第6 讲 函数的概念·分类练习（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
C
D
D
B
C
6
7
8
9
10
A
D
A
[1,+∞)
13 或-5
11
12
13
14
15
[1,2]
[- 1
2 ,2]
[3,6]
(-2,2)
16
17
18
19
20
[0,4)
[0, 3
4 )
见详解
见详解
21
22
23
24
25
见详解
见详解
B
(f（x）=\ln
x
26
27
28
29
30
B
ABD
[-3,5]
B
2
5
31
32
33
34
35
[ ❑√3,❑√6]
见详解
B
C
36
37
38
39
40
B
- 3
2
B
B
A
41
42
43
44
45
ACD
BCD
8
D
A
46
47
48
49
D
A
ABD
[ 3
2 ,+∞)
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
1.（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线x =a(a∈R)与函数y = f ( x)图象的交
点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 0 或1
D. 无法确定
【答案】C
【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，都有唯一的y与之对应.若a在函数
y = f ( x)的定义域内，则直线x =a与函数y = f ( x)的图象有1 个交点；若a不在函数y = f ( x)的定义
域内，则直线x =a与函数y = f ( x)的图象有0 个交点.综上，交点个数为0 或1.
【点拨】判断直线与函数图象的交点个数，紧扣函数定义中“定义域内任意一个自变量都有唯一
确定的函数值”这一核心特征即可.
2.（2024·山东潍坊·一模）存在函数f ( x)满足：对任意x∈R都有（ ）
A. f (| x |)= x
3
B. f (sin x)= x
2
C. f ( x
2+2 x)=| x|
D. f (| x|)= x
2+1
【答案】D
【解析】对于A，当x =1时，f (|1|)= f （1）=1；当x =-1时，f (|-1|)= f （1）=-1，不符
合函数定义，A 错误；
对于B，令x =0，则f (sin 0)= f （0）=0，令x = π，则f (sin π )= f （0）= π
2，不符合函数定义，
B 错误；
对于C，令x =0，则f （0）=0，令x =-2，则f （0）= f ((-2)
2+2(-2))=2，不符合函数定义，
C 错误；
对于D，f (| x |)= x
2+1=| x |
2+1，x∈R，则| x|≥0，则存在x ≥0时，f ( x)= x
2+1，符合函数
定义，即存在函数f ( x)= x
2+1( x ≥0)满足：对任意x∈R都有f (| x |)= x
2+1，D 正确.
【点拨】检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值，通过举
反例可快速排除错误选项.
3.如图，可以表示函数f ( x)的图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只能有唯一的y与之对应，作垂直于x轴
的直线，观察其与图象的交点个数，只有D 满足要求.
【点拨】利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于x轴的直线与图象至多有一个交点.
4.函数y = f ( x)的图象与直线x =1的交点个数（ ）
A. 至少1 个
B. 至多1 个
C. 仅有1 个
D. 有0 个、1 个
或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f ( x)的定义域内，y = f ( x)的图象与直线x =1没有交点；
若1在函数f ( x)的定义域内，y = f ( x)的图象与直线x =1有1个交点.
所以交点个数为至多1个.
【点拨】结合函数定义域的限制，考虑直线x =1是否穿过函数的定义域区间，从而确定交点情况.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. f ( x)=lg x
2，g( x)=2lg x
B. f ( x)=lg x +1
x -1，g( x)=lg( x +1)-lg( x -1)
C. f (u)= ❑√
1+u
1-u，g(v)= ❑√
1+ v
1- v
D. f ( x)=(❑√x)
2，g( x)=
❑√x
2
【答案】C
【解析】对于A：f ( x)=lg x
2的定义域为{x∣x≠0}，g( x)=2lg x的定义域为(0,+∞).∵定义域不
同，∴f ( x)和g( x)不是同一个函数.故A 错误；
对于B：f ( x)=lg x +1
x -1的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，g( x)=lg( x +1)-lg( x -1)的定义域为
(1,+∞).∵定义域不同，∴f ( x)和g( x)不是同一个函数.故B 错误；
对于C：f (u)= ❑√
1+u
1-u的定义域为[-1,1)，g(v)= ❑√
1+ v
1- v 的定义域为[-1,1)，∴定义域相同.又对
应关系也相同，∴为同一个函数.故C 正确；
对于D：f ( x)=(❑√x)
2的定义域为[0,+∞)，g( x)=
❑√x
2的定义域为R.∵定义域不同，∴f ( x)和
g( x)不是同一个函数.故D 错误.
【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致，切忌先化简
再求定义域.
6.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A. y =| x|，u=
❑√v
2
B. y =
❑√x
2，s =(❑√t )
2
C. y = x
2-1
x -1 ，m=n+1 D. y = ❑√x +1⋅❑√x -1，y =
❑√x
2-1
【答案】A
【解析】对于A，y =| x|和u=
❑√v
2=|v |的定义域都是R，对应关系也相同，是同一个函数，故
选项A 正确；
对于B，函数y =
❑√x
2的定义域为R，函数s =(❑√t )
2的定义域为[0,+∞)，定义域不同，不是同一个
函数，故选项B 错误；
对于C，函数y = x
2-1
x -1 的定义域为{x∣x≠1}，函数m=n+1的定义域为R，定义域不同，不是同一
个函数，故选项C 错误；
对于D，函数y = ❑√x +1⋅❑√x -1的定义域为{x∣x ≥1}，函数y =
❑√x
2-1的定义域为
(-∞,-1]∪[1,+∞)，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误.
【点拨】紧抓定义域和对应法则两要素，自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.
7.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. f ( x)=e
ln x，g( x)= x
B. f ( x)= x
2- 4
x +2 ，g( x)= x -2
C. f ( x)= x
0，g( x)=1
D. f ( x)=| x|，x∈{-1,0,1}，g( x)= x
2，x∈{-1,0,1}
【答案】D
【解析】对于A：f ( x)=e
ln x的定义域是(0,+∞)，g( x)= x的定义域是R，两个函数的定义域不相
同，不是同一函数；
对于B：f ( x)= x
2- 4
x +2 的定义域是{x∣x≠-2}，g( x)= x -2的定义域是R，两个函数的定义域不相
同，不是同一函数；
对于C：f ( x)= x
0的定义域为{x∣x≠0}，g( x)=1的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是
同一函数；
对于D：f ( x)对应点的坐标为{(-1,1),(0,0),(1,1)}，g( x)对应点的坐标为
{(-1,1),(0,0),(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数.
【点拨】离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标比对最为直
观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
8.已知等腰三角形的周长为40cm，底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数，则函数的定义域为（
）
A. (10,20)
B. (0,10)
C. (5,10)
D. [5,10)
【答案】A
【解析】由题设有y = 40-2 x，
由{
40-2 x>0
x + x>40-2 x得10< x<20，故选A.
【点拨】实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义，如三
角形两边之和大于第三边.
9.函数f ( x)= ❑√
x -1
x
2+1的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[1,+ ∞)
【解析】令x -1
x
2+1
≥0，∵x
2+1>0，∴可得x -1≥0，解得x ≥1.
故函数f ( x)= ❑√
x -1
x
2+1
的定义域为[1,+∞).
【点拨】偶次根式要求被开方数非负，结合分母恒正的特点，可快速将分式不等式转化为整式不
等式.
10.若y =
❑√x
2-9+
❑√9- x
2
x -2
+1，则3 x + 4 y =＿＿＿＿＿＿.
【答案】13 或-5
【解析】由y =
❑√x
2-9+
❑√9- x
2
x -2
+1有意义可得
{
x
2-9≥0
9- x
2≥0
x -2≠0
，解得x
2=9，所以x =3或x =-3.
当x =3时，y =1，3 x + 4 y =13；
当x =-3时，y =1，3 x + 4 y =-5.
【点拨】当被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
11.已知函数y = f (1+ ❑√1- x)的定义域为{x∣0≤x ≤1}，则函数y = f ( x)的定义域为＿＿＿＿
＿＿.
【答案】[1,2]
【解析】令u=1+ ❑√1- x，由0≤x ≤1得：-1≤- x ≤0⇒0≤1- x ≤1，
所以0≤❑√1- x ≤1⇒1≤1+ ❑√1- x ≤2，即1≤u≤2，
所以，函数y = f ( x)的定义域为[1,2].
【点拨】已知复合函数f (g( x))的定义域求f ( x)的定义域，实质上就是求内层函数g( x)的值域.
12.已知函数f ( x)的定义域为[-2,3]，则函数f (2 x -1)的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[- 1
2 ,2]
【解析】由-2≤2 x -1≤3解得- 1
2 ≤x ≤2，
所以函数f (2 x -1)的定义域为[- 1
2 ,2].
【点拨】已知f ( x)的定义域求f (g( x))的定义域，只需令g( x)在已知定义域范围内，解出x即可.
13.已知函数f ( x)的定义域为[- 1
2 , 1
2 ]，则函数y = f ( x
2- x - 1
2 )的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[ 1- ❑√5
2
,0]∪[1, 1+ ❑√5
2
]
【解析】因为函数y = f ( x)的定义域为[- 1
2 , 1
2 ]，
所以在函数y = f ( x
2- x - 1
2 )中，- 1
2 ≤x
2- x - 1
2 ≤1
2，
解得1- ❑√5
2
≤x ≤0或1≤x ≤1+ ❑√5
2
，
故函数y = f ( x
2- x - 1
2 )的定义域为[ 1- ❑√5
2
,0]∪[1, 1+ ❑√5
2
].
【点拨】解一元二次不等式组时，可借助二次函数的图象辅助求解，确保区间端点计算准确无误.
14.已知函数f ( x +1)定义域为[1,4 ]，则函数f ( x -1)的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[3,6]
【解析】因f ( x +1)的定义域为[1,4 ]，则当1≤x ≤4时，2≤x +1≤5，
即f ( x)的定义域为[2,5]，于是f ( x -1)中有2≤x -1≤5，解得3≤x ≤6，
所以函数f ( x -1)的定义域为[3,6].
【点拨】此类问题可采用“过渡法”，先求出外层函数f 的抽象定义域，再代入新的复合解析式中
求解.
考法5：根据函数定义域为R 求参数范围
15.已知f ( x)= ln( x
2-ax +1)的定义域为R，那么a的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
【答案】(-2,2)
【解析】依题可知，x
2-ax +1>0的解集为R，
所以Δ=a
2- 4<0，解得-2<a<2.
【点拨】对数型函数的定义域为R，等价于其真数部分的二次函数恒大于零，利用判别式Δ<0即
可.
16.若函数f ( x)=
2 x -3
❑√a x
2+ax +1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[0,4)
【解析】f ( x)的定义域是R，则a x
2+ax +1>0恒成立.
当a=0时，1>0恒成立；
当a≠0时，则{
a>0
Δ=a
2- 4 a<0，解得0<a<4.
综上，0≤a<4.
【点拨】遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏
解.
17.函数f ( x)=
1
a x
2+ 4 ax +3的定义域为(-∞,+∞)，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[0, 3
4 )
【解析】因为函数f ( x)=
1
a x
2+ 4 ax +3的定义域为R，所以a x
2+ 4 ax +3≠0的解为R，
即函数y =a x
2+ 4 ax +3的图象与x轴没有交点.
（1）当a=0时，函数y =3与x轴没有交点，故a=0成立；
（2）当a≠0时，要使函数y =a x
2+ 4 ax +3的图象与x轴没有交点，则Δ=(4 a)
2-12a<0，解得
0<a< 3
4 .
综上：实数a的取值范围是[0, 3
4 ).
【点拨】分式函数的定义域为R，即分母恒不为零.对于二次型分母，需满足判别式Δ<0，同时不
忘检验系数为零的情形.
18.若函数f ( x)= ❑√2
x
2-2ax -a- 1
2的定义域是R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-1- ❑√5
2
,-1+ ❑√5
2
]
【解析】由函数f ( x)= ❑√2
x
2-2ax -a- 1
2的定义域为R，得2
x
2-2ax -a- 1
2 ≥0恒成立，
化简得x
2-2ax -a+1≥0恒成立，
所以由Δ= 4 a
2- 4(1-a)≤0解得：-1- ❑√5
2
≤a≤-1+ ❑√5
2
.
【点拨】结合指数函数的单调性，将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立
问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
19.已知f(
1- x
1+ x)= 1- x
2
1+ x
2，求f ( x)的解析式.
【答案】f ( x)= 2 x
x
2+1
( x≠-1)
【解析】由f(
1- x
1+ x)= 1- x
2
1+ x
2，令t = 1- x
1+ x ，t ≠-1，则x = 1-t
1+t ，
所以f (t )=
1-(
1-t
1+t)
2
1+(
1-t
1+t)
2 = 2t
t
2+1，t ≠-1，
所以f ( x)= 2 x
x
2+1
( x≠-1).
【点拨】利用换元法求解析式时，务必求出新元的取值范围，即为所求函数的定义域.
20.求下列函数的解析式：
（1）已知f (1-sin x)=cos
2 x，求f ( x)的解析式；
（2）已知f(x + 1
x)= x
2+ 1
x
2，求f ( x)的解析式；
（3）已知f ( x)是一次函数且3 f ( x +1)-2f ( x -1)=2 x +17，求f ( x)的解析式；
（4）已知f ( x)满足2f ( x)+ f (- x)=3 x，求f ( x)的解析式.
【答案】（1）f ( x)=2 x - x
2( x ∈[0,2]) （2）f ( x)= x
2-2( x ∈(-∞,-2]∪[2,+ ∞)) （3）
f ( x)=2 x +7 （4）f ( x)=3 x
【解析】（1）设1-sin x =t，t ∈[0,2]，则sin x =1-t.
∵f (1-sin x)=cos
2 x =1-sin
2 x，
∴f (t )=1-(1-t )
2=2t -t
2，t ∈[0,2]，
即f ( x)=2 x - x
2，x∈[0,2].
（2）∵f(x + 1
x)= x
2+ 1
x
2 =(x + 1
x)
2
-2，
由对勾函数y = x + 1
x 的性质可得，其值域为(-∞,-2]∪[2,+ ∞)，
所以f ( x)= x
2-2，x∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
（3）由f ( x)是一次函数，可设f ( x)=ax +b(a≠0)，
∴3[a( x +1)+b]-2[a( x -1)+b]=2 x +17，即ax +(5a+b)=2 x +17，
∴{
a=2
5a+b=17，解得{
a=2
b=7，
∴f ( x)的解析式是f ( x)=2 x +7.
（4）∵2f ( x)+ f (- x)=3 x ①，
∴将x用- x替换，得2f (- x)+ f ( x)=-3 x ②，
由①②解得f ( x)=3 x.
【点拨】求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.在换元和配凑时，
新元的范围决定了函数的定义域.
21.根据下列条件，求f ( x)的解析式：
（1）已知f ( x)满足f ( x +1)= x
2+ 4 x +1
（2）已知f ( x)是一次函数，且满足3 f ( x +1)- f ( x)=2 x +9；
（3）已知f ( x)满足2f(
1
x)+ f ( x)= x( x≠0).
【答案】（1）f ( x)= x
2+2 x -2 （2）f ( x)= x +3 （3）f ( x)= 2
3 x - x
3 ( x≠0)
【解析】（1）令t = x +1，则x =t -1，
故f (t )=(t -1)
2+ 4(t -1)+1=t
2+2t -2，
所以f ( x)= x
2+2 x -2；
（2）设f ( x)=kx +b，
因为3 f ( x +1)- f ( x)=2 x +9，
所以3k( x +1)+3b-kx -b=2 x +9，
即2kx +3k +2b=2 x +9，
所以{
2k =2
3k +2b=9，解得{
k =1
b=3，
所以f ( x)= x +3；
（3）因为2f(
1
x)+ f ( x)= x( x≠0) ①，
所以2f ( x)+ f(
1
x)= 1
x ②，
2×②-①得3 f ( x)= 2
x - x，
所以f ( x)= 2
3 x - x
3 ( x≠0).
【点拨】方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构造出
关于f ( x)的方程组进行求解.
22.根据下列条件，求函数f ( x)的解析式．
（1）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x，则f ( x)的解析式为＿＿＿＿＿＿；
（2）已知f ( x)满足2f ( x)+ f(
1
x)=3 x，求f ( x)的解析式．
（3）已知f （0）=1，对任意的实数x，y都有f ( x - y)= f ( x)- y(2 x - y +1)，求f ( x)的解
析式．
【答案】（1）f ( x)= x
2-1( x ≥1) （2）f ( x)=2 x - 1
x ( x≠0) （3）f ( x)= x
2+ x +1
【解析】（1）方法一(换元法)：令❑√x +1=t，则x =(t -1)
2，t ≥1.
所以f (t )=(t -1)
2+2(t -1)=t
2-1(t ≥1)，
所以函数f ( x)的解析式为f ( x)= x
2-1( x ≥1).
方法二(配凑法)：f (❑√x +1)= x +2❑√x = x +2❑√x +1-1=(❑√x +1)
2-1.
因为❑√x +1≥1，所以函数f ( x)的解析式为f ( x)= x
2-1( x ≥1).
（2）将1
x 代入2f ( x)+ f(
1
x)=3 x，得2f(
1
x)+ f ( x)= 3
x ，
因此{
2f ( x)+ f(
1
x)=3 x
2f(
1
x)+ f ( x)= 3
x
，解得f ( x)=2 x - 1
x ( x≠0).
（3）令x =0，得f (- y)= f （0）- y(- y +1)=1+ y
2- y =(- y)
2+(- y)+1，
所以f ( y )= y
2+ y +1，即f ( x)= x
2+ x +1.
【点拨】对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值（如
0），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
23.（2026·福建福州·3 月检测）已知函数f ( x)的定义域为R，且
f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy +1，f （1）=0，则f （6）=（ ）
A. 34
B. 35
C. 36
D. 37
【答案】B
【解析】在f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy +1中，且f （1）=0，
令x = y =1，得f (1+1)= f （1）+ f （1）+2×1×1+1⇒f （2）=3，
令x =1, y =2，得f (1+2)= f （1）+ f （2）+2×1×2+1⇒f （3）=8，
令x = y =3，得f (3+3)= f （3）+ f （3）+2×3×3+1⇒f （6）=35.
【点拨】利用赋值法，从已知条件出发，逐步递推求出目标函数值.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
24.（2026·省十教育·最后一卷）写出一个满足下列条件的函数f ( x)的解析式：＿＿＿＿＿
＿.
①f (- x)= f ( x)；
②对任意正数x1,t ,f ( x1+t )>f ( x1)；
③∀x1, x2∈(0,+ ∞)，f(
x1+ x2
2 )> f ( x1)+ f ( x2)
2
；
④f ( x1⋅x2)= f ( x1)+ f ( x2).
【答案】f ( x)= ln| x|（答案不唯一）
【解析】条件①表明函数为偶函数；条件②表明函数为(0,+∞)上的单调递减函数；条件③表明函
数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方；条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数
大于1的对数函数具有类似②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故f ( x)可以是由对数
函数构造的一类函数，比如f ( x)= ln| x|，或f ( x)=lg| x|，f ( x)= ln x
2等都符合条件.
【点拨】根据函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数中寻找原型并进
行适当改造.
25.（2024·深圳外校·阶段练习）写出一个满足：f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy的函数解析式为
＿＿＿＿＿＿.
【答案】f ( x)= x
2
【解析】f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy中，令x = y =0，解得f （0）=0，
令y =- x得f ( x - x)= f ( x)+ f (- x)-2 x
2，故f ( x)+ f (- x)=2 x
2，
不妨设f ( x)= x
2，满足要求.
【点拨】通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，猜想出符合条件的
具体函数.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
26.（2026·江苏南通·一模）已知函数f ( x)= ❑√ln 2 x，定义域为A，值域为B，那么下列说法
正确的是（ ）
A. A ∩B = R
B. A ∪B = B
C. A ∈B
D. {0}∈A
【答案】B
【解析】由题设{
x>0
ln 2 x ≥0 ⇒x ≥1
2，则A =[ 1
2 ,+∞)，值域B =[0,+∞)，
所以A ∩B = A，A ∪B = B，集合之间关系不能用∈表示，
所以A、C、D 错，B 对.
【点拨】求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则根据内层函数的范围向外推导.
27.（2026·湖北随州六校·一模）（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是
（ ）
A. y =- x +1
B. y ={
1
x
3 ,
x ≤0
1
x
3 ,
x>0
C. y = ln| x|
D. y = 2 x -1
x -2
【答案】ABD
【解析】对A，函数y =- x +1的定义域和值域都是R；
对B，易得函数y ={
1
x
3 ,
x ≤0
1
x
3 ,
x>0
的定义域为R，
当x ≤0时，y = 1
x
3 ∈(-∞,0]；当x>0时，y = 1
x
3 ∈(0,+∞)，故函数的值域为R；
对C，函数y = ln| x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，值域为R；
对D，因为函数y = 2 x -1
x -2 =2+
3
x -2，所以函数的定义域为(-∞,2)∪(2,+ ∞)，值域为
(-∞,2)∪(2,+∞).
【点拨】逐一分析各选项函数的定义域和值域，特别注意分段函数需分段求值域后再取并集.
28.若函数y = f ( x)的值域是[-1,3]，则函数g( x)=3-2f ( x +1)的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-3,5]
【解析】因为函数y = f ( x)的值域是[-1,3]，
所以函数y = f ( x +1)的值域为[-1,3]，
则y =-2f ( x +1)的值域为[-6,2]，
所以函数g( x)=3-2f ( x +1)的值域为[-3,5].
【点拨】自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
29.（2026·湖北新八校·二模）已知函数f ( x)= e
2 x -1
e
x+2 ，则该函数的值域为（ ）
A. [2❑√3- 4 ,+ ∞)
B. (- 1
2 ,+∞)
C. [- 1
2 ,+∞)
D. (-1,+∞)
【答案】B
【解析】f ( x)= e
2 x -1
e
x+2
= (e
2 x - 4)+3
e
x+2
=e
x -2+
3
e
x+2
=e
x+2+
3
e
x+2
- 4，
令e
x+2=t，则t >2，则原函数的值域等价于函数y =t + 3
t - 4(t >2)的值域，
y
' =1- 3
t
2 >0恒成立，即y =t + 3
t - 4(t >2)单调递增，所以值域为(- 1
2 ,+∞).
【点拨】对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用分离常数法或换元法转化为对勾函数模型
求解.
30.（2024·重庆巴蜀中学·练习）函数y =
❑√x
2+ 4
x
2+5 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
5
【解析】因为y =
❑√x
2+ 4
x
2+5
=
❑√x
2+ 4
x
2+ 4+1
=
1
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
，
令t =
❑√x
2+ 4，则t ≥2，
令g( x)= x + 1
x ，x∈[2,+ ∞)，因为函数g( x)= x + 1
x 在[2,+∞)上单调递增，所以
g( x)∈[ 5
2 ,+∞)，
即
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
∈[ 5
2 ,+∞)，则
1
❑√x
2+ 4+
1
❑√x
2+ 4
∈(0, 2
5 ]
，
即函数y =
❑√x
2+ 4
x
2+5
的最大值为2
5，当且仅当x =0时取等号.
【点拨】通过分子分母同除以分子，将函数转化为对勾函数的形式，注意换元后新变量的取值范
围.
31.函数y = ❑√1- x + ❑√2+ x的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[ ❑√3,❑√6]
【解析】由y = ❑√1- x + ❑√2+ x有意义可得{
1- x ≥0
2+ x ≥0，所以-2≤x ≤1，
y = ❑√1- x + ❑√2+ x的定义域为[-2,1]，
y =(❑√1- x + ❑√2+ x)
2=1- x +2+ x +2❑√1- x⋅❑√2+ x =2❑√(1- x)(2+ x)+3=2
❑√- x
2- x +2+3=2❑√-( x + 1
2 )
2+ 9
4 +
，
设t =-( x + 1
2 )
2，则t ∈[- 9
4 ,0]，y =2❑√t + 9
4 +3，则y ∈[ ❑√3,❑√6].
【点拨】求形如y = ❑√a- x + ❑√x +b的函数值域，通常采用平方化简法，将其转化为二次函数求最
值.
32.函数y = sin x +2
cos x -2的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[- 4 + ❑√7
3
,- 4+ ❑√7
3
]
【解析】y = sin x +2
cos x -2表示点(cos x ,sin x)与点(2,-2)连线的斜率，
∵(cos x ,sin x)的轨迹为圆x
2+ y
2=1，
∴y = sin x +2
cos x -2表示圆x
2+ y
2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率，
由图象可知：过(2,-2)作圆x
2+ y
2=1的切线，斜率必然存在，
则设过(2,-2)的圆x
2+ y
2=1的切线方程为y +2=k( x -2)，即kx - y -2k -2=0，
∴圆心(0,0)到切线的距离d =|-2k -2|
❑√k
2+1
=1，解得：k =- 4± ❑√7
3
，
结合图象可知：圆x
2+ y
2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率的取值范围为[- 4+ ❑√7
3
,- 4+ ❑√7
3
]，
即y = sin x +2
cos x -2的值域为[- 4 + ❑√7
3
,- 4 + ❑√7
3
].
【点拨】对于形如y = sin x +a
cos x +b的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.
33.求下列函数的值域：
（1）y = 3+ x
4 - x ；
（2）y =
5
2 x
2- 4 x +3；
（3）y = ❑√1-2 x - x；
（4）y = x
2+ 4 x +3
x
2+ x -6 ；
（5）y = 4 -
❑√3+2 x - x
2；
（6）y = x + ❑√1-2 x；
（7）y = ❑√x -3+ ❑√5- x；
（8）y =
❑√- x
2-6 x -5
（9）y = 3 x +1
x -2 ；
（10）y = 2 x
2- x +1
2 x -1
( x> 1
2 ).
【答案】（1）(-∞,-1)∪(-1,+∞) （2）(0,5] （3）[- 1
2 ,+∞) （4）{ y ∣y ≠1且y ≠2
5 }
（5）[2,4 ] （6）(-∞,1] （7）[ ❑√2,2] （8）[0,2] （9）(-∞,3)∪(3,+∞) （10）
[ ❑√2+ 1
2 ,+∞)
【解析】（1）分式函数y = 3+ x
4 - x =-1-
7
x - 4 ，定义域为{x∣x≠4}，故7
x - 4 ≠0，所有y ≠-1，故
值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)；
（2）函数y =
5
2 x
2- 4 x +3中，分母t =2 x
2- 4 x +3=2( x -1)
2+1≥1，则y = 5
t ∈(0,5]，故值域为
(0,5]；
（3）函数y = ❑√1-2 x - x中，令1-2 x ≥0得x ≤1
2，易见函数y = ❑√1-2 x和y =- x都是减函数，故
函数y = ❑√1-2 x - x在x ≤1
2时是递减的，故x = 1
2时ymin=- 1
2，故值域为[- 1
2 ,+∞)；
（4）y = x
2+ 4 x +3
x
2+ x -6
= x +1
x -2 =1+
3
x -2，( x≠-3)，故值域为{ y ∣y ≠1且y ≠2
5 }；
（5）y = 4 -
❑√3+2 x - x
2= 4 -
❑√-( x -1)
2+ 4，x∈[-1,3]，而0≤-( x -1)
2+ 4≤4，x∈[0,4 ]，
∴0≤
❑√-( x -1)
2+ 4≤2，∴4 -2≤4 -
❑√-( x -1)
2+ 4≤4 -0，即2≤y ≤4，故值域为[2,4 ]；
（6）函数y = x + ❑√1-2 x，定义域为(-∞, 1
2 ]，令t = ❑√1-2 x ≥0，所以x = 1-t
2
2
，所以
y = 1-t
2
2
+t =- 1
2 t
2+t + 1
2，t ≥0，对称轴方程为t =1，所以t =1时，函数ymax =- 1
2 +1+ 1
2 =1，故值
域为(-∞,1]；
（7）由题意得{
x -3≥0
5- x ≥0，解得3≤x ≤5，则y
2=2+2❑√( x -3)(5- x)=2+2
❑√-( x - 4)
2+1，3≤x ≤5，
故-( x - 4)
2+1∈[0,1]，2
❑√-( x - 4)
2+1∈[0,2]，∴2≤y
2≤4，由y的非负性知，❑√2≤y ≤2，
故函数的值域为[ ❑√2,2]；
（8）函数y =
❑√- x
2-6 x -5=
❑√-( x +3)
2+ 4，定义域为[-5,-1]，-( x +3)
2+ 4∈[0,4 ]，故
y =
❑√-( x +3)
2+ 4∈[0,2]，即值域为[0,2]；
（9）函数y = 3 x +1
x -2 =3+
7
x -2，定义域为{x∣x≠2}，故7
x -2 ≠0，所有y ≠3，故值域为
(-∞,3)∪(3,+∞)；
（10）函数y = 2 x
2- x +1
2 x -1
= (2 x -1)
2+(2 x -1)+2
2(2 x -1)
= 1
2[(2 x -1)+
2
2 x -1]+ 1
2，令t =2 x -1，则由
x> 1
2知，t >0，y = 1
2 (t + 2
t )+ 1
2，根据对勾函数t + 2
t 在(0,❑√2)递减，在[ ❑√2,+∞)递增，可知
t = ❑√2时，ymin= 1
2 ×2❑√2+ 1
2 = ❑√2+ 1
2，故值域为[ ❑√2+ 1
2 ,+∞).
【点拨】本题综合考查了求函数值域的常用方法：分离常数法、配方法、单调性法、换元法、平
方化简法等，需根据解析式结构灵活选择.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
34.（2025·福建福州一中·5 月模考）若函数f ( x)={
2
x+3,
x ≤0
( x -2)
2,
0< x ≤a的定义域和值域的交集
为空集，则a的取值范围是（ ）
A. (0,2)
B. (0,1)
C. (1,4)
D. (2,4)
【答案】B
【解析】由题设f ( x)={
2
x+3,
x ≤0
( x -2)
2,
0< x ≤a，则定义域为(-∞,a].
当x ≤0时，2
x∈(0,1]，2
x+3∈(3,4 ].
当0< x ≤a时，若a≤2，值域为[(a-2)
2,4)；若a>2，值域为[0,4).
因为定义域和值域交集为空集，即(-∞,a]∩值域=∅.
由于值域中包含(3,4 ]，所以必有a<3.
若a≥2，值域包含[0,4)，与(-∞,a]交集不为空（因为a≥2，[0,4)∩(-∞,a]⊃[0,2]）.
若0<a<2，值域为[(a-2)
2,4)∪(3,4 ].要使(-∞,a]与值域无交集，必须a<(a-2)
2，且a≤3（已
满足）.
解a<(a-2)
2，即a
2-5a+ 4>0，得a<1或a>4.
结合0<a<2，得0<a<1.
所以a的取值范围是(0,1).
【点拨】分段求出函数的值域，再根据集合交集为空集的条件列出关于参数的不等式组求解.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
35.（2026·山东菏泽·二模）已知函数f ( x)={
log2( x
2+ 4),
x>0
f ( x +2),
x ≤0，则f （0）=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】由分段函数的解析式，当x ≤0时，f ( x)= f ( x +2)，所以f （0）= f (0+2)= f （2）.又
因为当x>0时，f ( x)= log2( x
2+ 4)，所以f （2）= log2(2
2+ 4)= log28=3.因此f （0）=3.
【点拨】求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式，若自变量不在直接
可求的区间内，需利用递推关系转化.
36.（2026·广东广州·一模）已知函数f ( x)={
log3( x -1),
x>1
3
x ,
x ≤1，则f (f (log32))=（ ）
A. -1
B. 0
C. log32
D. 2
【答案】B
【解析】因为0<log32<1，所以f (log32)=3
log32=2，
所以f (f (log32))= f （2）= log3(2-1)= log31=0.
【点拨】准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解分段函数值的关键.
37.（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数f ( x)={
2
x -1-2,
x ≤1
log2( x +1),
x>1，且f (a)=3，则f (7-a)的
值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】- 3
2
【解析】当x ≤1时，2
x -1-2≤2
0-2=-1，
当x>1时，log2( x +1)>1.
由f (a)=3，得a>1，则log2(a+1)=3，解得a=7，
所以f (7-a)= f （0）=2
-1-2=- 3
2.
【点拨】已知函数值求自变量，需先求出各段函数的值域，根据函数值所在的值域区间确定自变
量所在的区间.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
38.（2026·浙江精诚联盟·二模）已知函数f ( x)={
x( x + 4),
x ≥0,
x(4 - x),
x<0,若f (a)=12，则实数a=（
）
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2
【答案】B
【解析】当a≥0时，a(a+ 4)=12，解得a=2或a=-6（舍），
当a<0时，a(4 -a)=12，即a
2- 4 a+12=0，Δ=16- 48=-32<0，方程无实数解，
所以a=2.
【点拨】解分段函数方程时，需分段建立方程并求解，最后务必检验求出的解是否在对应的定义
域区间内.
39.（2026·河北名校协作体·模拟）已知函数f ( x)={
❑√x ,
x ≥0
- x +a,
x<0，若f (2a)= f (2a+8)，则
f (f (-6))=（ ）
A. 1
B. 2
C. 5
2
D. 3 ❑√2
2
【答案】B
【解析】若2a≥0，则2a+8>0，因为函数y = ❑√x在[0,+∞)单调递增，且2a+8>2a，所以方程
f (2a)= f (2a+8)无解；
若2a<0，2a+8≥0，则f (2a)=-2a+a=-a，f (2a+8)= ❑√2a+8，得到-a= ❑√2a+8，整理得
a
2-2a-8=0，解得a= 4（舍）或a=-2；
若2a<0，2a+8<0，因为函数y =- x +a在(-∞,0)单调递减，且2a+8>2a，所以方程
f (2a)= f (2a+8)无解；
综上，a=-2，f ( x)={
❑√x ,
x ≥0
- x -2,
x<0，
所以f (-6)=-(-6)-2= 4，f (f (-6))= f （4 ）= ❑√4 =2.
【点拨】对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨
论.
40.（2025·江西十校协作体·二模）已知函数f ( x)={
4
x ,
x ≥0
2
a- x ,
x<0，若f (1-a)= 4，则a的值为
（ ）
A. 0或3
2
B. 0或1
2
C. 1
2
D. 3
2
【答案】A
【解析】若1-a≥0，即a≤1，则f (1-a)= 4
1-a= 4，解得a=0；
若1-a<0，即a>1，则f (1-a)=2
a-(1-a)=2
2a-1= 4，解得a= 3
2.
综上，a的值为0或3
2.
【点拨】同上，根据自变量表达式的符号进行分类讨论，解出参数后需检验是否满足分类条件.
41.（多选）已知函数f ( x)={
-3 x +5,
x ≥0
x + 1
x ,
x<0，若f (f (a))=- 5
2，则实数a的值可能为
（ ）
A. 7
3
B. - 4
3
C. -1
D. 11
6
【答案】ACD
【解析】当a≥0时，f (a)=-3a+5，
其中当0≤a≤5
3时，f (a)≥0，此时f (f (a))=-3(-3a+5)+5=- 5
2，解得a= 5
6，符合题意；
当a> 5
3时，f (a)<0，此时f (f (a))=(-3a+5)+
1
-3a+5 =- 5
2，解得a= 7
3或11
6 ，符合题意；
当a<0时f (a)=a+ 1
a，必有f (a)<0，
此时f (f (a))=(a+ 1
a )+
1
a+ 1
a
=- 5
2，变形可得a+ 1
a =-2或- 1
2，
若a+ 1
a =-2，解得a=-1，
若a+ 1
a =- 1
2，无解；
综合可得：a=-1或5
6或7
3或11
6 .
【点拨】由外向内逐层剥离求解，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内.
42.（多选）已知函数f ( x)={
2
x ,
x ≤0
|log2 x|,
x>0，则使f (f ( x))=1的x可以是（ ）
A. - 4
B. -1
C. 1
D. 4
【答案】BCD
【解析】①当f ( x)≤0时，由f (f ( x))=2
f ( x)=1，可得f ( x)=0，
若x ≤0时，则f ( x)=2
x>0，此时f ( x)=0无解，
若x>0时，由f ( x)=|log2 x|=0，解得x =1；
②当f ( x)>0时，由f (f ( x))=|log2f ( x)|=1，可得f ( x)=2或f ( x)= 1
2.
若x ≤0时，则f ( x)=2
x∈(0,1]，由f ( x)=2
x= 1
2可得x =-1，方程f ( x)=2无解，
若x>0时，由f ( x)=|log2 x|= 1
2可得x = ❑√2或x =
❑√2
2 ，由f ( x)=|log2 x|=2可得x = 1
4 或x = 4.
综上所述，满足f (f ( x))=1的x的取值集合为{-1,1,❑√2,
❑√2
2 , 1
4 ,4}.
【点拨】同上，采用换元法，先求出内层函数的值，再作为外层函数的自变量求解.
43.（2025·福建厦门·检测）已知函数f ( x)={
- x
2,
x ≤0,
log2 x ,
x>0.若f (a)+ f (-1)=2，则a=＿＿＿
＿＿＿.
【答案】8
【解析】f (-1)=-(-1)
2=-1，所以f (a)=3，
因为x ≤0时，f ( x)=- x
2≤0，所以a>0，
f (a)= log2a=3，解得a=8.
【点拨】先求出确定部分的函数值，再根据目标函数值的大小判断未知参数所在的区间.
考法14：解分段函数不等式
44.（2026·江西南昌·一模）已知f ( x)={
2
- x ,
x ≤-1
- x
2+ 4 x +1,
x>-1，则不等式f ( x)<1的解集为（
）
A. (-∞,-1)
B. (4 ,+ ∞)
C. (-∞,0)∪(4 ,+ ∞) D. (-1,0)∪(4 ,+ ∞)
【答案】D
【解析】当x ≤-1时，f ( x)=2
- x<1=2
0，解得x>0，此时无解；
当x>-1时，f ( x)=- x
2+ 4 x +1<1，解得x<0或x>4，所以-1< x<0或x>4.
综上，不等式f ( x)<1的解集为(-1,0)∪(4 ,+∞).
【点拨】解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
45.（2026·江西三新·4 月训练）已知函数f ( x)={
x
2+3 x ,
x ≤0,
- 12
x +2 ,
x>0,若f (f (a))<-2，则a的取值
范围为（ ）
A. (- 4 ,-3)∪(- 3+ ❑√5
2
,-2)∪(-1,- 3- ❑√5
2
)∪(4 ,10)
B. (- 4 ,-3)∪(-3,- 3+ ❑√5
2
)∪(- 3- ❑√5
2
,0)∪(4 ,10)
C. (-∞,- 4)∪(-3,0)∪(4 ,+ ∞)
D. (-∞,- 4)∪(-3,0)∪(10,+ ∞)
【答案】A
【解析】作出f ( x)的图象.由f (f (a))<-2，可得-2<f (a)<-1或0<f (a)<4.
由0<f (a)<4，可得- 4<a<-3；
由-2<f (a)<-1，可得- 3+ ❑√5
2
<a<-2或-1<a<- 3- ❑√5
2
或4<a<10.
综上，a的取值范围为(- 4 ,-3)∪(- 3+ ❑√5
2
,-2)∪(-1,- 3- ❑√5
2
)∪(4 ,10).
【点拨】对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效.
46.已知f ( x)={
- x
2+2 x ,
x ≥0
x
2+2 x ,
x<0，满足f (a)<f (-a)，则a的取值范围是（ ）
A. (-∞,-2)∪(0,2)
B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-2,0)∪(0,2)
D. (-2,0)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】当a<0时，f (a)=a
2+2a，f (-a)=-a
2-2a，
所以f (a)<f (-a)⇔a
2+2a<-a
2-2a，即a
2+2a<0，解得-2<a<0，
当a>0时，f (a)=-a
2+2a，f (-a)=a
2-2a，
所以f (a)<f (-a)⇔-a
2+2a<a
2-2a，即a
2-2a>0，解得a>2，
所以，a的取值范围是(-2,0)∪(2,+ ∞).
【点拨】根据参数的正负分类讨论，分别代入对应的解析式化简求解.也可先判断函数的奇偶性辅
助求解.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
47.（2026·江西宜春十校·二模）已知函数f ( x)={
(3-a)x -3,
x ≤7
a
x -6,
x>7，若f ( x)满足
∀x1, x2∈R且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0成立，则实数a的取值范围为M；若数列{an}满
足an= f (n)={
(3-a)n-3,
n≤7
a
n-6,
n>7
(n∈N
*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为
N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A. M ⊂N
B. N ⊂M
C. M ∩N =∅
D. M = N
【答案】A
【解析】因为对∀x1, x2∈R且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0成立，所以f ( x)是R上的增函数，
{
3-a>0
a>1
7(3-a)-3≤a
解得9
4 ≤a<3，所以M =[ 9
4 ,3).
数列{an}满足an= f (n)={
(3-a)n-3,
n≤7
a
n-6,
n>7 (n∈N
*)，且{an}是递增数列，
所以{
3-a>0
a>1
f （7）<f （8）
，即{
3-a>0
a>1
(3-a)×7-3<a
8-6，解得2<a<3，所以N =(2,3)，
故M ⊂N.
【点拨】分段函数在R上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关
系满足单调性.数列的单调性只需保证相邻项满足大小关系即可.
48.（2026·河南湘豫名校·5 月预测）（多选）已知a>0且a≠1，函数f ( x)={
a
x -a,
x<1,
loga x ,
x ≥1,则
下列说法正确的是（ ）
A. 若a>1，则f ( x)为增函数
B. 若a>1，则f ( x)>0的解集为(1,+ ∞)
C. 若0<a<1，则f ( x)的图象关于直线y = x -1对称
D.
∃m∈R
，∀n∈N
*
，
恒为常数
【答案】ABD
【解析】对于 A,B，当 a>1 时，f ( x) 的图象如图，可知 A,B 正确；对于 C，f (0)=1-a，
f (2)= loga2，可得点 (0,1-a)，(2,loga2) 连线的斜率并不恒为 -1，C 错误；结合图象可知，
无论 a>1 还是 0<a<1，f ( x) 的图象总与直线 y = x 有交点 ( x0, x0)，所以满足 f ( x0)= x0，
f (f ( x0))= f ( x0)= x0，f (f (f ( x0)))= f (f ( x0))= f ( x0)= x0，⋯，D 正确. 故选 ABD.
【点拨】分段函数的单调性需综合考虑各段的单调性及分界点处的函数值衔接.对于嵌套函数的恒
定值问题，转化为寻找函数的不动点（即f ( x)= x的解）.
49.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数f ( x)={
|ax +1|,
0< x<2,
x| x -a|,
x ≥2
有最小值，则a的取值
范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[ 3
2 ,+∞)
【解析】①若a≤0，当0< x<2时，2a+1<f ( x)<1；当x ≥2时，f ( x)= x( x -a)≥2(2-a).依题意
需2(2-a)≤2a+1，解得a≥3
4 （舍去）.
②若a≥2，当0< x<2时，1<f ( x)<2a+1；当x ≥2时，f ( x)={
x( x -a),
x>a
x(a- x),
2≤x ≤a，此时f ( x)≥0，
则f ( x)min=0.
③若0<a<2，当0< x<2时，1<f ( x)<2a+1；当x ≥2时，f ( x)= x( x -a)≥2(2-a).则需
2(2-a)≤1，解得3
2 ≤a<2.
综上，a≥3
2.
【点拨】分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的下确
界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
