文档文本内容
1
锐角三角函数与实际问题 题集【B】
一、仰角与俯角
A.
米
B.
米
C.
米
D. (
)米
1.
【解析】
【标注】
某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头
观测
水平雪道一端
处的俯角为
，另一端
处的俯角为
．若直升机镜头
处的高度
为
米，
点
，
，
在同一直线上，则雪道
的长度为（ ）．
【答案】D
由题知
，
，
在
中，
，
在
中，
．
∴
（米）．
【知识点】仰角与俯角
A.
B.
C.
D.
2. 如图，在一个
米高的楼顶上有一信号塔
，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的
处测得信
号塔下端
的仰角为
，然后他正对塔的方向前进了米到达地面的
处，又测得信号塔顶端
的仰
角为
，
于点
，
、
、
在一条直线上，信号塔
的高度为（ ）．
2
【解析】
【标注】
【答案】C
根据题意得：
米，
米，
，
，
在
中，
米，
∴
（米），
在
中，
（米），
∴
（米）．
【知识点】仰角与俯角
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层
与
平行，层高
为米，
、
间水平距离为米，
．
通过计算说明身高
米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在
处会不会碰到头部．
若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台
，且
段和
段的坡度均
为
（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台
的长度．（参考数据：
，
，
）
【答案】（1 ）
（2 ）
会碰到头部．
（米）．
作
，交
于点
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴会碰到头部．
∵
，
∴
，
过点
作
，垂足为点
，过点
作
，垂足为点
，
设
，则
，
∵
段和
段的坡度
，
3
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
（米）．
【知识点】坡度
4.
【解析】
【标注】
如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度
，飞机上的测量人员在
处测得
，
两点的俯
角分别为
和
．若飞机离地面的高度
为
米，且点
，
，
在同一水平直线上，则这条
江的宽度
为 米（结果保留根号）．
【答案】
由于
，
，
，
在
中，
，
米，
在
，
，
（米），
米．
【知识点】仰角与俯角
5. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高
米，测量人员在一个小山坡的
处测得塔的底部
点的仰
角为
，塔顶
点的仰角为
．已测得小山坡的坡角为
，坡长
米．求山的高度
（精确到米）．（参考数据：
）
4
【解析】
【标注】
【答案】山高
约为
米．
如图，过点
作
于
于
．
在
中，
，
四边形
是矩形，
．
设
米．
，
．
，
．
，
．
解得
．
（米）．
故答案为：山高
约为
米．
【知识点】仰角与俯角
5
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，某中学操场边有一旗杆
，小明在操场的
处放风筝，风筝飞在图中的
处，在
的延长线
上离小明
米远的
处的小刚发现自己的位置与风筝
和旗杆的顶端
在同一条直线上，小刚在
处
测得旗杆顶点
的仰角为，且
，小明在
处测得旗杆顶点
的仰角为
．
求旗杆的高度．
此时，在
处背向旗杆，测得风筝
的仰角（即
）为
，求风筝
离地面的距离．
（结果精确到
米，其中
，
，
）
【答案】（1 ）
（2 ）
求得旗杆高度为
米．
求得风筝
离地面的距离为
米．
在
中，
∵
，
∴设
，则
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即：
，
解得：
，
答：求得旗杆高度为
米．
过
作
于点
，
在
中，
，
设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
6
【标注】
∴
，
∴
，
解得：
，
答：求得风筝
离地面的距离为
米．
【知识点】仰角与俯角
二、坡角与坡度
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下
点出发沿斜坡
到达
点．再从
点沿斜坡
到达山巅
点，路线如图所示．斜坡
的长为
米，斜坡
的长为
米，在
点测得
点的俯角为
，点
到水平线
的距离为
米．
求
点到水平线
的距离．
求斜坡
的坡度．
【答案】（1 ）
（2 ）
点到水平线
的距离为
米．
斜坡
的坡度为
．
如图，过
作
，
为垂足，
过
点作
，
，
、
为垂足．
∵在
点测得
点的俯角为
，
∴
，又
米，
∴
（米）．
∴
点到水平线
的距离为
（米）．
∵
米，
米，
∴
米．
∴
的坡度
．
故斜坡
的坡度为
．
【知识点】坡度
7
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，
为某旅游景区的最佳观景点，游客可以在
处乘坐缆车沿
方向先到达小观景平台
观
景，然后再由
处继续乘坐缆车沿
方向到达
处，返程时从
处乘坐升降电梯直接到
处．已知
于
，
，斜坡
的坡度
，
米，
米，
米，
，则
的高度为（ ）米（结果精确到
米，参考数据：
，
）
α
【答案】C
过点
作
，
，
可得
，
，
，
∵斜坡
的坡度
，
米，
∴设
，则
，
故
，
解得：
，
则
，
，
故
，
∵
米，
米，
∴
，
∴
，
故
，
则
，
故
的高度为：
，
故选：．
8
【标注】
α
【知识点】坡度
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门
处，有一斜坡
，长度为
米，在坡顶
处看教
学楼
的楼顶
的仰角
，离
点米远的
处有一花台，在
处仰望
的仰角
，
的延长线交校门处的水平面于
点，
米．
求斜坡
的坡度．
求
的长．
（参考数据：
，
）
【答案】（1 ）
（2 ）
．
米．
过
作
于
，
则四边形
是矩形，
∴
米，
∵
米，
∴
米，
∴
的坡度
．
在
中，
，
9
【标注】
在
中，
，
∵
米，
∴
，
解得：
．
∴
米．
【知识点】坡度
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
4.
【解析】
如图，斜坡
长
米，坡度
，
，现在计划在斜坡
的中点
处挖去部分坡体
修建一个平行于水平线
的平台
和一条新的斜坡
，若斜坡
的坡角为
，则平台
的
长约为（ ）．（精确到
米，参考数据：
，
，
）
【答案】D
延长
交
于
，
∵
，
设
，
，
在
中，∵
，
，
∴
∴
，∴
，
∴
米，
米，
∵
，
，
∴
米，
米，
在
中，∵
，
，
∴
，
，
∴
．
∴故选
．
10
【标注】【知识点】坡度
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
5.
【解析】
【标注】
位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度
进行了测量．如
图，他们从塔底的点
出发，沿水平方向行走了
米，到达点
，然后沿斜坡
继续前进到达点
处，已知
．在点
处用测角仪测得塔顶
的仰角为
（点
，
，
，
，
在同一平面
内）．其中测角仪及其支架
高度约为
米，斜坡
的坡度（或坡比）
，那么文峰塔
的高度
约为（ ）．（
，
，
）
【答案】C
过点
作
与点
，
∵斜坡
的坡度（或坡比）
，
米，
∴设
，则
．
在
中，
∵
，即
，解得
，
∴
米，
米，
∴
米，
米．
∵
，
，
，
∴四边形
是矩形，
∴
米，
米．
在
中，
∵
，
∴
米，
∴
米．
【知识点】坡度
11
三、方位角
东
北
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
1.
【解析】
【标注】
在一次夏令营活动中，小明从营地
点出发，沿北偏东
方向走了
米到达
点，然后再沿北偏西
方向走了
米到达目的地
点，则
、
两地之间的距离为（ ）．
【答案】C
略.
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
A.
海里
B.
海里
C.
海里
D.
海里
2.
【解析】
如图，在观测站
处测得船
和灯塔
分别位于正东方向和北偏东
方向，灯塔
位于船
的北偏东
方向海里处，若船
向正东航行，则船
离灯塔
的最近距离是（ ）．
东
南
西
北
【答案】A
如图，作
于
，则船
离灯塔
的最近距离是
的长．作
于
．
东
南
西
北
在直角
中，∵
，
，
，
12
【标注】
∴
．
在直角
中，∵
，
，
∴
，
∴
．
在直角
中，∵
，
，
∴
故选：
．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，“中国海监
”正在南海海域
处巡逻，岛礁
上的中国海军发现点
在点
的正西方向上，
岛礁
上的中国海军发现点
在点
的南偏东
方向上，已知点
在点
的北偏西
方向上，且
、
两地相距
海里．
求出此时点
到岛礁
的距离．
若“中海监
”从
处沿
方向向岛礁
驶去，当到达点
时，测得点
在
的南偏东
的方向上，求此时“中国海监
”的航行距离．（注：结果保留根号）．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
如图所示：延长
，过点
作
延长线与点
，
由题意可得：
，
海里，
则
海里，
13
（2 ）
【标注】
故
，
解得：
．
∴点
到岛礁
的距离为
海里．
如图所示：过点
作
于点
，
可得
，
，
，
则
，即
平分
，
设
，则
，
故
，
∵
，
∴解得：
，
∴此时“中国海监
”的航行距离为
海里．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
4. 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，
中国一艘海监船从
点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设
，
为该岛的东西两端点）最近距
离为
海里（即
海里），在
点测得岛屿的西端点
在点
的东北方向；航行海里后到
达
点，测得岛屿的东端点
在点
的北偏东
方向，（其中
，
，
在同一条直线上），求钓
鱼岛东西两端点
之间的距离．
14
【解析】
【标注】
【答案】
海里．
在直角
，
度，则
是等腰直角三角形，
则
（海里），
∴
（海里），
直角
中，
（海里），
∴
（海里）．
所以：钓鱼岛东西两端点
之间的距离是
海里．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
年月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在
、
两个探测点探测到
处是信号发射点，已知
、
点相距
，探测线与海平面的夹角分别是
和
，若
的长是点
到海平面的最短距离．
问
与
有什么数量关系，试说明理由．
求信号发射点的深度．（结果精确到
，参考数据：
，
）
【答案】（1 ）
（2 ）
，证明见解析．
米．
由图形可得
，
∴
米，
∴在
中又含
角，得
米，
可知，
．
由勾股定理
米，
∴点
的垂直深度
是
米．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
15
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在某次海上军事学习期间，我军为确保
海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在
、
、
处
监控
海域，在雷达显示图上，军舰
在军舰
的正东方向
海里处，军舰
在军舰
的正北
方向
海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为的圆形区域．
（只考虑在海平面上的探测）
北
若三艘军舰要对
海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径至少为多少海里？
现有一艘敌舰
从东部接近
海域，在某一时刻军舰
测得
位于北偏东
方向上，同
时军舰
测得
位于南偏东
方向上，求此时敌舰
离
海域的最短距离为多少海里？
若敌舰
沿最短距离的路线以
海里/小时的速度靠近
海域，我军军舰
沿北偏东
的方向行进拦截，问
军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰
？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
雷达的有效探测半径至少为
海里．
此时敌舰
离
海域的最短距离为
海里．
军舰速度至少为
海里/小时．
在
中，∵
，
，
，
∴
．
∵
，
∴雷达的有效探测半径至少为
海里．
作
于
，
北
∵
，
，
∴
，
∴
．
16
（3 ）
【标注】
在
中，∵
，
，
，
∴
，
，
∴此时敌舰
离
海域的最短距离为
海里．
假设
军舰在点
处拦截到敌舰．
在
上取一点
，使得
，设
，
北
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
设
军舰速度为海里/小时，
由题意
，
∴
．
∴
军舰速度至少为
海里/小时．
【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用
