第1 讲 集合·分类训练
考点一：集合的表示与基本运算 分类训练
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
1.（2026·八省T8·4 月联考）（单选）已知集合A ={-2,-1,0,1}，B ={x∣2 x
2+3 x ≤0}，则
A ∩B =（ ）
A. {-2,-1,0}
B. {-2,1}
C. {0,1}
D. {-1,0}
2.（单选）已知集合A ={x∣( x -2)(4 - x)>0}，B ={x∣
1
3- x >0}，则(∁R A )∪(∁R B)=（
）
A. (2,3)
B. [3,4 ]
C. (-∞,2]∪[3,+∞)
D.
(-∞,3]∪[ 4 ,+ ∞)
3.（2026·八省T8·4 月联考）（单选）已知集合M ={x∣log3 x<2}，N ={x∣❑√x -2<3}，则
M ∩N =（ ）
A. (-∞,9)
B. (-∞,11)
C. (0,11)
D. [2,9)
4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合A ={x∣sin x ≥1
2}，B ={x∣0≤x ≤π }，则
A ∩B =（ ）
A. [0, π
6 ]∪[ 5 π
6 ,π ]
B. [ π
6 , 5 π
6 ]
C. [0, π
3 ]∪[ 2π
3 ,π ]
D. [ π
3 , 2π
3 ]
5.（2025·江西上进·4 月联考）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣
3
2 x -1 ∈Z}，
B ={x∣log2 x<2}，则A ∩B =（ ）
A. {2}
B. {1}
C. {1,2}
D. {0,1,2}
6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合A ={x∣| x|≤1}，B ={ y ∣y =e
x}，则A ∩B =
（ ）
A. ∅
B. (-1,0)
C. (0,1]
D. [-1,1]
7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合A ={ y ∣y = x
2}，B ={x∣2
x≤8}，则A ∩B =（
）
A. [0,3]
B. (3,+∞)
C. (0,3]
D. (-∞,3]
8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合M ={x∣-2< x<2}，N ={x∣2
x<1}，则M ∩N =
＿＿＿＿＿＿.
考法2：利用Venn 图或容斥原理求集合运算
9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集U及其两个非空真子集M , N，则
∁U( M ∪N )=（ ）
A. ∅
B. M ∩N
C. (∁U M )∩(∁U N )
D. (∁U M )∪(∁U N )
10.（单选）已知集合M ={x∣x( x -2)<0}, N ={x∣x -1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可
以表示集合{x∣1≤x<2}的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集U ={1,2,3,4 ,5,6}，集合A ⊆U ,B⊆U，且
满足：A ∩B ={3,5}，(∁U A )∩(∁U B)={2,4}，则下列说法正确的为（ ）
A. 4∈A
B. 6∈A ∪B
C. 集合A可能是{1,3,5,6}
D.
(∁U A )∪(∁U B)={1,2,4 ,6}
12.（2026·湖南天壹名校联盟·5 月模拟）（多选）若U ={x∣x<10, x∈N }，
A ∩(∁U B)={1,9}，(∁U A )∩(∁U B)={4 ,6,7}，A ∩B ={3}，则下列命题为真命题的是（
）
A. 0∈A
B. A的真子集个数为7
C. {9}⊆A
D. 6∉∁U( A ∪B)
13.（2026·浙江温州·二模）（填空）card( A )表示有限集合A中元素的个数，已知
card( A ∪B)=25，card( A )=22，card(B)=20，则card( A ∩B)=＿＿＿＿＿＿.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集U ={1,2,3,4 }，集合A ={1,a-2}，
∁U A ={3,4}，则a=（ ）
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合M ={1,3,a+2}, N ={1,a
2}，若
M ∩N ={1,4 }，则a=（ ）
A. -2
B. 0
C. 2
D. ±2
16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知a,b∈R，集合A ={1, a
b}，B ={a,b}，
若A ∩B ={2}，则b=（ ）
A. 1
B. 2
C. 2或1
D. 1
2
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣x
2-2 x -3<0}，则集合A的
子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 16
18.（2026·山东名校联盟·5 月核心素养评估）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣-1< x ≤2}，则
集合A的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合A ={x∈Z ∣x
2-2 x ≤0}的子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣1
2 <2
x<8}，B⊊A，则符合条件
的集合B的个数为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合A ={( x , y)∣y =( x -1)( x -5)}，
B ={( x , y )∣y
2= 4 x }，则A ∩B的真子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 15
22.（2026·山东师大附中·3 月阶段检测）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣| x|<4}，
B ={x∣y = ❑√2 x -1}，则A ∩B的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合A ={( x , y)∣y =e
x , x∈R}，
B ={( x , y)∣y = x +a, x∈R}，A ∩B有且只有2个子集，则实数a=（ ）
A. -e
B. -1
C. 1
D. e
24.（2024·江西吉安六校协作体·5 月联考）（填空）设集合A ={1,2,3,4}，
B ={x∣5
4 ≤x<4}，则集合A ∩B的子集个数为＿＿＿＿＿＿.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合A ={2,5,8}，B ={a-1,2}，则“a=6”是“
A ∩B = B”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也
不必要条件
26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合A ={x∣-1≤x ≤3}，B ={x∣( x +1)( x -3)≥0}，
则（ ）
A. A ∩B =∅
B. A ∪B = R
C. A ⊆B
D. B⊆A
27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合A ={1,m}，B ={1,3,m
2}，若A ⊆B，则实数
m的值为（ ）
A. 0或-1
B. 0或1
C. 0或3
D. 1或3
28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合A ={1,2}，B ={1,3,log2m}，若A ⊆B，则m
的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
29.（单选）设M ={x∣x = k
2 ,k ∈Z}，N ={x∣x =k + 1
2 ,k ∈Z}，则（ ）
A. M ⊊N
B. N ⊊M
C. M = N
D. M ∩N =∅
30.（单选）已知集合A ={x∣| x|≤1}，B ={x∣2 x -a<0}，若A ⊆B，则实数a的取值范围
是（ ）
A. (2,+ ∞)
B. [2,+∞)
C. (-∞,2)
D. (-∞,2]
31.（多选）若非空集合M , N , P满足：M ∩N = N , M ∪P = P，则（ ）
A. P⊆M
B. M ∩P = M
C. N ∪P = P
D. M ∩∁P N =∅
32.（2024·江西上饶六校联盟·5 月模拟）（多选）设集合A ={x∣3 x
2-2 x -1=0}，
B ={x∣ax -1=0}，若A ∪B = A，则a的值可以为（ ）
A. 1
B. 0
C. - 1
3
D. -3
考法6：利用集合相等与互异性求参数
33.（2025·河南金科新未来·5 月联考）（单选）设集合A ={1,ln a}，B ={0,a}，若A = B，
则a=（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. e
34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合A ={x∣a x
2- 4 x -1=0}只有一个元素，
则实数a的值是（ ）
A. 0或4
B. 4
C. 0或- 4
D. 0
35.（2025·广东衡水金卷·3 月联考）（填空）设集合A ={a,b}，B ={2a,2a
2}，若A = B，则
ab=＿＿＿＿＿＿.
36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合A ={1,a,b}，B ={a
2,a,ab}，若A = B，则
a
3+b
3=＿＿＿＿＿＿.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
37.（单选）对于两个非空实数集合A和B，我们把集合{x∣x =a+b,a∈A ,b∈B}记作
A * B. 若集合A ={0,1},B ={0,-1}，则A * B中元素的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
38.（单选）定义集合A + B ={x + y ∣x∈A 且 y ∈B}. 已知集合A ={2,4 ,6}，B ={-1,1}，
则A + B中元素的个数为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
39.（单选）对于集合A ,B，定义A - B ={x∣x∈A , 且 x∉B}. 若
A ={x∣x =2k +1,k ∈N }，B ={x∣x =3k +1,k ∈N }，将集合A - B中的元素从小到大排列
得到数列{an}，则a7+a30=（ ）
A. 55
B. 76
C. 110
D. 113
40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合A ={( x , y)∣x
2+ y
2≤1, x , y ∈Z }，
B ={( x , y)∣| x|≤2,| y |≤1, x , y ∈Z }，定义集合
A ⊕B ={( x1+ x2, y1+ y2)∣( x1, y1)∈A ,( x2, y2)∈B}，则A ⊕B中元素的个数为＿＿＿＿＿
＿.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知A1, A2,⋯, An,⋯均为有限实数集，记An中
的最大元素为xn.∀n∈N
*，An+1= An∪{a+ xn∣a∈An}，若A1={-2,3}，则（ ）
A. A2={-2,1,3,6}
B. x7=384
C. A8中所有元素的平均数为191
D. A6中所有元素的和为3008
42.（2025·福建福九联盟·5 月联考）（多选）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元
素m，则定义Δ( X )= M -m.据此，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若X ={-1,1},Y ={0,b}，且Δ( X )= Δ(Y )，则b=2
B. 若X ={x∣f ( x)≥g( x), x∈[-1,1]}, Δ( X )=2，则对任意x∈[-1,1]，都有
f ( x)≥g( x)
C. 若X =[a,a+2],Y ={ y ∣y = x
2, x∈X }，则存在实数a，使得Δ(Y )<1
D. 若X =[a,a+2],Y =[b,b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ( X ∪Y )=3
43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪. 直到1872 年，德国数学家戴德
金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数
理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续
2000 多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非
空的子集M与N，且满足M ∪N =Q，M ∩N =∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个
元素，则称( M , N )为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A. M ={x∣x<0}, N ={x∣x>0}是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
44.（单选）设集合X ={a1,a2,a3,a4}⊆N
*，定义：集合
Y ={ai+a j∣ai,a j∈X ,i, j∈N
*,i≠j}，集合S ={x⋅y ∣x , y ∈Y , x≠y }，集合
T ={
x
y ∣x , y ∈Y , x≠y}，分别用|S|,|T |表示集合S ,T中元素的个数，则下列结论可能成
立的是（ ）
A. |S|=6
B. |S|=16
C. |T |=9
D. |T |=16
45.（单选）已知集合A ,B满足A ∪B ={1,2,3}，若A ≠B，且[ A 且B ],[ B且A ]表示两个不
同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A. 9
B. 4
C. 27
D. 8
46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知A ,B ,C为集合M ={1,2,⋯,n}(n∈N
*)的
非空子集，满足：
①A ∩B = A ∩C = B∩C =∅，A ∪B∪C = M；
②{x∈M ∣x =3k ,k ∈N
*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；
③A ,B ,C中所有元素的和分别为S1,S2,S3，且S1= S2= S3.
则正整数n的最小值为＿＿＿＿＿＿.
47.（2025·江西三新教研共同体·3 月联考）（填空）已知集合A ={1,3,4 ,5}，
U ={1,2,3,⋯,19}，集合U的子集B ={a1,a2,a3,a4,a5}，若对于任意的1≤i< j≤5,i, j∈Z，
都有|ai-a j|∉A，则符合条件的集合B的个数为＿＿＿＿＿＿.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
48.（单选）已知集合A满足：①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，③集合A
中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
