文档文本内容
第06 讲 函数
的图象及其应用
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数
的图象变换....................................................................................3
高频考点二：根据图象确定函数
的解析式..................................................................5
高频考点三：五点法作图.........................................................................................................................10
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用.......................................................................................17
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题................................................................................23
高频考点六：三角函数模型..................................................................................................................... 30
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................36
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数
,
的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数
,
的图象上,五个关键点是:
2、由
的图象变换得到
(
，
)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度
得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的部分大致图像，考
虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为
，所以把函数
图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数
的图象．
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数
的图象变换
典型例题
例题1．（24-25 高一下·河南南阳·期末）为了得到函数
的图象，可以将函数
的
图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
是个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简
，再根据平移变换的规律即得.
【详解】因
，
故可以将函数
的图象向右平移
个单位长度，即可得到函数
的图象.
故选：A.
例题2．（24-25 高一下·吉林长春·期中）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
所以，为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象向左平移
个单位长度.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·江西萍乡·期中）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象上
各点（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】因为
，
所以只需将函数
的图象上各点向右平移
个单位长度，即可得到函数
的图象.
故选：C
2．（24-25 高三上·四川雅安·阶段练习）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图
象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据平移的性质即可求解.
【详解】将
向左平移
个单位长度可得
，
故选：D
3．（24-25 高三上·四川·阶段练习）要得到函数
的图象，只需要将函数
的
图象（ ）
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
【答案】D
【分析】利用函数图像左右方向平移遵循的“左加右减”原则，即可得到结论.
【详解】将函数
的图象向左平移
，可得到
，
即函数
的图象.
所以，只需要将函数
的图象向右平移
，可得到函数
的图象.
故选：D.
高频考点二：根据图象确定函数
的解析式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江宁波·期末）已知函数
的部分图象如图所示，则将
该函数图象向左平移
个单位后得到的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据图象
，得
，再根据图象平移求解.
【详解】根据图象，
，
，
所以
，则
，
则将该函数图象向左平移
个单位后得到的函数为
.
故选：C
例题2．（多选）（24-25 高三上·河北承德·阶段练习）已知函数
部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则m 的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据图像可求得
可得A 正确，将
代入检验即可得B 错误，利用平移
规则可知C 正确，由整体代换法并根据函数图象可求得
的取值范围是
，故D 错误.
【详解】由函数图象可得
，
函数
的周期
满足
，则
，
故
，解得
，所以
.
又函数过点
，即
，则
，
所以
，
，即
，
，
又
，所以
，所以
.
由前面计算已求得
，故A 正确；
对于B，若函数
的图象关于点
对称，则
.
计算
，
所以
的图象不关于点
对称，故B 错误；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位得到：
，故C 正确；
对于D，当
时，
，
令
，则
，
.
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
又
，
，
.
因为
的图象与
有且只有一个实数根，
所以
的取值范围是
，故D 错误.
故选：AC
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的部分图象如
图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得
，利用图象过特殊点即可确定
，由此可得函数解析
式，结合图象的平移变换即可求得答案.
【详解】根据图象可得
，周期
，
又
，则
，所以
，
，则
，
，因为
，则
，
所以函数
的解析式为
，
由函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，即
，
故选：D.
2．（多选）（24-25 高一下·重庆·期中）已知函数
的部分图象如
图所示，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
对称
D．将
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】ABD
【分析】对A，根据图像判断函数的周期求解即可；对BC，求得
解析式后，根据函数性质求解即
可；对D，根据三角函数图像平移的性质结合奇函数的定义判断即可.
【详解】对A，由
的图象得
，
，
，
所以
，故
，故A 正确；
对B，由
，得
，即
的单调递增区间为
，
令
，得
，又
，故B 正确；
对C，因为
，所以
的图象关于直线
对称，故C 错误；
对D，将
的图象向左平移
个单位长度，
得
的图象，
显然
为奇函数，故D 正确．
故选：ABD
3．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数
的部分图象，
则（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．若
在
上的值域为
，则
的最大值为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数的图象
【答案】BCD
【分析】根据给定的函数图象，求出函数解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项求解判断.
【详解】观察图象，得
，即
，而
，解得
，
又
，且
在函数
的递增区间内，则
，
解得
，
，解得
，因此
，
，
对于A，
，
不是函数的对称中心，A 错误；
对于B，由
，得
，
在
单调递增，B 正确；
对于C，由
，得
，由
在
上的值域为
，
得
，解得
，因此
的最大值为
，C 正确；
对于D，将
向左平移
个单位后，得
，为偶函数，D 正确.
故选：BCD
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（24-25 高一下·云南丽江·期末）已知函数
(1)用“五点法”作出
在
上的简图；
(2)求
的最大值以及取得最大值时
的集合.
【答案】(1)作图见解析;
(2)最大值为 2，
.
【分析】（1）根据
的范围求出
的取值范围，然后按照 “列表、描点、连线” 的步骤画出函
数的图象.
（2）将
作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解.
【详解】（1）由
，得
，
列表如下:
0
1
2
1
0
1
画出函数
的图象，如图:
（2）当
，即
时，
，
所以函数
的最大值为 2，此时
的集合为
.
例题2．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数
．
(1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数
在一个周期上的图象；
(2)求
的对称轴与对称中心；
(3)当
，求函数
的值域.
【答案】(1)见解析；
(2)对称轴为
，对称中心为
；
(3)
【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数
在一个周期上的简图；
（2）令
，可得对称轴，令
，可得对称中心；
（3）由
，得
，由三角函数性质可得
的值域.
【详解】（1）列表
0
函数图像如图所示
（2）令
，得对称轴：
，
令
，得
，所以对称中心为
；
（3）由
，得
，
当
，即
时，
；
当
，即
时，
.
所以
的值域为
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·北京西城·阶段练习）已知函数
，
.
(1)填写下表，用“五点法”作函数
在一个周期内的图象；
0
0
0
0
(2)函数
的最小正周期
_____；
(3)求函数
的单调增区间和对称中心.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)单调递增区间：
，
；对称中心：
.
【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可；
(2)根据正弦函数的周期公式计算即可；
(3)利用整体代入法结合正弦函数的周期性和对称性求解即可.
【详解】（1）
x
0
0
2
0
0
函数图象如图所示，
（2）由
，可知
；
（3）令
，
，
得
，
.
所以函数
的单调递增区间：
，
.
令
，得
，
即
的对称中心为：
.
2．（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）已知
(1)说明该函数图象可由
的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出
在
上简图；
【答案】(1)答案见解析；
(2)作图见解析.
【分析】
（1）方法一：直接利用函数图象变换：先平移变换，后伸缩变换即可；方法二：根据函数图象
变换先伸缩变换，后平移变换即可；
（2）令
，利用
的五点法即可求出
，即可完成表，在直角坐标系中画图即可.
【详解】（1）法一：①向右平移
个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的
，③所得各点的纵坐标
伸长为原来的2 倍；
法二：①各点的横坐标缩短到原来的
，②向右平移
个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2 倍.
（2）令
，利用
的图象取点法画图；
列表如下
作在
上的图如下：
3．（24-25 高一上·山东枣庄·期末）已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图象；
(2)写出
的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)
．
【分析】（1）求出
的周期，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可；
（2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可.
【详解】（1）函数
的周期为
，列表
0
0
2
0
0
描点、连线得到图象如下，
（2）由
，
得
．
所以
的单调递增区间为
．
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江西赣州·期末）已知函数
，若
的
一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为
.
(1)求
的解析式，并写出
的单调递减区间；
(2)把
的图象向右平移
个单位，再向上平移
个单位，得到函数
的图象，求
在区
间
上的值域.
【答案】(1)
；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据所选条件求出
、
，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的变换规则求出
的解析式，由
的取值范围，求出
的取值范围，结合正
弦函数的性质求得值域.
【详解】（1）因为函数
的一个零点为0，所以
，即
，得
，
因为
，所以
.
因为函数
图象上相邻两条对称轴的距离为
，所以
.
因为
，
，所以
，
所以函数
的解析式为
，
由
，
，解得
，
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）把
的图象向右平移
个单位得到
，
再将
向上平移
个单位得到
，
所以
，
因为
，所以
.
当
时，即
时，
，
当
时，即
时，
，
所以函数
在
的值域为
.
例题2．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)设常数
，若
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
(3)将
的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数
．若
对一切
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简可得
，根据周期公式可得结果；
（2）先求出
的递增区间，又因为函数
在区间
上是增函数，当
时，有
，解不等式即可求出答案；
（3）根据图象变换得到
，代入不等式并化简得
，换元，令
，则将原不等式转化为
在
上恒成立，由二次函数的图象性质即可求解.
【详解】（1）
，
.
（2）
，由
得：
，
，
所以
的单调递增区间为
，
，
在区间
上是增函数，
当
时，有
，
，解得
，
的取值范围是
.
（3）由题意，可得
，代入不等式得：
，即
，
令
，则
，需
在
上恒成立，
由二次函数的性质可知，只需端点处满足不等式即可，即
且
,
当
时，需满足
或
；当
时，需满足
或
.
综上，可得实数a 的取值范围是
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·上海浦东新·期中）已知函数
(1)求
的最小值；
(2)若将
的图象上所有点向左平移
个单位长度得到
的图象，求函数
的对称轴和对
称中心；
(3)当
时，
的值域为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
，
(3)
或
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值；
（2）根据图象变换得函数
，结合正弦型三角函数的性质解方程
求得
的值，利用整体
代换法求解函数
的对称轴和对称中心即可；
（3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得
的值.
【详解】（1）由题意可得：
.
因为
，所以
的最小值为
.
（2）由平移变换知
，
又因为
，则
，解得
，
又因为
，可得
，所以
，
令
，对称轴为
，
令
，对称中心为
（3）当
时，则
，此时
的值域为
，
因为
，可知
，
且
，可得
，
则
，解得
，可得
，
由
可知
，解得
，
且
，或
，解得
，或
，所以
的值为
或
.
2．（24-25 高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数
的最大值为
．
(1)求φ 的值及
的单调递增区间；
(2)先将
向右平移
个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不
变），得到
的图像．若
，
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
，单调递增区间为
；
(2)
.
【分析】（1）化简得到
，根据
的最大值为
，求出
，
，整体法求出函数单调递增区间；
（2）先根据平移和伸缩变换得到
，分离参数
，令
，则
，换元得到
，求出
最小值为
，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
，
因为
的最大值为
，
所以
，解得
.
因为
，故只有当
时，满足要求，故
，
.
令
，
解得
，
的单调递增区间为
；
（2）
图像上的所有点，向右平移
个单位后，得到
，
再将所得图像上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，
得到
，
，
即
，
令
，则
，
则
，
故
，
其中
，
当
时，
取得最小值，最小值为
，
所以
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的最小正周期及单调递减区间；
(2)将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，再将
的图象向右平移
个单位后，再将纵坐标变
为原来的
，最终得到
的图象，若
，满足不等式
，求
的
取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（2）先由三角函数的图像变换得到
的解析式，再将问题转化为最值问题，结合换元法以及二次函数
的值域，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
所以
，
所以
的周期为
，
由
得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，即可得到
，
再将
的图象向右平移
个单位，得到
，
再将纵坐标变为原来的
，即可得到
，
因为
，
，
所以当
，时，
，
令
，
，则
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
所以
，解得
或
，
故
的取值范围为
．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河南焦作·阶段练习）已知向量
，
，函数
，
图象的相邻对称轴之间的距离为
．
(1)求
的解析式；
(2)求函数
的单调递增区间和
的图象的对称轴方程；
(3)将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
个单位
得
的图象，若关于
的方程
在
上只有一个解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，
，对称轴方程为
，
(3)
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式和二倍角正弦公式，以及三角恒等变换化简函数
；
（2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解；
（3）利用三角函数的图象变换求函数
的解析式，再通过换元后，结合
的图象，即可求解.
【详解】（1）依题意，
，
．
因为
图象的相邻对称轴之间的距离为
，所以
的最小正周期为
，
所以
，得
，所以
．
（2）令
，
则
，
所以
的单调递增区间为
，
；
令
，
，解得
，
，
即
的图象的对称轴方程为
，
．
（3）由（1）知
，
将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长为原来的2 倍，
得到函数
的图象，
再向左平移
个单位得
的图象．
令
，
，则
，
所以
，
因为
在
上只有一个解，
由
的图象（如图）可得，
或
，
所以
的取值范围是
.
例题2．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）已知函数
(1)求函数
的单调增区间：
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象．
①当
时，求函数
的值域；
②若方程
在
上有三个不相等的实数根
，求
的值．
【答案】(1)
的单调增区间为
(2)①函数
的值域为
；②
【分析】（1）由
，求解可得单调递增；
（2）①由已知得
，由
求得
，继而求得函数的值域；②
令
，
，做出函数
的图象，设
有三个不同的实数根
，有
，
，继而得
，由此可得答案.
【详解】（1）由
，可得
，
所以函数
的单调增区间为
；
（2）①：由已知得
，
当
时，
，
所以
，所以
，
所以函数
的值域为
；
②当
时，
，令
，
则
，
令
，则函数
的图象如下图所示，且
，
，
，
由图象得
有三个不同的实数根
，
则
，
，所以
，即
，
所以
，所以
，
故
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州毕节·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)将
的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位得到
的图象，当
时，方程
有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将
的解析式化简，再利用整体代入法即可求解；
（2）利用图象变换的规则得到
的解析式，再根据
的范围即可求解.
【详解】（1）因为
，
由
，解得
，
的单调递增区间为
；
（2）由（1）知
，
将
的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，得到
，
再向右平移
个单位得到
，
当
时，
，则
，
因为方程
有解，所以
，
所以实数
的取值范围
.
2．（24-25 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
.
(1)若
图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4 倍，再向右平移
个单位，得到的图象在
上单调
递增
，求
的最大值；
(2)是否存在实数
，使
在
上有两个零点，若存在，求出实数
的值或取值范围，若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
或
【分析】（1）
由题变换后图象的解析式是：
，求出
的范围，
再根据单调性列不等式组求解即可；
（2）化简可得
，令
，令
，
设
为
的一个零点，分①
，②
，③
或
，④
且
，⑤
讨论零点的情况.
【详解】（1）由题
图象变换后的解析式是
，
因
，则
，
，则
，
又因为
在
上单调递增，则
，且
，
解得
，即
的最大值为
.
（2）
，
设
，则
，
当
时，
，
，
它的图象如图所示：
则
，令
，
因为
在
上有两个零点，则
在
上至少存在一个零点，
设
为
的一个零点，
①当
时，
，此时
仅有一个零点
，对应一个
，不符题意；
②当
时，
，此时
仅有一个零点
，对应两个
，符合题意；
③当
或
时，
，此时
有两个零点
，
由图，各对应一个
，符合题意；
④当
且
时，因其对应一个
，
则
必有另一个零点
，与
矛盾；
⑤当
时，则
必有两相等零点，则
，
由①②可知，不存在这样的
值；
综上，
或
.
3．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数
，
图象
的相邻对称轴之间的距离为
.
(1)求
的解析式和函数
的单调递增区间；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
个单位
得
的图象，若关于
的方程
在
上只有一个解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
的单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简
；根据
的最小正周期为
求出
可得
；再求单调递增区间即可；
（2）利用图象平移可得
，令
，转化为
在
上只有一个解，结合图象可
得答案.
【详解】（1）
，
，因为
图象的相邻对称轴之间的距离为
，
所以
的最小正周期为
，
所以
，得
，所以
，
令
，
则
，所以
的单调递增区间为
；
（2）由（1）知
，
将
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，
纵坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，
再向左平移
个单位得
的图象.
令
，
，则
，所以
，
因为
在
上只有一个解，由
的图象（如图）可得，
或
，所
以
的取值范围是
.
高频考点六：三角函数模型
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形
是一块矩形铁皮，
.该铁皮
内有一半径为2 的扇形
（
在
上，
在
上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工
人计划在
上找一点
（包含
），作
，得到可以使用的矩形铁皮
.
(1)试比较当点
分别与点
重合时，矩形铁皮
的面积的大小；
(2)以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系.定义：若
，
，则
.求
的取值范围.
【答案】(1)
；
.
(2)
【分析】（1）根据题意，分别点
与点
和
重合时，结合矩形的面积公式，即可求解；
（2）设
，得到
，化简得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当点
与点
重合时，可得
，
此时矩形
的面积为
；
当点
与点
重合时，可得
，
此时矩形
的面积为
.
（2）解：设
，
因为
，可得
，
则
可得
，
所以
，
因为
，可得
，则
，
所以
，则
，
即
的取值范围
.
例题2．（24-25 高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域
养殖水产，需要在四条边上建
立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M 在
的中点处，另外两个
投放点N，P 分别在
，
上，且要求
与
垂直，已知
，
．
(1)求
的面积S 的最大值；
(2)已知建造浮桥的费用为每米100 元，预估造桥费用为Q 元，求Q 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设
，根据已知可得
、
，再由三角形面积公式及二倍角正弦
公式、正弦函数的性质求面积的最大值；
（2）由（1）得三角形周长
，再应用正余弦和差与积的关
系及换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围.
【详解】（1）设
，由题意
，
，
，
．
当N 在D 点时，θ 最大，此时
，
，
当P 在C 点时，θ 最小，此时
，
，
．
，
，
，
当
，即
或
时，
．
（2）记
的周长为L，由（1）知，
，
，
，
．
令
，则
，
．
，
，
，
，
，
，
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮
，其中
米，
米，其中，是一个
大于等于
的常数．阴影部分
是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分
均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在
与
上的矩形铁皮
，使点P 在弧
上．设
，矩形
的面积为S 平方米．
(1)求S 关于
的函数表达式；
(2)当
时，求S 的最值，并求出当S 取得最值时，所对应的
的值．
【答案】(1)
，
；
(2)答案见解析．
【分析】（1）过
作
，垂足为
，得
，
，应用矩形面积公式即可
得关系式；
（2）由题设
，令
，进而得到
，结合二次函数的性质求最值，且可得
值.
【详解】（1）过
作
，垂足为
，由题意得：
，
，
故
，
，
所以矩形
的面积
，
．
（2）由（1）及题设知
，
故
，
令
，
，所以
，且
，
，
在区间
上严格减，在区间
上严格增，且
，
当
，即
时，取得最小值
，
此时
，则
，故
，
当
，即
时，取得最大值
，
此时
，则
，故
或
．
2．（24-25 高三上·上海松江·阶段练习）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形
内的空地上植造
一块“绿地
”，规划在
的内接正方形
内种花，其余地方种草，若
，
，种草的面积为
，种花的面积为
，比值
称为“规划和谐度”．
(1)试用
、
表示
、
；
(2)若
为定值，
足够长，当
为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少?
【答案】(1)
，
(2)
为
时，最小值为1
【分析】（1）由题意得
，即
的面积为
，设正方形
的边长
为，由
得
，即可求解；
（2）由
，利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得
，
的面积为
，
设正方形
的边长为，则由
得
，
，
；
（2）由
，当且仅当
等号成立，
即
为
时，最小值为1.
3．（24-25 高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮
汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录
的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
x
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（时）
y
（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用
这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式；
(2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要
有2.25 米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能
在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
【答案】(1)
(2)该船可以1 点进港，5 点离港，或13 点进港，17 点离港，所以卸货最多只能用4 小时时间.
【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出
，
，
，进而可求得
；
（2）依题意
，其中
，解不等式即可.
【详解】（1）根据表中数据可画出如图所示的散点图，
由已知数据结合图象可得
，
，
，
，
故
.
又
，可取
，
所以
；
（2）由题意可得
，化简得
，
所以
，解得
，
，
又
，取
可得：
，取
，可得
，
所以该船可以1 点进港，5 点离港，或13 点进港，17 点离港，
所以卸货最多只能用4 小时时间.
第四部分：典型易错题型
易错点一：函数图象变换过程中忽视了函数名要统一
1．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
所以，为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象向右平移
个单位长度，
故选：D.
2．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【分析】根据诱导公式得
，即可根据平移的性质求解.
【详解】
，所以需要将函数
的图象向左平移
个单位，
故选：A
