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重难点专题11 反比例函数的实际应用
重难点一 行程问题
1.先根据路程固定公式s = vt判定速度v与时间t成反比例关系，
2.列出反比例解析式v =
s
t，再结合题干已知数值代入求解未知量，
3.最后检验结果是否符合速度、时间的现实正数取值范围，遇到提速、延时类对比题型，可设变化后的
量为未知数建立等式对比计算。
1．李老师家到学校的路程为3 千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单
位：分钟），最快需要30 分钟，最慢需要50 分钟．
(1)以x 为自变量，求函数y 的解析式，并求出x 的取值范围；
(2)若点P 在该函数图象上，O 为坐标原点，作𝑃𝐴⊥𝑥轴于点A，𝑃𝐵⊥𝑦轴于点B，求四边形𝑂𝐴𝑃𝐵的面
积．
【答案】(1)函数解析式为𝑦=
3000
𝑥，自变量𝑥的取值范围是60 ≤𝑥≤100；
(2)四边形𝑂𝐴𝑃𝐵的面积为3000．
【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范
围；
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（2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积．
【详解】（1）解：3千米= 3000米，
根据路程公式：路程=速度×时间，可得𝑥𝑦= 3000，
整理得函数解析式为𝑦=
3000
𝑥，
由题意可知30 ≤𝑦≤50，
当𝑦= 30时，𝑥=
3000
30 = 100，
当𝑦= 50时，𝑥=
3000
50 = 60，
∵反比例函数𝑦=
3000
𝑥在𝑥> 0时，𝑦随𝑥增大而减小，
∴𝑥的取值范围是60 ≤𝑥≤100；
（2）解：设点𝑃的坐标为(𝑎, 𝑏)，
由𝑃𝐴⊥𝑥轴，𝑃𝐵⊥𝑦轴，可得四边形𝑂𝐴𝑃𝐵是矩形，
矩形面积𝑆= 𝑂𝐴⋅𝑃𝐴= 𝑎⋅𝑏，
∵点𝑃在函数𝑦=
3000
𝑥的图象上，
∴𝑆= 𝑎𝑏= 3000，
即四边形𝑂𝐴𝑃𝐵的面积为3000．
2．小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80 千米/小时的平均速度用6 小时到达目的地，之
后他按原路返回甲地．
(1)求行驶时间𝑡（小时）与汽车的平均速度𝑣（千米/小时）之间的函数关系式；
(2)根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120 千米/小时，最低车速不得低于60 千米/小
时．求小王返程行驶时间的取值范围．
【答案】(1)𝑡=
480
𝑣
(2)小王返程行驶时间的取值范围为4 ≤𝑡≤8
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
（1）根据路程不变得到速度与时间的函数关系式；
（2）根据速度的范围计算返程时间．
【详解】（1）解：由题意得𝑡=
80×6
𝑣
=
480
𝑣，
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答：行驶时间𝑡（小时）与汽车的平均速度𝑣（千米/小时）之间的函数关系式为𝑡=
480
𝑣；
（2）解：对于函数𝑡=
480
𝑣，𝑘= 480 > 0，𝑡随𝑣的减小而增大，
当𝑣= 120，𝑡= 4，
当𝑣= 60时，𝑡= 8，
∴4 ≤𝑡≤8．
答：小王返程行驶时间的取值范围为4 ≤𝑡≤8．
3．超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/
小时（汽车行驶速度不超过100 千米/小时）．根据经验，v，t 的一组对应值如下表：
v（千米/小时）
60
75
80
90
t（小时）
5.00
4.00
3.75
10
3
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
(2)汽车上午7：30 从超越公司出发，能否在上午10：00 之前到达新时代市场？请说明理由．
【答案】(1)𝑣=
300
𝑡(𝑡≥3)
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）根据表格中数据，可知𝑣是𝑡的反比例函数，设𝑣=
𝑘
𝑡(𝑘≠0)，利用待定系数法即可求解；
（2）上午7: 30出发，到上午10: 00之前，可知时间为2.5小时，根据（1）中的函数关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵75 × 4 = 300，80 × 3.75 = 300，即每一对𝑣与𝑡的对应值乘积为一定值，𝑡在减小，𝑣
在增大，
∴𝑣与𝑡成反比关系，设𝑣=
𝑘
𝑡(𝑘≠0)，
把𝑣= 75，𝑡= 4.00代入反比例函数得，𝑘= 300，
∴𝑣与𝑡的表达式为𝑣=
300
𝑡，
∵汽车行驶速度不超过100千米/小时，
∴
300
𝑡≤100，
∴𝑡≥3，
∴平均速度𝑣（千米/小时）关于行驶时间𝑡（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为𝑣=
300
𝑡(𝑡≥3)．
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（2）解：∵10 −7.5 = 2.5（小时），
∴𝑣=
300
2.5 = 120（千米/小时），
∵汽车行驶速度不超过100千米/小时，120 > 100，
∴不能．
4．今年是红军长征胜利90 周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8: 00从学校出发步行到
长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度𝑣（km ℎ
⁄ ）与步行全程所用时间𝑡（h）的函数关系如图
1 所示．
(1)求𝑣关于𝑡的函数表达式．
(2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少？
(3)学生出发0.25h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、
发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程𝑦（km）与学生步行时间𝑡（h）的函数关系
如图2 所示．下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km．
其中正确说法的序号是_____．
【答案】(1)𝑣=
8
𝑡
(2)学生步行的平均速度𝑣至少为3.2km/h
(3)②③
【分析】（1）由题意知，𝑣是𝑡的反比例函数，设𝑣=
𝑘
𝑡，代入(4,2)，即可求解；
（2）将𝑡= 2.5代入𝑣=
8
𝑡，求得𝑣= 3.2km/h，结合题意，即可求解；
（3）根据函数图象分析即可求解．
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【详解】（1）解：由题意知，𝑣是𝑡的反比例函数，设𝑣=
𝑘
𝑡
当𝑡= 4时，𝑣= 2
∴𝑘= 8
∴𝑣=
8
𝑡
（2）把𝑡= 2.5代入𝑣=
8
𝑡，得𝑣= 3.2km/h
∴学生步行的平均速度𝑣至少为3.2km/h
（3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为1.25 −0.75 = 0.5h，故①不正确；
②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确；
③学生从学校到补给点所走路程为8 −4 = 4km，故③正确．
重难点二 工程问题
1.抓住工作总量不变的核心等量关系工作总量= 工作效率× 工作时间，
2.确定效率与时间成反比例，设出对应变量写出反比例函数表达式，
3.若出现多人协作、设备增减、工期缩短等条件，通过对应效率的变化量列方程求解，
4.结果需保证工作效率、时间为正实数。
1．某垃圾清运公司承担了约3000t的建筑垃圾的运送工作．
(1)求每小时运送的垃圾质量𝑦(t)关于完成任务所需的时间𝑥(h)的函数表达式；
(2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过20t，至少需要多长时间完成运送工作？
【答案】(1)𝑦=
3000
𝑥(𝑥> 0)
(2)至少需要150h完成运送工作
【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可；
（2）结合（1）的解析式结合函数性质解答.
【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量𝑦(t)关于完成任务所需的时间𝑥(h)的函数表达式
为：𝑦=
3000
𝑥(𝑥> 0)；
（2）解：令𝑦= 20，则
3000
𝑥
= 20，
解得𝑥= 150，
根据反比例函数的性质，当𝑥> 0时，𝑦 随𝑥 的增大而减小，
因此平均每小时共运送垃圾不超过20t时，至少需要150h完成运送工作.
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2．某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成300个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原
计划多加工5个零件，结果提前2天完成任务．设原计划每天加工𝑥个零件．
(1)求原计划每天加工零件的个数；
(2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20 个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？
【答案】(1)原计划每天加工零件25 个
(2)原计划完成任务的天数最多为20 天
【分析】（1）根据题意，列出分式方程，求解该方程即可得出答案；
（2）不妨设原计划完成任务的天数为𝑦，那么𝑦=
300
𝑥，由题意判断出原计划的加工零件个数𝑥≥15，结合
反比例函数的性质，可得原计划完成任务的最多天数．
【详解】（1）解：设原计划每天加工𝑥个零件，根据题意得：
300
𝑥−
300
𝑥+5 = 2，
解得𝑥1 = 25，𝑥2 = −30(舍去)，
经检验，𝑥= 25是原分式方程的解，
答：原计划每天加工零件25个．
（2）解：不妨设原计划完成任务的天数为𝑦，那么𝑦=
300
𝑥，实际每天加工的零件个数为(𝑥+ 5)个，
∵实际每天至少要加工20 个零件，
∴𝑥+ 5 ≥20，
∴𝑥≥15，
∵𝑦=
300
𝑥的图象在𝑥> 0时，𝑦随𝑥的增大而减小，
∴当𝑥取最小值15时，天数最多，
此时天数 𝑦=
300
15 = 20(天) ，
答：原计划完成任务的天数最多为20天．
3．某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本𝑦（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其
中材料成本保持不变，加工成本与加工数量𝑥（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000 个双肩包，成
本是40 元/个；生产2000 个双肩包，成本是35 元/个．
(1)求𝑦与𝑥的函数表达式；
(2)若要把成本控制为32 元/个，应生产多少个双肩包？
【答案】(1)𝑦=
10000
𝑥
+ 30(𝑥> 0) (2)5000 个
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【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x 成反比例，所以可设𝑦=
𝑘
𝑥+
𝑏，其中b 为材料成本，k 为反比例系数，将已知的两组x、y 对应值代入所设函数，得到关于b 和k 的二
元一次方程组，解方程组求出b 和k 的值，即可得到y 与x 的函数表达式．
（2）把𝑦= 32代入已求出的函数表达式，得到关于x 的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量．
【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x 成反比例，材料成本固定，
因此设函数表达式为： 𝑦=
𝑘
𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，其中
𝑘
𝑥是单个的加工成本，𝑏是固定的材料成本．
将𝑥= 1000, 𝑦= 40和𝑥= 2000,𝑦= 35分别代入得方程组： {
𝑘
1000 + 𝑏= 40
𝑘
2000 + 𝑏= 35
，
两式相减消去𝑏得：
𝑘
2000 = 5，解得𝑘= 10000，
再代入得𝑏= 30．
因此𝑦与𝑥的函数表达式为：𝑦=
10000
𝑥
+ 30(𝑥> 0)；
（2）解：把𝑦= 32代入函数表达式： 32 =
10000
𝑥
+ 30，
整理得
10000
𝑥
= 2，解得𝑥= 5000．
答：应生产5000个双肩包．
4．某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平
均运送效率𝑣（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间𝑡（单位：天）之间是反比例函数关系，且当𝑡= 6
时，𝑣= 12000．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若该运输公司每天可运送土石方8000m3，求完成全部运输任务需要多少天？
【答案】(1)𝑣=
72000
𝑡
(𝑡> 0) (2)9 天
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
（1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量𝑣×完成运送任务所需的时间t（天）=运输总量，得出函
数关系式；
（2）把𝑣= 8000代入反比例函数解析式，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：𝑣𝑡= 6 × 12000 = 72000，
∴v 与t 之间的函数关系式为𝑣=
72000
𝑡
(𝑡> 0)；
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（2）解：在𝑣=
72000
𝑡
中，当𝑣= 8000时，
∴𝑡=
72000
8000 = 9．
答：公司完成全部运输任务需要9 天．
5．某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本𝑦（元）与生产数量𝑥（个）之间近似满足反比例
函数关系．
(1)已知生产100 个零件时，每个零件的生产成本为50 元，求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)若要将每个零件的生产成本控制在30 元以内（不包含30 元），那么至少需要生产多少个零件？
【答案】(1)𝑦=
5000
𝑥(𝑥> 0) (2)167 个
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意列出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：设𝑦关于𝑥的反比例函数解析式为𝑦=
𝑘
𝑥，
当𝑥= 100时，𝑦= 50，
将其代入函数解析式可得𝑘= 5000，
∴𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦=
5000
𝑥(𝑥> 0)；
（2）解：当𝑦= 30时，代入𝑦=
5000
𝑥可得30 =
5000
𝑥，
解得𝑥= 166
2
3，
∵𝑥> 0时𝑦随𝑥的增大而减小，且要将生产成本控制在30 元以内（不包含30 元），
∴𝑥需要大于166
2
3，
又∵𝑥为零件的生产数量，应为正整数，
∴𝑥至少为167，故至少需要生产167 个零件．
6．一艘船计划装载900吨货物，若以最快速度装船，需1 小时完成．
(1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写
出自变量x 的取值范围：
(2)若要求在1.5至2 小时之间（包括1.5小时与2 小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围．
【答案】(1)𝑦=
900
𝑥，0 < 𝑥≤900； (2)450 ≤𝑥≤600．
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【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键．
（1）由题意知，装完货物所需时间𝑦（小时）与装船速度𝑥（吨/小时）之间的函数关系是反比例函数关
系，即可求得此关系式；
（2）求出当𝑦= 1.5时， 当𝑦= 2时𝑥的值，即装船速度即可确定答案．
【详解】（1）解：由题意，𝑥𝑦= 900，
∴𝑦=
900
𝑥，
若以最快速度装船，需1 小时完成，
得1 =
900
𝑥，则𝑥= 900，
故自变量x 的取值范围为0 < 𝑥≤900；
（2）由题意得1.5 ≤𝑦≤2，
当𝑦= 1.5时，代入𝑦=
900
𝑥得𝑥= 600，
当𝑦= 2时，代入𝑦=
900
𝑥得𝑥= 450，
∴若要求在1.5至2 小时之间（包括1.5小时与2 小时）装完这批货物，装船速度的取值范围为450 ≤𝑥≤
600．
7．某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关
系．已知𝑥= 1时，𝑦= 120．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若工厂想要在6 天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？
【答案】(1)𝑦=
120
𝑥(𝑥> 0) (2)每天至少生产20 个
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）设y 与x 之间的函数关系式为𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)，将𝑥= 1，𝑦= 120代入计算即可；
（2）将𝑥= 6代入（1）中解析式即可求解．
【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为𝑦=
𝑘
𝑥(𝑥> 0)，
∵ 𝑥= 1时，𝑦= 120，
∴ 𝑘= 1 × 120 = 120，
∴y 与x 之间的函数关系式为𝑦=
120
𝑥(𝑥> 0)；
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（2）解：对于𝑦=
120
𝑥(𝑥> 0)，
当𝑥= 6时，𝑦=
120
6 = 20，
∵在第一象限内，y 随x 的增大而减小，
∴工厂想要在6 天内完成这批零件的生产，每天至少需要生产20 个零件．
8．某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对
于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同．
要求：每次任务派出货车的型号相同．
如果用点的横坐标𝑥（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标𝑦（吨/辆）表示每辆货车的载重量，
图中给出了一部分点的坐标．已知1 ≤𝑦≤35．
(1)根据所给信息，求𝑦与𝑥的函数关系式．
(2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3 辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划
每辆货车载重量的
2
3．求原计划使用的货车数量．
(3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8 吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？
请结合反比例函数图象说明理由．
【答案】(1)𝑦=
60
𝑥（
12
7 ≤𝑥≤60，且x 为正整数） (2)原计划使用货车6 辆 (3)至少需要8 辆货车，理由见
解析
【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60，
∴y 是x 的反比例函数，
设𝑦=
𝑘
𝑥 (𝑘≠0)
当𝑥= 4时，𝑦= 15,
∴15 =
𝑘
4，
解得𝑘= 60，
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∴𝑦=
60
𝑥，
∵1 ≤𝑦≤35，即1 ≤
60
𝑥≤35，
∴
12
7 ≤𝑥≤60，
∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=
60
𝑥（
12
7 ≤𝑥≤60，且x 为正整数）；
（2）解：设原计划使用货车𝑥辆，
根据题意得
60
𝑥+3 =
60
𝑥⋅
2
3，
解得𝑥= 6，
经检验𝑥= 6是原方程的解，且符合题意，
答：原计划使用货车6 辆．
（3）解：至少需要8 辆货车才能完成任务，理由如下：
在𝑦=
60
𝑥中，当𝑦= 8时，𝑥= 7.5，
由反比例函数的图象可知，当
12
7 ≤𝑥≤60，且x 为正整数时，𝑦随𝑥增大而减小，
∴当𝑦≤8时，𝑥≥7.5，
∵𝑥为正整数，
∴至少需要8 辆货车．
9．综合与实践
问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级5A级旅游景区．为优化景区观景
动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧
面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学
支撑．
实测数据：以地面为𝑥轴、竖直方向为𝑦轴，原点𝑂为基准点建立平面直角坐标系．矩形𝐴𝑂𝐸𝐵为核心观景
平台区域，曲线𝐵𝐶段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数
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据：𝑂𝐴= 6米，𝐴𝐵= 2米，点𝐸在𝑥轴上．
(1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线𝐵𝐶段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值
范围)．
(2)问题解决：步道终点𝐶为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为1.5米．结合已建立的数
学模型，求𝐵、𝐶两点间的水平距离．
(3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道𝐵𝐶段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面
竖直高度不低于3 米．若警示牌拟设置在点𝑄处，且点𝑄到直线𝐵𝐸的水平距离为2 米，结合数学模型验证
该位置是否符合安全设置要求，并说明理由．
(4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点𝑂水平距离10米处新增观景点𝐷，为实现步道无缝衔接，需确定
衔接点高度．过点𝐷作𝑥轴的垂线，交曲线𝐵𝐶的延长线于点𝐹，结合已建立的数学模型，直接写出点𝐹距地
面的竖直高度．
【答案】(1)𝑦=
12
𝑥； (2)6米； (3)符合安全设置要求，理由见解析； (4)1.2米
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝑂𝐸𝐵是矩形，已知𝑂𝐴= 6，𝐴𝐵= 𝑂𝐸= 2，
∴𝐵点坐标为(2,6)．
设反比例函数表达式为𝑦=
𝑘
𝑥(𝑘≠0)，
将𝐵(2,6)代入得：6 =
𝑘
2，解得𝑘= 12，
∴曲线𝐵𝐶段所在反比例函数的表达式为𝑦=
12
𝑥．
（2）解：∵点𝐶距离地面竖直高度为1.5米，
∴𝐶点纵坐标𝑦𝐶= 1.5，
将𝑦= 1.5代入𝑦=
12
𝑥得：1.5 =
12
𝑥𝐶，解得𝑥𝐶= 8，
∵𝐵点横坐标为2，
∴𝐵、𝐶两点水平距离为8 −2 = 6(米)．
答：𝐵、𝐶两点间的水平距离为6米．
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（3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下：
∵𝐵(2,6)，𝐸(2,0)，点𝑄到𝐵𝐸的水平距离为2米，
∴𝑄点横坐标𝑥𝑄= 2 + 2 = 4，
将𝑥= 4代入𝑦=
12
𝑥得𝑦𝑄=
12
4 = 3，
∵3 ≥3，满足“距地面竖直高度不低于3 米”的要求，
∴该位置符合安全设置要求．
（4）解：由题意，点𝐹的横坐标为10，
将𝑥= 10代入𝑦=
12
𝑥得：
𝑦=
12
10 = 1.2，
因此点𝐹距地面的竖直高度为1.2米．
重难点三 跨学科问题
1.结合物理压强、密度、电学等公式，找到固定不变的物理量，推导两个变量的反比例等量关系，转化
为反比例函数解析式，
2.将题目给出的实验数据、已知参数代入计算，
3.同时兼顾对应学科基础常识，排除不符合物理规律的负数值解。
1．已知压力𝐹（单位：N）一定时，压强𝑝（单位：Pa）与受力面积𝑆（单位：m2）之间的函数关系式为
𝑝=
𝐹
𝑆．当𝑆= 0.3 m2时，𝑝= 1800 Pa，则压强𝑝关于受力面积𝑆的函数图象正确的是（）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意确定𝑝与𝑆的函数关系为反比例函数，求出常数𝐹的值，再根据反比例函数图象的性质及
图象上点的坐标进行判断即可．
【详解】∵𝑝=
𝐹
𝑆，且𝐹为定值
∴𝑝是𝑆的反比例函数，且𝑆> 0，图象位于第一象限
∴排除选项A、B
将𝑆= 0.3，𝑝= 1800代入𝑝=
𝐹
𝑆
得𝐹= 𝑝𝑆= 1800 × 0.3 = 540
∴函数解析式为𝑝=
540
𝑆
对于C 选项，当𝑆= 0.6时，𝑝=
540
0.6 = 900，图象经过点(0.6,900)，符合题意
对于D 选项，当𝑆= 0.5时，𝑝=
540
0.5 = 1080 ≠1000，不符合题意．
2．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处
于悬浮状态时，浸在液体中的高度ℎ（cm）是液体的密度𝜌（g cm3
⁄
）的反比例函数，其图象如图所示
（𝜌> 0），下列说法正确的是（ ）
A．当𝜌≥1时，ℎ≥10
B．当0 < 𝜌≤12.5时，ℎ≥0.8
C．当𝜌= 2时，ℎ= 20
D．当0 < 𝜌≤1时，ℎ≤10
【答案】B
【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为ℎ=
10
𝜌，然后结合图象逐项分析求解判断即可．
【详解】解：由图象得，当𝜌≥1时，ℎ≤10，故A 错误；
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设反比例函数解析式为ℎ=
𝑘
𝜌，
将(1,10)代入得，10 =
𝑘
1，
解得𝑘= 10，
∴ℎ=
10
𝜌，
∴当𝜌= 2时，ℎ=
10
2 = 5，故C 错误；
当𝜌= 12.5时，ℎ=
10
12.5 = 0.8，
∵当𝜌> 0时，h 随𝜌的增大而减小，
∴当0 < 𝜌≤12.5时，ℎ≥0.8，故B 正确；
由图象得，当0 < 𝜌≤1时，ℎ≥10，故D 错误．
3．根据压强公式𝑝=
𝐹
𝑆，当压力𝐹（单位：N）一定时，压强𝑝（单位：Pa）与受力面积𝑆（单位：m2）成
反比例关系．若某物体受力面积增加0.3 m2，则受到的压强比原来减少60 Pa．设该物体原受力面积为
𝑥 m2，压力𝐹为定值，下列方程正确的是（ ）
A．
𝐹
𝑥−0.3 −
𝐹
𝑥= 60 B．
𝐹
𝑥−
𝐹
𝑥−0.3 = 60
C．
𝐹
𝑥+0.3 −
𝐹
𝑥= 60
D．
𝐹
𝑥−
𝐹
𝑥+0.3 = 60
【答案】D
【详解】已知该物体原受力面积为𝑥m2，压力𝐹是定值，
由压强公式𝑝=
𝐹
𝑆可得，原压强为
𝐹
𝑥，
∵ 受力面积增加0.3m2，
∴ 变化后的受力面积为(𝑥+ 0.3)m2，变化后的压强为
𝐹
𝑥+0.3，
由题意得，变化后的压强比原来减少60Pa，即原压强 − 现压强 = 60，
∴ 可得方程
𝐹
𝑥−
𝐹
𝑥+0.3 = 60．
4．某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（𝐶𝑂）浓度的安全断路器，其电路图如图1 所示．装
置由控制电路（含电源、气敏电阻𝑅0、定值电阻𝑅1、电磁铁E 等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠
杆𝐴𝐵、铁块C 等）组成，电磁铁E 位于铁块C 的正上方．当控制电路中的电流I 超过设定值时，铁块C
被电磁铁E 吸起，杠杆𝐴𝐵偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U 为6V，定值电
阻𝑅1的阻值为10Ω，I =
𝑈
𝑅0+𝑅1．电磁铁E 对铁块C 的吸引力𝐹0与通过控制电路中的电流I 的关系如图2 所
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示，气敏电阻𝑅0的阻值与𝐶𝑂浓度的关系如图3 所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．气敏电阻𝑅0的阻值随𝐶𝑂浓度的增大而减小
B．𝐶𝑂浓度越大，电磁铁E 对铁块C 的吸引力𝐹0越大
C．当电磁铁E 对铁块C 的吸引力𝐹0为2.4N时，𝐶𝑂的浓度为18mg/m3
D．使用一段时间后，由于电源电压U 减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大
【答案】C
【分析】根据I =
𝑈
𝑅0+𝑅1，结合图象逐项分析即可．
【详解】解：A、由图3，可知气敏电阻𝑅0的阻值随𝐶𝑂浓度的增大而减小，A 选项说法正确；
B、由图3，可知𝐶𝑂浓度越大，𝑅0阻值越小，由I =
𝑈
𝑅0+𝑅1，可知𝑅0阻值越小，I 越大，由图2，可知𝐹0随I
的增大而增大，即𝐶𝑂浓度越大，电磁铁E 对铁块C 的吸引力𝐹0越大，B 选项说法正确；
C、由图2，可知当𝐹0 = 2.4N时，I = 0.4A，代入I =
𝑈
𝑅0+𝑅1，即0.4 =
6
𝑅0+10，解得𝑅0 = 5Ω．由图3，可知当
𝑅0 = 5Ω时，𝐶𝑂浓度为24mg/m3，C 选项说法错误；
D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I 不变，根据I =
𝑈
𝑅0+𝑅1，可知当电源电压U 减小，𝑅0 + 𝑅1
偏小，即𝑅0偏小，由图3，可知此时𝐶𝑂浓度偏大，D 选项说法正确．
5．某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强𝑝（单位：kPa）是体积𝑉（单位：mL）的反比例函数，其图
象如图所示．当压强为40kPa时，气体的体积为______mL．
【答案】50
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【分析】因为压强p 是体积V 的反比例函数，所以设反比例函数解析式为𝑝=
𝑘
𝑉，𝑘≠0．因为函数图像过
点(20,100)，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k 的值．因为要求压强为40kPa时的体积，所以将
𝑝= 40代入确定后的反比例函数解析式，求解V 即可．
【详解】解：∵𝑝是𝑉的反比例函数，
设解析式为 𝑝=
𝑘
𝑉(𝑘≠0)．
由图像可知，反比例函数过点(20,100)，
将𝑉= 20,𝑝= 100代入得： 100 =
𝑘
20，
解得 𝑘= 20 × 100 = 2000，
因此函数解析式为 𝑝=
2000
𝑉．
当压强𝑝= 40kPa时，
代入解析式： 40 =
2000
𝑉，
解得 𝑉= 50．
6．在如图1 所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S 后，移动滑动变阻器的滑片，电流I 与电阻R
成反比例函数关系，函数图象如图2 所示，点P 的坐标为(5,2)，则电源电压U 为（提示：𝐼=
𝑈
𝑅）
________．
【答案】10V
【分析】根据题意可知电流𝐼与电阻𝑅满足反比例函数关系𝐼=
𝑈
𝑅，已知函数图象经过点𝑃(5,2)，将点𝑃的横
纵坐标分别作为𝑅和𝐼的值代入公式，即可求出电源电压𝑈的值．
【详解】解：由题意可知，𝐼与𝑅的函数关系式为𝐼=
𝑈
𝑅
∵函数图象经过点𝑃(5,2)，
∴将点𝑃(5,2)代入𝐼=
𝑈
𝑅得：
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𝑈= 𝐼⋅𝑅
= 2 × 5
= 10
∴电源电压𝑈为10V．
7．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定
范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积𝑉（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量𝑁（单位：亿个）的反
比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象．
(1)求𝑉与𝑁之间的关系式；
(2)当瓶内藻类细胞总数量𝑁不少于4亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积𝑉最多是多少升？
【答案】(1)𝑉=
8
𝑁
(2)当𝑁≥4时，𝑉≤2，即𝑉的最大值为2
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、求反比例函数的解析式．
(1)设𝑉与𝑁之间的关系式为𝑉=
𝑘
𝑁，由函数图像可知点𝑃的坐标为(2,4)，用待定系数法求出反比例函数的解
析式；
(2)把𝑁= 4代入反比例函数的解析式即可求出𝑉= 2，由反比例函数的性质可知当𝑁> 0时，𝑉随𝑁的增大而
减小，可得𝑉的最大值为2．
【详解】（1）解：设𝑉与𝑁之间的关系式为𝑉=
𝑘
𝑁，
将𝑃(2,4)代入𝑉=
𝑘
𝑁，
可得：4 =
𝑘
2，
∴𝑘= 8，
∴𝑉与𝑁之间的关系式为𝑉=
8
𝑁；
（2）解：当𝑁= 4时，
可得：𝑉=
8
4 = 2，
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∵𝑘= 8 > 0，
∴当𝑁> 0时，𝑉随𝑁的增大而减小，
∴当𝑁≥4时，𝑉≤2，即𝑁的最大值为2．
答：当瓶内藻类细胞总数量𝑁不小于4亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积𝑉最多是2升．
8．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、
提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆𝐴𝐵的端点𝐴处，提纽固定在点𝑂处，秤砣悬挂的位置记为点𝐶．杆秤称物符
合杠杆原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．
设秤盘的质量为50g，秤砣的质量为200g，物体的质量为𝑚，𝑂𝐴= 𝑙0，𝑂𝐶= 𝑙．根据杠杆原理、可得：
𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点𝐵处．）
(1)已知一款秤杆长度𝐴𝐵= 55cm，提纽到秤盘固定点距离𝑂𝐴= 4cm；
①根据题意，求出𝑙关于𝑚的函数表达式；
②在秤杆𝐴𝐵上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点𝑂之间的距离；
(2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称
得一个物体的质量为550g，若该物体的实际质量为580g，求生锈秤砣的质量；
(3)若杆秤可用长度𝐴𝐵= 100cm，为保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算𝑂𝐴的取值范围．
【答案】(1)①𝑙=
1
50 𝑚+ 1；②零刻度所对应的点与点𝑂之间的距离为1cm
(2)生锈秤砣的质量为210g
(3)0 < 𝑂𝐴≤
80
9
【分析】（1）①根据公式𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200代入已知数量可得答案；②由零刻度时，𝑚= 0g，即可
求解；
（2）根据题意可得当一个物体的质量为550g，𝑙= 12(cm)，设生锈的秤砣的质量为𝑥 g，可得
4 × (50 + 580) = 12𝑥，即可求解；
（3）把𝑙0 + 𝑙= 100 ，𝑙= 100 −𝑙0代入𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200，可得𝑚=
20000
𝑙0
−250，从而得到𝑙0越
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大，𝑚越小，即可求解．
【详解】（1）解：①∵𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200 ，𝐴𝐵= 55cm，𝑂𝐴= 4，
∴4(50 + 𝑚) = 200𝑙，
∴𝑙=
1
50 𝑚+ 1．
②∵零刻度时，𝑚= 0g ，
∴𝑙=
1
50 𝑚+ 1 = 1 ．
∴零刻度所对应的点与点𝑂之间的距离为1cm．
（2）解：∵当一个物体的质量为550g，
∴𝑙=
1
50 × 550 + 1 = 12(cm)，
∵𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200 ，
设生锈的秤砣的质量为𝑥 g，
∴4 × (50 + 580) = 12𝑥 ，
解得：𝑥= 210，
∴生锈秤砣的质量为210g．
（3）解：由题意得：𝑙0 + 𝑙= 100 ，𝑙= 100 −𝑙0代入𝑙0 × (50 + 𝑚) = 𝑙× 200．得：
𝑙0 × (50 + 𝑚) = (100 −𝑙0) × 200 ，
∴𝑚=
20000
𝑙0
−250，
∵𝑙0 > 0，
∴𝑙0越大，𝑚越小，
当𝑚= 2000时，𝑙0 =
80
9 ，
∴0 < 𝑂𝐴≤
80
9 ．
重难点四 贴近生活的其它实际问题
1.梳理题干中乘积恒定的两组生活变量，判断二者反比例关系并建立函数，
2.结合购物、储存、分配等生活场景的实际限制筛选答案，例如单价、数量、容器容积均不能为负数，
3.多方案对比类题目可借助函数增减性分析最优方案。
1．如图是某饮水机通电开机后，水温𝑦(°C)与开机时间𝑥（分）之间的关系图象，当加热到100°C时自动停
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止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间𝑥（分）成反比例，当水温降至20°C时，饮水机又
自动开始加热……，重复上述过程．
(1)当0 ≤𝑥≤8时，求水温𝑦(°C)关于开机时间𝑥（分）的一次函数解析式．
(2)求𝑡的值．
(3)上午8：00（水温20°C），饮水机开机通电后到中午12：30，水温共有几次达到100°C?
【答案】(1)𝑦= 10𝑥+ 20
(2)𝑡= 40
(3)水温共有7次达到100°C
【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析
式、结合周期计算次数是解答本题的关键．
（1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标(0,20)、(8,100)，求解𝑘、𝑏，确定0 ≤𝑥≤8时的
一次函数解析式；
（2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点(8,100)求出反比例函数表达式，再代入𝑦= 20，算出对
应的自变量数值即为t；
（3）先算出单次循环周期时长，再计算8：00到12：30的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结
合周期规律统计水温达到100°C的总次数．
【详解】（1）解：由图象可知，当时间𝑥= 0时，𝑦= 20；当时间𝑥= 8时，𝑦= 100，
当0 ≤𝑥≤8时，设𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将(0,20)、(8,100)分别代入，
得{
20 = 𝑏
100 = 8𝑘+ 𝑏
，
解得{𝑏= 20
𝑘= 10
，
所以温度𝑦(°C)关于开机时间𝑥（分）的函数关系式为𝑦= 10𝑥+ 20；
（2）解：由图象知当8 ≤𝑥≤𝑡时，在水温下降过程中，水温𝑦(°C)是关于开机时间𝑥（分）的反比例函
数，
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设𝑦=
𝑚
𝑥，
把点(8,100)代入，得100 =
𝑚
8
解得𝑚= 800，
∴𝑦=
800
𝑥，
当𝑦= 20时，20 =
800
𝑥，
解得𝑥= 40，
∴𝑡= 40；
（3）解：结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，8：00到12：30经历270分钟，
270 ÷ 40 = 6 ⋯⋯30，
共经历了6个周期余30分钟，
所以水温共有7次达到100°C．
2．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮
水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10°C，加热到100°C时停止加热；随后水温自然回
落，此阶段水温𝑦(°C)与通电时间𝑥(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热，开始下
一轮循环．若初始水温在20°C时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图
象（如图所示），请结合图象解答下列问题．
(1)图象中停止加热后水温自然回落至20°C的过程中，水温𝑦(°C)与通电时间x（min）之间的函数关系式是
______，自变量x 的取值范围是_____；
(2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至20°C为止，求这一过程中水温不低于40°C时长为多少分钟？
(3)早晨7：40 接通电源启动加热（此时水温为20°C），当天上午9：20 下课时同学们______（填“能”或“不
能”）接到35°C～45°C的温开水，此时水温为______°C．
【答案】(1)𝑦=
800
𝑥，8 ≤𝑥≤40；
(2)18min；
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(3)能；40
【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求
水温降至20°C时的总时间确定自变量范围．
(2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为40°C时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于40°C
的时长并求和．
(3) 先求一个完整周期时长，再计算100min内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进
而求出水温和是否在35°C～45°C范围内．
【详解】（1）解：∵ 初始水温为20°C，每分钟上升10°C，
∴ 加热到100°C所需时间为
100−20
10
= 8(min)，
即停止加热时𝑥= 8，𝑦= 100．
设停止加热后水温𝑦与通电时间𝑥的函数关系式为𝑦=
𝑘
𝑥，
∵ 图象过点(8,100)，
∴ 100 =
𝑘
8，
解得𝑘= 800，
∴ 函数关系式为𝑦=
800
𝑥．
当水温降至20°C时，20 =
800
𝑥，
解得𝑥= 40，
∴ 自变量𝑥的取值范围是8 ≤𝑥≤40．
（2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升10∘C，
加热阶段水温𝑦与通电时间𝑥的关系为𝑦= 20 + 10𝑥(0 ≤𝑥≤8)，
当𝑦= 40时，40 = 20 + 10𝑥，
解得𝑥= 2，
∴ 加热阶段水温不低于40°C的时长为8 −2 = 6(min)．
回落阶段水温𝑦与通电时间𝑥的关系为𝑦=
800
𝑥(8 ≤𝑥≤40)，
当𝑦= 40时，40 =
800
𝑥，
解得𝑥= 20，
∴ 回落阶段水温不低于40°C的时长为20 −8 = 12(min)．
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∴ 这一过程中水温不低于40°C的总时长为6 + 12 = 18(min)．
（3）解：∵ 加热需8min，回落需40 −8 = 32(min)，
∴一个完整周期为40min．
∵ 早晨7:40 到上午9:20 共100min，
100 = 2 × 40 + 20，
∴ 经过2个完整周期后，第3个周期又进行了20min．
第3个周期中，前8min加热，后32min回落，
∵ 20 > 8，
∴ 此时处于第3个周期的回落阶段，
故可知，第1 个周期20min的温度，第3个周期开始后第20min的温度一样，
此时的温度为：
800
20 = 40°C
∵ 35 < 40 < 45，
∴ 同学们能接到35°C～45°C的温开水，
此时水温为40°C．
3．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1 个进水管，需要24 小时才能把空游泳池注满水；打开2 个进水
管，需要12 小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t
（h）．
(1)求t 与x 之间的函数关系式；
(2)要想2 个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为25m3/h，则此游泳池的容积是多少？若要注入480m3的水，需要同时打
开6 个进水管多长时间？
【答案】(1)𝑡=
24
𝑥 (2)12 个
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(3)此游泳池的容积是600m3，注入480m3的水需要同时打开6 个进水管3.2 小时
【分析】（1）由图象知，t 是x 的反比例函数，当𝑥= 1时，𝑡= 24，设𝑡=
𝑘
𝑥，进而求解即可；
（2）将𝑡= 2代入反比例函数关系式求解即可；
（3）根据“打开1 个进水管，需要24 小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为25m3/h”可
知此游泳池的容积；用注入量除以6 个进水管的总效率即可．
【详解】（1）解：由图象知，t 是x 的反比例函数，当𝑥= 1时，𝑡= 24，
设𝑡=
𝑘
𝑥，
∴24 =
𝑘
1，
解得：𝑘= 24，
∴𝑡=
24
𝑥；
（2）解：当𝑡= 2时，2 =
24
𝑥，
解得𝑥= 12．
∴需要同时打开12 个进水管；
（3）解：∵1 × 25 × 24 = 600m3，
∴此游泳池的容积是600m3．
480
6×25 = 3.2(h)．
答：此游泳池的容积是600m3，注入480m3的水需要同时打开6 个进水管3.2 小时．
4．某饮水机的工作流程为：先将20℃的饮用水加热到100℃，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整
个工作过程中水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表：
流程
变量
加热过程
水温下降过程
𝑥(min)
0
1
2
3
4
…
8
10
20
…
𝑦(℃)
20
40
60
80
100
…
50
40
20
…
(1)饮水机在加热过程中，水温为𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
(2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足哪种函数模型？请判断并求出函
数表达式；
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(3)已知某种茶冲泡的最佳温度在80℃左右．现用该款饮水机把初始温度为40℃的水加热到100℃，再降温
到80℃使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间．
【答案】(1)一次函数模型，𝑦= 20𝑥+ 20
(2)反比例函数模型，𝑦=
400
𝑥
(3)4min
【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，得到一次函数和反比例函数模型是解答的关键．
（1）先根据表格数据得到加热过程中的水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足一次函数模型，然后利用待定系
数法求解函数表达式即可；
（2）先根据表格数据得到下降过程中的水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足反比例函数模型，然后利用待定
系数法求解函数表达式即可；
（3）求出水温是80℃时的通电时间即可求解．
【详解】（1）解：∵每过1 分钟，水温上升20℃，所以加热过程中的水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足一次
函数模型．
设一次函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
∵过点(0,20)，(1,40)
∴{
𝑏= 20
𝑘+ 𝑏= 40
，解得{𝑏= 20
𝑘= 20
，
，∴𝑦= 20𝑥+ 20；
（2）解：∵8 × 50 = 10 × 40 = 20 × 20 = 400
∴停止加热水温下降时，水温𝑦(℃)与通电时间𝑥(min)满足反比例函数模型，
设反比例函数表达式为𝑦=
𝑘
𝑥，
∵则𝑘= 8 × 50 = 10 × 40 = 20 × 20 = 400，
∴𝑦=
400
𝑥；
（3）解：在𝑦= 20𝑥+ 20中，当𝑦= 40时，由20𝑥+ 20 = 40得𝑥= 1，
在𝑦=
400
𝑥中，当𝑦= 80时，𝑥= 5，
∴5 −1 = 4min，
∴从饮水机加热开始到可以饮用需要4min．
5．项目式学习·测量盒子质量
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问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时
便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量．
实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A 处，且托盘
上放置了一个100g的砝码，右侧托盘可以在𝐵𝐶段滑动，已知𝐴𝐶= 15cm，𝐵𝐶= 50cm，通过往牛奶盒里
加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据．
实验数据：
实验序号
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
总质量m（牛奶+水/g）
120
60
50
40
150
𝐶𝐷的距离𝑙cm
⁄
12.5
25
30
37.5
10
问题解决
(1)任务一：根据表中数据可知，𝐶𝐷的长度随着总质量m 的增大而________，并依此猜想：l 与m 满足怎样
的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）；
(2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65g的水，移动托盘使天平保持平衡，此时𝐶𝐷= 20cm，求这个空
牛奶盒的质量；
(3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65g水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍
保持平衡，则右边托盘应怎样移动．
【答案】(1)减小，反比例函数；
(2)这个空牛奶盒的质量为10g；
(3)右边托盘应向左边移动8.75cm
【分析】（1）根据表格数据可知，𝐶𝐷的长度随着总质量m 的增大而减小，根据𝑙⋅𝑚= 1500，猜想：l 与
m 满足怎样的函数关系：反比例函数；
（2）先设l 关于m 的函数解析式为𝑙=
𝑘
𝑚(𝑘≠0)，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为𝑙=
1500
𝑚，再设空牛奶盒的质量为𝑎g，根据题意得：65 + 𝑎=
1500
20 ，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量；
（3）含65g水的牛奶盒质量为75g，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有
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75 × 15 = 100 ⋅𝑙，求出l，并根据任务二𝐶𝐷= 20cm，求出右边托盘应向左边移动8.75cm．
【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，𝐶𝐷的长度随着总质量m 的增大而减小，
∵𝑙⋅𝑚= 1500，
∴依此猜想：l 与m 满足：反比例函数；
（2）解：设l 关于m 的函数解析式为𝑙=
𝑘
𝑚(𝑘≠0)，
则𝑘= 𝑚⋅𝑙，将(60,25)代入，
得：𝑘= 60 × 25 = 1500，
即l 关于m 的函数解析式为𝑙=
1500
𝑚，
设空牛奶盒的质量为𝑎g，
根据题意得：65 + 𝑎=
1500
20 ，
解得：𝑎= 10，
答：这个空牛奶盒的质量为10g．
（3）解：由任务二得，含65g水的牛奶盒总质量为75g，
∵将含65g水的牛奶盒与砝码的位置互换，
∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：75 × 15 = 100 ⋅𝑙，
解得：𝑙= 11.25，
∵20 −11.25 = 8.75，
∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动8.75cm．
重难点五 反比例函数与古文化问题
1.先读懂古文题干提取恒定总量，剥离文言描述转化为现代数学等量关系；
2.确定成反比例的两个变量并列出函数，代入古文记载的数值完成计算；
3.最后结合历史背景验证答案逻辑通顺，舍去不符合古代度量衡、实际场景的无效解。
1．屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于
桔槔上O 点，并可绕O 点转动，在横杆A 处连接一竹竿，在横杆B 处固定300N的物体，且𝑂𝐵= 1m．若
图中人物竖直向下施加的拉力为𝐹，当改变点A 与点O 的距离l 时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现𝐹与
l 有一定的关系，记录了拉力的大小𝐹与l 的变化，如表：
点𝐴与点𝑂的距离𝑙/m
1
1.5
2
2.5
3
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拉力的大小𝐹/N
300
200
150
𝑎
100
(1)表格中𝑎的值是___________；
(2)屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画𝐹与𝑙之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当𝑂𝐴的长增大时，拉力𝐹是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)120 (2)𝐹与𝑙之间的函数图象，如图所示：
(3)解：当𝑂𝐴的长增大时，拉力𝐹减小，理由如下：
由函数图象可知：F 是l 的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，
根据反比例函数的性质可知，F 随l 的增大而减小，所以当𝑂𝐴的长增大时，拉力𝐹减小．
【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a 的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
1 × 300 = 1.5 × 200 = 2 × 150 = 3 × 100 = 300，
因此点𝐴与点𝑂的距离𝑙与拉力F 的乘积不变，
∴𝑎=
300
2.5 = 120；
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（2）略
（3）略
2．综合与实践，如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原
理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装
置．其中，杠杆可绕支点𝑂在竖直平面内转动，支点𝑂距左端𝐿1 = 1m，距右端𝐿2 = 0.4m，在杠杆左端悬
挂重力为80N的物体A．
(1)若在杠杆右端挂重物𝐵，杠杆在水平位置平衡时，重物𝐵所受拉力为____N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物𝐵的质量变化时，𝐿2的长度随之变化．设重
物𝐵为𝑥/N，𝐿2的长度为𝑦/m．
①𝑦关于𝑥的函数解析式是___________；
②完成表格：
𝑥/N
…
10
20
30
40
50
…
𝑦/m
…
8
𝑎
8
3
2
8
5
…
则𝑎=___________
③在直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，若点𝐴的坐标为(10,0)，点𝐵的坐标为(30,0)，在（2）中所求函数的图象上存在点
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𝐶(𝑚, 𝑛)(𝑛> 0)，使得𝑆△𝐴𝐵𝐶≤40，请根据图象直接写出𝑛的取值范围为___________．
【答案】(1)200； (2)①𝑦=
80
𝑥(𝑥> 0)；②4； (3)0 < 𝑛≤4
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用杠杆平衡公式建立等量关系，结合函数与几何知识
求解．
（1）直接利用杠杆平衡条件代入已知数值求解重物𝐵的拉力；
（2）①根据杠杆平衡条件列出等式，变形得到𝑦关于𝑥的反比例函数解析式；
②将𝑥= 20代入解析式计算𝑎的值；
③根据反比例函数的性质描点画图；
（3）先计算𝐴𝐵的长度，再根据三角形面积公式列出不等式，结合函数图象确定𝑛的取值范围．
【详解】（1）解：根据杠杆平衡条件𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2，得80 × 1 = 𝐹𝐵× 0.4，
解得𝐹𝐵= 200N；
故答案为：200．
（2）①解：根据杠杆平衡条件𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2，得80 × 1 = 𝑥⋅𝑦，
整理得𝑦=
80
𝑥(𝑥> 0)；
故答案为：𝑦=
80
𝑥(𝑥> 0)．
②解：当𝑥= 20时，将其代入𝑦=
80
𝑥，得𝑦=
80
20 = 4，即𝑎= 4；
故答案为：4．
③解：函数𝑦=
80
𝑥(𝑥> 0)是第一象限内的反比例函数图象，选取点(10,8)、(20,4)、(30,
8
3)、(40,2)、
(50,
8
5)，在给定的直角坐标系中依次描出这些点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到该函数的图象：
（3）解：∵点𝐴的坐标为(10,0)，点𝐵的坐标为(30,0)，
∴𝐴𝐵= 30 −10 = 20，
∵点𝐶(𝑚, 𝑛)在函数𝑦=
80
𝑥的图象上且𝑛> 0，
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∴△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 × 𝐴𝐵× 𝑛=
1
2 × 20 × 𝑛= 10𝑛，
根据题意𝑆△𝐴𝐵𝐶≤40，即10𝑛≤40，解得𝑛≤4，
又∵𝑛> 0，
∴𝑛的取值范围为0 < 𝑛≤4；
故答案为：0 < 𝑛≤4．
3．“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制
的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长
100cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点𝑂处并将其吊起来，在中点𝑂的左侧挂一个物体，在中点
𝑂的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点𝑂的距
离保持不变时，弹簧秤的示数𝑦(N)是关于𝑥(cm)（弹簧秤与中点𝑂的距离）的反比例函数．已知当𝑥= 20
时，𝑦= 30．
(1)求𝑦关于𝑥的函数表达式；
(2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数𝑦的最小值；
(3)若弹簧秤的最大量程是100N，求𝑥的取值范围．
【答案】(1)𝑦=
600
𝑥 (2)12 (3)6 ≤𝑥≤50
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
（1）由题意直接利用待定系数法解答即可；
（2）根据反比例函数的增减性和𝑥的取值范围计算即可；
（3）根据题意及反比例函数的性质求𝑥的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意，设𝑦关于𝑥的函数表达式为𝑦=
𝑘
𝑥，
将𝑥= 20，𝑦= 30代入，得30 =
𝑘
20，
∴𝑘= 20 × 30 = 600，
∴𝑦关于𝑥的函数表达式为𝑦=
600
𝑥；
（2）解：由（1）可知，𝑦关于𝑥的函数表达式为𝑦=
600
𝑥，
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∵𝑥> 0，𝑘= 600 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而减小．
∵当弹簧秤位于木杆最右端时，𝑥的值最大，最大值为50，
∴当𝑥= 50时，𝑦的值最小，最小值为
600
50 = 12，
∴弹簧秤的示数𝑦的最小值为12；
（3）解：将𝑦= 100代入𝑦=
600
𝑥，得𝑥= 6．
根据反比例函数的性质，当𝑦≤100时，𝑥≥6．
由题意可知𝑥≤50，故𝑥的取值范围是6 ≤𝑥≤50．
4．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1 个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样
的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影
像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2 是图1 中小孔成像实验的示意图，在图2 中，根据小孔成像的
科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物
距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，图象如图3 所示，且当𝑥= 6时，𝑦= 3．
(1)求y 关于x 的反比例函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离x 为2cm，求火焰的像高y；
(3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y 不超过6cm时，求小孔到蜡烛的距离x 至少是多少厘米？
【答案】(1)𝑦=
18
𝑥 (2)火焰的像高为9cm (3)至少是3cm
【详解】（1）解：设𝑦=
𝑘
𝑥，把𝑥= 6，𝑦= 3代入𝑦=
𝑘
𝑥中，
解得𝑘= 18．
∴y 关于x 的函数表达式为𝑦=
18
𝑥．
（2）解：把𝑥= 2代入𝑦=
18
𝑥中，解得𝑦= 9．
∴火焰的像高为9cm．
（3）解：当𝑦= 6时，𝑥=
18
6 = 3cm．
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由𝑦=
18
𝑥的图象可得，当𝑥> 0时，y 随x 的增大而减小，
∴若火焰的像高y 不超过6cm时，小孔到蜡烛的距离x 至少是3cm．
5．嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个
模拟实验：如图，以点O 为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B 处悬挂重物D，在横
杆的点A 处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A 到点O 的距离l（m），再对应改变施加的竖直向
下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下：
点A 到点O 的距离
l/m
…
1
1.5
2
2.5
3
…
竖直向下的拉力F/N
…
300
200
150
120
100
…
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象；
(2)借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范
围）
(3)当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N 增加到600N 时，求点A 移动的距离．
【答案】(1)见解析 (2)𝐹=
300
𝑙 (3)1.5 m
【详解】（1）解：根据表格，可得函数图象如图所示：
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；
（2）解：根据图象可得𝐹是𝑙的反比例函数，
设反比例函数解析式为𝐹=
𝑘
𝑙，
把(1,300)代入可得𝑘= 300，
所以解析式为𝐹=
300
𝑙，
（3）当𝐹= 150 N时，代入𝐹=
300
𝑙得
150 =
300
𝑙1 ，
解得𝑙1 = 2 m．
当𝐹= 600 N时，代入𝐹=
300
𝑙，
600 =
300
𝑙2 ，
解得𝑙2 = 0.5 m．
∴移动距离为𝑙1 −𝑙2 = 2 −0.5 = 1.5 m．
6．如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔[jié gāo]在井上汲水的情境（杠杆原
理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装
置．其中，杠杆可绕支点O 在竖直平面内转动，支点O 距左端𝐿1 = 1m，距右端𝐿2 = 0.6m，在杠杆左端
悬挂重力为120𝑁的物体A．
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B 所受拉力为______N；
小学
初中
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(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B 的质量变化时，𝐿2的长度随之变化．如下
表，设重物B 的质量为𝑥𝑁，𝐿2的长度为𝑦cm．则：
①y 关于x 的函数解析式是______；
②完成下表：
𝑥𝑁
⁄
…
10
20
30
40
50
…
𝑦cm
⁄
…
12
6
3
…
③在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4 个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为
M，若点A 的坐标为(4,0)，在M 上存在点Q，使得𝑆△𝑂𝐴𝑄= 20．请直接写出所有满足条件的点Q 的坐
标．
【答案】(1)200 (2)①𝑦=
120
𝑥；②4；
12
5 ；③见解析 (3)(12,10)或(16,10)
【详解】（1）解：∵𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2，𝐿1 = 1m，𝐿2 = 0.6m，𝐹𝐴= 120𝑁，
∴ 𝐹𝐵=
1×120
0.6
= 200𝑁，
∴重物𝐵所受拉力为200𝑁，
故答案为：200；
（2）解：①由（1）中𝐹𝐴× 𝐿1 = 𝐹𝐵× 𝐿2，可得𝑦关于𝑥的函数为𝑦=
𝑘
𝑥，
把表中数据(10,12)代入，可得12 =
𝑘
10，
可得𝑘= 120，
∴𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦=
120
𝑥，
故答案为：𝑦=
120
𝑥；
②当𝑥= 30时，𝑦=
120
30 = 4；
当𝑥= 50时，𝑦=
120
50 =
12
5 ，
故答案为：4；
12
5 ；
③函数图象如图所示：
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（3）解：根据函数图象平移口诀可得𝑦=
120
𝑥向右平移四格为𝑦=
120
𝑥−4，
∵𝐴(4,0)，
∴𝑂𝐴= 4，
根据题意可得点𝑄在第一象限，所以𝑦𝑄> 0，
∴𝑆△𝑂𝐴𝑄=
𝑂𝐴⋅𝑦𝑄
2
= 20，
∴𝑦𝑄= 10，
当点𝑄在𝑦=
120
𝑥上时，可得10 =
120
𝑥，
解得𝑥= 12（经检验𝑥= 12是原方程的解，且符合题意），
当点𝑄在𝑦=
120
𝑥−4上时，可得10 =
120
𝑥−4，
解得𝑥= 16（经检验𝑥= 16是原方程的解，且符合题意），
综上，点𝑄的坐标为(12,10)或(16,10)．
