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1
【角的旋转问题】题集【B】
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，直线
与
相交于点
，
，将一直角三角尺
的直角顶点与
重合，
平分
．
求
的度数．
将三角尺
以每秒
的速度绕点
顺时针旋转，同时直线
也以每秒
的速度绕点
顺时
针旋转，设运动时间为秒
．
当为何值时，直线
平分
．
若直线
平分
，直接写出的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
当
或
时，直线
平分
．
或
．
∵
，
，
平分
，
∴
，
又∵
，
∴
．
当
平分
时，
，
解得：
，
当
平分
时，
，
解得：
，
∴当
或
时，直线
平分
．
2
2
【标注】
或
．
【知识点】转角问题
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为直线
上一点，过
作射线
，
°，将一直角三角板（
）的直
角顶点放在点
处，一边
在射线
上，另一边
与
都在直线
的上方．
图
图
将图中的三角板绕点
以每秒
的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，经过多少秒后
所在
直线恰好平分
；
在（）的条件下，若在三角板开始转动的同时，射线
也绕
点以每秒
的速度沿顺时针
方向匀速旋转一周，那么经过多长时间射线
平分
？请画图并说明理由；
【答案】（1 ）
（2 ）
秒或
秒．
经过秒或
秒，
平分
；画图和理由见解析．
①
平分
时，用时为
秒
②
延长线平分
时，用时为：
秒
故经过秒或
秒满足题意
①
在
上方时，如下图
用时：
秒
②
在
下方时，如下图，设用时为秒
3
【标注】
则
，
∴
秒
综上：经过秒或
秒，
平分
．
【知识点】转角问题
图
图
1
2
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
3. 如图，
为直线
上一点，过点
作射线
，
，将一直角三角板（
）的
直角顶点放在点
处，一边
在射线
上，另一边
与
都在直线
的上方．
将图中的三角板绕点
以每秒
的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过秒后，
恰
好平分
．
求的值．
此时
是否平分
？请说明理由．
在（）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线
也绕
点以每秒
的速度沿顺时针方
向旋转一周，如图，那么经过多长时间
平分
？请说明理由．
在（）问的基础上，经过多长时间
平分
？请画图并说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
是，理由见解析．
秒，理由见解析．
4
1
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
（3 ）
秒，画图见解析，理由见解析．
由题意得，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
．
是，理由如下：
∵
，
，
∴
平分
．
秒时
平分
，理由如下：
∵
，
，
且
，
∴
．
∵三角板绕点
以每秒
的速度，射线
也绕
点以每秒
的速度旋转，
∴设
为
，
为
，
∵
，
可得：
，
解得：
．
∵
平分
．
∴
，
∵三角板绕点
以每秒
的速度，射线
也绕
点以每秒
的速度旋转，
∴设
为
，
为
，
∵
，
∴
为
，
∵
，
可得：
，
解得：
．
5
【标注】【知识点】旋转性质综合应用
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情
况讨论来求解．例如：若
，
求
的值．
情况①若
，
时，
，
情况②若
，
时，
，
情况③若
，
时，
，
情况④若
，
时，
，
所以，
的值为，
，，
．
几何的学习过程中也有类似的情况：
如图，点
是直线
上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点
作射线
平分
．当直角
三角板绕点
继续顺时针旋转一周回到图的位置时，在旋转过程中你发现
与
（
，
）之间有怎样的数量关系．
如图，当
时，若
，则
度数是 ．
如图，当
是钝角时，使得直角边
在直线
的上方，若
，其他条
件不变，则
的度数是 ．
若
，在旋转过程中你发现
与
之间有怎样的数量关系？请你直接用
含的代数式表示
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
或
．
∵
平分
，
∴
，
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
当
在
上方时，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
当
在
下方时，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【能力】分析和解决问题能力
【知识点】列代数式
【知识点】角的和差的计算与证明-不需要分类讨论
【思想】数形结合思想
7
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
5. 如图，点
是弹力墙
上一点，魔法棒从
的位置开始绕点
向
的位置顺时针旋转，当转
到
位置时，则从
位置弹回，继续向
位置旋转；当转到
位置时，再从
的位置弹
回，继续转向
位置，
，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第步，从
（
在
上）开始旋转至
；第步，从
开始继续旋转
至
；第步，从
开始继续旋转
至
，
．
图
例如：当
时，
，
，
，
的位置如图所示，其中
恰好落在
上，
；当
时，
，
，
，
，
的位置如图所示，其中第步
旋转到
后弹回，即
，而
恰好与
重合．
解决如下问题：
图
若
，在图中借助量角器画出
，
，其中
的度数是 ．
图
若
，且
所在的射线平分
，在下图中画出
，
，
，
并求
出的值．
若
，且
，则对应的值是__________．
（选做题）当
所在的射线是
（，，是正整数，且
与
不重合）的平分
线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角（度数为正整数，且
），旋转是否可以
停止？写出你的探究思路．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
或
或
对于角
，操作不能停止．
如图所示．
．
如图所示．
因为
，
所以
，
．
因为
平分
，
所以
．
解得
．
①如图，当
时，没有发生反弹．
此时，
，
所以
．
②如图，当
时，第步旋转到
后弹回，且
在
的右侧．
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（4 ）
【标注】
此时，
，解得
．
③当
时，第步旋转到
后弹回，且
在
的左侧．
此时，
，解得
．
④当
时，第步旋转到
后弹回，且
在
的左侧．
此时，
，解得
（舍去）．
综上，对应的值是
或
或
．
对于角
，操作不能停止．（根据学生的回答，只要探索的思路有道理即可）
【知识点】角中的运动问题
