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专题2.17 直线与圆锥曲线的位置关系
教学目标
1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系
2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长
教学重难点
重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用
难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性
知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判断
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去
，整理得到关于
的方程
方程
的解
与的交点
无解（含是双曲线的渐
近线）
无公共点
有一解（含与抛物线的
对称轴平行或与双曲线
的渐进性平行）
一个交点
两个不等的解
两个交点
两个相等的解
一个切点
无实数解
无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
知识点02 直线与圆锥曲线相交弦长
1.设斜率为
(
)的直线与圆锥曲线
相交于
，
两点，
，
，则
2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长
(
为弦
的倾斜角
).
【即学即练】已知
是双曲线
与直线
的交点，求线段
的长度.
【答案】30
【分析】联立直线方程和双曲线方程后利用弦长公式可求线段
的长度.
【详解】设点
的坐标为
，点
的坐标为
．
因为
是双曲线
与直线
的交点，
所以点
的坐标满足
，所以
，
此时
，由韦达定理可得
因为
，
所以
，
知识点03 中点弦
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
【即学即练】设双曲线
的动弦
所在直线的斜率为
中点为
，则
．
【答案】
【分析】设
，证明
即可求解.
【详解】设
，
已知
，则
，
两式相减得
，
故
，即
，
即
．
故答案为：
.
题型01 直线与圆锥曲线位置关系的判断
【典例1】已知直线
，椭圆
，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
【答案】C
【解析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】解：由
，得
，化简得
，
因为
，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
【变式1】直线
与曲线
（
）的公共点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】应用特殊值法结合直线和椭圆的交点判断即可.
【详解】取
，原方程变为
，两个椭圆与直线
有4 个公共点，
故选：D
【变式2】直线
与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立
，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
【变式3】直线
与双曲线
交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案.
【详解】由题知，双曲线
的渐近线方程为
，
所以直线
与双曲线的一条渐近线平行，
由图可知，直线l 与双曲线有且只有一个交点.
故选：B
【变式4】对于抛物线
，若点
满足
，则直线
与抛物线
（ ）
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．有一个或两个公共点
D．没有公共点
【答案】D
【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用
的符号判断交点个数.
【详解】联立
，
消去
得：
，
所以
，
因为
，
所以
，故直线与抛物线无公共点，
故选：D.
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去
，整理得到关于
的方程
方程
的解
与的交点
无解（含是双曲线的渐
近线）
无公共点
有一解（含与抛物线的
对称轴平行或与双曲线
的渐进性平行）
一个交点
两个不等的解
两个交点
两个相等的解
一个切点
无实数解
无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
题型02 根据直线与圆锥曲线位置关系求参数
【典例1】若直线
与双曲线
有两个不同交点，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线和直线方程过原点得出的范围．
【详解】解：双曲线
的渐近线方程为
，
直线
与双曲线
有两个不同的交点，
又直线过原点，则
则的取值范围是
.
故选：B．
【变式1】已知直线
与椭圆
有公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆方程的特点，可得
且
，可排除BC，再用特例进行判断.
【详解】根据椭圆方程的特点，可得
且
，可排除BC，
当
时，点
在椭圆内部，所以直线
与椭圆
必有公共点.
故选：D
【变式2】直线
与椭圆
总有公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】根据点
在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数
的范围.
【详解】
表示椭圆，故可得
，且
；
又直线
过点
，根据题意，
在椭圆内或椭圆上，故
，又
，故
；
综上所述，
，且
.
故选：C.
【变式3】若命题p：
，命题q：直线
与抛物线
无公共点，则q 是p 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意联立直线与抛物线可求
的范围，再利用命题的充分性与必要性判断即可.
【详解】命题q：直线
与抛物线
无公共点，把
代入即
无解，
，又命题p：
，所以q 是p 的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4】若直线
与双曲线
的右支有两个交点，求k 的取值范围．
【答案】
【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数
的取值范围.
【详解】联立方程组消去y 所得的方程为
，由题意，设方程的两根为
，
则
解得
或
．
所以k 的取值范围为
．
题型03 圆锥曲线的切线方程
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，抛物线
的焦点是椭圆的
顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
作抛物线的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）由椭圆的离心率求出椭圆参数，即得椭圆方程，然后借助椭圆与抛物线的关系求解抛物线
的方程；
（2）设出直线方程，联立直线与抛物线，借助二次方程性质求解直线方程.
【详解】（1）椭圆
的离心率为
，可得：
，即
，
由
，可得
，则椭圆
，它的上顶点坐标
，
抛物线
的焦点是椭圆的顶点，得
，抛物线
；
（2）
设过点
作抛物线的切线
，则
，
整理得
，
，解得
或
，
所求是切线方程为：
或
．
【变式1】已知椭圆
，直线
，则椭圆
上的点到直线的距离的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出与l：
平行的直线
，当
与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到
直线l 的距离最值，联立
与椭圆方程，由根的判别式等于0 求出
的方程，从而求出答案.
【详解】设与l：
平行的直线为
：
，
当
与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l 的距离最值，
联立
与
可得，
，
由
，可得
，
当
时，直线
：
，此时两平行线距离为
，
当
时，直线
：
，此时两平行线距离为
，
故椭圆上任意一点到直线l 的距离最大值为
.
故选：A
【变式2】写出与椭圆
：
和抛物线
：
都相切的一条直线方程 .
【答案】
或
（只需写出其中一个）
【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设 所求直线为
，联立方程组结合切线性质列方程求
，由此可得所求直线方程.
【详解】抛物线
的对称轴为
，
所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在，
设所求直线的方程为
，
因为直线
与抛物线
相切，
所以方程组
只有一组解，
所以方程
只有一个根，
所以方程
的判别式
，即
，
因为直线
与椭圆
相切，
所以方程组
只有一组解，
所以方程
只有一个根，
方程
的判别式
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
，
所以所求直线方程为
或
.
故答案为：
或
（只需写出其中一个即可）.
【变式3】求双曲线
在点
处的切线方程．
【答案】
【分析】根据仿射变换可解.
【详解】设变换
，则
，
可将双曲线
变换为圆
，
于是点
可化为
，
显然
在圆
上，
易得切线方程为
，即
，
双曲线
在点
处的切线方程为
.
【变式4】已知点
是抛物线
上一点，
为
的焦点，且
.
(1)求
的准线方程；
(2)若点
位于第一象限，求
在点
处的切线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线焦半径公式计算得出
，再得出抛物线方程进而得出准线方程即可；
（2）先设直线方程，再联立方程组，再分
和.
.两种情况，直线与
相切求参即可得出直线方
程.
【详解】（1）因为抛物线
，
，
所以
，所以
，可得
所以
的准线方程为
.
（2）因为点
在抛物线
上，所以
，
又
位于第一象限，所以
，所以
，
过点
的直线与
相切，若直线斜率不存在，不符合题意；
设直线
与
，
由
，得
，
当
时，
，即
，即
，
当
时，
，
与抛物线相交，不符合题意；
所以的方程为
，即
.
题型04 圆锥曲线的弦长问题
【典例1】已知椭圆
上任意一点
到
的两个焦点
的距离之
和为
.
(1)求
的方程；
(2)已知直线
与
相交于A，B 两点，若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知焦点及定义计算求解椭圆方程；
（2）先联立方程组得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.
【详解】（1）由题意可得
解得
故
的方程为
.
（2）联立
，得
.
，解得
.
设
，则
，
，
解得
，即
的值为
.
【变式1】已知椭圆
的短轴长为
，点
在
上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆
交于
，
两点，且
，求
的值．
【答案】(1)椭圆
的标准方程为：
(2)
【分析】（1）由短轴长可求得
，利用椭圆过点
，可求
，进而求得椭圆
的标准方程为：
；
（2）设直线
与椭圆
的交点为
和
的坐标分别为
。联立方程组，由根
与系数的关系可求得
，利用弦长公式可求得
的值.
【详解】（1）因为椭圆
的短轴长为
，所以短半轴长
。
所以椭圆
的标准方程为：
，又因为点
在椭圆上，
所以
，所以
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为：
；
（2）设直线
与椭圆
的交点为
和
的坐标分别为
。
由
，可得
，
整理得
，
，解得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
整理得
，解得
或
（舍去），
所以
.
【变式2】已知双曲线
的左、右顶点分别为
，
，
在
上，满足
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线（与
轴不重合）交
于
，
两点．若
，求直线的方程．
【答案】(1)
；
(2)
或
．
【分析】（1）根据斜率乘积得
，再代入
即可得其曲线方程；
（2）设直线
，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到
的表达式即可得到方程，解
出即可.
【详解】（1）由题意
，故
．解得
．
将
代入
得
，所以
，
故双曲线
的方程为
．
（2）过点
的直线（与
轴不重合），故设直线
．
设
，联立
，整理得：
，
且
，
故
，
故
．
即
，
则
，
即
，
解得
或
，即
或
：
故的方程为：
或
．
【变式3】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线交双曲线
于
两点（
两点均位于
轴下方，
在左，
在右），线段
与线
段
交于点
，若
的面积等于
的面积，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到
，再利用点
在双曲线上和
间的关系，建立方程组
，求出
，即可求解；
（2）设直线方程为
，联立双曲线方程得到
，根据条件得到点
和点
到直线
的距离相等，从而可求出
，再利用弦长公式，即可求解.
【详解】（1）因为
，且
，所以焦点
，即
，
又
，由
，解得
，所以双曲线
.
（2）由题知直线斜率不为
，设过
的直线为
，
由
，消
得到
，
则
，且
设
，则由韦达定理有
，
因为
，所以
，
即点
和点
到直线
的距离相等，
则有
，解得
，
所以
，
故
.
【变式4】在平面直角坐标系xOy 中，______，设点P 的轨迹为曲线C．从①点P 到
的距离比P
到y 轴的距离大
；②过点
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径这两个条件中任选一个补充在
横线上，并解答下列问题．
(1)求曲线C 的方程；
(2)设直线
与曲线C 相交于M，N 两点，若
，求实数k 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）选①，把点P 满足的条件用坐标表示出来，列出方程，化简即可得曲线C 的方程；选②，
利用抛物线的定义先判断曲线C 的形状，再求曲线C 方程.
（2）利用弦长公式可求k 的值.
【详解】（1）选①：设
，由题意
，即
，
整理可得
，即
或
，
所以曲线C 的方程为
或
．
选②：如图，作直线
，过P 作y 轴的垂线，垂足为H，交直线
于点
，
设动圆的圆心为E，半径为r，过E 作y 轴的垂线，垂足为Q，则
，
在四边形OFPH 中，由中位线性质可得
，
所以
，又
，所以
，
由抛物线的定义知，点P 是以
为焦点的抛物线，
所以曲线C 的方程为
．
（2）易知无论选①还是选②，M，N 均在曲线
上．
设
，
，将
代入
，
消去y 整理得
．
则
，
得
，
，
，
化简得
，解得
（负值舍去），
故
．
题型05 圆锥曲线的中点弦问题
【典例1】已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为
C，D，又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，结合三角形的面积公式可得
，再由椭圆的方程代入计算，即
可得到结果；
（2）由点差法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设
，由
，得
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
解得
，即点Q 的横坐标的取值范围为
；
（2）设
，
，
则
，两式相减作差可得
，
即
，即
，即
，
又
，所以
，
由直线的点斜式可得
，
化简可得
，
所以直线
的方程为
.
【变式1】设椭圆
的上顶点为
，直线与椭圆相交于
、
两点
(1)若
，直线斜率的取值范围；
(2)设三角形
的重心为
，若
，求直线的方程
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果；
（2）先由向量的重心表达式可得点
中点的坐标，再由点差法代入计算，即可得到直线
的斜率，
从而得到直线方程.
【详解】（1）
设直线：
，
，
联立直线与椭圆方程
，消去
可得
，
则
，
则
，
得
，即
，
解得
；
（2）由题意，
，设边
上的中点为，
由重心的定义，
，得
，
将
代入椭圆方程可得
，
两式作差可得
，化简可得
，
即
，即得
，
因此直线的方程为
.
【变式2】已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若双曲线
的一弦中点为
，求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设得到
和
，解出
，即可求解；
（2）设弦的两端分别为
，
，利用点差法得到
，再利用条件，可得
，即可求解.
【详解】（1）因为椭圆
的焦点为
，
， 所以
，则
①，
又双曲线的渐近线为
，所以
，即
②，由①②，解得
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）设弦的两端分别为
，
．
则有
，两式作差得
，整理得到
，
因为弦中点为
，所以
，
故直线的斜率
，
则所求直线方程为
，即
．
【变式3】已知
两点的坐标分别是
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积是
2，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作直线与曲线
相交于
两点，点
能否是线段
的中点？若能，求直线
的方程，
若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据
列出关于
的方程，由此可知结果；
（2）先根据点差法求得
的斜率，然后可表示出
的方程，联立
的方程与曲线
的方程，根据
的
结果作出判断.
【详解】（1）设
，所以
，
所以
，
又
斜率存在，所以
，
所以
.
（2）假设
是线段
的中点，设
，则
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，即
，
联立
，可得
，
所以
，即
与曲线
没有两个交点，
所以假设不成立，即点
不能是线段
的中点.
【变式4】设抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上的点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知直线交抛物线
于
，
两点，且
的中点为
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得
，进而可得抛物线的方程；
（2）根据点差法求中点弦所在直线方程.
【详解】（1）因为
，所以
，
故抛物线
的方程为
．
（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为
，
则
两式相减得
，整理得
．
因为
的中点为
，所以
，
所以直线的方程为
，即
．
题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数
【典例1】已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意一点，F 是椭圆C 的右焦
点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由
，结合
最小值得到方程，求出
，得到椭圆方程；
（2）当过点
的直线的斜率为0 时不合要求，当过点
的直线的斜率不为0 时，设出方程，联立椭圆
方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程.
【详解】（1）因
，
，所以
，
，即
．
当P 是椭圆右顶点时，
取得最小值，最小值为
，故
，
则
，
，椭圆C 的方程为
．
（2）当过点F 的直线l 的斜率为0 时，
，不符合要求．
当过点F 的直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为
，
代入
，得
，
恒成立．
设
，
，则
，
，
故
，
故
，解得
，
故直线l 的方程为
．
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，且经过点
，直线与
轴交于点
，
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
坐标为
，线段
的垂直平分线分别交直线
和于点
，若
，求直
线的斜率.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）根据题意得
，解出
即可求解；
（2）当的斜率不存在时，验证是否满足题意，当斜率存在且不为0，设直线的方程为
，与椭
圆方程联立消元，由韦达定理得
，利用弦长公式求弦长
和
，利用
即
可求解.
【详解】（1）由题意知
，
椭圆
的方程为：
.
（2）
为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然
，
，显然
，
斜率存在且不为0，设直线的方程为
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
此时
，
，
，
，
，
，解得
或
，
直线的斜率为
或
.
【变式2】已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，焦距长为4．
(1)求C 的标准方程；
(2)点
在C 上，点P 的坐标为
，O 为原点，求
面积的最小值；
(3)过C 的右焦点F 的直线与C 交于D，E 两点，以DE 为直径的圆与直线
交于M，N 两点，若
，求直线DE 的方程．
【答案】(1)
;
(2) ;
(3)
或
或
.
【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程；
（2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值；
（3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可.
【详解】（1）由双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，可得
，
又由焦距长为4，可得
即
则有
，
联立上面两式解得：
，
所以双曲线方程为：
；
（2）由点P 的坐标为
，O 为原点，则
，
此时直线
的斜率为
，
利用平行于
的直线
与双曲线
相切，即联立方程组得：
，整理得：
，
由
，解得
，
此时切点为
，可以得到这个
的面积最小，
再由平行线间的距离公式可得：
，
则
最小面积为
；
（3）设过C 的右焦点F 的直线为
，与双曲线
联立方程组得：
，
设交点
，则有
所以
设交点
的中点为
，
则有
，则
，
所以中点为
到直线
的距离为
，
再由
，结合勾股定理可得：
，解得：
或
；
所以直线DE 的方程
或
或
.
【变式3】已知双曲线
过点
，右焦点
到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线过双曲线
的右焦点
，与双曲线
交于
两点，满足
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
，
或
【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得
，再代入点
计算即可得
，即可得；
（2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式
计算即可得.
【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：
右焦点
到渐近线
的距离为
，
又双曲线C 过点
，所以
，解得
，
所以双曲线C 的方程为
；
（2）由（1）可知：右焦点坐标为
，
当直线的斜率不存在时，
，
，满足题意；
当直线的斜率存在时，
设
，联立
消去y 得：
，
所以
，
设
，则
，
所以
．
则
，解得
，即
，满足
；
所以直线的方程为
，
或
．
【变式4】已知抛物线
上的点
到焦点的距离为4.
(1)求
的值；
(2)过抛物线
的焦点的直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意列式，求出
的值，即得答案.
（2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案.
【详解】（1）由题知，
，所以
.
因为点
到焦点的距离为4，所以
4，所以
，即
，
所以
，所以
.
（2）由（1）知，抛物线
的方程为
，其焦点坐标为
.
设
，
，由题意知l 的斜率不为 0，设直线的方程为
.
由
得
，
，
所以
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
，即
.
题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题
【典例1】已知A，F 是椭圆
的右顶点和左焦点，椭圆E 过点
，且焦距为
2．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线
与E 交于M 点（不与B 点重合），求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得：
，方法一：代入点解得
，
，即可得方程；方法二：根据椭圆
的定义可得
，即可得方程；
（2）由题意可得直线
方程为
，联立方程结合弦长公式可得
，结合点到直线的
距离公式求面积.
【详解】（1）因为焦距为
，即
，
方法一：由题意可得：
，解得
，
，
所以椭圆方程
．
方法二：由题意可知：
，右焦点
，则
，
可得
，
即
，可得
，
所以椭圆方程
．
（2）因为
，
，直线
方程为
，即
，
联立方程
，消去y 可得
，解得
或
，
可得
，
且
到直线
的距离为
，
所以
的面积
．
【变式1】已知双曲线
的中心为坐标原点
，且焦点在
轴上，点
在双曲线
上，其一条渐近线
方程为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
且倾斜角为
的直线与双曲线
交于
两点，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由渐近线方程，及点
在双曲线
上，可联立求得
，，可得双曲线方
程；
（2）由题意，写出直线的方程，与双曲线联立，可求得
，数形结合，可得
的面积．
【详解】（1）已知双曲线
的中心为坐标原点
，且焦点在
轴上，故其标准方程为
，
又其渐近线方程为
，即
①，
又点
在双曲线
上，代入得
②，
联立①②，解得
，
所以双曲线
的标准方程为
.
（2）直线过点
且倾斜角为
，故其方程为
，
将其代入双曲线方程，联立得
，化简得
，
解得
和
，代入直线，求得
和
，
即直线与双曲线
的交点
，
所以
.
【变式2】已知双曲线
的离心率为
分别是双曲线
的左､右焦点，过
的
直线与双曲线
交于
两点，当直线垂直于
轴时，
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若
的面积为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中
、
、的关系列出方程组，求解出
、
的值，进而得到双曲线的标准方程.
（2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到
和
，再根据三角形面积
公式列出关于
的方程，求解出
的值，从而得到直线方程.
【详解】（1）由题意可得
解得
，
故双曲线
的标准方程为
.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线
.
联立
整理得
，
则
，
.
因为
的面积为
，
所以
，即
，
整理得
，即
，即
，
解得
，所以
，
故直线的方程为
或
【变式3】已知抛物线
的焦点到x 轴的距离为
，过点
的直线与抛物线E 交于A，
B 两点，设抛物线E 在点A，B 处的切线分别为和
，已知与x 轴交于点M，
与x 轴交于点N，设与
的交点为P
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：点P 在定直线上；
(3)若
的面积为
，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
或
【分析】（1）由抛物线的焦点到x 轴的距离为
，求出
，即可得出答案.
（2）根据题意，由导数的几何意义求出直线和
方程，联立直线方程可得点
的坐标，分析可得答案；
（3）根据题意，由三角形面积公式可得
的值，由此计算可得答案.
【详解】（1）因为抛物线
的焦点坐标为
，且焦点到x 轴的距离为
，
所以
，所以
，
所以抛物线E 的标准方程为
.
（2）由
，得
，
，
设
，
，
，
则和
的斜率分别为
，
所以方程为：
，整理得：
，
同理可得，
方程为：
，
联立与
的方程
，解得：
，
，
因为点T 在抛物线内部，可知直线
的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线
的方程为
，
与抛物线方程
联立得：
，
故
，
，
所以
，
，可知
，
所以点P 在定直线
上.
（3）在，
的方程中，令
，得
，
，
由（2）知
，
，
，
，
所以
面积
，
故
，
化简可得
，
由于
，则
，
从而
，故
或
，
所以点P 的坐标为
或
.
【变式4】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，若C 的离心率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：
，设l 的方程为
，
，
，
与双曲线方程联立，由韦达定理可得
，
，代入
化简即
可求解.
（2）化简
，由
，解出
的值，判断其合理性
即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以C 的方程为
．
所以
，由于直线l 的斜率不为0，设l 的方程为
，
，
，
联立
消去
得
，
由
，
得
，则
，
，
故
．
（2）由（1）得
，
，
所以
所以
，
即
，即
，
解得
或
，
因为直线l 交C 的右支于P，Q 两点，
所以
且
，
即
，
，
解得
，所以仅有
满足题意，
所以直线l 的方程为
或
．
题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题
【典例1】已知椭圆的两个焦点
，过点
作垂直于长轴的直线交椭圆于点
，此时与
椭圆长轴的两端点
形成的四边形的面积为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
与椭圆分别交于点
及
，求四边形
的面积的最
小值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据题意设与椭圆的交点为
，则
，由四边形
面积即可求
，进而
得
，即可求解；
（2）设
，与椭圆方程联立，由韦达定理得
，进而得
，设
直线
，同理得
，即可得
，利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题意设椭圆方程为
,
设与椭圆的交点为
，则
，
根据题意可得
，即
，
可得
，则
，所以椭圆方程为
．
（2）根据题意设
，联立
．
由韦达定理得
，则
．
又直线
，同理代换可得，
，
则
．
不妨设
，即
．
又
，
的最小值为
，
当且仅当
时取等，所以四边形
的面积的最小值为
．
【变式1】平面直角坐标系
中，M 是一个动点，直线
与直线
垂直，垂足
位于第一象
限，直线
与直线
垂直，垂足
位于第四象限，且
.
(1)求动点M 的轨迹方程C；
(2)若过点
的直线交曲线C 于B、D 两点，D 关于x 轴的对称点为点A（异于点B），直线AB 与x 轴
交于点G，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到
，利用点到直线的距离得到
和
，再根据向量的数量积即可求解；
（2）设直线BD 方程为
，联立直线BD 的方程和曲线C，利用韦达定理得到
和
，写出直线AB 的方程，令
得到
，进而得到
，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可.
【详解】（1）设
，直线
与直线
的夹角为
，即
，
又因为
，所以
，
又因为
，
，
所以
，化简得
，
由于
位于第一象限，
位于第四象限，
所以M 的轨迹方程
；
（2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD 方程为
，
，
，
，
，
联立直线BD 与曲线C，可得
且
，
化简得
，
，
，
，
，所以
，
设直线AB 方程为
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
令
，
，
所以
，
，
，
综上，
面积的取值范围为
.
【变式2】已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线的倾
斜角为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
的左、右焦点分别为
，若过
的直线与
交于
两点. 当
两点均在
的左支上时，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到
、
、的方程
组，求出
、
即可得解；
（2）设直线
的方程为
，
，
，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定
理，由
两点均在
的左支求出
，再由
，利用换元法及函数的单调性计
算可得.
【详解】（1）椭圆
即
，所以椭圆
的焦点坐标为
，
又双曲线
的渐近线为
，
故依题意可得
，解得
，所以双曲线
的方程为
；
（2）依题意直线
的斜率存在时不为
，所以可设直线
的方程为
，
设
，
，
由
，可得
，
由
得
，
所以
，
，
则
，
，
因为
两点均在
的左支上，所以
，解得
，即
，
所以
，
令
，则
，
，
所以
，
因为
在
上单调递减，所以
，所以
，
所以
.
【变式3】抛物线
，点
为焦点，点
、
是抛物线
上任意不重合的两点.当直线
过点
且垂直
轴时，
.
(1)求抛物线
及其准线的方程；
(2)若以线段
为直径的圆过点
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据直线
过点
且垂直
轴求出
的纵坐标，再结合
即可求出
的值，进
而得解；
（2）联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式及点到直线的距离表示出
的底和高，再结合韦达定
理对三角形的面积进行化简，利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）设
，
因为抛物线
，所以
，
当直线
过点
且垂直
轴时，直线
的方程为
，
令
可得，
（或
），
，
，
所以抛物线
，准线方程为
；
（2）
因为
，显然直线
的斜率不可能为零，设直线
由
可得
，则
，
设
，则
，
因为以线段
为直径的圆过点
，所以
，即
，
即
，
，
将
代入得
则有
，
所以
，且
，解得
或
.
设点
到直线
的距离为
，所以
，
，
所以
的面积
，
而
或
，
所以当
时，
的面积
.
【变式4】抛物线
的焦点
，准线的方程为
，
、
是抛物线上的两个动点，且满足
，设线段
的中点
在上的投影为
.
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据准线方程求
即可；
（2）根据抛物线的定义及梯形中位线，再利用基本不等式求证即可；
（3）先根据根与系数的关系，得出三角形的面积，换元后求最值即可.
【详解】（1）由抛物线
的准线的方程为
，得
，故
.
（2）设
，
，
，
在上的投影分别为
，
，
由抛物线性质得
，
，
因为
，所以
为直角三角形，所以
，
因为
、
分别为
、
的中点，
所以
.
故
，
所以
.
（3）由（1）得
，设
，
，
则
，
，
.
因为
，所以
，
得
，①
所以
，
令
，由①得，
，
当
时，则
恒成立，
当
时，由
，解得
，或
，
所以
，或
，
所以
，
当
，即
时，
，
所以
面积的最小值为
.
题型09 圆锥曲线中的定点问题
【典例1】已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，以椭圆
的四个顶点为顶点的四
边形的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的右顶点为
，若直线与椭圆
交于
两点，满足
，证明：直线过
定点．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由
，
及
求解即可；
（2）由
，可得
，设
，则有
，分直线垂直于
轴和直线不垂直于
轴，结合韦达定理求出直线的方
程，即可得证.
【详解】（1）设椭圆
的长半轴长为
，短半轴长为
，半焦距为．
由已知，
，即
，
又
，所以
，
由
，可得
，所以
，
因为
的焦点在
轴上，所以
的标准方程是
．
（2）证明：由（1）知
，
设
，
将
两边平方，
化简得
，
所以
，
即
，
即
．
①当直线垂直于
轴时，
且
，
故
，解得
或
（舍去），
此时过点
；
②当直线的斜率存在时，设
，
联立方程
，
得
，
由
，
得
，且
，
由
，
得
，
即
．
将
代入上式，
得
，
即
，
所以
，
所以
或
，
当
时，直线
过点
，不符合题意，
所以
，
所以直线的方程为
，
此时过点
．
综上可知直线过定点
．
【变式1】已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的中点为
．当
时，
．
(1)求
的标准方程；
(2)若
，求直线
的斜截式方程；
(3)若
，
，
三点不共线，且
，证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先由条件得到
，利用两点式斜率公式求得
，结合
求出
，即可
得解；
（2）利用点差法求直线的方程即可；
（3）设直线
，与双曲线方程联立，根据条件得
，再通过计算
得
或
，最后进行检验可得出定点.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则
，由题意
，
当
时，过点
且垂直于
轴的直线为
，
将
代入双曲线方程，得
，解得
；又
，则
，
又
，所以
，结合
，得
，
解得
或
，
所以
，所以双曲线
的标准方程为
；
（2）易知直线
的斜率存在，设
，
则
，作差可得
，
所以
，
因为线段AB 的中点坐标为
，所以
，
所以
，所以直线
的斜率为
，
所以直线
的斜截式方程为
，即
.
（3）由
，
，
三点不共线，故设直线
，
联立
，得
，
则
，
，
，
因为
，则
，所以
，则
，
因
，
，
所以
，
即
，
即
，
即
，
得
，解得
或
，
若
，则直线
，过点
，不符合题意；
若
，则直线
，满足
，则过定点
，
则直线
过定点
.
【变式2】在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，
，直线
与
的另一个交点分别为
．
(1)判断直线
的斜率与直线
的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理
由．
(2)证明：直线
经过定点．
【答案】(1)是，2
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线
，
斜率分别为
，然后根据题意利用韦达定理把
表示出来作比值即
可；
（2）结合（1）设直线
，利用已知条件求出设直线
即可.
【详解】（1）设直线
，
斜率分别为
，则
为定值．
理由如下：如图，
易知
，设
，直线
，
联立
得
，
．①
，
因为
，所以
，
所以点
为线段OD 的中点，
因为
，所以
，
故直线
，
代入抛物线方程可得：
，
则
．②
联立①②得
，同理可得
，
所以
，
所以
，为定值．
（2）由（1）知
．
，
因为N，B，D 三点共线，所以
，
化简得
，
所以
，即
，
所以
．
设直线
，
由
得
，
，
解得
，所以直线
方程为：
，
当
，
所以直线
过定点
．
【变式3】过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线
于点
，
．设直线
，
的斜率分别为
，
，
，当
且点
，
关于
轴对称时，
的面积为16．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
时，证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意设
，因为
，不妨设
．表示出
的坐标，由三
角形的面积求解即可；
（2）设
，
，
，由
，则
，求出
的方程为
，联立求得
，从而证得直线所过的定点即可.
【详解】（1）已知当
时，
，
，
关于
轴对称且
．
设
，因为
，不妨设
．
由斜率公式
，即
，解得
，所以
，
．
面积
，解得
，抛物线
方程为
．
（2）
证明：设
，
，
，
则
，
．
因为
，则
，所以
，
则
，
，
所以直线
的方程为
，整理得
．
把
代入直线
方程，得
，
所以直线
过定点
．
【变式4】已知点
，动点
到直线
的距离等于
，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）设出
，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程；
（2）先假设存在这样的定点，设直线
方程，和曲线方程联立，利用韦达定理化简
，对表达式
是否可以为定值进行分析即可判断.
【详解】（1）设点
，故
，而点
到直线
的距离为
，
由已知得
，化简得
，
所以动点
的轨迹
的方程为
．
（2）
若存在定点
满足题意，
当直线斜率存在时，设过点
的直线方程为
，
联立方程
，消去
化简得
，
则
，则
，
又
，所以
，
将
代入化简得：
，若
为定值，不妨设为
，
则
，即
，
亦即有
，
，
解得
，所以存在定点
，使得
．
当过
的直线垂直
轴时，此时
，则
，满足条件．
所以在
轴上存在定点
，使得
为定值．
题型10 圆锥曲线中的定值问题
【典例1】已知双曲线
的两个焦点为
为动点，若
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)设点
，过点
作直线交轨迹
于
两点，判断
的大小是否为定值？并证明你
的结论.
【答案】(1)
(2)为定值，证明见解析
【分析】(1)由椭圆的定义直接得轨迹的方程.
(2)先由直线的特殊位置找到角的值，再猜想，进而证明.
【详解】（1）依题意双曲线方程可化为
则
，
.
点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，其方程可设为
，
由
得
，则所求椭圆方程为
.
故动点
的轨迹
的方程为
.
（2）当与
轴重合时，构不成
，不合题意.
当
轴时，直线的方程为
，
代入
解得
的坐标分别为
、
，
而
，猜测
为定值.
设直线的方程为
，
，
【证明】由
得
，
.
.
，
所以
，
为定值.（
与点
不重合）
【变式1】已知
，
，
为坐标原点，动点
满足
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)
，
是点
轨迹上的点，且
.记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值，
并求出该定值.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析，
.
【分析】（1）设点
，利用给定等式建立方程，化简即可得轨迹方程.
（2）设
，利用三角形面积公式，结合向量运算可得
，再利用
点
都在椭圆上联立求解即得.
【详解】（1）设点
，由
，得
，
即
，
则
，整理得
，
所以点
的轨迹方程为
.
（2）设
，
，
则
，由（1）知
，
，
因此
，
，
所以
为定值，该定值为
.
【变式2】已知双曲线
经过
，
两点，
(1)求
的方程；
(2)若直线
交
于
，
两点，点
（异于点
，
），
的平分线与
轴垂直，求
证：的倾斜角为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）法一：通过讨论焦点在
轴或
轴，代入数据计算即可；法二：设
，
代入数据计算即可；
（2）设
，
，由
，得到
，进而可求解.
【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在
轴上时，设双曲线方程为
，
由题意得，
，解得
，双曲线方程为
．
当双曲线焦点在
轴上时，设双曲线方程为
，
由题意得，
，方程组无解．
综上，双曲线方程为
．
（方法2）设双曲线方程为
，则
，
解得
，
，
所求双曲线方程为
．
（2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为
，设
，
所以
，
所以
，
由题意知
，
，
，
又因为
的平分线与
轴垂直，所以
，
即
，所以
，
即
，
所以
，
即
，所以
或
，
当
时，直线的方程为
，
即直线过点
，不符合题意，所以
，设倾斜角为
，
即
，
，即直线的倾斜角为定值
．
【变式3】已知动点
与定点
的距离与它到定直线
的距离的比是常数
，
(1)求动点
的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点
作轨迹的切线与两直线
分别交于
、
两点，证明：三角形
的面积是定
值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得
，化简即可；
（2）设点M 坐标为
，设曲线在点M 处的切线方程为
，与双曲线方程联立求得切线
方程，分别与直线
和
联立可求得
的横坐标，计算可求解.
【详解】（1）根据题意得
，则可得
，
将上式两边平方，得
，
整理得
，所以
，
所以
（2）设点M 坐标为
，设曲线在点M 处的切线方程为
，
与双曲线方程联立
，消去
，可得
，
整理得
，
所以
且
，
解得
，代入
，得
，
所以切线方程为
，
与
联立得
，与
联立得
，
故
.
【变式4】已知抛物线
的焦点为F，点
在C 上，且
，其中O 为坐
标原点，过点
的直线l 与C 相交.
(1)求C 的方程；
(2)若l 与C 仅有一个公共点且斜率存在，求l 的斜率；
(3)若l 与C 交于M，N 两点，记直线OM 与直线ON 的斜率分别为
，
，证明：
为定值，并求出该
定值.
【答案】(1)
(2)0 或
(3)证明见解析，
【分析】（1）由抛物线的定义可得
，再将点
的坐标代入抛物线方程，即可得到结果；
（2）联立直线与抛物线方程，分
与
讨论，即可得到结果；
（3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由抛物线的定义可知
，
又
，则
.
即
.所以
.
又
在抛物线上.
所以
.且
.
解得
.则C 的方程为
.
（2）设直线l 的斜率为k，则
.
联立
，
可得
，
当
时，
，符合题意；
当
时，则有
，解得
.
综上，直线l 的斜率为0 或
.
（3）由题得l 的斜率存在且不为零.
设l 的方程为
.
，
，
联立
，可得
，
.即
.
可得
，
.
故
，
.
则
，
所以
为定值
.
题型11 圆锥曲线中的定直线问题
【典例1】已知椭圆
过点
，短轴长为4．
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
与
轴的交点为
，
（点
位于点
的上方），直线
与椭圆
交于不同的两点
，
．设直线
与直线
相交于点
．试问点
是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，
说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线
上，理由见详解.
【分析】（1）依题意可得
，即可求出
、
，从而得解；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线
与椭圆联立消
，设直线
、
的方程
解出
纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）在定直线
上，理由如下：
设点
与直线联立消去
整理得
，
由
，且
，
所以
，
易知
，
，则
，
，
两式作商得
，解得
，
故
在定直线
上.
【变式1】如图所示，椭圆
的左右顶点分别为
，过定点
（不妨设
）任意作直线交椭圆于
，若直线
与
相交于
，求证点
在定直线上．
【答案】证明见解析
【分析】利用仿射变换，还原成圆，如图，作
轴于
，可得 点
在直线
上，从而可证得
结论.
【详解】还原成圆，设弧
为
，弧
为
，作
轴于
．
因为
四点共圆，所以
．
又
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以点
在直线
上，
所以点
在直线
上．
【变式2】已知A，B 分别是双曲线C：
的左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一
点，直线PA，PB 的斜率分别为
，
，且
．
(1)求C 的方程；
(2)已知过点
的直线l：
交C 的左、右两支于D，E 两点（异于A，B），直线AE 与直线BD
交于点Q，证明：点Q 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
即可确定
的值，设出点
坐标表示出
，根据
即可求出
，从而求
出双曲线方程；
（2）设出点
,点
坐标，表示出直线
方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出
点
横坐标，可发现点
在定直线上.
【详解】（1）由题意得
，所以
．
设
，因为点P 在C 上，所以
，即
．
又
，所以
，
故C 的方程为
．
（2）由（1）得
，
，
如图，设
，
，
联立
消去
得
，
所以
，
，
易知直线AE 的方程为
，
直线BD 的方程为
，
联立
得：
，
即
，
整理得
，
则
，
所以点Q 的横坐标始终为1．
故点Q 在定直线
上．
【变式3】已知抛物线
，过点
的直线交抛物线于
、
两点，曲线
在点
、
处的切
线交点为
，求点
所在的直线．
【答案】
【分析】解法一：设
，求出过点
、
的切线方程分别为
，
．求出交点
，
．联立过点
的直线与抛物线方程，由韦达定理得
，故可求得点
所在直线.
解法二：由性质3 可知：抛物线
的外部一点
引两条切线，过两切点的弦所在直线方
程为：
，结合已知条件求解即可．
【详解】解法一：
设
，则
，
，
过点
、
的切线方程分别为
，
．
，
．
由这两方程解得
，
．
设过点
的直线斜率为
，则方程为
．①
把①式代入抛物线方程
，消去
，得
．
由韦达定理得
，
，所以
．
即点
的轨迹在定直线
上．
解法二：
由性质3 可知：抛物线
的外部一点
引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：
．
由题意，
知
，
，
过两切点
的弦所在直线方程为：
，且此直线过
．
把
代入方程
，得
，
即点
的轨迹在定直线
上．
【变式4】已知抛物线
，过点
的直线与
交于不同的两点
.当直线的倾斜
角为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)在线段
上取异于点
的点
，且满足
，试问是否存在一条定直线，使得点
恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)点
恒在直线
上.
【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦
的长即可；
（2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可.
【详解】（1）设
.
若直线的倾斜角为
，则直线的方程为
.
联立
得
，
则
，
且
，
所以
.
因为
，所以
，故
的方程为
.
（2）存在，定直线为
.
由题意知直线
的斜率存在，
设直线的方程为
，
.
联立
得
.
由
，得
且
，
.
不妨设
，则
，
过点
向
轴作垂线，垂足分别为点
，如图所示，
则
，
.
因为
，所以
，
整理得
，所以
.
代入直线的方程得
.
因为
，所以点
恒在直线
上.
题型12 圆锥曲线中的向量问题
【典例1】椭圆Γ：
与双曲线C：
的离心率分别为
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，设点
，若对于直线l：
，椭圆Γ 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对
称，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）求出椭圆和双曲线的离心率，即可得出
的值；
（2）求出椭圆方程并设出
两点的坐标，利用对称求出直线
方程
，让直线
与椭圆联
立，并利用韦达定理求出
，设直线
中点
的坐标并用参数表达，得出
与
的
表达式，利用
求出的范围，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在椭圆
：
中，离心率为
，
在双曲线C：
中，离心率为
，
∵
，
∴
，解得
．
（2）由题意及（1）得，
因为
，所以
：
，
对于直线l：
，椭圆Γ 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，
设
，
，
∴直线
方程为
，
联立
消去y 得
，
由
，解得
，
故
，
∴
，
，
设直线AB 中点为
，
则
，
，
又点P 在直线l 上，所以
，则
，
又因为
，
，
所以
，
∵
，
∴
，解得
且
，
∴
．
【变式1】设
为坐标原点，若椭圆
与直线
交于
两点，且
，圆
过点
．
(1)求
的方程及圆
的半径；
(2)若点
在
上，且
，判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
的方程为
，圆
的半径为2；
(2)相交，理由见解析.
【分析】（1）设
，联立直线与椭圆并应用韦达定理得
，再
由弦长公式列方程求椭圆参数，即可得方程，根据圆所过的点求圆的半径；
（2）讨论直线
的斜率，不同情况下设直线
的方程并联立椭圆，应用韦达定理及
求参数
关系，再应用点线距离与圆的半径大小判断位置关系即可.
【详解】（1）设
，
联立
，得
，
，
则
，
即
，解得
，
故
的方程为
．
设圆
的方程为
，又圆
过点
，代入可得
，故圆
的半径为2．
（2）
直线
的斜率不存在时，设直线
的方程为
，联立
，
不妨令
，
由
，得
，解得
，
此时圆心
到直线
的距离为
，故直线
与圆
相交．
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，
联立
，得
，
则
，
由
得
，即
，
即
，
故
，解得
，
设圆心
到直线
的距离为
，
则
，故直线
与圆
相交．
综上，直线
与圆
相交．
【变式2】已知双曲线
的左、右顶点分别为
，离心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q
在第二象限），直线OQ 交双曲线C 于点
，求
．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据条件及离心率的公式确定
的值，再根据
求出
，即可得双曲线C 的方
程；
（2）先根据题意设直线的方程为
，及
的坐标，进而得到
的坐标，联
立方程组，由韦达定理得到
的值，代入
化简即可.
【详解】（1）由双曲线
的左、右顶点
分别为
可知
，
又由离心率为2，即
，可得
，
又在双曲线中
，可得
，
所以双曲线C 的方程为
.
（2）
因为直线过点
且斜率不为0，
且直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二象限），
所以设直线的方程为
（其中
为直线斜率的倒数），
（由双曲线C 的方程为
可知其渐近线方程为
，
所以直线的斜率
，解得
）.
设
，因为直线OQ 交双曲线C 于点
，所以
，
所以
，
，
联立
，可得
，
所以由韦达定理可得
，
所以
，
所以
.
【变式3】设双曲线
的焦点分别为
，
，离心率为2．
(1)求此双曲线的渐近线，
的方程；
(2)若A，
分别为，
上的点，且
，求线段
的中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么
曲线；
(3)过点
能否作出直线，使与双曲线交于
，
两点，且
？若存在，求出直线的方
程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)双曲线方程为
，渐近线方程为
(2)
，点
的轨迹是中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为
，短轴长为
的椭圆
(3)不存在满足条件的直线，理由见解析
【分析】（1）根据方程和离心率求得
，
，即可得渐近线方程；
（2）设
，
，
的中点为
，根据题意可得
，结合渐近线方程运算求解
即可；
（3）假设存在，讨论直线的斜率是否存在，联立方程，根据向量垂直和韦达定理分析判断即可.
【详解】（1）因为
，所以
．
又因为
，可得
，
．
所以双曲线方程为
，渐近线方程为
．
（2）设
，
，
的中点为
．
因为
，则
．
假设
，
，
则
，
．
可得
．
因为
，
，
则
，即
．
所以点
的轨迹是中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为
，短轴长为
的椭圆．
（3）假设存在满足条件的直线．
当直线的斜率不存在，即直线方程为
时，
易得
，
的坐标分别为
，
．
因为
，
所以直线
不符合条件．
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为
，
与双曲线交于
，
两点．
因为
，所以
．
所以
，
所以
①．
由
消去
，整理得
，
则
，
，
②．
将②代入①式，得
整理可得
，无解．
综上可知，不存在满足条件的直线．
【变式4】已知抛物线
经过点
，直线过点
且与抛物线
有两个不同的交
点
，
.
(1)求抛物线
的准线方程；
(2)求直线的斜率
的取值范围；
(3)若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，设
为原点，
，
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)2.
【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程；
（2）设
且
，联立抛物线结合判别式求参数范围；
（3）根据题意，设直线
，
和
，由向量的线
性关系求得
、
，应用韦达定理化简求值即可.
【详解】（1）由
在抛物线上，可得
，故
，则准线为
；
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设
且
，联立抛物线得
，
所以
，则
，故直线的斜率范围是
.
（3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即
时过
，
令
，
，且
，且
，
，
若
，得
，所以
，
同理得
，而
，故
，
，
由题意
，同理可得
，
所以
，而
，
，
所以
.
1．椭圆E：
与曲线H：
在第一象限内交于P，Q 两点，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，则直线
的斜率
将
与
联立，利用韦达定理即可求解.
【详解】不妨设
，
，
则直线
的斜率
将
与
联立，得
，即
，
由韦达定理得
，所以
，又
，
所以
，
故选：D.
2．已知双曲线
，右焦点为
，直线经过
且与
轴垂直．若与
的两条渐近线分别交于
，
两点，则
的面积为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】求得右焦点
的坐标，渐近线方程，进而求得
的坐标，可求
的面积.
【详解】由双曲线
，可得右焦点为
，渐近线方程为
，
因为直线经过
且与
轴垂直，所以直线的方程为
，
所以直线与两渐近线的交点
的坐标分别为
，
所以
，所以
的面积为
.
故选：C.
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2，
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一利用斜率转化直角三角形中角的正切值，再利用正弦定理转化边之比，最后利用面积可求
解各边，即可求双曲线方程；
方法二是利用焦半径关系，结合直角三角形中角的正切值和面积关系即可求解焦半径，再用勾股定理和双
曲线的定义可得双曲线方程.
【详解】
解法一：如图，点
一定在第四象限，
．
设
，
，
，
由
得
．
因为
，所以
，即
，
，则
．
由正弦定理得
，
则可设
，
．
由
得
，
则
，
，
，
．
由双曲线的定义得
，即
，
，
所以双曲线的方程为
．
解法二：由解法一知点
一定在第四象限，
．设
，
，
则
．因为
是面积为8 的直角三角形，所以
①，
因为直线
的斜率为2，所以
，即
②．
联立①②解得
，
，
则
，即
．
又由勾股定理得：
，即
．故
，
所以双曲线的方程为
．
故选：C
4．已知双曲线
，过原点的直线的倾斜角为
，且
，若与
没有交
点，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线的渐近线，根据条件计算直线的斜率，因为直线与双曲线没有交点得到不等式，最
后根据双曲线的离心率求得范围；
【详解】易知渐近线方程为
，
因为
，所以
．
又l 与C 没有交点，所以
，则
，所以
．
故选：C.
5．已知椭圆
的左、右焦点为
，上、下顶点为
，直线
与椭圆的另一个交
点为
，若
，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据条件求出
，结合点差法可得
.
【详解】根据题意由
，可得
，即
，
则
，即
，所以
.
取
中点为
，可知
.设
，
，
，作差可得
，即
，
即
，可得
，所以
，
故选：B.
6．已知直线
与椭圆
相交于
两点，则线段AB 的中点M 的轨迹必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，联立得到
，进而得到中点
的坐标及轨迹方程即可.
【详解】设
，
，
，
，即
，
又
为线段AB 的中点，所以
，则
的轨迹方程为
，
所以
，
都在
上，
又
，所以
，因为
，所以D 错误.
故选：C.
7．已知抛物线C：
的焦点为F，过点F 的直线与C 交于A，B 两点，过A，B 分别作准线l
的垂线交l 于P，Q 两点，若
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】D
【分析】如图，过点B 作
交直线AP 于点M，交x 轴于点N，设点
，
，由题意可
得
，
，进而根据
，可求
.
【详解】如图，过点B 作
交直线AP 于点M，交x 轴于点N，
设点
，
，因为
，
所以
，即
①．
又因为
，所以
，所以
，
所以
②，
由①②可解得
，
．
当
时，
；当
时，
．
所以
，解得
．
故选：D.
8．已知椭圆
的离心率为
，点A 为椭圆的左顶点，
为椭圆外一点，线段
的中点在椭圆上，若点P 在椭圆上，则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，然后求出与
平行且与椭圆相切的直线，最后通过两平行线的
距离求出
的高，进而求出面积的最大值.
【详解】由题可知
①，
，则线段AM 的中点为
，
代入椭圆可得
②，又
③，
联立①②③可得
，
，所以椭圆的方程为
，
故
，直线
的方程为
，
设与直线
平行的直线方程为
，
当此直线与椭圆相切时，到直线
距离较远的直线与椭圆的切点为P，如图：
此时
的面积取得最大值．将
代入椭圆方程
，
消去x 整理得
，
所以
，解得
或4．
所以直线方程为
或
，
当
，直线
与直线
的距离
，
当
，直线
与直线
的距离
，
由
，所以到直线
距离较远的直线方程是
，
两平行直线之间的距离
，又
，
所以
面积的最大值为
．
故选：C.
9．已知椭圆
，则（ ）
A．C 的长轴长为8
B．C 的焦点坐标为
C．C 的离心率为
D．C 上的点到焦点的最大距离为
【答案】ACD
【分析】由椭圆的标准方程分别得到
，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于椭圆
，
，则
，
则
，
对于A，椭圆的长轴长为
，故A 正确；
对于B，椭圆的焦点在
轴上，且
，
则焦点坐标为
，故B 错误；
对于C，离心率
，故C 正确；
对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为
，故D 正确；
故选：ACD
10．直线过点
与双曲线
有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
【答案】4
【分析】分类讨论，分当
时，作出图像即可得解，当
时，设直线的方程为
，
与双曲线方程联立，由
，当的方程为
时，作出图像即可求解，进而求解.
【详解】由
得渐近线方程为：
，设直线的方程为
，
由
，得
，
当
时，
由图可知：与双曲线只有一个交点满足题意，
当
时，
，解得
，
所以当
时，与双曲线有一个交点，满足题意，
当的方程为
时，与双曲线有一个交点，满足题意，
所以这样的直线有4 条.
故答案为：4.
11．已知抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图，若过点
的直线与抛物线
交于不同的两点A，B，O 为坐标原点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
，再通过向量垂直的条件
来证明
．
【详解】（1）设椭圆
的长半轴为
，短半轴为
，半焦距为，
，又
，
，
该椭圆的右焦点为
，
又抛物线
的焦点为
，所以
，解得
，
故抛物线
的方程为
．
（2）
直线过点
且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为
，
设直线的方程为
，
联立
，得
，即
，
方程
的判别式
，
设
，
，则
，
，
由根与系数的关系得
，
因为
，
，
所以
，
.
12．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明：
为定值，并求出点
的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以
为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由
，得
，进而得
，所以
，根据圆的方程
可得
．设点
的坐标为
，由两点间的距离公式可得
，化
简可得所求方程．
（2）设弦的两端点分别为
，结合条件，利用 “点差法”，即可求解.
【详解】（1）因为
，
，故
，
所以
，故
，
又圆
的标准方程为
，从而
，所以
．
由题设得
，
，
，
设点
，则有
，化简可得
，
又由题意可得点
不能在x 轴上，所以
，则点
的轨迹方程为
.
（2）由（1）知，点
的轨迹方程为
，
由椭圆的对称性知，以
为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为
，
则
①，
②，
由①
②，可得
，
依题意，
，代入上式，
，
故有
，
故以
为中点的弦所在的直线方程为
，即
.
13．已知
为坐标原点，椭圆
：
的两个顶点坐标为
，
，短轴长为
．
(1)求
的方程；
(2)已知直线交
于
两点，直线
与
轴不平行，记直线
的斜率分别为
，
，且
，证
明：直线
恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和短轴长的定义求出
的值，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线
的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出
和
，再根据
建立等
式，化简后求出直线
恒过的定点.
【详解】（1）由题意得
，
因为短轴长为
，所以
，
解得
，故
的方程为
．
（2）设直线
方程为
，
，
，如图，
联立
消去
得
，
则
，
故
，
，
所以
，
，
因为点
在
上，所以
，
故
，
所以
．
因为
，所以
，
故
，
解得
，满足
，
所以直线
的方程为
，故直线
恒过定点
．
14．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，P 为C 上一点，若
，
，
构成公差为
的等差数列，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若过点
且斜率为k 的直线l 与C 交于M，N 两点，O 为坐标原点，且
，
，
则当k 取最大值时，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列方程，求出
的值即可；
（2）由题意得直线的方程为
，设
，
，联立椭圆方程，结合韦达定理以及
求得
的最大值，结合点到直线的距离公式、弦长公式即可求得
的面积.
【详解】（1）由题意知
，即
，
由
，得
为钝角，则
，
则
，
解得
，则
，所以
，故
的方程为
．
（2）由题意得直线的方程为
，
设
，
，联立
消去
得
，
由
，解得
，
且
，
，
因为
，所以
，
即
，
所以
，
即
，
解得
，即
，
故当
时，
能取得最大值
．
又
，
到的距离
，
所以
，
将
代入上式得
的面积为
．
