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第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷·强化卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知幂函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
2．已知
，
，则
（ ）
A．9
B．3
C．
D．
3．若函数
是奇函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3
4．已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离
高考还有236 天，我们可以把
看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是
；而
把
看作是每天“退步”率都是1%，高考时是
．若“进步”的值是“退步”的值
的10 倍，大约经过（ ）天（参考数据：
，
）
A．100 天
B．210 天
C．225 天
D．115 天
6．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，设
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．已知非零实数a，b 满足等式
，则下列结论不可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
与的函数关系式为
且
，部分图象如图所示，则（ ）
A．当
时，
B．
且
的值域为
C．
的单调递减区间为
D．当
为10，20，30 时，分别对应
，则
11．已知函数
和
的定义域都为
是奇函数，
是偶函数，且
，则下列
说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
，使得
D．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．函数
（其中
为自然对数的底数）的反函数为
，则
．
13．已知函数
的图象恒过定点
，若点
也在一次函数
的图象上，其中
实数
，
满足
，则
的最小值为 .
14．已知函数
，且满足
，则实数
的取值范围为
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知函数
的最小值为
，
(1)求
的值；
(2)已知正实数
均不等于1，且
是方程
的两个根，求
的值.
16．近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020 年起，每年统计其芯片的年销售数量.
将2020 年记为第0 年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间
年
0
1
2
3
4
年销售数量
万片
100
150
225
337.5
506.25
(1)在平面直角坐标系中，以为横轴，
为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；
(2)为了描述年销售数量
与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择：
①
②
③
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000 万片？（参考数据：
）
17．已知定义域是
的函数
是奇函数．
(1)求
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义法予以证明；
(3)设
，若关于的不等式
有解，求实数
的取值范围．
18．已知幂函数
在
上是严格增函数．
(1)求
的值；
(2)设
，求
在
上的最小值；
(3)若存在
，使得不等式
成立，求
的取值范围．
19．已知函数
与
满足对任意的
，总存在
，使得
成立，则称
是
在区间D 上的“m 阶自伴函数”，当
时，称
为区间D 上的“m 阶自伴函数”.
(1)若函数
为区间
上的“243 阶自伴函数”，求实数b 的值;
(2)若
是
在区间
上的“2 阶自伴函数”，求实数a 的取
值范围.
