文档文本内容
1
锐角三角函数与实际问题 题集【A】
一、仰角与俯角
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
1.
【解析】
【标注】
如图，在地面上的点
处测得树顶
的仰角为度，
米，则树高
为（ ）．
【答案】A
米．
【知识点】仰角与俯角
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，某地修建高速公路，要从
地向
地修一座隧道（
、
在同一水平面上）．为了测量
、
两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从
地出发，垂直上升
到达
处，在
处观察
地的俯
角为
，则
、
两地之间的距离为（ ）．
【答案】A
根据题意得：
，
，
，
在
中，
．
2
【标注】【知识点】仰角与俯角
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
3.
30°
【解析】
【标注】
某校研究性学习小组测量学校旗杆
的高度，如图在教学楼一楼
处测得旗杆顶部的仰角为
，
在教学楼三楼
处测得旗杆顶部的仰角为
，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知
米，则旗杆
的高度为（ ）．
30°
【答案】A
过点
作
，垂足为
，由题意可知，四边形
为矩形，
则
米，
．
设
米．
在
中，
∵
，
，
∴
米，
∴
米．
在
中，
∵
，
，
∴
米，
∵
，
∴
，
∴
，
（米）．
即旗杆
的高度为米．
【知识点】仰角与俯角
4.
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
小华为了测量楼房
的高度，他从楼底的
处沿着斜坡向上行走
，到达坡顶
处．已知斜坡的
坡角为
．（以下计算结果精确到
）
求小华此时与地面的垂直距离
的值．（
，
，
）．
小华的身高
是
，他站在坡顶看楼顶
处的仰角为
，求楼房
的高度．
【答案】（1 ）
（2 ）
小华与地面的垂直距离
的值是
．
楼房
的高度是
．
在
中，
，
，
∴
，
∴
．
答：小华与地面的垂直距离
的值是
．
在
中，
∵
，
∴
，
由（）知，
，
∴
．
答：楼房
的高度是
．
【知识点】坡度
5. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测
量学校一幢教学楼
的高度如图所示，他们先在点
测得教学楼的顶部
的仰角为
，然后向教
学楼前进
米到达点
，又测得点
的仰角为
．请你根据这些数据，求出这幢教学楼
的高
度．（结果精确到米）
4
【解析】
【标注】
【参考数据：
，
，
】
B
A
C
D
【答案】
米．
设
米，由题意：
在
中，
，
，则
．
在
中，
，
，
，
∴
，
由
，
解得
，
经检验
是原方程的解，
答：教学楼高约为
米．
【知识点】仰角与俯角
6.
【解析】
某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在
处的求救者
后，发现在
处正上方
处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点
与居民楼
的水平距离
是
米，且在点
测得第一次施救时云梯与水平线的夹角
，第二次施
救时云梯与水平线的夹角
，求
、
两点间的距离（结果精确到
米）．（参考数
据：
；
，
）
【答案】
、
两点间的距离约为
米．
由题意，得
，
，
，
∵
，
5
【标注】
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
（
），
∴
（
），
答：
、
两点间的距离约为
米．
【知识点】仰角与俯角
二、坡度与坡角
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
若某人沿坡角为的斜坡前进
，则他上升的最大高度是（ ）．
【答案】A
如图，
，
，
则他上升的高度
（米）．
故选：
．
【知识点】坡度
A.
B.
C.
D.
2. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长
的
竹竿
斜靠在石坝旁，量出杆长
处的
点离地面的高度
，又量得杆底与坝脚的距离
，则石坝的坡度为（ ）．
6
【解析】
【标注】
【答案】B
如图，过
作
于
，则
，
∴
，即
，
解得
，
∴在
中，
，
又∵
，
∴
，
∴石坝的坡度为
，
故选：．
【知识点】坡度
A.
的值越小，梯子越陡
B.
的值越小，梯子越陡
C.
的值越小，梯子越陡
D. 陡缓程度与
的函数值无关
3.
【标注】
如图，梯子跟地面的夹角为
，关于
的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（
）．
【答案】B
【知识点】坡度
4. 如图，某地下车库的入口处有斜坡
，它的坡度为
，斜坡
的长为
米，车库的高度
为
（
），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为
（图中的
）．
7
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求车库的高度
．
求点
与点
之间的距离（结果精确到米）．（参考数据：
，
，
，
）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意可得：
，
设
，则
，
故
，
解得：
，
答：车库的高度
为
．
∵
，∴
，
∴
，
在
中，
，
故
，
又∵
，
∴
，
∴
，
解得：
，
答：点
与点
之间的距离是
．
【知识点】坡度
5. 如图，坡度为
的斜坡
的坡顶有一铁塔
，在坡底
处测得塔顶
的仰角为
，在沿斜坡前
进
米至
处，测得塔顶
的仰角为
，已知
、
在同一水平面上．求铁塔
的高度．
（参考数据：
，
，
，
，
，
）
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【解析】
【标注】
【答案】
米．
作
，垂足为
，延长
交
于
，
在
中
，
坡度为
，
得
，
，
在矩形
中，
，
，
设
的高度为
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
解得
，
答：铁塔
的高度约为
米．
【知识点】坡度
6. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处长
米，高
米，背水坡的坡角为
的防洪大堤（横断面为
梯形
）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
加固，并使上底加宽米，加固后背水坡
的坡比
．
求加固后坝底增加的宽度
．
求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
【答案】（1 ）
（2 ）
加固后坝底增加的宽度
为
米．
完成这项工程需要土石（
）立方米．
分别过点
、
作
、
交
于
、
．
∵四边形
是梯形，且
，
∴
平行且等于
．
故四边形
是矩形．
∴
．
在
中，
（米）．
在
中，
，
∴
（米）．
∴
（米）．
答：加固后坝底增加的宽度
为
米．
加宽部分的体积
坝长
（立方米）．
答：完成这项工程需要土石（
）立方米．
【知识点】梯形中的辅助线
梯形
三、方位角
10
东
北
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
表示灯塔，轮船从
处出发以每时
海里的速度向正北（
）方向航行，小时后到达
处，测得
在
的北偏东
方向，并在
的北偏东
方向，那么
处与灯塔
之间的距离为（ ）
海里．
【答案】A
∵
，
，
，
∴
．
∴
为等腰三角形．
船从
到
以每小时
海里的速度走了小时，
∴
海里．
故选：
．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
A.
B.
C.
D. 无法确定
2.
【解析】
如图，甲、乙二人同时从
地出发，甲沿北偏东
方向行走
后到达
地，并立即向正东方向走
去，乙沿北偏东
方向行走，二人恰好在
地相遇，则
、
两地的距离为（）．
【答案】C
延长
交
轴于
，
∵
，
，
∴
，
11
【标注】
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
故选：．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
A.
海里
B.
海里
C.
海里
D.
海里
3.
【解析】
【标注】
如图，一艘轮船在
处测得灯塔
位于其北偏东
方向上，轮船沿正东方向航行
海里到达
处
后，此时测得灯塔
位于其北偏东
方向上，此时轮船与灯塔
的距离是（ ）．
【答案】B
作
，垂足为
，
根据题意，得
，
海里，
∴
，
则
，
（海里）．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
4.
12
【解析】
【标注】
一艘轮船在小岛
的北偏东
距小岛
海里的
处，沿正西方向航行小时后到达小岛的北偏西
的
处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
【答案】
如图所示：
设该船行驶的速度为海里/时，
小时后到达小岛的北偏西
的
处，
由题意得：
海里，
海里，
在直角三角形
中，
，
∴
，
∴
，
，
在直角三角形
中，
，
∴
，
∴
，
解得：
．
即该船行驶的速度为
海里/时．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
5.
【解析】
如图，
，
为一公司的两个分部，为了方便
，
两分部的联系和沟通，现准备在距离
的
，
两部分之间修筑一条笔直的公路(如图中的线段
)，经测量，在
地的北偏东
方向，
地的北
偏西
方向的
处有一半径为
的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
【答案】计划修筑的这条公路不会穿过公园，理由见解析．
计划修筑的这条公路不会穿过公园．理由如下：
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【标注】
过
点作
于
，
由题可知：
，
设
千米，
，
所以
，
由
，得到
，又
，
所以
为等腰直角三角形，
则
，
∵
，
∴
，
∴
．
∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
