文档文本内容
1
【全等辅助线之截长补短类】题集【B】
1. 截长法
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，在
中，
、
的平分线交于点，若
，
，则
的度数是（ ）．
【答案】B
方法一：如图，在
上取
，连接
、
，
∵
平分
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
、
分别是
、
的平分线，
∴
是
的平分线，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
2
【标注】
∴
．
方法二：如图，延长
到
，使
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
、
分别是
、
的平分线，
∴
是
的平分线，
∴
，
又∵
，
，
∵
，
∴
．
故选．
【知识点】角分线性质定理
【能力】推理论证能力
2. 如图，在四边形
中，
平分
，
于
，且
．请你猜想
和
有什么数量关系？并证明你的猜想．
3
【解析】
【标注】
【答案】
；证明见解析．
猜想：
，
过
点作
延长线于点
，
∵
，
平分
，
∴
，
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
中，
的平分线交
于
．
若
，
，求
的大小．
若
，求证：
．
【答案】（1 ）
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）证明见解析．
在
上取点
，使得
，连接
．
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
．
在
上取点
，使得
，连接
．
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∵
，
∴
，
，
．
【知识点】截长补短
4. 如图，已知四边形
中，
，若
的平分线
交
于
，连接
，且
恰
好平分
，判断
的长与
的大小关系并证明．
【答案】证明见解析．
5
【解析】
【标注】
如图，在
上截取
，连接
，
易证
≌
，
∴
，
∴
，
易证
≌
，
∴
，
可证
．
【知识点】截长补短
（1 ）
（2 ）
5. 回答以下问题．
我们已经知道：在
中，如果
，则
，下面我们继续研究：如图
①，在
中，如果
，则
与
的大小关系如何？
为此，我们把
沿
的平分线翻折，因为
，所以点
落在
边的点
处，
如图②所示，然后把纸展平，连接
．接下来，你能推出
与
的大小关系了吗？试写
出说理过程．
图
图
如图③，在
中，
是角平分线，且
．求证：
．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
答案见解析．
答案见解析．
由题意，
≌
，
∴
，
又
，
∴
．
方法一：（截长）如图，在
上截取
，连接
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
图
方法二：（补短）如图，延长
到点
使得
，连接
．
在
和
中，
，
7
【标注】
∴
≌
．
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
图
方法三：（补短）如图，延长
到点
使得
，连接
，
则有
，
，
又∵
∴
，
∴
．
∵
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
图
【知识点】作三角形的高，中线和角平分线
6. 在四边形
中，点
为
边中点．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
【解析】
如图，若
平分
，
，求证：
平分
．
如图，若
平分
，
平分
，
，则线段
、
、
、
的长度满足的数量关系式为 ，请试着证明你的结论．
如图，若
，
，
，且
，则线段
的最大值
是 （直接写出答案）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
在
上截
，连
．
9
（2 ）
（3 ）
∴
≌
．
∴
，
．
又∵
．
∴
，
．
∴
．
又∵
，∴
．
∴
≌
．
∴
，
平分
．
在
上截
，
．连
、
．
∴
≌
．
≌
．
∴
，
．
∵
，∴
．
又∵
，
，
．
∴
．
∴
为等边三角形，∴
．
∴
．
10
【标注】
将
沿
翻折，
沿
翻折．
分别产生
和
．
∴
≌
，
≌
．
∴
，
．
，
，
．
∴
．
又∵
，
，
．
∴
．
∴
为等边三角形．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
最大值为
．
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】等边三角形的判定
【知识点】其它翻折问题
【知识点】轴对称的性质
【能力】推理论证能力
7. 在
中，
，
，
是
的两条角平分线，且
，
交于点
． 如图，用
等式表示
，
，
这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
小东通过观察、实验，提出猜想：
．他发现先在
上截取
，使
，
连接
，再利用三角形全等的判定和性质证明
即可．
11
1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整.
在
上截取
，使
，连接
，则可以证明
与 全等，判
定它们全等的依据是 .
由
，
，
是
的两条角平分线，可以得出
.
请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想
的过程．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
;
证明见解析.
∵
是
的平分线，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
.
如图：在
上截取
，使
，
∵
，
是
的两条角平分线，
∴
，
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
由（1）知，
，
∴
,
∵
是
的平分线，
所以
，
12
【标注】
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的平分线，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
∴
.
【知识点】多解或多种判定混合
（1 ）
（2 ）
8. 在
中，
．
如图，当
，
为
的角平分线时，求证：
．
图
如图，当
，
为
的角平分线时，线段
、
、
又有怎样的数量关
系？不需要证明，请直接写出你的猜想．
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
如图①，截
，或作
均可．
图
∵
为
的平分线，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
则
．
在
上截取
，如图②所示，
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【标注】
图
∵
为
的平分线，
∴
，
∵在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
则
．
【知识点】截长补短
2. 补短法
（1 ）
1. 农科所有一块五边形的试验田，用于种植号良种水稻进行试验，如图所示，已知五边形
中，
，
米．
若每平方米试验田需要水稻号良种
克，若在
和
试验田中种植号良种水
稻，问共需水稻号良种多少克？
15
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在该五边形试验田计划全部种上这种号良种水稻，现有号良种千克，问是否够用，通过计
算加以说明．
【答案】（1 ）
（2 ）
共需水稻号良种
克
不够用，证明见解析．
∵
米，
∴
平方米，
∵每平方米试验田需要水稻号良种
克，
∴共需水稻号良种
克．
延长
到
，使
，
∴
在
和
中，
，
∴
≌
（
）
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
）
∴五边形的面积等于
（平方米），
∵每平方米试验田需要水稻号良种
克，
∴共需要水稻号良种
（克）
∴不够用．
【知识点】全等三角形的对应边与角；全等形的定义
（1 ）
2. 已知正方形
中，点
是边
（或
的延长线）上任意一点，
平分
，交射线
于点
．
如图，若点
在线段
上．
16
1
2
（2 ）
1
2
（1 ）
【解析】
图
依题意补全图．
用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明．
如图，若点
在线段
的延长线上，请直接写出线段
，
，
之间的数量关系．
图
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
画图见解析．
，证明见解析．
数量关系：
．
补全图形，如图所示．
数量关系：
．
证明：在
的延长线上截取
，联结
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
．
17
（2 ）
【标注】
∴
，
．
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
又∵
，
，
∴
．
（证法二：在
的延长线上截取
，联结
）
数量关系：
．
【能力】运算能力
【能力】推理论证能力
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】截长补短
【知识点】SAS
【知识点】作角平分线
【知识点】正方形的性质
3. 综合应用
1.
【解析】
已知
中，
，
，
，
的平分线交
，
于
，
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
延长
到点
，使
，连接
，
则
∵
平分
，
∴
，
18
【标注】
∵
，
∴
≌
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
是
的角平分线，延长
至
，使
，连接
．
直接写出
的度数：
．
猜想线段
与
的数量关系为 ，并给出证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
，证明见解析．
截取
，连接
，
证明
≌
（
），
可证
，
．
可证
≌
（
），
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
19
3.
方法一：
方法二：
【解析】
已知等腰
，
，
的平分线交
于
，求证：
．
【答案】证明见解析．
（利用角平分作对称模型）如图，延长
到
，
使
，在
上截取
．
∵
，
为公共边，
∴
≌
，
，
．
∵
，
∴
．
∴
，
故
，
．
∵
，
∴
≌
．
∴
，
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，故
．
∴
，故
．
∵
，
∴
．
（截长法）：如图，在
上截取
，连接
，
过
作
，交
于
，
20
【标注】
于是
，
．
又∵
，
∴
，故
．
显然
是等腰梯形．
∴
，
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
．
又∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的判定
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，等腰
中，
，
的角平分线交
于
．
若
，求证：
．
若
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
在
上取点
、
，使得
，
，
∵
，
，
21
（2 ）
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
如图所示，在
上截取，
，连接
．
平分
，
．
在
和
中，
，
≌
．
．
．
，
，
，
．
22
【标注】
．
．
【能力】推理论证能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】截长补短
