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专题02 直线的倾斜角与斜率
题型一：求直线的倾斜角
题型二：直线斜率的定义
题型三：斜率与倾斜角变化关系
题型四：已知两点求斜率
题型五：已知斜率求参数
题型六：利用直线斜率处理共线问题
题型七：求斜率或倾斜角的取值范围
题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围
题型一：求直线的倾斜角
1．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】根据直线
与
轴平行，求出倾斜角.
【详解】因为直线方程为：
，与
轴平行，所以直线的倾斜角为
.
故选：A.
2．若直线的一个方向向量为
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，即可求得倾斜角.
【详解】直线的一个方向向量为
，
则直线的斜率
，
所以直线的倾斜角为
.
故选：A.
3．若角
的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
上，则角
的取值集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分
为第一象限角和第三象限角时，求出
的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角
的终边在直线
上，
为第一象限角时，
；
为第三象限角时，
；
综上，角
的取值集合是
.
故选：D.
4．已知直线与
轴的夹角为
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分直线与
轴正方向和负方向的夹角为
两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定
斜率.
【详解】①当直线与
轴正方向的夹角为
时，此时倾斜角为
，斜率为
；
②当直线与
轴负方向的夹角为
时，此时倾斜角为
，斜率为
.
综上，直线的斜率为
或
.
故选：C.
5．已知直线经过
，
两点，则的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率.
【详解】 由已知得
，
两点的横坐标都是
，
所以直线的方程是
，直线是一条垂直于x 轴的直线，
所以直线的倾斜角为
.
故选：D.
6．经过
，
两点的直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解.
【详解】设倾斜角为
，因为
，
所以
，又
，故
.
故选:D.
题型二：直线斜率的定义
7．若经过两点
、
的直线的倾斜角为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求
.
【详解】因为经过两点
，
的直线的倾斜角为
，
所以直线
的斜率
所以
，解得
.
故选：D.
8．已知直线的一个方向向量为
，则的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，由直线的方向向量可得其斜率，从而可得直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为
，
所以直线的斜率
，
又
，所以
.
故选：C.
9．直线l 经过点
，倾斜角为150°，若将直线l 绕点
逆时针旋转60°后，得到直线
，则直线
的斜率为 .
【答案】
/
【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可.
【详解】因为直线l 的倾斜角为150°，所以绕点
逆时针旋转60°后，得到直线
的倾斜角
，斜率
．
故答案为：
．
10．若正方形的一条对角线所在直线斜率为
，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ，
．
【答案】
/
/
【分析】由直线斜率与倾斜角之间的关系
，即可结合正切的和差角公式求解斜率得解.
【详解】如图，
在正方形
中，对角线
所在直线的斜率为
，
设对角线
所在直线的倾斜角为
，则
，
由正方形性质可知，直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，
故
，
，
故答案为：
，
11．已知角
的终边在直线
上，则
的值为 .
【答案】
【分析】利用直线方程确定角
的正切值，再根据同角三角函数关系式转化求解即可.
【详解】因为角
的终边在直线
上，
所以
，
则
.
故答案为：
.
题型三：斜率与倾斜角变化关系
12．已知直线，
的斜率分别为
，
，倾斜角分别为
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论.
【详解】因为直线，
的斜率分别为
，
，倾斜角分别为
，
，
所以
，
，
取
，
，满足
，可求得
，
，此时
，
所以“
”是“
”的不充分条件；
取
，
，满足
，但
，此时
，
所以“
”是“
”的不必要条件；
所以“
”是“
”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
13．（多选）已知三条直线、
、
的斜率分别为
、
、
，倾斜角分别为
、
、
，且
，则其倾斜角的关系可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】分
、
、
、
四种情况讨论，结合正切函数
的单调性可得结果.
【详解】因为正切函数
在
上为增函数，在
上也为增函数，
分以下四种情况讨论：
当
时，则
、
、
均为锐角，且
；
当
时，则
为钝角，
、
均为锐角，且
；
当
时，则
、
均为钝角，
为锐角，且
；
当
时，则
、
、
均为钝角，且
.
故选：ABD.
14．已知直线的斜率
，则直线的倾斜角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求出答案.
【详解】由题意知直线的斜率
，即
，
当
时，
；当
时，
，
故直线的倾斜角
的取值范围是
，
故选：C
15．设直线l 的斜率k 满足
，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式得到
，然后根据斜率范围求倾斜角范围即可.
【详解】由
得
，
当
时，倾斜角为
，当
时，倾斜角为
，
所以倾斜角的范围为
.
故选：B.
题型四：已知两点求斜率
16．若一条直线经过两点
和
，则该直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为
，设该直线的倾斜角为
，
故
，解得
.
故该直线的倾斜角为
.
故选：D
17．过点
和点
的直线的倾斜角为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系得出倾斜角即可.
【详解】过点
和点
的直线的斜率为
设倾斜角为
，
，
所以
.
故选：C.
18．在平面直角坐标系中，已知点
，则直线
的倾斜角为 .
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系即可得出答案.
【详解】由题意得，
，
则直线
的倾斜角为
.
故答案为：
.
19．已知点
，
，则直线
的倾斜角为
【答案】
【分析】根据题意，设直线
的倾斜角为
，求出直线
的斜率，则有
，结合
的范围分析
可得答案．
【详解】根据题意，设直线
的倾斜角为
，
直线
经过点
，
，则
的斜率
，
则
，又由
，
则
，
故答案为：
．
20．若过点
，
的直线的倾斜角为锐角，则实数a 的取值可以为 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】直线的倾斜角为锐角，则斜率为正，利用两点的斜率公式列不等式求解.
【详解】因为直线
的斜率
，
又因为直线
的倾斜角为锐角，
所以
，解得
，则实数a 的取值可以为2.
故答案为：2
21．经过
，
两点的直线的倾斜角为 .
【答案】135°
【分析】由已知，先根据两点坐标计算该直线的斜率，然后根据直线倾斜角的取值范围即可直接求解.
【详解】由已知，
，
为直线方程上的两点，
所以该直线的斜率为
，
而直线方程倾斜角的取值范围为
，
所以该直线的倾斜角为
，即135°.
故答案为：135°.
题型五：已知斜率求参数
22．过
，
的直线的斜率大于
，则满足条件的一个a 值可以为 .
【答案】
（满足
的一个值即可）
【分析】根据两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为过
，
的直线的斜率大于
，所以
，
则
，解得
．
故答案为：
（满足
的一个值即可）
23．已知直线过点
和
，直线
过点
和
，若两条直线的斜率相等，则
的值
为
【答案】
【分析】由斜率公式建立方程求解即可.
【详解】由直线过点
，
，
得直线的斜率
，
又直线
过点
和
，
得直线
的斜率
，
因为两条直线的斜率相等，
所以
，解得
.
故答案为：
.
24．过不重合的
两点的直线的倾斜角为
，则
的取值为 ．
【答案】
【分析】由题意得
，可求出
的取值.
【详解】由题意知
，
所以
，即
，
化简得
，解得
或
当
时，
重合，不符合题意舍去，
当
时，
，符合题意，
所以
，
故答案为：
25．已知两点
，若直线
的斜率为
，则
.
【答案】
【分析】
由斜率公式求解即可，注意验证
【详解】
因为两点
，且直线
的斜率为
，
所以
且
，解得
，
故答案为：
26．直线
过
，
两点，且
，则实数
的值为 ．
【答案】
/-3.2
【分析】直接利用斜率公式计算得到答案.
【详解】直线
过
，
两点，
，解得
.
故答案为：
27．若直线经过两点
，
且倾斜角为
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】利用斜率计算公式即可得出．
【详解】解：由题意可得：
，
解得
，
故答案为：．
28．已知经过两点
，
的直线的斜率大于1，则实数m 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由斜率公式得出斜率，然后解不等式可得．
【详解】由题意得
，化为
，解得
.
所以实数m 的取值范围是
．
故答案为：
．
题型六：利用直线斜率处理共线问题
29．设
，若三个不同的点
，
都在直线l 上，则m 的值为 ．
【答案】
【分析】讨论
、
，结合已知及斜率两点式求参数值即可.
【详解】当
时，
为同一点，不合题意，
当
，则
，可得
，此时
满足题意，
所以
.
故答案为：
30．已知
，
，
三点共线，则
．
【答案】
【分析】先确定直线
斜率存在，然后根据三点共线可知
，结合斜率的计算公式可求结果.
【详解】因为
，所以直线
斜率存在，
因为
三点共线，所以
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
31．已知
，
，
三点在同一条直线上，则
．
【答案】
【分析】利用
列出方程，解出即可.
【详解】因为
，
，
三点在同一条直线上，
所以
，即
，
解得
．
故答案为：
.
32．若三点
，
，
共线，则
．
【答案】3
【分析】利用
的斜率相等，列出方程求解.
【详解】由
，
，
三点共线，
可得
，
，
解得
，
故答案为：3
题型七：求斜率或倾斜角的取值范围
33．已知角
，直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为
，则
，
故角
的取值范围是
.
故选：D.
34．若直线l 经过
，
两点，则直线l 的倾斜角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线的斜率公式确定
，结合倾斜角的范围以及正切函数的性质，即可确定答案.
【详解】直线l 经过
，
两点，
则
,即
，
由于
，则α 为锐角，故
，
故选：B
35．已知
，且点
，
，则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.
【详解】设直线
的倾斜角为
，
由题意
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
即直线
的倾斜角的取值范围是
.
故选：D．
36．已知点
，
，若
，则直线
的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，设直线
的倾斜角为
，由
的坐标求出直线
的斜率，结合
的范围可得
即
的取值范围，
再利用正切函数的性质分析可得
的范围，即可得答案.
【详解】解：根据题意，设直线
的倾斜角为
，
点
，
，则直线
的斜率
，
又由
，则
的取值范围为
，
，
即
的范围为
，
，
又由
，则
故选：C.
37．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k，若
，则α 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据斜率
的范围得到
，然后结合正切函数的图象及直线倾斜角的取值范围即可
求出直线l 的倾斜角α 的取值范围.
【详解】因为
，且
，所以
.
故选：A.
38．已知直线l 经过
、
（
）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.
【答案】
【分析】先求得直线l 的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线l 的倾斜角的取值范围.
【详解】∵直线l 过
，
两点，
∴直线l 的斜率为
，
设直线l 的倾斜角为
，则
，且
，
解得
或
∴直线l 的倾斜角
的取值范围是
.
39．已知直线过点
，直线的倾斜角为锐角时
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据倾斜角为锐角得到
，解得答案.
【详解】由于直线的倾斜角为锐角，故
，解得
.
故答案为：
.
题型八：直线与线段的相交关系求斜率范围
40．经过点
作直线，若直线与连接
两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求出
的斜率，根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】设直线的斜率为
，直线的倾斜角为
，则
，
因为直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
因为直线经过点
，且与线段
总有公共点，
所以
，即
，
因为
，
所以
或
，
故直线的倾斜角的取值范围是
．
故选：C．
41．已知两点
，直线过点
且与线段
相交，则直线的斜率
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用斜率公式求出
，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可.
【详解】
由图象结合题意可知：
，
观察到直线过点
与线段
有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，
斜率大于或等于直线
的斜率；
为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线
的斜率；
所以直线的斜率
的取值范围是
．
42．直线过点
且与以点
、
为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据过点
且与以点
、
为端点的线段恒相交得到直线的移动范围从到
，根据直线倾斜角斜率之间的关系可得斜率范围.
【详解】
如图，直线与以点
、
为端点的线段恒相交时，直线从到
，
直线从到
时，倾斜角增大，斜率增大，
，斜率范围为
，
直线从
到
时，倾斜角增大，斜率增大，
，斜率范围为
，
综上，的斜率取值范围为
，
故选：D
43．已知点
，直线l 过点
且与线段
有公共点，则直线的斜率的取值范围是
.
【答案】
【分析】画图，结合图象即可求解
【详解】
因为
结合图象可知直线的斜率的取值范围是
故答案为：
44．已知点
，若直线过点
且与线段
没有交点，则直线的斜率
的取值范
围为 ．
【答案】
【分析】设过点
且垂直于
轴的直线交线段
于点
，当直线绕着点
旋转时，观察直线的斜率的
变化，即可得出直线的斜率
的取值范围.
【详解】设过点
且垂直于
轴的直线交线段
于点
，如下图所示：
当直线由位置
绕点
转动到位置
时，的斜率从
逐渐变大，
此时，
；
当直线由位置
绕点
转动到位置
时，的斜率为负值，且逐渐增大至
，
此时，
.
综上所述，直线与线段
有交点时，其斜率
的取值范围是
，
所以直线与线段
没有交点时，其斜率
的取值范围是
.
故答案为:
.
45．已知直线过点
，且与以
和
为端点的线段相交.
(1)求直线的斜率k 的取值范围；
(2)求直线的倾斜角
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析
，
，
三点之间的关系，不难给出直线
的斜率
的取值范围；
（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角
的取值范围．
【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图：
，
直线过点
，且与以
和
为端点的线段相交.
所以直线的斜率
的取值范围
.
（2）由（1）可知，
，
直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，
由此可得此时直线的倾斜角
的取值范围
，
由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角
，
综上，直线的倾斜角
的取值范围
.
