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1
【全等辅助线之截长补短类】题集【A】
1. 截长法
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
平分
，
为
上一点，
与
互补，若
，则
周长为（ ）．
【答案】B
B
【知识点】三角形的周长与面积问题
2.
【解析】
在四边形
中，
，
，
平分
，若
，则
．
【答案】
在
延长线上截取
，连接
．
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
．
2
【标注】
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】SAS
3.
【解析】
【标注】
在
中，
，
是
的平分线，
，
，则
．
【答案】
因为
，所以
，因此
，在
上取点
，使得
，连接
，
此时
≌
，由此
，且
，
于是，
，
所以
是等腰三角形，
．
因此，
．
【知识点】角分线有关的辅助线
4. 如图，在
中，
，
的平分线
交
于点
．求证：
．
3
方法一：
方法二：
【解析】
【答案】证明见解析．
（截长）在
上截取
，连接
．
B
C
A
D
E
在
和
中，
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（补短）延长
到点
，使得
，连接
．
在
和
中，
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
，
4
方法三：
方法四：
∴
，
∴
．
（补短）延长
到点
，使得
，连接
，
则有
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图，作
平分
，交
、
于
、
两点，
延长
到
，使
，连接
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，又
，
即
．∴
，
∴
．∴
，
∵
，
且
，
，
∴
．∴
，
同理
，
5
【标注】
∵
，
，∴
，
∴
．
【知识点】截长补短
5.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
是
的平分线，若
，求证：
．
【答案】证明见解析．
在
上截取
，使
，
∵
平分
，
∴
，
∴在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】截长补短
6
6.
【解析】
如图，四边形
中，
平分
，
于
， 且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
法1：（截长，三线合一）在
上截取
，连接
，可证
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
法2：（截长构造全等）在
上截取
，连接
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
可证
≌
，
∴
．
法3：（补短构造全等）过
作
交
的延长线于
，
7
【标注】
∵
平分
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
又可证
≌
，
∴
．
【知识点】截长补短
7.
【解析】
如图，已知
中，
，
、
分别平分
、
，
为
、
的交点．
求证：
．
【答案】证明见解析．
截长法（或补短法）是证明线段和差问题的基本方法，
即在
上截取
，则
≌
，
以下只要证明
，充分利用角平分线构造全等三角形．
∵
，
8
【标注】
∴
，
又
，
，
∴
≌
，得
．
故
．
【知识点】截长补短
8.
【解析】
如图，在四边形
中，
，点
是边
上的点，
平分
，
平分
，
有下列结论：①
，②
为
的中点，③
，④
，其中正
确的有 ．（填序号）
【答案】②③④
过
作
平行
交
于
，
∵
平行
，
平分
，
∴
，
∴
．
同理
，
∴
，即
为
中点，
又∵
，
∴
是
的中点．
∵
，
中位线，
∴
．
∵
，
平分
，
∴
，
同理
，
∵
，
∴
，
∴
，
9
【标注】
∴
．
【知识点】平行线与角平分线综合；角分线有关的辅助线
9.
【解析】
如图，在四边形
中，
，
、
分别平分
、
，求证：
．
【答案】证明见解析．
如图，在
上截取
，连接
．
∵
平分
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
平分
，
∴
．
在
和
中，
10
【标注】
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
∴
．
【知识点】截长补短
10.
【解析】
已知：如图， 在
中，
， 且
，
平分
．若
，
， 且
交
于点
， 试探究线段
，
与
之间的数量关系， 并对你的结论
加以证明．
【答案】
．
．
理由：在
上截取
，使
．
∵
平分
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
．
∵
中，
，
，
∴
．
∴
．
∴
．
11
【标注】
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
【知识点】截长补短
2. 补短法
1.
方法一：
方法二：
【解析】
如图，在正方形
中，
是
的中点，
是
边上的一点，且
平分
．求证：
．
【答案】证明见解析．
过点
作
，
又
平分
，
∴
≌
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
延长
，
交于点
．
12
【标注】
先证明
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】截长补短
2.
【解析】
如图，已知点
，
分别在正方形
的边
，
上，且
．求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
至
，使
，连接
，
∴
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
∴
∵
，
∴
13
【标注】
∴
．
【知识点】旋转型全等
3.
【解析】
如图，正方形
的边长为，点
、
分别在边
、
上，
，则
的周
长等于 ．
A
B
C
D
E
F
【答案】
如图，向左延长线段
并截取
使得
，
在正方形中
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵正方形的边长为，
14
【标注】
∴
．
A
B
C
D
E
F
G
【知识点】全等三角形的判定
4.
【解析】
如图，正方形
的边长为，
、
分别是边
、
上的点，连接
．若
的周长是
，则
．
【答案】
延长
到
，使
，连接
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
.
在
和
中，
∵
∴
≌
，
∴
，
，
∵
的周长为，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
15
【标注】
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
