减，
所以
max
1
4
g x
g
，因此
4
m
.
11．已知函数
2
1
1
1
f x
m
x
m
x
m
．
(1)若不等式
1
f x 的解集为R，求m 的取值范围；
(2)解关于x 的不等式
1
f x
m
x
；
(3)若不等式
0
f x
对一切
1 1
,
2 2
x
恒成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)
1
2 7
3
m
；
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(2)答案见解析；
(3)
1
m .
【分析】（1）对二次项系数
1
m 进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；
（2）
2
1
1
2
1
0
f x
m
x
m
x
mx
m
，对
1
0
m
，
1
0
m
与
1
0
m
分类讨论，可分别求得
其解集；
（3）
2
2
2
2
2
2
2 1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
x
x
x
m
x
m
x
m
m x
x
x
x
m
x
x
x
x
，通过分离
常数与利用基本不等式结合已知即可求得m 的取值范围．
【详解】（1）根据题意，①当
1
0
m
，即
1
m 时，
2
2
f x
x
，不合题意；
②当
1
0
m
，即
1
m 时，
1
f x 的解集为R，即
2
1
1
2
0
m
x
m
x
m
的解集为R，
2
1
0
1
4
1
2
0
m
m
m
m
，
即
2
1
3
2
9
0
m
m
m
，故
1
m 时，
1
2 7
3
m
或
1
2 7
3
m
.
故
1
2 7
3
m
．
（2）
1
f x
m
x
，即
2
1
2
1
0
m
x
mx
m
，
即
1
1
1
0
m
x
m
x
，
①当
1
0
m
，即
1
m 时，解集为{ |
1}
x x
；
②当
1
0
m
，即
1
m 时，
1
1
0
1
m
x
x
m
，
1
2
1
1
1
1
m
m
m
，
解集为
1
{ |
1
m
x x
m
或
1}
x
；
③当
1
0
m
，即
1
m 时，
1
1
0
1
m
x
x
m
，
1
2
1
1
1
1
m
m
m
，
解集为
1
{ |1
}
1
m
x
x
m
．
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综上所述：当
1
m 时，解集为
1
{ |1
}
1
m
x
x
m
；
当
1
m 时，解集为{ |
1}
x x
；当
1
m 时，解集为
1
{ |
1
m
x x
m
或
1}
x
.
（3）
2
1
1
1
0
m
x
m
x
m
，即
2
2
1
1
m x
x
x
x
，
2
1
0
x
x
恒成立，
2
2
2
2 1
1
1
1
1
x
x
x
m
x
x
x
x
，
设1
x
t
，则
1 3
2 2
t
，，
1
x
t
，
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
t
t
x
x
t
t
t
t
t
t
，
1
2
t
t
，当且仅当
1
t 时取等号，
2
1
1
1
x
x
x
，当且仅当
0
x
时取等号，
当
0
x
时，
2
2
max
1
1
1
x
x
x
x
，
1
m
．
【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决
本题的关键，属综合困难题.
12．已知二次函数
2
f x
ax
bx
c
，且满足条件：①不等式
0
f x
的解集为{ 1
2}
x
x
∣
；②函数
y
f x
的图象过点
3,2 ．求：
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)设
g x
f x
mx
，若函数
g x 在区间
1,2 上的最小值为3，求实数m 的值．
【答案】(1)
2
3
2
f x
x
x
(2) 3
【分析】（1）由已知得出关于, ,
a b c 的方程组，解之可得；
（2）根据二次函数的对称轴分类讨论求得( )
g x 在区间[1,2] 上的最小值，从而可得参数m 值．
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【详解】（1）条件①：因为不等式
0
f x
的解集为{ 1
2}
x
x
∣
，所以
0
3
2
a
b
a
c
a
，即
0
3
2
a
b
a
c
a
．
条件②：函数
y
f x
的图象过点
3,2 ，所以9
3
2
a
b
c
．
所以
0
3
2
9
3
2
a
b
a
c
a
a
b
c
，则
1,
3,
2
a
b
c
，此时
2
3
2
f x
x
x
．
（2）由（1）知
2
3
2
g x
x
m
x
，其对称轴为
3
2
m
x
，
（i）当
3
1
2
m
，即
1
m 时，
min
( )
1
3
3
3
g x
g
m
m
，解得
3
m ；
(ii)当
3
2
2
m
，即
1
m
时，
min
( )
2
6
2
6
2
3
g x
g
m
m
，解得
3
2
m
（舍）；
(iii)当
3
1
2
2
m
，即1
1
m
时，
2
min
3
(
3)
( )
2
3
2
4
m
m
g x
g
，无解．
综上所述，所求实数m 的值为3
．
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