专题01
空间向量及其运算压轴题
（学生版）
1．空间向量
（1）定义：在空间，我们把具有
和
的量叫做空间向量．
（2）长度：空间向量的
叫做空间向量的长度或
．
2．几类特殊向量
特殊向量
定义
零向量
长度为
的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为
的向量叫做单位向量
相反向量
与a
长度
而方向
的向量叫做a
的相反向量，记为a
共线向量或平
行向量
若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相
或
，那么这些向量
叫做共线向量或平行向量；
规定：零向量与任意向量
．即对任意向量a
，都有0 a
∥
相等向量
方向
且模
的向量
3．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
a
b
OA
AB
减法
a
b
OA
OC
数乘运算
当
0
时，
a
OA
PQ
当
0
时，a
OA
MN
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当
0
时，
0
a
运算律
交换律
a
b
结合律
a
b
c
，(
)
a
分配律
(
)
, (
)
a
a
a
a
b
4．空间向量的夹角
图
示
定
义
已知两个非零向量a
，b
，在空间任取一点O，作OA
a
，OB
b
，则
叫做向量a
，b
的
夹角，记作
范
围
通常规定：
,a b
；
当
,a b
时，a
与b
垂直，记作
5．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a
，b
，则
叫做a
，b
的数量积，记作a b
．即a b
．
【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0．
（2）运算律
数乘向量与数量积的结合律
（λ a
）·＝λ（a
·b
），λ∈R
交换律
a
·b
＝b
· a
分配律
a
·（b
＋c
）＝a
·b
＋a
·c
6．空间向量共面的充要条件
（1）共面向量：平行于
的向量，叫做共面向量．
（2）空间向量共面的充要条件：向量p
与不共线向量a
，b
共面的充要条件是存在
的有序实数对
,x y ，使p
．
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题型一空间向量的有关概念
例（1）下列命题中，正确命题的个数为（
）
①若//
a b
，则a
与b
方向相同或相反；
②若AB
CD
，则A，B，C，D 四点共线；
③若a
，b
不共线，则空间任一向量p
a
b
( ,
R
).
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）下列命题中是真命题的是(
)
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若a
b
，则,a b
的长度相等而方向相同或相反
C．若向量
,
AB CD
，满足AB
CD
，且AB
与CD
同向，则AB
CD
D．若两个非零向量AB
与CD
满足
0
AB
CD
，则
/ /
AB
CD
练习题
（1）在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的
图形是（
）
A．一个球
B．一个圆
C．半圆
D．一个点
（2）．给出下列命题：
①若空间向量,a b
满足a
b
，则a
b
；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量c
，由a c
b c
，则a
b
；
④在向量的数量积运算中
a b
c
a
b c
.
其中假．命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
(3).（多选题）下列命题正确的是（
）
A．空间中所有的单位向量都相等
B．若a
b
，则a
b
∥
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C．若a
，b
满足a
b
，且a
，b
同向，则a
b
D．对于任意向量a
，b
，必有a
b
a
b
题型二空间向量的线性运算
例2.（1）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E、F 分别是BC、
1
CC 的中点，G 为ABC
的重心，则GF
（
）
A．
1
1
2
1
3
3
2
AB
AC
AA
B．
1
1
2
1
3
3
2
AB
AC
AA
C．
1
2
1
1
3
3
2
AB
AC
AA
D．
1
1
2
1
3
3
2
AB
AC
AA
(2)．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且
3
AP
PN
，
2
3
ON
OM
，设OA
a
，OB
b
，OC
c
，则下列等式成立的是（
）
A．
1
1
1
4
4
4
OP
a
b
c
B．
1
1
3
3
AN
a
b
c
C．
3
1
1
4
4
4
AP
a
b
c
D．
1
1
2
2
OM
b
c
(3)在空间四边形OABC 中，,
E F 分别是
,
OA BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且
2
PF
EP
，设OA
a
，OB
b
，
OC
c
，则下列等式不成立的是（
）
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A．
1
1
2
2
OF
b
c
B．
1
1
1
6
6
6
EP
a
b
c
C．
1
1
1
3
3
3
FP
a
b
c
D．
1
1
1
3
6
6
OP
a
b
c
练习题
(1).如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若
1
2
OE
OD
xOA
yOB
，则
x
y
的值是（
）
A．2
B．0
C．1
D．3
2
(2).如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，M 为
1
1
AC 与
1
1
B D 的交点．记AB a
= ，AD
b
，
1
AA
c
则下列正
确的是（
）
A．
1
1
2
2
AM
a
b
c
B．
1
1
2
2
AM
a
b
c
C．
1
1
2
2
AM
a
b
c
D．
1
1
2
2
AM
a
b
c
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(3).已知空间四边形OABC ，其对角线为
,
OB AC ，
,
M N 分别是
,
OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使
2
MG
GN
，用向量
,
,
OA OB OC
表示向量OG
是（
）
A．
1
1
1
6
3
3
OG
OA
OB
OC
B．
1
2
2
3
3
2
OG
OA
OB
OC
C．
2
3
3
2
OG
OA
OB
OC
D．
2
1
2
3
3
3
OG
OA
OB
OC
(4).在空间四边形O
ABC
中，点M 在OA上，点N 在BC 上，且
2
,
2
OM
MA BN
NC
，则向量MN
等于（
）
A．
2
1
2
3
3
3
OA
OB
OC
B．2
1
2
3
3
3
OA
OB
OC
C．
2
1
2
3
3
3
OA
OB
OC
D．2
1
2
3
3
3
OA
OB
OC
题型三空间向量的共线、共面
例3.(1)已知向量
1e
，
2e
不共线，
1
2
AB
e
e
，
1
2
2
8
AC
e
e
，
1
2
3
5
AD
e
e
，则（
）
A．AB
与AC
共线
B．AB
与CD
共线
C．A ，B ，C ，D 四点不共面
D．A ，B ，C ，D 四点共面
(2)满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C 三点共线的是(
)
A．AB
BC
AC
B．AB
BC
AC
C．AB
BC
D．AB
BC
(3).在四面体A
BCD
中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP
xAB
yAC
，AQ
sAB
t AC
u AD
，
若x
y
t
s
（y ，t 均不为0），则下面有关线段AQ 与DP 的关系的表述中，正确的是（
）
A．AQ 与DP 所在直线是异面直线
B．AQ 与DP 所在直线平行
C．线段AQ 与DP 必相交
D．线段AQ 与DP 延长后相交
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(4). H 为四棱锥P
ABCD
的棱PC 的三等分点，且
1
2
PH
HC
.点G 在AH 上，AG
mAH
，四边形ABCD为
平行四边形．若
, , ,
G B P D 四点共面，求实数m 的值．
练习题
(1).（多选题）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，P 为空间一点，且满足
1
BP
BC
BB
，
,
0,1
，则
（
）
A．当
1
时，点P 在棱
1
BB 上
B．当
1
时，点P 在棱
1
1
B C 上
C．当
1
时，点P 在线段
1B C 上
D．当
时，点P 在线段
1
BC 上
(2).在四面体OABC 中，空间的一点M 满足
1
1
2
6
OM
OA
OB
OC
，若MA
，MB
，MC
共面，则
．
(3).如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 、N 分别是棱
1
BB 、
1
DD 的中点，P 是棱
1
1
A B 上靠近
1A 的四等分
点，过M 、N 、P 三点的平面交棱BC 于Q ，设BQ
BC
，则
.
(4).如图，四边形ABCD 是平行四边形，过平面AC 外一点O 作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分
别取点E，F，G，H，并且使OE
OF
OG
OH
k
OA
OB
OC
OD
．求证：E，F，G，H 四点共面．
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(5).已知A ，B ，C 三点不共线，对于平面ABC 外的任意一点O，分别根据下列条件，判断点M 是否与点A ，
B ，C 共面：
(1)
1
1
1
2
3
6
OM
OA
OB
OC
；
(2)
3
OM
OA OB
OC
．
题型四空间向量的数量积
例4(1)正四面体P ABC
﹣
的棱长为2，点D 是PAB
的重心，则PD BC
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．2
3
D．
2
3
(2).已知四边形ABCD 满足：
0
AB BC
，
0
BC CD
，
0
CD DA
，
0
DA AB
，则该四边形为（
）
A．以下答案都不对
B．不确定
C．空间四边形
D．矩形
(3).在三棱锥O
ABC
中，
60 ,
2
2,
AOB
AOC
BOC
OB
OC
OA
E
为OC 的中点，则AE BC
等
于（
）
A．-1
B．0
C．1
D．3
(4).如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面ABCD是矩形，其中
2
AB
，
4
AD
，
1
3
AA
，且
1
1
60
A AD
A AB
，则线段
1
AC 的长为（
）
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A．9
B．
29
C．
47
D．4 3
练习题
(1)在正三棱锥
P
ABC 中，O是ABC
的中心，
2
PA
AB
，则
PO
PA
PB
等于（
）
A．10
9
B．2 6
3
C．8 2
3
D．16
3
(2).如图，二面角
l
为60 ,
,
A
B
，点A ，B 在棱l 上的射影分别是
1A ，
1
B ，若
1
1
1
1
1,
2,
2
AA
BB
A B
，则AB 长度为（
）
A．2
B．2 2
C．
5
D．
7
(3).已知正四面体ABCD的棱长为6，P 是四面体ABCD外接球的球面上任意一点，则PA PB
的取值范围为
（
）
A．6
6 6,6
6 6
B．9
9 3,9
9 3
C．3 3
3 6,3 3
3 6
D．3 2
3 6,3 2
3 6
(4).已知正四面体O
ABC
的棱长为1，如图所示，求：
(1)OA OB
；
(2)(
) (
)
OA
OB
CA
CB
；
(3) OA
OB
OC
．
(5).在三棱锥
P
ABC 中，BC 平面PAB ，平面PAC 平面ABC .
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(1)证明：PA 平面ABC ；
(2)若
2 2
2 2
,
PA
AB
BC D
为PC 中点，求向量AP
与BD
夹角的余弦值.
题型五能力提升创新题
1．如图，已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面
1
1
1
1
D
C
B
A
为平行四边形，E 为棱AB 的中点，
1
,
2
3
AF
AD AG
GA
，
1
AC 与平面EFG 交于点M，则
1
AM
AC ＝
.
2.在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面
,
2,
2 2,
,
ABC PA
AB
BC
AC
D E
分别是棱
,
AB PC 的中点，点F 是
线段DE 的中点，则AF 的长度为（
）
A．3
2
B．
6
2
C．
3
2
D．
5
2
3.各棱长均为3 的三棱锥S
ABC
，若空间一点P 满足SP
xSA
ySB
zSC
.其中
2
x
y
z
，则SP
的最小
值为（
）
A．2 6
B．
6
3
C．
3
6
D．
6
4.如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60角，且
2
OA
OB
OC
，E 为OA 的中点，
F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．
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5.在平面四边形ABCD中，E 、F 分AB
、DC
所成的比为，即AE
DF
EB
FC
，则有：
1
1
1
EF
AD
BC
.
（1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，AB
a
=
，BC
b
，
1
AA
c
，E 、F 分别为AB 、
1AC 的中点，利用上述
（1）的结论求线段EF 的长度；
（3）在所有棱长均为a 平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
A AB
A AD
DAB
（为锐角定值），E 、
F 分
1
D B
、
1
C C
所成的比为，求EF 的长度.（用a ，，表示）
6.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形ABCD中，
60
BAD
，将
ABD
△
沿BD 翻折，使点A 到点P 处.E，F，G 分别为BD ，PD ，BC 的中点，且FG 是PD
与BC 的公垂线.
(1)证明：三棱锥P
BCD
为正四面体；
(2)若点M，N 分别在PE ，BC 上，且MN 为PE 与BC 的公垂线.
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①求PM
ME 的值；
②记四面体BEMN 的内切球半径为r，证明：1
1
1
2r
EM
BN
.
1.已知a
，b
，c
和d
为空间中的4 个单位向量，且
0
a
b
c
，则a
d
b
d
c
d
不可能等于
A．3
B．2 3
C．4
D．3 2
2.设A ，B ，C ，D 是半径为1 的球O的球面上的四个点．设
0
OA
OB
OC
，则AD
BD
CD
不可能
等于（
）
A．3
B．7
2
C．4
D．3 2
3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 在侧棱PC 上，且
1
2
PE
EC
，若AB a
= ，AD
b
，
AP
c
，则AE
（
）
A．
1
1
2
3
3
3
a
b
c
B．1
1
2
3
3
3
a
b
c
C．2
2
1
3
3
3
a
b
c
D．
2
2
1
3
3
3
a
b
c
4.已知空间向量, ,
a b c
两两的夹角均为60，且|
| |
| 1
a
b
，|
| 2
c
.若向量,x y
满足
(
)
x
x
a
x b
，
(
)
y
y
a
y c
，则x
y
的最大值是（
）
A．1
3
B．
3
1
2
C．1
3
2
D．1
3
2
2
5.以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把
ABD
△
和ACD
折成120°的二面角.若
2
AB
，
1
DP
xDA
yDB
x
y DC
，其中,x y R ，则DP
的最小值为（
）
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A．
2
2
B．
3
3
C．
5
5
D．
6
6
6.正四面体的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2 个点之间的线段称为球的弦），P 为正四
面体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN
的最大值为（
）
A．1
3
B．4
3
C．1
4
D．3
4
7.已知单位向量a
，b
，c
中，a
b
，
,
,
60
a c
b c
，则
2
a
b
c
（
）
A．
5
B．5
C．6
D．
6
8．已知EF 是棱长为8 的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF
的最小值为（
）
A．48
B．32
C．16
D．0
9.已知半径为1 的球面上有
, ,
,
A B C D 四个点，
1
AB
CD
，且AB
CD
，则四面体ABCD的体积最大值为
（
）
A．1
3
B．
3
6
C．
2
6
D．1
6
10.正四面体A
BCD
的棱长为4，空间中的动点P 满足
2 2
PB
PC
，则AP PD
的取值范围为（
）
A．4
2 3,4
2 3
B．
2,3 2
C．4
3 2,4
2
D．
14,2
11.已知MN 是棱长为4 的正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，则PM PN
的取值范围为（
）
A．[1 4]
，
B．[0 12]
，
C．[0 8]
，
D．[1 6]
，
12.已知正四面体A
BCD
的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足
1
AP ，
2
CQ
，M 为
线段PQ的中点，则线段AM 的长为（
）
A．
11
2
B．3
2
C．7
4
D．
3
13.已知正三棱锥P
ABC
的侧棱长为2 ，过其底面中心O作动平面交线段PC 于点S，分别交PA
PB
，
的
延长线于点M
N
，
，求1
1
1
PS
PM
PN
的值．
14.设A，B，C 及A1，B1，C1 分别是异面直线l1，l2 上的三点，而M，N，P，Q 分别是线段AA1，BA1，BB1，
CC1 的中点．求证：M，N，P，Q 四点共面．
15.如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
4
AB
，
2
AD
，
1
2 2
AA
，
1
2 5
AD
，
60
BAD
，
1
45
BAA
，AC 与BD 相交于点O.
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(1)求AB AD
；
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DAA
；
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1
OA 的长.
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