文档文本内容
1
相似三角形与手拉手问题 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
如图，四边形
、
都是正方形，连接
、
，
与
相交于点
，
与
相
交于点
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵四边形
和四边形
都是正方形，
∴
，
，
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中
∵
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
2. 已知：如图，
，
，
，
，
，
．求证：
．
2
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
3.
【解析】
【标注】
已知：如图，
，
，
，
，
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
4. 如图，
为
内一点，连接
、
，以
为一边在
外作
，
，
与
交于点
，连接
．求证：
．
3
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5.
【解析】
如图，已知
为
斜边上的中线，过点
作
的平行线，过点
作
的垂线，两线相交
于点
．求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
为
斜边上的中线，
∴
，
∴
，
∵
，
4
【标注】
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
图
（1 ）
图
（2 ）
备用图
（3 ）
6. 如图，在
中，
，
，点
，
分别是边
，
的中点，连接
．将
绕点
按顺时针方向旋转，记旋转角为．
问题发现
①当
时，
；
②当
时，
．
拓展探究
试判断：当
时，
的大小有无变化？请仅就图的情况给出证明．
问题解决
当
旋转至
、
、
三点共线时，直接写出线段
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
无变化，证明见解析．
或
．
5
（1 ）
（2 ）
方法一：
（3 ）
【解析】
①当
时，
∵
中，
，
∴
．
∵点
、
分别为边
、
的中点，
∴
，
，
∴
．
故答案为
．
②如图，
当
时，可得
．
∴
，
∴
．
故答案为
．
无变化．
在题图中，∵
是
的中位线，
∴
，
∴
，
．
如题图，∵
在旋转过程中形状大小不变，
∴
仍然成立．
又∵
，
∴
，
∴
．
在
中，
．
∴
，
∴
．
∴
的大小不变．
当
在
上方，且
，
，
三点共线时，四边形
为矩形，连接
，
∴
；
6
方法二：
当
在
下方，且
，
，
三点共线时，连接
，
为直角三角形，
由勾股定理可求得
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
①如图，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
．
②如图，连接
，过点
作
的垂线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，
7
【标注】
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
综上所述，
的长为
或
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
（2 ）
7. 如图①，
，
，
，将
绕点
顺时针旋转得
，设旋转
的角度是．
图
如图②，当
（用含的代数式表示）时，点
恰好落在
的延长线上．
图
如图③，连接
、
，
的延长线交斜边
于点
，交
于点
．请写出图中两对
相似三角形 ， （不含全等三角形，用现有字母表示）．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
图
【答案】（1 ）
（2 ）①
，②
．
∵
，
∴
，
∴
．
①：∵
绕点
顺时针旋转角得到
，
∴
，
，
，
∴
∴
；
②：∵
绕点
顺时针旋转角得到
，
∴
，
，
，
∴
，
又
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
8. 如图，正方形
的顶点
、
在正方形
的边上．
图
将图中的正方形
绕点
旋转一定角度，如图，直接写出线段
与
的关系．
9
（2 ）
（1 ）
【解析】
图
把图中的正方形都换成矩形，且
，如图，探究线段
与
的关系，并加以证明．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
．
，
．
证明：如图，延长
交
于点
，交
于点
．
图
∵
为正方形，
∴
，
，
∵
为正方形，
∴
，
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
10
（2 ）
【标注】
∴
≌
．
∴
，
，
在
和
中，
，
，
∴
．
∴
，
．
，
．
证明：如图，延长
交
延长线于点
，交
于点
．
∵
和
为矩形，
∴
． 即
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
，
在
和
中，
，
，
∴
．
∴
，
．
【知识点】正方形等其他图形的手拉手模型
（1 ）
1
（2 ）
9. 直角三角板
中，
，
．将其绕直角顶点
逆时针旋转一个角（
且
），得到
．
如图，当
边经过点
时，求旋转角的度数．
在三角板旋转的过程中，边
与
所在直线交于点
，过点
作
交
边于点
，连接
．
11
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
当
时，设
，
，求与之间的函数解析式及自变量的取
值范围．
当
时，求
的长．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
或
．
由题意
，
≌
，
∴
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
．
当
时，点
在
边上，
，
，
∵
，
∴
，
由旋转性质可知
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
当
时，点
在
边上，
，
，
∵
，
∴
，
由旋转可知，
，
，
，
12
【标注】
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
当
时，
，
整理得
，
，
即
，
当
时，点
在
延长线上，
仍设
，则
，
，
，
当
时，
，
，
或
（矛盾，舍去）
即
，
综上
或
．
【知识点】旋转性质综合应用
（1 ）
（2 ）
10. 如图，在
中，
，
，
，将
绕顶点
顺时针旋转
，
得到
，连接
，
，设
和
的面积分别为
和
．
的值为 ．
如图，当旋转角为
时，
与
的比值是否发生变化？若不变，
请证明．若改变，写出变化后的比值（可用含的代数式表示）．
13
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
与
的比值不发生变化．
由旋转的性质可得：
和
都是等腰三角形，
并且
，
所以
，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到它们面积的比等于
．
与
的比值不发生变化，理由如下：
∵
绕顶点
顺时针旋转得到
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
11. 如图，矩形
的一边落在矩形
的一边上，并且矩形
，其相似比为
，连接
、
．
图
请直接写出
、
的位置关系．
14
（3 ）
（1 ）
【解析】
将矩形
绕着点
按顺时针（或逆时针）旋转任意角度，得到图形、图形，请你通
过观察、分析、判断（）中得到的结论是否能成立，并选取图证明你的判断．
图
图
在（）中，矩形
绕着点
旋转过程中，连接
、
、
，且
，
，
，
的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存
在，请说明理由．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
仍然成立．
的面积存在最大值或最小值，最大值为
，最小值为．
．理由如下：
如图，∵矩形
，
图
∴
，
，
∴
，
∴
．
延长
交
于
，
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（2 ）
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
．
仍然成立，理由如下：
如图，∵矩形
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
的面积存在最大值或最小值．
∵矩形
，其相似比
，
，
∴
，
∴点
的轨迹是以点
为圆心，
为半径的圆．
设点
到
的距离为，
∴
，解得
，
∴当点
到
的距离为
时，
的面积有最大值，
最大值为
．
当点
到
的距离为
时，
的面积有最小值，
最小值为
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
【知识点】比和比例
【知识点】相似形
【知识点】比例的综合应用
【知识点】相似三角形的性质
【知识点】旋转的性质
【知识点】旋转性质综合应用
【能力】推理论证能力
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（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，点
在
边上，
，
边
上的一点
满足
，将
绕点
逆时针旋转度（
）得到
，
、
两点的对应点分别为点
、
，连接
，
，取
的中点
，连接
．
图
如图，当
时，
，此时
和
之间的位置关系为 ．
图
画图探究线段
和
之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
;
，
．
，
．
，
，
如图，取
的中点
，连接
，延长
交
于点
，
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【标注】
∵
，
分别为
，
的中点，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
①，
∵
，
∴
，
即
②，
由①②得
，
∴
，
，即
，
∵点
是
的延长线与
的交点，
，
∴
，
∴
，
∴
．
综上
，
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
