第39 讲 复数 · 分类练习（解析卷）
考点一：复数的概念..........................................................................................................................1
考法1：复数的分类与概念辨析...........................................................................................1
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数...............................................................................2
考法3：复数对应点所在象限的判断...................................................................................2
考点二：复数的相等与共轭复数......................................................................................................3
考法4：利用复数相等求参数或复数...................................................................................3
考法5：共轭复数的概念与性质判断...................................................................................3
考法6：实系数一元二次方程的复数根...............................................................................4
考点三：复数的运算..........................................................................................................................5
考法7：复数的代数形式四则运算.......................................................................................5
考法8：解复数方程...............................................................................................................6
考法9：复数运算与共轭、模长的综合...............................................................................6
考法10：复数幂的周期性与数列求和.................................................................................7
考点四：复数的模..............................................................................................................................8
考法11：直接利用代数形式求模.........................................................................................8
考法12：利用复数方程求模.................................................................................................8
考法13：复数模的综合运算与性质.....................................................................................9
考法14：复数模的最值（非几何法）.................................................................................9
考点五：复数的几何意义................................................................................................................10
考法15：复数运算与对应点所在象限...............................................................................10
考法16：复数与平面几何及向量的结合...........................................................................10
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）...................................................................11
考点六：与复数有关的最值问题....................................................................................................12
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值.......................................................................12
考法19：复数新定义问题...................................................................................................12
考点七：复数的三角形式................................................................................................................14
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转.......................................................................14
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用...........................................................................15
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ ）
A. 如果实数a=b，那么a-b+(a+b)i是纯虚数．
B. 实数是复数．
C. 如果a=0，那么z =a+bi是纯虚数．
D. 任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【解析】对于 A 中，若a=b=0，那么a-b+(a+b)i=0∈R，所以 A 错误.
对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确.
对于 C 中，若a=0且b=0时，复数z =a+bi=0∈R，所以 C 不正确.
对于 D 中，由虚数单位i
2=-1，可得 D 错误.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的概念及分类，逐项判定即可求解.
2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数z =a+bi，a,b∈R，且b≠0，下列说法正确
的是（ ）
A. z - ´z是纯虚数
B. z
2是实数
C. z⋅i是虚数
D. 若| z|=1，则z + 1
z 是实数
【答案】AD
【解析】A. z - ´z =a+bi-(a-bi)=2bi为纯虚数，故 A 正确.
B. z
2=(a+bi)
2=a
2-b
2+2abi，只有a=0时，z
2才是实数，故 B 错误.
C. z⋅i=(a+bi)⋅i=-b+ai，只有a≠0时为虚数，a=0为实数，故 C 错误.
D. z + 1
z = z +
´z
z⋅´z = z +
´z
| z|
2 = z + ´z =2a为实数，故 D 正确.
故选：AD.
【点拨】本题考查复数的概念及运算，利用复数代数形式的运算法则逐一判断即可.
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
3.（2025·江西上饶·二模）已知复数z =3a-2+(a-2)i(a∈R)，若z为实数，则| z|=（
）
A. 2
B. 5
C. 4
D. 1
【答案】C
【解析】由复数z =3a-2+(a-2)i(a∈R)为实数，得a-2=0，即a=2，则z = 4，
所以| z|= 4.
故选：C.
【点拨】本题考查复数的概念，根据给定条件求出复数z，进而求出其模.
4.（2025·江西·检测）已知复数z满足| z|=2，若´z为纯虚数，则z =＿＿＿＿＿＿.
【答案】±2i
【解析】设z =a+bi(a,b∈R)，因为´z =a-bi为纯虚数，所以a=0，因为| z|=
❑√b
2=2，所以
b=±2，故z =±2i.
【点拨】本题考查复数的概念及模长公式，设出复数的代数形式，结合条件求解即可.
考法3：复数对应点所在象限的判断
5.（2024·广东·检测）若(2+i)z =i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于
（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】由(2+i)z =i可得，z =
i
2+i =
i(2-i)
(2+i)(2-i) = 1+2i
5
= 1
5 + 2
5 i.
复数z在复平面内对应的点为( 1
5 , 2
5 )，该点横坐标大于0，纵坐标大于0，故位于第一象限.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，先求出复数z的代数形式，再判断其对应点
所在象限即可.
6.（2025·河南·检测）已知复数z ,´z在复平面内对应的点分别为A ,B，则“A在第二象限”
是“B在第三象限”的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设z =a+bi(a,b∈R)，则´z =a-bi.若A在第二象限，则a<0,b>0，则a<0,-b<0，所
以B在第三象限.反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件.
故选：A.
【点拨】本题考查复平面与充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养.
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
7.（2026·河南·检测）已知复数z = a+i
1+2i的实部与虚部相等，则实数a=（ ）
A. -3
B. - 1
3
C. 1
3
D. 3
【答案】B
【解析】z = a+i
1+2i = (a+i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i) = a+2+(-2a+1)i
5
= a+2
5
+-2a+1
5
i.
∵复数z = a+i
1+2i的实部与虚部相等，∴a+2
5
=-2a+1
5
，解得a=- 1
3.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的除法运算及复数相等的概念，化简复数后令实部等于虚部即可求解.
8.（2025·安徽淮北·二模）若3( z + ´z)+ 4( z - ´z)=6+8i，则| z|=（ ）
A. ❑√2
B. ❑√3
C. 2
D. 2❑√2
【答案】A
【解析】设z =a+bi(a,b∈R)，则´z =a-bi，
所以z + ´z =2a, z - ´z =2bi，
由3⋅2a+ 4⋅2bi=6a+8bi=6+8i，所以a=1,b=1，故z =1+i，
所以| z|=
❑√1
2+1
2= ❑√2，
故选：A.
【点拨】本题考查复数相等及复数模的计算，设z =a+bi，代入化简，由复数相等即可得出答案.
考法5：共轭复数的概念与性质判断
9.（2026·广东湛江·检测）设复数z1, z2在复平面内的点关于实轴对称，z1=1+i，则
z1
z2
=（
）
A. -i
B. i
C. -1
D. 1
【答案】B
【解析】∵z1=1+i，z1, z2在复平面内的点关于实轴对称，∴z2=1-i；
∴z1
z2
= 1+i
1-i =
(1+i)
2
(1-i)(1+i) =i.
故选：B.
【点拨】本题考查共轭复数的几何意义及复数的除法运算，根据对称性求出z2即可求解.
10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（
）
A. 若z∈R，则z = ´z
B. 若z
2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z =1-i，则| z|=1
D. 若z
2+1=0，则z =i
【答案】AC
【解析】对于 A 选项，若z∈R，则z = ´z，A 对.
对于 B 选项，若z
2∈R，不妨取z =i，则z
2=-1∈R，但z∉R，B 错.
对于 C 选项，若(1+i)z =1-i，则z = 1-i
1+i =
(1-i)
2
(1+i)(1-i) =-i，故| z|=1，C 对.
对于 D 选项，若z
2+1=0，则z
2=-1，解得z =±i，D 错.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断 A 选项；利用特殊值法可判断
B 选项；利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可判断 C 选项；解方程z
2+1=0，可判
断 D 选项.
考法6：实系数一元二次方程的复数根
11.（2026·山东·一模）已知a,b为实数，虚数1-i是方程x
2+ax +b=0的根，则ab的值为（
）
A. - 4
B. -2
C. 2
D. 4
【答案】A
【解析】因为实系数一元二次方程的虚根成对出现，且1-i是方程x
2+ax +b=0的根，所以方程的
另一个根为1+i.
根据韦达定理可得，(1-i)+(1+i)=-a，解得a=-2.
且(1-i)(1+i)=b，解得b=2.
所以ab=(-2)×2=- 4.
故选：A.
【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根性质及韦达定理，利用共轭根的性质求解即可.
12.（2026·广东茂名·一模）已知关于x的方程x
2+ 4 x +a=0(a∈R)的两根在复平面xOy上对
应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】16
3
【解析】因为方程两根为x =- 4± ❑√4 a-16i
2
，不妨设两根为x1=-2+bi, x2=-2-bi，则两根在复
平面xOy上对应的点分别为P(-2,b),Q(-2,-b).因为△POQ是等边三角形，则|b|= 2❑√3
3
，则
a= 4+b
2= 4+ 4
3 = 16
3 .
【点拨】本题考查实系数一元二次方程的复数根及复数的几何意义，求出方程的根并利用等边三
角形的性质求解即可.
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
13.（2026·河北·检测）已知复数z满足z(1-3i)=3+ 4i，则´z =（ ）
A. - 9
10 - 13
10 i
B. - 9
10 + 13
10 i
C. 3
5 + 4
5 i
D. 3
5 - 4
5 i
【答案】A
【解析】由z(1-3i)=3+ 4i可得，
z = 3+ 4i
1-3i = (3+ 4i)(1+3i)
(1-3i)(1+3i) = 3+9i+ 4i-12
10
=-9+13i
10
=- 9
10 + 13
10 i.
所以´z =- 9
10 - 13
10 i.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，先求出复数z，再写出其共轭复数即可.
14.（多选）（2025·安徽·一模）若z
z +3为纯虚数，则复数z可以为（ ）
A. -12-6i
5
B. -3+2i
2
C. -12+8i
5
D. -3+3i
2
【答案】AD
【解析】设z
z +3 =ai(a∈R ,a≠0)，则z(1-ai)=3ai，
所以z = 3ai
1-ai = 3ai(1+ai)
1+a
2
=-3a
2+3ai
1+a
2
=- 3a
2
1+a
2 + 3a
1+a
2 i.
对于 A 选项，由- 3a
2
1+a
2 + 3a
1+a
2 i=-12-6i
5
，可得{
- 3a
2
1+a
2 =- 12
5
3a
1+a
2 =- 6
5
，解得a=-2，合乎题意.
对于 B 选项，由- 3a
2
1+a
2 + 3a
1+a
2 i=-3+2i
2
，可得{
- 3a
2
1+a
2 =- 3
2
3a
1+a
2 =1
，此时a不存在，不合乎题意.
对于 C 选项，由- 3a
2
1+a
2 + 3a
1+a
2 i=-12+8i
5
，可得{
- 3a
2
1+a
2 =- 12
5
3a
1+a
2 = 8
5
，此时a不存在，不合乎题意.
对于 D 选项，由- 3a
2
1+a
2 + 3a
1+a
2 i=-3+3i
2
，可得{
- 3a
2
1+a
2 =- 3
2
3a
1+a
2 = 3
2
，解得a=1，合乎题意.
故选：AD.
【点拨】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，设出纯虚数，利用复数的运算化简可得出z的表达
式，即可得出合适的选项.
考法8：解复数方程
15.（2025·广东·联考）已知复数z =1-i，则´z( z -i)=（ ）
A. -1+3i
B. 3-i
C. 1+i
D. -1-i
【答案】B
【解析】∵z =1-i，∴´z( z -i)=(1+i)(1-2i)=3-i.
故选：B.
【点拨】本题考查复数的乘法运算及共轭复数的概念，代入计算即可.
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
16.（2026·山东日照·二模）（多选）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（
）
A. 若z∈R，则z = ´z
B. 若z
2∈R，则z∈R
C. 若z
2+1=0，则z =±i
D. 若(1+i)z =1-i，则| z|= ❑√2
【答案】AC
【解析】对于A 选项，若z∈R，则z = ´z，A 对.
对于B 选项，若z
2∈R，不妨取z =i，则z
2=-1∈R，但z∉R，B 错.
对于C 选项，若z
2+1=0，则z
2=-1，解得z =±i，C 对.
对于D 选项，若(1+i)z =1-i，则z = 1-i
1+i =
(1-i)
2
(1+i)(1-i) =-i，故| z|=1，D 错.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的概念与运算，利用共轭复数的定义可判断A 选项；利用特殊值法可判断
B 选项；解方程z
2+1=0，可判断C 选项；利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式可判
断D 选项.
17.（2026·广东佛山·二模）设z1，z2为复数，若z1 z2=i，则（ ）（多选）
A. z1= ´z2
B. | z1|=
1
| z2|
C. | z1+ z2|= ❑√2
D. ´z1⋅´z2=-i
【答案】BD
【解析】对于 A，易知当z1=1，z2=i时，z1 z2=i，但z1≠´z2=-i，故 A 错误.
对于 B，∵z1 z2=i，∴| z1 z2|=| z1|| z2|=|i|=1，则| z1|=
1
| z2| ，故 B 正确.
对于 C，易知当z1= 1
2，z2=2i时，z1 z2=i，此时| z1+ z2|=| 1
2 +2i|=
❑√17
2
≠❑√2，故 C 错误.
对于 D，∵z1 z2=i，∴z1 z2= ´z1⋅´z2=´i=-i，故 D 正确.
故选：BD.
【点拨】本题考查复数的运算及共轭复数、模长的性质，利用特例法可判断 A、C 选项，利用复
数的模长及共轭复数的性质可判断 B、D 选项.
考法10：复数幂的周期性与数列求和
18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知{zn}是由复数组成的数列，zn+1=( zn-3)⋅i
2026（i为虚数单
位），且z1=1+i，则（ ）（多选）
A. z2= 1+3i
2
B. z2+ z3=3
C. | z1- z2+ z3- z4+⋯- z2026|=1013 ❑√5
D. 若| z - z2025|=1，则| z - z2026|的最小值为❑√5-1
【答案】BCD
【解析】化简得到zn+1=( zn-3)⋅i
2026=( zn-3)(i
2)
1013=3- zn.
进一步zn+2=3- zn+1=3-(3- zn)= zn，即数列{zn}周期为2.
已知z1=1+i，计算得z2=3- z1=2-i，z3= z1=1+i，以此类推，奇数项都为1+i，偶数项都为2-i.
选项 A. z2
z1
= 2-i
1+i = (2-i)(1-i)
(1+i)(1-i) = 1-3i
2
≠1+3i
2
，A 错误.
选项 B. z2= z1=1+i，因此z2+ z3=(2-i)+(1+i)=3，B 正确.
选项 .....................................C. z1- z2+ z3- z4+⋯- z2026=( z1- z2)+( z3- z4)+⋯+( z2025- z2026).因为
z1- z2=(1+i)-(2-i)=-1+2i，所以总和为1013(-1+2i)，模长
1013|-1+2i|=1013×
❑√(-1)
2+2
2=1013 ❑√5，C 正确.
选项 D. z2025= z1=1+i，z2026= z2=2-i.| z - z2025|=1表示复平面上以(1,1)为圆心、半径为1 的圆，
| z - z2026|是圆上点到(2,-1)的距离，两定点距离为| z2026- z2025|=
❑√(2-1)
2+(-1-1)
2= ❑√5，因
此| z - z2026|的最小值为❑√5-1，D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数的运算、数列的周期性以及复数模的几何意义，化简递推关系得到数列的
周期性是解题的关键.
19.（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则i+2i
2+3i
3+⋯+10i
10=＿＿＿＿＿＿.
【答案】-6+5i
【解析】由i
10=(i
2)
5=-1，i
11=i
10⋅i=-i，
设S =i+2i
2+3i
3+⋯+10i
10，
则i S =i
2+2i
3+3i
4+⋯+10i
11，
两式相减得，(1-i)S =i+i
2+i
3+⋯+i
10-10i
11= i(1-i
10)
1-i
-10i
11= 2i
1-i +10i
=
2i(1+i)
(1-i)(1+i) +10i= 2i+2i
2
1-i
2 +10i=-1+11i，
所以S =-1+11i
1-i
= (-1+11i)(1+i)
(1-i)(1+i)
=-1-i+11i+11i
2
1-i
2
=-6+5i.
【点拨】本题考查复数幂的周期性及错位相减法求和，利用错位相减法求得(1-i)S =-1+11i，进
而求解即可.
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
20.（2026·安徽·二模）已知复数z1=1+2i，z2=1- ❑√3i，则（ ）
A. | z1|<| z2|
B. | z1|>| z2|
C. z1> z2
D. z1< z2
【答案】B
【解析】虚数不能比较大小，| z1|=
❑√1
2+2
2= ❑√5，| z2|=
❑√1
2+(- ❑√3)
2=2，故| z1|>| z2|.
故选：B.
【点拨】本题考查复数模的计算及虚数不能比较大小的性质.
21.（2026·安徽·检测）已知复数4 -3i与-2+i分别对应向量⃗OA与⃗OB，其中O为坐标原点，
则|⃗AB|=＿＿＿＿＿＿.
【答案】2❑√13
【解析】由题意得，⃗OA =(4 ,-3),⃗OB =(-2,1)，则⃗AB =⃗OB -⃗OA =(-6,4)，则|⃗AB|=2❑√13.
【点拨】本题考查复数的几何意义及向量模长的计算，根据复数写出对应向量的坐标即可求解.
考法12：利用复数方程求模
22.（2026·安徽·检测）若|´z|=| z -2i|，则z的虚部为（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
【答案】A
【解析】设z = x + y i( x , y ∈R)，则´z = x - y i.
由| ´z|=| z -2i|得❑√x
2+(- y )
2=
❑√x
2+( y -2)
2，
即x
2+ y
2= x
2+( y -2)
2，化简得y
2= y
2- 4 y + 4，
所以4 y = 4，解得y =1.
故z的虚部为1.
故选：A.
【点拨】本题考查复数模的计算，设出复数的代数形式，利用模长公式列方程求解即可.
23.（2026·安徽·联考）已知虚数z满足| z|
2⋅(2 ´z -1)=2- 4 z，则|2 z -3|=（ ）
A. 3
B. 4
C. 2❑√3
D. ❑√11
【答案】D
【解析】法一：设复数z =a+bi(a,b∈R)，由已知(a
2+b
2)(2a-1-2bi)=2- 4(a+bi)，
从而{
(a
2+b
2)(2a-1)=2- 4 a
2b(a
2+b
2)= 4 b
，⇒{
a= 1
2
b
2= 7
4
，⇒|2 z -3|= ❑√11；
法二：显然z≠1
2，则2 z -1=- 1
2 | z|
2⋅(2 ´z -1)，则(2 z -1)
2=- 1
2 |2 z -1|
2⋅| z|
2，则| z|= ❑√2；
设2 z -1=bi(b∈R)，从而b
2=7，则|2 z -3|=|-2+bi|= ❑√11.
故选：D.
【点拨】本题考查复数方程求模，设出复数的代数形式，利用复数相等列方程组求解即可.
考法13：复数模的综合运算与性质
24.（2025·河北保定·二模）若非零复数z满足(2-i)z =| z|
2，则´z =（ ）
A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i
【答案】C
【解析】由题意(2-i)z =| z|
2= z⋅´z，因为z≠0，所以´z =2-i.
故选：C.
【点拨】本题考查复数模的性质，利用| z|
2= z⋅´z结合条件即可求解.
25.（2025·江西·模拟）已知复数z满足| z|= ❑√6，则下列结论正确的是（ ）（多选）
A. z可能为1- ❑√6i
B. z ´z =6
C. z的实部与虚部之积不大于 3
D. z在复平面内对应的点可能是(2,❑√2)
【答案】BCD
【解析】当z =1- ❑√6i时，| z|= ❑√1+6= ❑√7，A 错误.易知z ´z =| z|
2=6，B 正确.设
z =a+bi(a,b∈R)，则a
2+b
2=6，因为a
2+b
2≥2ab，所以ab≤3，C 正确.因为2
2+(❑√2)
2=6，所
以 D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数模的性质及基本不等式的应用，利用复数代数形式及模长公式逐一判断即
可.
考法14：复数模的最值（非几何法）
26.（2026·湖北襄阳·二模）已知z1=1+i, z2=-1+i，若w = λ z1+(1- λ)z2,( λ∈R)，则|w |的
最小值为（ ）
A. 1
B. ❑√2
C. 2
D. 1
2
【答案】A
【解析】由题意可得，w = λ(1+i)+(1- λ)(-1+i)= λ+ λi-1+i+ λ - λi=(2 λ -1)+i.
所以|w |=
❑√(2 λ -1)
2+1
2=
❑√(2 λ -1)
2+1.
当λ = 1
2时，(2 λ -1)
2取得最小值0，此时|w |取得最小值❑√0+1=1.
故选：A.
【点拨】本题考查复数的运算及模长的最值，先求出复数w的代数形式，再利用二次函数的性质
求最值即可.
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
27.（2025·广东·检测）在复平面内，1+i
1+2i对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】1+i
1+2i = (1+i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i) = 3-i
1+ 4 = 3
5 - 1
5 i对应的点坐标是( 3
5 ,- 1
5 )位于第四象限.
故选：D.
【点拨】本题考查复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解.
28.（2025·广东·检测）（多选）已知i为虚数单位，复数z满足z = 1+5i
1+i ，则（ ）
A. z的实部为3
B. z的虚部为2i
C. z⋅´z =13
D. ´z在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】由于z = 1+5i
1+i = (1+5i)(1-i)
(1+i)(1-i) = 1+5i-i-5i
2
2
=3+2i，则z的实部为3，z的虚部为2，不
是2i，
由于| z|=|1+5i|
|1+i|
=
❑√1
2+5
2
❑√1
2+1
2 = ❑√13，z⋅´z =| z|
2=13，´z =3-2i在复平面内对应的点(3,-2)在第
四象限.
故选：ACD.
【点拨】本题主要考查复数的概念，复数的基本运算.试题强调基础，注重对基本概念，基本思想
方法的考查.
考法16：复数与平面几何及向量的结合
29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数3- ❑√3i对应的向量绕原点沿顺时针方向旋
转π /3，则旋转后的向量对应的复数为（ ）
A. -2❑√3i
B. 3+ ❑√3i
C. 2❑√3i
D. -3+ ❑√3i
【答案】A
【解析】复数z =3- ❑√3i对应的向量绕原点顺时针旋转π /3，相当于乘以复数
cos(- π
3 )+isin(- π
3 )= 1
2 -
❑√3
2 i.
所以旋转后的复数为(3- ❑√3i)( 1
2 -
❑√3
2 i)= 3
2 - 3 ❑√3
2
i-
❑√3
2 i+ 3
2 i
2= 3
2 -2❑√3i- 3
2 =-2❑√3i.
故选：A.
【点拨】本题考查复数乘法的几何意义，将旋转转化为复数乘法运算即可求解.
30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数z1, z2，其中z1在复平面内对应的点为(4 ,-2)，
则下列结论中正确的是（ ）
A. ´z1=-2+ 4i
B. | z1|=2❑√5
C. 若z1
2= z2
2，则| z1|=| z2|
D. 若| z1+ z2|=0，则´z1=- ´z2
【答案】BCD
【解析】由题意得z1= 4 -2i.
对于 A，´z1= 4 +2i，故 A 错误.
对于 B，| z1|=
❑√4
2+(-2)
2= ❑√20=2❑√5，故 B 正确.
对于 C，若z1
2= z2
2，则| z1
2|=| z2
2|，即| z1|
2=| z2|
2，所以| z1|=| z2|，故 C 正确.
对于 D，若| z1+ z2|=0，则z1+ z2=0，即z1=- z2，两边取共轭得´z1=- ´z2，故 D 正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查复数的几何意义、共轭复数及复数模的性质，根据复数对应的点写出代数形式，
逐一判断即可.
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
31.（2026·江西·检测）若复数z满足| z +1-2i|≤3，则z在复平面内对应的点的坐标不可能
为（ ）
A. (1,3)
B. (0,3)
C. (2,1)
D. (2,2)
【答案】C
【解析】设z =a+bi(a,b∈R)，则| z +1-2i|=
❑√(a+1)
2+(b-2)
2≤3，当a=2,b=1时，不满足
题意，其余均满足题意，故z在复平面内对应的点的坐标不可能为(2,1).
故选：C.
【点拨】本题考查复数模的几何意义，将复数模转化为两点间的距离，代入选项验证即可.
32.（2025·江西·联考）已知方程{
|2+3i- z|=1,
| z - 4 -k |=| z -3i-k |有且仅有一个复数解z，则实数k的
可能取值有（ ）（多选）
A. 1
8
B. 15
8
C. - 19
8
D. 65
4
【答案】AC
【解析】由|2+3i- z|=1，得( x -2)
2+( y -3)
2=1，即复数z对应的点在以(2,3)为圆心，1 为半
径的圆上.
由| z - 4 -k |=| z -3i-k |，得复数z对应的点在点(4 +k ,0)和(k ,3)连线的中垂线上，即直线
8 x -6 y -8k -7=0上.
因为方程组有且仅有一个复数解，所以直线与圆相切，
即
|8×2-6×3-8k -7|
❑√8
2+(-6)
2
=1，即|9+8k |=10，解得k = 1
8或- 19
8 .
故选：AC.
【点拨】本题考查复数模的几何意义及直线与圆的位置关系，将复数方程转化为几何图形，利用
数形结合思想求解即可.
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
33.（2026·湖北黄冈·检测）已知z∈C，且| z -1|=1，i为虚数单位，则| z -2i|的最大值
是（ ）
A. ❑√5+1
B. ❑√5-1
C. 2
D. ❑√5
【答案】A
【解析】| z -1|=1表示以C(1,0)为圆心，r =1为半径的圆，
则圆心 C 到点M (0,2)的距离d =
❑√2
2+1
2= ❑√5，
则| z -2i|的最大值为d +r = ❑√5+1.
故选：A.
【点拨】本题考查复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求| z -2i|的最大值即可.
考法19：复数新定义问题
34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如
z =a+bi+c j+d k的数为四元数，其中a,b,c ,d都是实数，i, j ,k都是虚数单位，这些虚数单
位满足i
2= j
2=k
2=-1.其中z的模为| z|=
❑√a
2+b
2+c
2+d
2，z的共轭四元数记作
´z =a-bi-c j -d k．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：
(a1+b1i+c1 j+d1k )+(a2+b2i+c2 j+d2k )=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2) j+(d1+d2)k.对于四元
数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：ij =- ji =k , jk =-kj =i，ki=-ik = j．
（1）若z =1+2i+3 j+ 4 k，求z⋅´z的值；
（2）已知四元数zn=an+bni+cn j+dnk．
（i）若an=(
1
2)
n
,bn=
1
n
2+n
,cn=sin nπ
2 ,dn= (-1)
n-1
n
，求证：| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|<2；
（ii）若数列{an},{bn},{cn},{dn}均为正项数列，且| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|= L（L为常数），求
证：| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2≥L
2
n ．
【答案】见解析
【解析】（1）由z =1+2i+3 j+ 4 k，得´z =1-2i-3 j - 4 k，
所以z⋅´z =(1+2i+3 j+ 4 k )(1-2i-3 j - 4 k )
=(1-2i-3 j - 4 k )+(2i- 4i
2-6ij -8ik )+(3 j -6 ji -9 j
2-12 jk )+(4 k -8ki-12kj -16k
2)
=1-2i-3 j - 4 k +2i+ 4 -6 k +8 j+3 j+6 k +9-12i+ 4 k -8 j+12i+16
=1+ 4+9+16=30；
（2）（i）由题意z1+ z2+ z3+⋯+ zn
=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)i+(c1+c2+⋯+cn) j+(d1+d2+⋯+dn)k，
则| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|
=
❑√(a1+a2+⋯+an)
2+(b1+b2+⋯+bn)
2+(c1+c2+⋯+cn)
2+(d1+d2+⋯+dn)
2，
又因为an=(
1
2)
n
,bn=
1
n
2+n
= 1
n -
1
n+1 ,cn=sin nπ
2 ,dn= (-1)
n-1
n
，
所以a1+a2+⋯+an=
1
2(1- 1
2
n)
1- 1
2
=1- 1
2
n <1，
b1+b2+⋯+bn=1- 1
2 + 1
2 - 1
3 +⋯+ 1
n -
1
n+1 =1-
1
n+1 <1，
c1+c2+⋯+cn=1+0+(-1)+0+1+0+(-1)+0+⋯+sin nπ
2 =0或1，
d1+d2+⋯+dn=1- 1
2 + 1
3 - 1
4 +⋯+ (-1)
n-1
n
=1-(
1
2 - 1
3)-(
1
4 - 1
5)-⋯+ (-1)
n-1
n
≤1，
故(a1+a2+⋯+an)
2+(b1+b2+⋯+bn)
2+(c1+c2+⋯+cn)
2+(d1+d2+⋯+dn)
2<4，
所以| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|<2；
（ii）由| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|= L，
得(a1+a2+⋯+an)
2+(b1+b2+⋯+bn)
2+(c1+c2+⋯+cn)
2+(d1+d2+⋯+dn)
2= L
2，
又因为(a1+a2+⋯+an)
2
=a1(a1+a2+⋯+an)+a2(a1+a2+⋯+an)+⋯+an(a1+a2+⋯+an)
=(a1
2+a1a2+⋯+a1an)+(a1a2+a2
2+⋯+a2an)+⋯+(a1an+a2an+⋯+an
2)
≤(a1
2+ a1
2+a2
2
2
+⋯+ a1
2+an
2
2 )+(
a1
2+a2
2
2
+a2
2+⋯+ a2
2+an
2
2 )
+⋯+(
a1
2+an
2
2
+ a2
2+an
2
2
+⋯+an
2)
=n(a1
2+a2
2+⋯+an
2)，①
当且仅当a1=a2=⋯=an时取等号，
同理(b1+b2+⋯+bn)
2≤n(b1
2+b2
2+⋯+bn
2)，②
(c1+c2+⋯+cn)
2≤n(c1
2+c2
2+⋯+cn
2)，③
(d1+d2+⋯+dn)
2≤n(d1
2+d2
2+⋯+dn
2)，④
由①+②+③+④得
(a1+a2+⋯+an)
2+(b1+b2+⋯+bn)
2+(c1+c2+⋯+cn)
2+(d1+d2+⋯+dn)
2
≤n(a1
2+a2
2+⋯+an
2)+n(b1
2+b2
2+⋯+bn
2)+n(c1
2+c2
2+⋯+cn
2)+n(d1
2+d2
2+⋯+dn
2)，
即n(a1
2+a2
2+⋯+an
2)+n(b1
2+b2
2+⋯+bn
2)+n(c1
2+c2
2+⋯+cn
2)+n(d1
2+d2
2+⋯+dn
2)≥L
2，
又| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2
=(a1
2+b1
2+c1
2+d1
2)+(a2
2+b2
2+c2
2+d2
2)+⋯+(an
2+bn
2+cn
2+dn
2)
=(a1
2+a2
2+⋯+an
2)+(b1
2+b2
2+⋯+bn
2)+(c1
2+c2
2+⋯+cn
2)+(d1
2+d2
2+⋯+dn
2)，
所以n(| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2)≥L
2，
所以| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2≥L
2
n .
【点拨】本题考查新定义运算及不等式的证明，理解四元数的运算规则，利用基本不等式放缩是
解题的关键.
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数z1=cosα +isinα，z2=cos β -isin β，
z3=cos(α + β)+isin(α + β)，z4=1，复数z1, z2, z3, z4在复平面内对应的点分别为P1, P2, P3, A，
则下列说法中正确的是（ ）
A. |⃗O P1|=|⃗O P2|
B. | z1- z4|=| z2- z4|
C. ⃗OA ⋅⃗O P3=⃗O P1⋅⃗O P2
D. ⃗OA ⋅⃗O P1=⃗O P2⋅⃗O P3
【答案】AC
【解析】z1=cosα +isinα，z2=cos(- β)+isin(- β)，z3=cos(α + β)+isin(α + β)，z4=1.
A：|⃗O P1|=| z1|=
❑√cos
2α +sin
2α =1，|⃗O P2|=| z2|=1，所以|⃗O P1|=|⃗O P2|，A 正确.
B：
| z1- z4|=|cosα -1+isinα |=
❑√(cosα -1)
2+sin
2α = ❑√2-2cosα .| z2- z4|=
❑√(cos β -1)
2+(-sin β )
2= ❑√2-2co
.两者不一定相等，B 错误.
C：⃗
OA ⋅⃗O P3=1⋅cos(α + β)+0⋅sin(α + β)=cos(α + β).⃗O P1⋅⃗O P2=cosα cos(- β)+sin α sin(- β)=cosα cos β -
.所以⃗OA ⋅⃗O P3=⃗O P1⋅⃗O P2，C 正确.
D：⃗
OA ⋅⃗O P1=cosα .⃗O P2⋅⃗O P3=cos(- β)cos(α + β)+sin(- β)sin(α + β)=cos β cos(α + β)-sin β sin(α + β)=co
.两者不一定相等，D 错误.
故选：AC.
【点拨】本题考查复数的三角形式及向量的数量积，将复数转化为向量坐标，利用向量运算逐一
判断即可.
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：
(cosθ+isinθ)
n=cosnθ+isinnθ，设z =cos π
3 +isin π
3 .
（1）证明：| z1 z2|=| z1|| z2|；
（2）若ω= z + a
z ∈R，求a的值；
（3）证明：| z
2025- z
2026|=| z
2026- z
2027|.
【答案】见解析
【解析】（1）设z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则z1 z2=r1(cosθ1+isinθ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)，
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]，
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，
则| z1 z2|=r1r2，而| z1|=r1,| z2|=r2，
所以| z1 z2|=| z1|| z2|；
（2）已知z =cos π
3 +isin π
3 ，
则1
z =
1
cos π
3 +isin π
3
=
cos π
3 -isin π
3
cos
2 π
3 +sin
2 π
3
=cos π
3 -isin π
3 ，
所以ω= z + a
z =cos π
3 +isin π
3 +a(cos π
3 -isin π
3)，
=(1+a)cos π
3 +(1-a)isin π
3 ，
因为ω∈R，所以(1-a)sin π
3 =0，即1-a=0，解得a=1；
（3）由棣莫弗定理公式(cosθ+isinθ)
n=cosnθ+isinnθ，
得z
2025=(cos π
3 +isin π
3 )
2025=cos 2025 π
3
+isin 2025 π
3
，
=cos675 π +isin675 π =-1；
z
2026=(cos π
3 +isin π
3 )
2026=cos 2026 π
3
+isin 2026 π
3
，
=cos(675 π + π
3)+isin(675 π + π
3)=- 1
2 -
❑√3
2 i；
z
2027=(cos π
3 +isin π
3 )
2027=cos 2027 π
3
+isin 2027 π
3
，
=cos(675 π + 2π
3 )+isin(675 π + 2π
3 )= 1
2 -
❑√3
2 i，
则| z
2025- z
2026|=|- 1
2 +
❑√3
2 i|=
❑√(- 1
2)
2
+(
❑√3
2 )
2
=1，| z
2026- z
2027|=|-1|=1，
所以| z
2025- z
2026|=| z
2026- z
2027|.
【点拨】本题考查复数的三角形式及棣莫弗定理的应用，利用棣莫弗定理化简复数的幂是解题的
关键.
