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第7 讲 函数的性质·分类练习
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
1.已知函数
的定义域是
，若对于任意两个不相等的实数
，
，总有
成立，则函数
一定是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 增函数
D. 减函数
2.下列函数中，满足“
”的单调递增函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.函数
的单调递增区间是（ ）
A.
B.
和
C.
和
D.
和
4.已知函数
.
（1）判断函数
的单调性，并利用定义证明；
（2）若
，求实数
的取值范围.
5.设
，
，证明：函数
是
的增函数
.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
6.（2026·安徽江淮十校·4 月模拟）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2026·安徽黄山·一模）已知
是
上的奇函数，且
，若
在
上单
调递减，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025·江西三新·3 月联考）已知函数
则不等式
的解
集为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2026·湖北襄阳第四中学·阶段检测）已知函数
，且
，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·山东枣庄·一模）已知函数
，若
恒成立，
则
的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法3：利用单调性求最值或值域
11.（2026·湖南天壹名校·4 月检测）已知函数
，且
在
上的值域为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
为定义在
上的单调函数，且
，则
在
上的值域为＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数
为偶函数，则函数
的值域为＿＿＿＿＿＿.
14.若函数
在区间
上的最大值为3，则实数
＿＿＿＿＿＿.
考法4：根据单调性求参数范围
15.（2025·河南创新·一模）已知
是增函数，则实数
的取值范围
是（ ）
A.
B.
C.
D.
16.已知函数
在
上具有单调性，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
17.（2026·广东东莞·一模）已知函数
在
上单调递减，则
的
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
18.（2026·湖南永州·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ）
A.
B.
C.
D.
19.（2026·广东佛山·二模）函数
，则（ ）
A.
是奇函数
B.
是周期函数
C.
的最大值为2 D.
20.利用图象判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）
；
（4）
；
（5）
.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
21.（2026·八省T8·4 月测评）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
22.（2026·河北NT20·5 月检测）已知
是奇函数，当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
23.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数
和
的定义域均为
，
为偶函
数，
为奇函数，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
24.（2025·江西上进·3 月联考）已知函数
，若
，
的图象关于
原点对称，若
，
的图象关于
轴对称，则
＿＿＿＿＿＿.
25.（2026·河北衡水名校·学情调研）已知奇函数
满足：当
时，
，则
＿＿＿＿＿＿.
考法7：根据奇偶性求参数
26.（2025·江西上进·5 月练兵）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
27.（2026·山东九五协作体·一模）若
为偶函数，则实数
的值为＿＿＿
＿＿＿.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
28.（2024·广东名校·5 月押题）已知
，若
，则（
）
A.
B.
C.
D.
29.已知函数
，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
30.已知
在
上单调递增，且为奇函数.若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
31.已知函数
在区间
的最大值是
，最小值是
，则
的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
32.（2026·江苏南师附中·模拟）设函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，则下列式子中一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
33.（2026·江西宜春·一模）已知函数
的图象关于直线
对
称，且在区间
上单调递减，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
34.（2026·河北唐山·一模）（多选）若函数
与函数
的图象关于
轴对称，
则（ ）
A.
与
有相同的零点
B.
为偶函数
C.
与
有相同的极值点
D. 对任意的
，都有
35.（多选）定义在
上的函数
满足
，
是偶函数，
，则（ ）
A.
是奇函数
B.
C.
的图象关于直线
对称
D.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
36.（2026·湖北随州·三模）已知定义域为
的奇函数
的周期为8，则下列结论一定成
立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
37.（2026·湖南九校·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
38.（2026·安徽淮北·二模）已知
是定义在
上周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
39.（2026·山东日照·二模）已知函数
为
上的偶函数，且满足
，当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
40.（2026·山东淄博·一模）已知函数
的两个零点为
和
，
则（ ）
A.
B.
C.
D.
41.（2026·广东东莞·一模）已知函数
满足
，若函数
与
图象的所 有交点为
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
42.（2026·广东深圳·一模）设
是定义在
上的奇函数，
，
，
则
（ ）
A.
B.
C.
D.
43.（2024·深圳光明区高中·5 月模拟）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A.
是偶函数
B.
的最小正周期是2
C.
关于点
中心对称
D.
奇函数
44.（2026·湖南炎德英才·5 月模拟）已知
的定义域为
，周期为4，当
时，
，则
＿＿＿＿＿＿.
45.（2026·山东东营·二模）已知奇函数
的周期为2，且当
时，
，
则
＿＿＿＿＿＿.
46.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，函数
，则
与
的图象所有交
点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
考法11：类周期函数的应用
47.定义域为
的函数
满足
，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
48.已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
.设
在
上的最大值为
，且数列
的前
项和为
.若对于任意正整数
不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
49.定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
50.（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数
有4 个零点，则实数
的取值范围为
B. 关于
的方程
有
个不同的解
C. 对于实数
，不等式
恒成立
D. 当
时，函数
的图象与
轴围成的图形的面积为
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
51.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为
的偶函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
52.（2026·河北衡水·4 月检测）已知函数
为奇函数，且在
上单调递增，在
上单调递减，若
的图象是一条连续的曲线，则
（ ）
A. 在
上单调递增
B. 在
上单
调递增
C. 在
上单调递减
D. 在
上单调递减
53.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A.
为奇函数
B.
的值域是
C.
有极值
D. 存在实数
，使得
在
上的值域为
54.（2026·江苏南京盐城·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A.
的定义域为
B.
是偶函数
C.
在
上单调递增
D.
有且仅有2 个零点
考法13：构造函数利用性质解不等式
55.（2025·江西新余·二模）已知函数
，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
56.（2025·河北邢台名校·一模）设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
57.已知定义在
上的函数
在
上单调递减，且
为偶函数，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
58.（2026·湖南株洲·一模）已知
是奇函数，
是偶函数，其定义域均为
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
59.（2026·山东山师附中·3 月检测）（多选）函数
满足
，都有
，且
，则（ ）
A.
B. 数列
单调递减
C.
D.
60.（2026·江苏南京六合名校·一模）（多选）函数
满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
的周期为6
C.
D.
的图象关于直线
对称
61.已知定义在
上的函数
，
满足：①
；②
为奇函数；③
，
；④任意的
，
.
（1）判断并证明函数
的奇偶性；
（2）判断并证明函数
在
上的单调性.
考法15：抽象函数性质的综合应用
62.（2026·安徽皖江名校·5 月最后一卷）（多选）已知函数
，
的定义域为
，
为偶函数且
，
，若
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
63.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，其图象是一条连续不
断的曲线，
，
为奇函数，函数
，且
为偶函
数，则（ ）
A.
是奇函数
B. 2 为
的一个周期
C.
D.
