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1
相似三角形与手拉手问题 题集【B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
把两个含有
角的直角三角板如图放置，点
在
上，连接
、
，
的延长线交于
于
点
．
问：
与
在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．
若将
角换成
，如图所示，
与
在数量和位置上分别有何关系？说明理由．
若将（）中两个三角板旋转成如图的位置，则（）中结论是否仍然成立，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
，
．
成立．
∵把两个含有
角的直角三角板如图放置，
∴
，
是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
≌
，
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
，
．
∵若将
角换成
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
1
2
（1 ）
（2 ）
2. 在四边形中
，点
为
边上的一点，点
为对角线
上的一点，且
．
图
图
图
若四边形
为正方形．
如图，请直接写出
与
的数量关系 ．
将
绕点
逆时针旋转到图所示的位置，连接
，
，猜想
与
的数量
关系并说明理由．
3
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，若四边形
为矩形，
，其它条件都不变，将
绕点
顺时针
旋转
得到
，连接
，
，请在图中画出草图，并直接写出
与
的数量关系．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
，证明见解析．
关系为
，画图见解析．
∵四边形
为正方形，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
，
∴
，
即
，
故答案为
．
∵
绕点
逆时针旋转到图所示的位置，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
∵四边形
为矩形，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
绕点
顺时针旋转
得到
，如图，
4
【标注】
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
．
【知识点】旋转类相似
图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在等腰直角三角形
中，
，
，
为射线
上一动点．连
接
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，射线
交射线
于点
.
如图，当
在线段
上时，若
，则
，并证明：
≌
．
如图，若
在
延长线上，请补全图形，并证明：
．
图
若
，请直接写出此时
的长为： ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
证明见解析．
或
5
（2 ）
图
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由旋转的性质得，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
≌
．
补全图形如图，
证明：∵
，
，
∴
．
∵
，
又
，
∴
．
6
（3 ）
【标注】
在
和
中，
∵
，
，
∴
．
①若
在
的延长线上，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
，
（舍）．
②若
在线段
上，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
解得
，
，
∴
的长为
或
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 如图，在
中，
，
，点
是
内一动点（不包括
的边
界），连接
．将线段
绕点
顺时针旋转
，得到线段
．连接
，
．
依据题意，补全图形．
求证：
．
延长
交
于
，交
于
．
7
1
2
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
求证：
．
连接
，
，当
为等腰直角三角形时，请你直接写出
的值．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
画图见解析．
证明见解析．
证明见解析．
或
．
图
由旋转得
，
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
≌
．
∴
．
如图，
图
由（）知
≌
，
∴
．
∵
．
∴
．
8
2
【标注】
当
时，如图，
图
设
，则
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
当
时，如图，
图
设
，则
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
图
（1 ）
（2 ）
5. 在等腰
中，
如图，若
为等边三角形，
为线段
中点，线段
关于直线
的对称线段为线
段
，连接
，则
的度数为 ．
若
为等边三角形，点
为线段
上一动点（不与
，
重合），连接
并将线段
绕点
逆时针选转
得到线段
，连接
，
9
图
1
2
图
（3 ）
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
根据题意在图中补全图形．
直接写出线段
，
，
之间的数量关系： ．
如图，若
，
，且
，探究线段
，
，
之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
∵
是等边三角形，且
为线段
中点，
∴
，
又∵
关于直线
的对称线段为线段
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
．
如图所示．
在
上截取
，连接
，
∵
，
10
（3 ）
【标注】
，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
即
．
连接
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
6.
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（1 ）
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图，
为等腰直角
的高，点
和点
分别在正方形
的边
和
上，连接
，
．
图
求证：
．
将正方形
绕点
旋转，当线段
经过点
时．（如图所示）
图
求证：
．
设
与
交于点
，若
，求
的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
为等腰直角
的高，
∴
，
∵四边形
为正方形，
∴
，
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
．
∵四边形
为正方形，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
12
2
【标注】
由（）得
≌
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
设
，则
，即
，
∴
，
∵
≌
，
∴
．
在
中，
，
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
，
即
，解得
，
∴
，
∴
．
【知识点】旋转类相似
（1 ）
7. 如图所示，在边长为的正方形
中，
是
边上的一动点，
的延长线与
的外角
平分线交于
，
，且
交
的外角平分线交于
，把
绕
旋转至
．
如图所示，当
时，求
的长．
图
13
1
2
（2 ）
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
如图所示．
图
请探究线段
，
，
之间的数量关系，并证明．
当点
在
上运动时，记
（
），
，探究是否随着的
变化而变化，若不变化，求出的值，若变化，求出与的函数关系式．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
不会随着的变化而变化，
．
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∵
是
的外角平分线，
是
的外角平分线，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
,
∵正方形
的边长为，
∴
，
∵把
绕
旋转至
，
∴
≌
，
∴
∴
．
．
∵
，
14
2
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
，不变．
方法一：
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
∴
，
∴
∴
方法二：
延长
并截取
，连接
，
设
与
交于点
，连接
，
过点
作
的延长线于点
，过点
作
的延长线于点
，
设
，
，
，则
，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
整理得
．
15
【标注】
∵
，
∴
,
∴
，
整理得
，
∴
．
∵
,
∴
,
∴
，
整理得
，
∵
，
∴
，
∴
．
∴
【知识点】分式方程的其他实际问题
