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重难点专题01 认识实数
模块一、无理数
重难点一、无理数
区分核心定义：无限不循环小数叫做无理数。常见三类：开方开不尽的数、
含 π 的式子、特定无限不循环小数。注意有限小数、无限循环小数属于有理数，不要误
认为带根号就是无理数。判断题优先化简，化简后再判断类别。
1．（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．“常压下水的沸点是100 C
”中的100
B．“氧气在空气中的占比约为1
5 ”中的1
5
C．“月球公转周期27 天”中的27
D．“圆周率π”中的π
2．（25-26 七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（ ）
A．无理数是无限小数
B．0.202202220…（相邻两个0 之间依次多一个2）是无理数
C．无理数是带根号的数
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D．无理数不可能是分数
3．（25-26 八年级上·山西太原·期中）无理数和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．下列
四个数中，是无理数的是（ ）
A．0.618
B．
1
11
−
C．0.7
D．3
4．（25-26 七年级下·河北沧州·期末）关于8 的叙述，下列不正确
．．．的是（ ）
A．8 是无理数
B．在数轴上可以找到表示8 的点
C．2
8
3
D．周长为8 的正方形的边长是8
5．（25-26 七年级下·北京·期末）有下面四个推断：
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数．
上述推断中，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，以1 个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一
周，圆上的一点由原点O 到达点O．点O对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________．
7．（24-25 八年级上·山西临汾·期中）综合与实践
如图1，把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，所得的4 个直角三角形拼成一个面积为2 的大正方
形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
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(1)图2 中A、B 两点表示的数分别为______，_____．
(2)请你参照上面的方法：
①把图3 中5 1
的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3 中画出
．．裁剪线，并在图4 的正方形网
格中画出
．．拼成的大正方形，该正方形的边长a =_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空
隙）
②在①的基础上，参照图2 的画法，在数轴上用点M 表示数1 a
+
．（要求：尺规作图并保留作图痕
迹，不写作法．）
8．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图1、图2、图3 均为4 4
网格，每个小正方形的边长为
1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求．
(1)在图1 中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数；
(2)在图2 中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数；
(3)在图3 中，画出的直角三角形三边长都是无理数．
重难点二、无理数的大小估算
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采用 “夹逼法” 估算无理数，先找到相邻两个整数平方，锁定被开方数区
间，确定无理数整数部分；求小数部分用原无理数减去整数部分。比较同类根式可比较被
开方数，估算后能完成取值、整数部分相关题型。
1．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与13 最接近的是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）
A．15
B．5
C．7
D．10
3．（21-22 七年级下·广西南宁·期中）无理数6 位于（ ）之间．
A．1和2
B．2 和3
C．3和4
D．4 和5
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示5 的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
5．（25-26 七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足
5
1
2
MN
BN
BM
NB
BM
BE
−
=
=
=
．人们把
5
1
2
−这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计
5
1
2
−的值应在
（ ）
A．0.1 和0.5 之间 B．0.5 和1 之间
C．1 和2 之间
D．2 和3 之间
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6．（2026·云南昆明·二模）中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金
比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为
5
1
2
−，估计
5
1
2
−的值应该在（ ）
A．0 和0.3之间
B．0.3和0.6 之间
C．0.6 和0.9 之间
D．0.9 和1.2之间
7．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）人教版七年级下册数学课本第58 页的“阅读与思考”：为什么说2
不是有理数．
(1)【阅读与思考】假设2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p 和q ，使得
2
p
q
=
，两边平方得
2
2
p
q
=
，即
2
p = ①；
故
2
p 是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以p 也是偶数．
设
2
p
s
=
（s是正整数），代入①得，
2
q =________
所以q 也是偶数，则p 和q 都是偶数，不互质．这与假设p 和q 互质矛盾，
这个矛盾说明，2 不能写成分数的形式，即2 不是有理数．
(2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明3 不是有理数；
(3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为
2
520cm ，长与宽的比为5: 4，小明同学想从中裁出半径为12.5cm
的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由．
8．（2022 七年级·湖南长沙·竞赛）设
ax
b
y
cx
d
+
=
+
，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数． 求证：
(1)当bc
ad
=
时，y 是有理数；
(2)当bc
ad
时，y 是无理数．
9．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究39 的近似值，过程如
下：
∵面积为39的正方形的边长是
39 ，且6
39
7
，
∴
39 可以设为以下两种形式：
①
(
)
39
6
0
1
a
a
=
+
；②
(
)
39
7
0
1
b
b
=
−
．
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小谢展示了利用②探究近似值的过程．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图．
(
)
2
2
39
2 7
7
S
b b
b
=
+
−
+
=
正方形
，
整理得
2
39
14
49
b
b
+
−
=
，
∵0
1
b
，
∴
2
b 较小，可忽略不计．
∴14
49
39
b
−
，
49
39
5
14
7
b
−
=
，
∴
5
39
7
6.29
7
−
．
【方法运用】
(1)请写出
27 在哪两个连续整数之间：
27
；
(2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究
27 的近似值．
10．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）若
0
a
b
−
，则a
b
；若
0
a
b
−
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
−
，则
a
b
，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小．
例如：比较15
2
−
与2 的大小．
9
15
16
，
3
15
4
．
15
2
2
15
4
0
−
−
=
−
．
15
2
2
−
．
请根据上述方法解答下列问题：
(1)比较2
35
−
与4
−的大小；
(2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为
2
5m ，第二块面积为
2
3m ，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多
出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：
2
1.7
2.89
=
，
2
1.75
3.0625
=
，
2
2.2
4.84
=
，
2
2.25
5.0625
=
）
11．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
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同学们，我们来学习用平方差公式：(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
+
=
−
近似计算算术平方根的方法．
例如求
40 的近似值．
因为
2
2
2
6
( 40)
7
，所以6
40
7
．
则有以下两种估算方式：
方式一：
因为
2
40
6
4
=
+
，
所以
2
40
6
4
−
=
，
即(
)(
)
40
6
40
6
4
+
−
=
，
得
4
40
6
40
6
−
=
+
，
故
4
40
6
40
6
=
+
+
4
19
6
6.33
6
6
3
+
=
+
．
方式二：
因为
2
40
7
9
=
−
，
所以
2
7
40
9
−
=
，
即(
)(
)
7
40
7
40
9
+
−
=
，
得
9
7
40
7
40
−
=
+
，
故
9
40
7
7
40
=
−
+
9
89
7
6.36
7
7
14
−
=
+
．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的
40 的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算
66 的近似值（结果保留2 位小数）．
12．（20-21 七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a 的最大整数；用{a}表示a 减去[a]所得的差．
例如：[ 3 ]＝1，[2.2]＝2，{ 3 }＝3 ﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[ 7 ]＝ {5﹣7 }＝ ；
（2）若[
x ]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280 的非负数，且满足{
0
y }＝0．我们规定：y1＝[
0
y ]，y2＝[
1y ]，y3＝
[
2
y ]，…，以此类推，直到yn 第一次等于1 时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时
y0＝ ，n＝ ．
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模块二、实数
重难点一、实数概念理解
有理数与无理数统称为实数。有理数能够写成两个整数之比，无理数不能。
所有实数都可以写成小数形式；做题警惕误区，例如带根号的数不一定是无理数。实数延
续有理数的运算规则，可进行加、减、乘、除、乘方运算。
1．（25-26 八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7 位数
字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（ ）
A．它是一个有理数
B．数轴上没有能表示它的点
C．它是一个实数
D．它可以表示成分数形式
2．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）设实数, , , ,
a b c d e 满足a
b
c
d
e
，且任意两数之和共10
个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则e =______．
3．（第十二章实数【专项训练】-2020-2021 学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））判断正
误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
4．（25-26 八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n 是有理数，且(
)
5
2
2 5
7
0
m
n
+
−
+
=
，mn 的值为
_______．
5．（23-24 八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各
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自把这个数按照下面的程序进行计算．
(1)当输入的实数x 为1
−时，求输出的值是多少．
(2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确
吗？请判断并说明理由．
6．（25-26 七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B 两点分别表示实数a 和b，且满足
(
)
2
3
5
0
a
b
+
+
−
=
．
(1)a =______；b = ______；
(2)点P 以每秒1 个单位长度的速度从点A 向右匀速运动，多长时间它与点B 相距2 个单位长度？
7．（21-22 八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：
2,
2,2 2,3 2,5 2,8 2 ，___，
_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12 个实数分别是_____．
重难点二、实数的分类
实数有两种分类方式：按定义分为有理数、无理数；按正负分为正实数、
0、负实数。分类前务必先化简数字，再归类。0 是特殊实数，既不是正数也不是负数。
整理数集题目，逐一化简筛选，避免重复、漏写数字。
1．（25-26 八年级上·安徽宿州·阶段检测）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在
4
5
−
，6 ，0，16 ，1.732
−
，
8
−，2 2 ，0.33
，0.505005000鬃?这些数中，无理数的个数有______
个．
2．（2022·河南郑州·模拟预测）数
4 ，，22
7 ，－1
3 ，3 2 ，
¨
0.31，0.301300130001…（3 和1 之间依次
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多一个0）中，无理数的个数为______．
3．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内：
3 2 ，
3
2
−
，3
8
−，0.5，2π，3.14159265，
25
−−
，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：25 ，
7
−
，22
7 ，0，π ，
3.14
−
，2.9，1.3030030003…（相邻两个3 之间依次多一个0）．
（1）整数：{ …}；
（2）分数：{ …}；
（3）无理数：{ …}．
5．（25-26 八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①1
2 ，②5.2，③0，④
π
3.14
−
，⑤22
7 ，⑥
22
−
，⑦
5
3
−
，⑧2005，⑨0.030030003
−
（每两个3 之间的0 依次多一个）
(1)整数集合：{____________…}；
(2)分数集合：{____________…}；
(3)负有理数集合：{____________…}；
(4)无理数集合：{____________…}．
6．（25-26 七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排
合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下：
3
7 ,0,0.3,π, 8,2026,
27,0.101001
3
−
−
（每两个“1”之间依次多一个“0”）．
(1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位；
(2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内．
“整数”席：（ ）；
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“分数”席：（ ）．
7．（25-26 七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
7
8
−
，3 16 ，π
3 ，3.14，
3 8
−
，0，0.64 ，
3
7
−
，5.123
−
（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
8．（25-26 八年级上·福建漳州·期末）已知代数式
2
3
n +
（n 为正整数）．
(1)当
1
n = 时，
2
3
n +
= _____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当
2
n =
时，
2
3
n +
=
_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；
(2)
2
3
n +
可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？
重难点三、实数的性质
实数范围内相反数、倒数、绝对值规则和有理数一致。实数a 相反数为\(-
a\)；非 0 实数才有倒数；正数绝对值是自身，负数绝对值是相反数。化简含根号绝对值
式子，先判断根号内式子正负，再去掉绝对值符号完成化简。
1．（25-26 七年级下·重庆·期中）对实数a 进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为
第一次操作，记结果为
1a ，将第一次操作的结果
1a 按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记
为
2a ，以此类推，重复操作．记
1
2
3
n
n
M
a
a
a
a
=
+
+
+
+
，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当
1
a = 时，
3
43
a =
，
5
347
M =
；
②若
5
6
10a
M
=
，则
475
97
a
−
=
；
③若a 为整数，则
2026
M
是偶数．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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2．（25-26 七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值：
(1) 3
27
−
．
(2) 5
2
−
．
．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）已知实数a 、b 互为倒数，实数c 、d 互为相反数，实数x 的绝对值
为
2 ，求
2
1
2
5
c
d
ab
x
+
+
+
的值．
4．（第02 讲实数（知识梳理 3 课本习题典例 8 题型 过关检测）-【暑假自学课】2025 年新八年级数学
暑假提升精品讲义（华东师大版2024））判断下列说法是否正确：
(1)无理数的平方一定是正数；
(2)两个无理数的积仍为无理数；
(3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数：
(1)小于37 的所有正整数；
(2)大于
10
−
且小于10 的所有整数；
(3)绝对值小于6 的所有整数．
6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图是三个4 5
的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段
AB 的两个端点就是格点．
(1)线段AB 的长度为________；
(2)请在图中找到所有满足条件的格点C ，连接BC ，使得
13
BC =
；
(3)在（2）的基础上，连接AC ，计算
ABC
S
的面积．
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7．（25-26 八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
+
+
及
2
2
2
a
ab
b
−
+
叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关
键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数
式值的最小（或最大）问题．
例如：
(
)
2
2
2
2
3
2
1
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
x +
，
∴(
)
2
1
2
2
x +
+
．
则这个代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是_____，这时相应的x 的值是_______．
【尝试应用】
(2)求代数式
2
16
20
x
x
−
+
+
的最小（或最大）值，并写出相应的x 的值，
【拓展提高】
(3)已知a，b，c 是ABC
的三边长，满足
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是ABC
中最长的边，求c 的取值范
围．
8．（25-26 八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例
说明．
(1)已知两个实数a，b，则a
b
a
+
．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
9．（23-24 七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，
(
0)
0(
0)
(
0)
x x
x
x
x x
−
=
=
．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x−
=
，分别求得= 1
x −，
2
x =
（称1 2
−，分别为|
1|
x +
与
|
2 |
x −
的零点值）．在实数范围内，零点值= 1
x −和
2
x =
可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情
况：
①
1
x
−
；
②
1
2
x
−
；
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③
2
x
．
从而化简代数式|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
可分以下3种情况：
①当
1
x
−
时，原式
(
1)
(
2)
2
1
x
x
x
−
−
−
=
+
−
=
+ ；
②当1
2
x
−
时，原式
1 (
2)
3
x
x−
=
+ −
=
；
③当
2
x
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
−
−
=
+ +
=
．
综上讨论，|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
2
1(
1)
3( 1
2)
2
1(
2)
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出|
2 |
x +
和|
3|
x −
的零点值；
(2)化简|
2|
|
3|
x
x
+
+
−
．
重难点四、实数与数轴
核心结论：实数和数轴上的点一一对应。任意实数都能在数轴找到对应点，数轴任意
一点对应唯一实数。可借助勾股定理在数轴上画出无理数对应的线段；利用数轴位置直观
判断实数大小，右边数字恒大于左边数字。
1．（2026·江苏南京·三模）实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，若
1
a
b
，则下列四个点中，表示
原点的可能是（ ）
A．P
B．Q
C．R
D．S
2．（25-26 八年级下·天津宝坻·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A 作直线l
OA
⊥
，在l 上
取点B，使
2
AB =
，以点O 为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C 表示的数是（ ）
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A．13
B．
13
−
C．13
3
−
D．
13
3
-
-
3．（24-25 八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B ，C ，D 是4 4
的正
方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M ，N 两点，则N 点所表示的数为
（ ）
A．1
10
−
B．1
10
+
C．10
D．10
1
−
4．（21-22 八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A 表示的实数是______．
5．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在Rt OAB
中，
90
OAB
=
，
2
OA =
，
1
AB = ，以点
O为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的数是________．
6．（25-26 七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为1的小正方形分别沿
对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题：
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(1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的
对角线长为______；
(2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2 ，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1
所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于A、B 两点，那么A点表示的数为_______；
(3)请你参照上面的方法：把图3中5 1
的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3 中画出裁剪线，
并在图4 的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为2 宽为1的长方形的对
角线长为a =________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
(4)参照图2 的画法，在（3）的基础上，画出数轴上表示数a 以及
3
a −的点M 、N ．（图中保留必要的
作图痕迹）．
7．（25-26 七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如
何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索：
探索“如何在数轴上表示无理数”
工具准备：两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等．
操作一：如图1，把两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为2 的大
正方形．
(1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______．
操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1 个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正
方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点A，点B ．
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(2)点A表示的数为______；点B 表示的数为______．
操作三：在上面数轴上用记号笔标出点A的位置，表示数2 的点记为M ，原点记为点O，然后将数轴的
正半轴剪下，得到如图3 的“纸条”．
(3)OA =______；MA=______；
(4)如图4，将“纸条”沿着点M 对折，则点A的对应点
1A 表示的数为______．
8．（25-26 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为1 个单位长度的圆片上有一点Q 与数轴上的原
点重合．（所有结果均保留π ）
(1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q 到达点Q，设点Q表示的数为a ．求
a 的值：
(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
2
+ ，1
−，3
+ ，4
−，3
−．
①第几次滚动后，点Q 距离原点最近？第几次滚动后，点Q 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q 运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？
9．（25-26 八年级下·全国·周测）解答下列问题：
(1)在图①所示的数轴上作出表示
29 的点，并写出作法．
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(2)如图②，在ABC
中，
90
C
=
．若D 是BC 的中点，DE
AB
⊥
于点E ，求证：
2
2
2
AE
AC
BE
=
+
．
10．（25-26 八年级上·广东清远·阶段检测）如图，正方形ABCD的面积为7 ，顶点A在数轴上且表示的
数为1，点E 在数轴上，且DE
AE
⊥
，
3
DE =
，点F 是数轴上的一个动点．
(1)线段AE 的长为___________，点E 所表示的数为___________；
(2)当点F 表示的数为多少时，
ABF
△
和DAE
全等？请说明理由；
(3)若
ABF
△
是等腰三角形，则点F 表示的数为多少？直接写出所有符合条件的答案．
11．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2 个单位长度到达点B，
点A 表示
3
−
，设点B 所表示的数为m．
(1)实数m 的值是____________
(2)求
1
1
m
m
+ −
−
的值
(3)在数轴上还有C、D 两点分别表示实数c、d，且实数c 满足
2
2
(
2)
(3
2 )
1
c
c
−
+
−
= ，实数d 表示面积
为27 的正方形的边长，小蚂蚁从点C 出发，爬到点D 后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每
秒3 个单位长度，请判断第2 秒结束时，小蚂蚁在点B 的左侧还是右侧？并写出判断过程．
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重难点五、实数的大小比较
常用方法：数轴比较法、平方比较法、作差法。正数大于 0，负数小于 0；
两个负实数，绝对值大的数值更小。对于带根号实数，可同时平方去掉根号比较；多个实
数排序，先区分正负，再对同类数字估算大小。
1．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0
B．4
−
C．5
D．3.14
2．（2022·浙江台州·模拟预测）大于2 3
−
且小于3 2 的整数的个数有（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部A处，它想到
箱体顶部B 点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（ ）．
A．10
B．2 29
C．2 37
D．14
4．（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期末）在
3
−
，2 ，1
−，0 中，最小的数是____________．
5．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）比较大小：67 ________8．（填“”“”或“= ”）
6．（2022·陕西·模拟预测）比较大小：
401
5
4
−
_____3.75(填，= ，)
7．（25-26 七年级上·河南鹤壁·期中）已知a
b
c
d
，，，四个数满足
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1
1
1
1
2023
2024
2025
2026
a
b
c
d
=
=
=
−
+
−
+
，则a
b
c
d
，，，之间的大小关系是____________．（用“”连
接）
8．（25-26 七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为
2
1dm
的小正方形沿着虚线剪开，将所
得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为
2
2 dm
的大正方形，因此，可得大正方形的边长为
2 dm
．启发：把两个长为3、宽为2 的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2 所示
的一个正方形．
(1)求k 的值；
(2)比较
1
2
k −和3
2 的大小．
9．（25-26 八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》：
学习笔记
问题1：
已知ABC
的三边长分别为2 ，
2 2 ，10 ，求ABC
的面积．
思考1：
问题2：
在实数范围内因式分解：
(
)
2
0,
0
x
y
xy x
y
+
−
．
思考2：
2
x
y
xy
+
−
(
)
(
)
2
2
2
x
y
x
y
=
+
−
(
)
2
x
y
=
−
．
思考3：
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x
y
+
与2 xy 的大小关系是确定的．
请与小明一起思考，完成下列问题：
(1)写出“问题1”的解答过程；
(2)①“思考3”中x
y
+
与2 xy 的大小关系是________；
②当
0
x
，
0
y
时，xy与
2
2
x
y
+
的大小关系是________，说明理由；
(3)根据上面的活动经验，完成问题：
已知DEF
的三边长分别为
2
2
m
n
+
，
2
2
9m
n
+
，
(
)
2
2
2
0,
0
m
n
m
n
+
，且
10
m
n
+
=
．求DEF
面
积的最大值．
重难点六、勾股定理与无理数
利用勾股定理构造长度为无理数的线段，在网格或者数轴作图题高频使用。
以整数长度为直角边，斜边常为无理数；作图时借助方格画出直角三角形，再用圆规平移
线段到数轴上，实现无理数的数轴定位。
1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）如图．点A 在数轴上表示的数是1
−，点C 在数轴上表示的数是1，
线段BC 与数轴垂直，且
1
BC = ．以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D 表示的数是
（ ）
A．5
B．3
C．5
1
−
D．5
2
−
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，若边长为1 的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴
上点A所表示的数为x ，则x 为（ ）
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A．2
B．
2
−
C．1.5
D．1.5
−
3．（25-26 八年级下·湖北黄石·期中）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数
为边，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．5 ，12 ，13
C．6，8，10
D．7，24，25
4．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上，点A、B 表示的数分别为0、2，BC
AB
⊥
于点B，且
1
BC = ．连接AC ，在AC 上截取CD
BC
=
，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧，交线段
AB 于点E，则点E 表示的实数是（ ）
A．3
1
−
B．1
C．5
3
−
D．5
1
−
5．（23-24 八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点A表示的数为1，点B ，C ，D 在4 4
的正方形网格
的格点（网格线的交点）上．以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M ，N 两点，则点N 表示
的数为____________．
6．（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2 表示在数轴上点
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1A 处，记
1A 右侧最近的整数点为
1
B ，以点
1
B 为圆心，
1
1
A B 为半径画半圆，交数轴于点
2
A ，记
2
A 右侧最近
的整数点为
2
B ，以点
2
B 为圆心，
2
2
A B 为半径画半圆，交数轴于点
3A ，则点
3A 表示的实数为_____．（结
果保留根号）
7．（21-22 八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题：
(1)写出两个无理数，使它们的差为5
−，并写出具体算式；
(2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1 的点为圆心，正方形对角线长为半径画
弧，交数轴于点A，则点A 表示的数是 ；
(3)有理数a、b、c 在数轴上的位置如图1 所示，试化简：
(
)
2
a
c
a
b
c
a
b
b
a
+
−
+
+
−
−
−
−
．
8．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）图1，图2 均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小
正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形．
(1)在图1 中画一条长度等于10 的线段．
(2)只用无刻度的直尺在图2 中，画一格点E ，使得
45
ABE
=
．
9．（23-24 七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1 所示将两个边长为1 的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠
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的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数2 ；按照图2 和图3 所示的两种剪拼方法将一个边长为1
的正方形和一个边长为2 的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示
2
的点，关键是在数轴上构造线段
2
OA
OA
=
=
．如图4，正方形的边长为1 个单位长度，以原点O 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴
上分别交于点A，A，则点A 对应的数为2 ，点A对应的数为
2
−
．类似的，我们可以在数轴上找到
表示任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4 中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB 与OB，其
中O 仍在原点，点B，B分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB 与OB的长得到点B，B所表示的无理
数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
任务：
(1)材料1 中，无理数m 是________，画图确定表示m 的点M；
(2)如图5，点B 表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)数轴上分别标出表示数-0.5 以及3
m
−+
的点，并比较它们的大小．
(4)若
3
a
m
= −+
，
2
b
m
=
−
，求代数式
0.5
2
a
b
+
−
−
的值，并在数轴上表示对应的点．
