第6 讲 函数的概念 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1. 函数的概念......................................................................................................................... 2
2. 函数的三要素.....................................................................................................................2
3. 函数的表示法.....................................................................................................................2
4. 分段函数............................................................................................................................. 2
5. 基本的函数定义域限制.....................................................................................................2
6. 基本初等函数的值域.........................................................................................................3
三、方法总结......................................................................................................................................3
考点一：函数的概念与表示..................................................................................................3
考点二：函数的定义域..........................................................................................................4
考点三：函数解析式的求法..................................................................................................4
考点四：函数的值域..............................................................................................................5
考点五：分段函数的应用......................................................................................................6
四、典题精讲......................................................................................................................................6
考点一：函数的概念与表示..................................................................................................6
考点二：函数的定义域..........................................................................................................8
考点三：函数解析式的求法..................................................................................................9
考点四：函数的值域............................................................................................................11
考点五：分段函数的应用....................................................................................................12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考查内容
2026
第19 题解
答题
约4 分
间接考查（在压轴题中利用分段函数与抽象函数定义新
集合，考查分类讨论解不等式与单调性证明）
2025
第5 题单选
题
约5 分
间接考查（结合函数的奇偶性与周期性，考查将自变量
转化到已知分段解析式区间求函数值）
2024
第6 题单选
题
约5 分
间接考查（在分段函数中，利用各段单调性及分界点处
的函数值大小关系求参数范围）
2024
第8 题单选
题
约5 分
间接考查（在抽象函数不等式中，利用赋值法与递推关
系比较函数值大小）
近三年全国一卷中，函数的概念、定义域与值域等基础知识均未以独立试题直接考查，
而是作为核心代数工具，自然融入到分段函数、抽象函数及压轴解答题的逻辑推理环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：分段函数的性质与求值、抽象函数的赋值递推、函数定义域与值域的综合
应用.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.函数的
概念与表示已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求参数范围、证明单调性、化简求
值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性与综合性强.例如2024 年第6 题，在判断分段函数单调性时，不仅
需要分析各段函数的单调性，还需建立分界点处函数值的不等关系；2025 年第5 题，需利
用周期性和奇偶性将未知自变量精准转化到已知解析式区间；在2026 年第19 题的压轴题
中，更是出现了利用分段与抽象函数定义新集合进行高阶逻辑推理论证的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习导数、三角函数等模块时同步强化“定义
域优先”及函数基本性质的应用意识.
· 熟练掌握分段函数的分类讨论思想、由内向外剥离的复合函数求值方法，确保在综
合题中能快速准确地处理函数关系.
· 针对抽象函数，严格养成利用赋值法、递推法探路的习惯，避免在解答题关键步骤
中因逻辑断链而失分.
二、知识清单
1. 函数的概念
（1） 一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x，都
有B 中唯一确定的y与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合
B 的一个函数.记作：x→y = f ( x)，x∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D，集合
{ y ∣y = f ( x), x∈A }叫做值域，记为C.
【易错提醒】 函数定义中强调“唯一确定的y与之对应”，即一个自变量x只能对应一个
函数值y（一对一或多对一），但一个函数值y可以对应多个自变量x.
（2） 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
2. 函数的三要素
（1） 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
（2） 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个
函数.
【防坑警示】 判断两个函数是否为同一函数时，必须直接根据原解析式求定义域.切忌先
化简解析式再求定义域，否则极易改变函数原有的定义域范围.
3. 函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4. 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数.
5. 基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1） 分式的分母不为零；
（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；
（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4） 零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5） 三角函数中的正切y = tan x的定义域是{x∣x∈R ,且x≠kπ + π
2 ,k ∈Z }；
（6） 已知f ( x)的定义域求解f (g( x))的定义域，或已知f (g( x))的定义域求f ( x)的定
义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f 下，括号内式子
的范围相同；
（7） 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题
函数的定义域.
6. 基本初等函数的值域
（1） y =kx +b(k ≠0)的值域是R.
（2） y =a x
2+bx +c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{ y ∣y ≥4 ac -b
2
4 a
}；当a<0时，
值域为{ y ∣y ≤4 ac -b
2
4 a
}.
（3） y = k
x (k ≠0)的值域是{ y ∣y ≠0}.
（4） y =a
x(a>0且a≠1)的值域是(0,+ ∞).
（5） y = loga x(a>0且a≠1)的值域是R.
三、方法总结
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
· 检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到
抽象的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
· 利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于x轴的直线与图象至多有一个交点.
· 判断直线与函数图象的交点个数，需结合函数定义域的限制，考虑直线是否穿过函
数的定义域区间.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
· 判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的
字母表示不同不影响函数的一致性.
· 定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见的命题陷阱，必须根
据原解析式求解定义域，严禁先化简再求定义域.
· 离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标进行比
对最为直观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
· 求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大
于零等限制条件.
· 当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的
值.
· 实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义
（如三角形两边之和大于第三边）.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
· 已知外层函数f ( x)的定义域，求复合函数f (g( x))的定义域，核心原则是：复合函数
中内层函数g( x)的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.
· 已知复合函数f (g( x))的定义域求f ( x)的定义域，实质上就是求内层函数g( x)的值域.
· 已知f (g( x))的定义域求f (h( x))的定义域，可采用“过渡法”，先求出外层函数f 的
抽象定义域，再代入新的复合解析式中求解.
考法5：根据函数定义域为R 求参数范围
· 函数定义域为R，意味着对于任意实数x，解析式都有意义.转化为不等式恒成立问题
后，结合开口方向和判别式Δ构建不等式组求解.
· 遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防
止漏解.
· 对数型函数的定义域为R，等价于其真数部分恒大于零.
· 结合指数函数的单调性，可将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式
恒成立问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
· 求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.
· 在使用换元法和配凑法时，新元的取值范围决定了所求函数的定义域，这是极易被
忽略的得分点.
· 方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构
造出关于f ( x)的方程组进行求解.
· 对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值
（如0 或用x替换y），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
· 处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之
间的过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
· 通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，可猜想出符合
条件的具体函数.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
· 根据题目给定的函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数
（如指数函数、对数函数、幂函数）中寻找原型并进行适当改造（如加绝对值），是解决
此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
· 求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则需根据内层函数的范围向外
逐层推导.
· 自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的
值域.在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
· 分段函数的值域需分段求解后再取并集.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
· 对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法将其转化为分式函数，再利用
分离常数法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
· 求形如y = ❑√ax +b+ ❑√cx +d的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次
函数求最值问题.
· 对于形如y = sin x +a
cos x +b的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题
求解.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
· 处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.
· 根据集合交集为空集等条件列出关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开
闭情况，必要时可画出数轴辅助判断.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
· 求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.
· 对于嵌套函数，遵循“由内向外”的原则，准确估算内层自变量的大小，判断其所
属区间是求解的关键.若自变量不在直接可求的区间内，需利用递推关系转化.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
· 解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.
· 由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域
区间内，防止增根.
· 对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分
类讨论.
考法14：解分段函数不等式
· 解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
· 对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效，先通
过图象解出内层函数值的范围，再解出最终自变量的范围.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
· 分段函数在R上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的
大小关系满足单调性（如增函数要求左侧分支在分界点处的极限值小于等于右侧分支在分
界点处的函数值）.
· 分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的
下确界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
· 对于嵌套函数的恒定值问题，可转化为寻找函数的不动点（即f ( x)= x的解）.
四、典题精讲
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
例1.（2024·潍坊·一模） 存在函数f ( x)满足：对任意x∈R都有（ ）
A. f (| x |)= x
3
B. f (sin x)= x
2
C. f ( x
2+2 x)=| x|
D. f (| x|)= x
2+1
【答案】D
【思路】判断给定的对应关系能否构成函数，核心在于检验是否满足函数定义中的“唯一性”，
即对于定义域内的每一个自变量，是否都有唯一确定的函数值与之对应.可以通过举反例的方式，
观察同一个自变量是否对应了不同的函数值，从而快速排除错误选项.
【解析】对于A，当x =1时，f (|1|)= f （1）=1；当x =-1时，f (|-1|)= f （1）=-1，不符
合函数定义，A 错误；
对于B，令x =0，则f (sin 0)= f （0）=0，令x = π，则f (sin π )= f （0）= π
2，不符合函数定义，
B 错误；
对于C，令x =0，则f （0）=0，令x =-2，则f （0）= f ((-2)
2+2(-2))=2，不符合函数定义，
C 错误；
对于D，f (| x|)= x
2+1=| x|
2+1，x∈R，则| x|≥0，则存在x ≥0时，f ( x)= x
2+1，符合函数
定义，即存在函数f ( x)= x
2+1( x ≥0)满足：对任意x∈R都有f (| x|)= x
2+1，D 正确.
【规律】检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到抽象
的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
例2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. f ( x)=lg x
2，g( x)=2lg x
B. f ( x)=lg x +1
x -1，g( x)=lg( x +1)-lg( x -1)
C. f (u)= ❑√
1+u
1-u，g(v)= ❑√
1+ v
1- v
D. f ( x)=(❑√x)
2，g( x)=
❑√x
2
【答案】C
【思路】判断两个函数是否为同一函数，必须严格遵循“两要素”原则：一看定义域是否相同，
二看对应法则是否一致.在判断时，切忌先对函数解析式进行化简再求定义域，而应直接根据原解
析式求解定义域.
【解析】对于A：f ( x)=lg x
2的定义域为{x∣x≠0}，g( x)=2lg x的定义域为(0,+∞).∵定义域不
同，∴f ( x)和g( x)不是同一个函数.故A 错误；
对于B：f ( x)=lg x +1
x -1的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，g( x)=lg( x +1)-lg( x -1)的定义域为
(1,+∞).∵定义域不同，∴f ( x)和g( x)不是同一个函数.故B 错误；
对于C：f (u)= ❑√
1+u
1-u的定义域为[-1,1)，g(v)= ❑√
1+ v
1- v 的定义域为[-1,1)，∴定义域相同.又对
应关系也相同，∴为同一个函数.故C 正确；
对于D：f ( x)=(❑√x)
2的定义域为[0,+∞)，g( x)=
❑√x
2的定义域为R.∵定义域不同，∴f ( x)和
g( x)不是同一个函数.故D 错误.
【规律】判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的字母
表示不同不影响函数的一致性，但定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见
的命题陷阱.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
例3. 若y =
❑√x
2-9+
❑√9- x
2
x -2
+1，则3 x + 4 y =＿＿＿＿＿＿.
【答案】13 或-5
【思路】要求代数式的值，需先求出变量x和y的值.观察函数解析式，发现其中包含偶次根式和分
式，因此必须满足被开方数非负且分母不为零.特别注意到两个被开方数互为相反数，这是破题的
关键突破口.
【解析】由y =
❑√x
2-9+
❑√9- x
2
x -2
+1有意义可得
{
x
2-9≥0
9- x
2≥0
x -2≠0
，解得x
2=9，∴x =3或x =-3.
当x =3时，y =1，3 x + 4 y =13；
当x =-3时，y =1，3 x + 4 y =-5.
【规律】求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零
等限制条件.当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
例4. 已知函数f ( x)的定义域为[- 1
2 , 1
2 ]，则函数y = f ( x
2- x - 1
2 )的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[ 1- ❑√5
2
,0]∪[1, 1+ ❑√5
2
]
【思路】已知外层函数f ( x)的定义域，求复合函数f (g( x))的定义域，核心原则是：复合函数中
内层函数g( x)的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.据此列出关于x的不等式组求解即可.
【解析】∵函数y = f ( x)的定义域为[- 1
2 , 1
2 ]，
∴在函数y = f ( x
2- x - 1
2 )中，- 1
2 ≤x
2- x - 1
2 ≤1
2，
解得1- ❑√5
2
≤x ≤0或1≤x ≤1+ ❑√5
2
，
故函数y = f ( x
2- x - 1
2 )的定义域为[ 1- ❑√5
2
,0]∪[1, 1+ ❑√5
2
].
【规律】已知f ( x)的定义域求f (g( x))的定义域，只需令内层函数g( x)在已知定义域范围内，解
出x即可.解一元二次不等式组时，可借助二次函数的图象辅助求解，确保区间端点计算准确无误.
考法5：根据函数定义域为R 求参数范围
例5. 若函数f ( x)=
2 x -3
❑√a x
2+ax +1的定义域为R，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[0,4)
【思路】函数定义域为R，意味着对于任意实数x，解析式都有意义.本题中解析式含有分母和偶次
根式，故要求根号下的二次式严格大于零恒成立.转化为二次不等式恒成立问题后，需特别注意对
二次项系数是否为零进行分类讨论.
【解析】f ( x)的定义域是R，则a x
2+ax +1>0恒成立.
当a=0时，1>0恒成立；
当a≠0时，则{
a>0
Δ=a
2- 4 a<0，解得0<a<4.
综上，0≤a<4.
【规律】遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏
解.当系数不为零时，结合开口方向和判别式Δ构建不等式组求解.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
例6. 根据下列条件，求f ( x)的解析式：
（1）已知f ( x)满足f ( x +1)= x
2+ 4 x +1
（2）已知f ( x)是一次函数，且满足3 f ( x +1)- f ( x)=2 x +9；
（3）已知f ( x)满足2f(
1
x)+ f ( x)= x( x≠0).
【答案】（1）f ( x)= x
2+2 x -2 （2）f ( x)= x +3 （3）f ( x)= 2
3 x - x
3 ( x≠0)
【思路】本题涵盖了求函数解析式的三种常见方法.第（1）问已知复合函数的解析式，可采用换元
法或配凑法；第（2）问明确了函数的类型，可采用待定系数法；第（3）问中自变量x与1
x 具有对
称关系，可采用方程组法，通过代换构造出关于f ( x)的方程组进行求解.
【解析】（1）令t = x +1，则x =t -1，
故f (t )=(t -1)
2+ 4(t -1)+1=t
2+2t -2，
∴f ( x)= x
2+2 x -2；
（2）设f ( x)=kx +b，
∵3 f ( x +1)- f ( x)=2 x +9，
∴3k( x +1)+3b-kx -b=2 x +9，
即2kx +3k +2b=2 x +9，
∴{
2k =2
3k +2b=9，解得{
k =1
b=3，
∴f ( x)= x +3；
（3）∵2f(
1
x)+ f ( x)= x( x≠0) ①，
∴2f ( x)+ f(
1
x)= 1
x ②，
2×②-①得3 f ( x)= 2
x - x，
∴f ( x)= 2
3 x - x
3 ( x≠0).
【规律】求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.在换元和配凑时，
新元的范围决定了函数的定义域；方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽
象方程.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
例7.（2026·福州·3 月检测） 已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy +1，
f （1）=0，则f （6）=（ ）
A. 34
B. 35
C. 36
D. 37
【答案】B
【思路】已知抽象函数满足的等式及某个特殊函数值，求另一个函数值，通常采用赋值法.观察已
知条件f （1）=0和目标f （6），可以通过令自变量取特殊值（如x = y =1），逐步递推求出
f （2）、f （3），最终得到f （6）的值.
【解析】在f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)+2 xy +1中，且f （1）=0，
令x = y =1，得f (1+1)= f （1）+ f （1）+2×1×1+1⇒f （2）=3，
令x =1, y =2，得f (1+2)= f （1）+ f （2）+2×1×2+1⇒f （3）=8，
令x = y =3，得f (3+3)= f （3）+ f （3）+2×3×3+1⇒f （6）=35.
【规律】处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之间的
过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
例8.（2026·省十教育·最后卷） 写出一个满足下列条件的函数f ( x)的解析式：＿＿＿＿＿
＿.
①f (- x)= f ( x)；
②对任意正数x1,t ,f ( x1+t )>f ( x1)；
③∀x1, x2∈(0,+ ∞)，f(
x1+ x2
2 )> f ( x1)+ f ( x2)
2
；
④f ( x1⋅x2)= f ( x1)+ f ( x2).
【答案】f ( x)= ln| x|（答案不唯一）
【思路】分析四个条件分别对应的函数性质.条件①说明函数是偶函数；条件②说明函数在
(0,+∞)上单调递增；条件③说明函数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方（即具有特定的凹
凸性）；条件④说明函数具有将乘法转化为加法的特殊运算性质.在熟悉的初等函数中寻找原型并
进行适当的绝对值改造即可.
【解析】条件①表明函数为偶函数；条件②表明函数为(0,+∞)上的单调递减函数；条件③表明函
数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方；条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数
大于1的对数函数具有类似②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故f ( x)可以是由对数
函数构造的一类函数，比如f ( x)= ln| x|，或f ( x)=lg| x|，f ( x)= ln x
2等都符合条件.
【规律】根据函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数中寻找原型并进
行适当改造，是解决此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
例9. 若函数y = f ( x)的值域是[-1,3]，则函数g( x)=3-2f ( x +1)的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[-3,5]
【思路】已知函数f ( x)的值域，求与其相关的复合函数的值域.由于自变量的平移变换不改变函数
的值域，因此f ( x +1)的值域与f ( x)相同.随后，利用不等式的性质，通过数乘和加减运算即可逐
步推导出目标函数的值域.
【解析】∵函数y = f ( x)的值域是[-1,3]，
∴函数y = f ( x +1)的值域为[-1,3]，
则y =-2f ( x +1)的值域为[-6,2]，
∴函数g( x)=3-2f ( x +1)的值域为[-3,5].
【规律】自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.
在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
例10.（2026·新八校·二模） 已知函数f ( x)= e
2 x -1
e
x+2 ，则该函数的值域为（ ）
A. [2❑√3- 4 ,+ ∞)
B. (- 1
2 ,+∞)
C. [- 1
2 ,+∞)
D. (-1,+∞)
【答案】B
【思路】观察函数解析式，分子分母均含有指数式e
x，可考虑采用换元法，令t =e
x，将超越函数
转化为代数函数.由于分子次数高于分母，进一步利用分离常数法将其转化为对勾函数的形式，最
后结合新变量的取值范围利用单调性求出值域.
【解析】f ( x)= e
2 x -1
e
x+2
= (e
2 x - 4)+3
e
x+2
=e
x -2+
3
e
x+2
=e
x+2+
3
e
x+2
- 4，
令e
x+2=t，则t >2，则原函数的值域等价于函数y =t + 3
t - 4(t >2)的值域，
y
' =1- 3
t
2 >0恒成立，即y =t + 3
t - 4(t >2)单调递增，∴值域为(- 1
2 ,+∞).
【规律】对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法转化为分式函数，再利用分离常数
法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
例11.（2025·福州一中·5 月模考） 若函数f ( x)={
2
x+3,
x ≤0
( x -2)
2,
0< x ≤a的定义域和值域的交集
为空集，则a的取值范围是（ ）
A. (0,2)
B. (0,1)
C. (1,4)
D. (2,4)
【答案】B
【思路】题目要求定义域和值域的交集为空集，首先需要分别求出该分段函数的定义域和值域.定
义域易得为(-∞,a]，而值域需要分段求解，且第二段的值域与参数a的大小密切相关.求出值域后，
根据交集为空集的条件，列出关于参数的不等式组进行分类讨论求解.
【解析】由题设f ( x)={
2
x+3,
x ≤0
( x -2)
2,
0< x ≤a，则定义域为(-∞,a].
当x ≤0时，2
x∈(0,1]，2
x+3∈(3,4 ].
当0< x ≤a时，若a≤2，值域为[(a-2)
2,4)；若a>2，值域为[0,4).
∵定义域和值域交集为空集，即(-∞,a]∩值域=∅.
由于值域中包含(3,4 ]，∴必有a<3.
若a≥2，值域包含[0,4)，与(-∞,a]交集不为空（因为a≥2，[0,4)∩(-∞,a]⊃[0,2]）.
若0<a<2，值域为[(a-2)
2,4)∪(3,4 ].要使(-∞,a]与值域无交集，必须a<(a-2)
2，且a≤3（已
满足）.
解a<(a-2)
2，即a
2-5a+ 4>0，得a<1或a>4.
结合0<a<2，得0<a<1.
∴a的取值范围是(0,1).
【规律】处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.根据集合交集为空集的条件列出
关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开闭情况.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
例12.（2026·广州·一模） 已知函数f ( x)={
log3( x -1),
x>1
3
x ,
x ≤1，则f (f (log32))=（ ）
A. -1
B. 0
C. log32
D. 2
【答案】B
【思路】求解分段函数的嵌套函数值，遵循“由内向外”的原则.首先估算最内层自变量log32的大
小，判断其属于哪一个定义域分支，代入对应的解析式求出内层函数值；然后将该值作为新的自
变量，再次判断其所属分支，代入求解即可.
【解析】∵0<log32<1，∴f (log32)=3
log32=2，
∴f (f (log32))= f （2）= log3(2-1)= log31=0.
【规律】求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.对于嵌套函数，准确
估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解的关键.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
例13.（多选）已知函数f ( x)={
-3 x +5,
x ≥0
x + 1
x ,
x<0，若f (f (a))=- 5
2，则实数a的值可能为（
）
A. 7
3
B. - 4
3
C. -1
D. 11
6
【答案】ACD
【思路】已知嵌套分段函数的函数值求参数，需要采用“由外向内”逐层剥离的方法.先将内层函
数f (a)视为一个整体，根据外层函数的分段条件分类讨论，求出f (a)的可能值；再针对每一个
f (a)的值，再次根据分段条件分类讨论，求出a的值.每次求解后都必须严格检验结果是否符合所
在分支的条件.
【解析】当a≥0时，f (a)=-3a+5，
其中当0≤a≤5
3时，f (a)≥0，此时f (f (a))=-3(-3a+5)+5=- 5
2，解得a= 5
6，符合题意；
当a> 5
3时，f (a)<0，此时f (f (a))=(-3a+5)+
1
-3a+5 =- 5
2，解得a= 7
3或11
6 ，符合题意；
当a<0时f (a)=a+ 1
a，必有f (a)<0，
此时f (f (a))=(a+ 1
a )+
1
a+ 1
a
=- 5
2，变形可得a+ 1
a =-2或- 1
2，
若a+ 1
a =-2，解得a=-1，
若a+ 1
a =- 1
2，无解；
综合可得：a=-1或5
6或7
3或11
6 .
【规律】解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要
严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内，防止增根.
考法14：解分段函数不等式
例14.（2026·江西三新·4 月训练） 已知函数f ( x)={
x
2+3 x ,
x ≤0,
- 12
x +2 ,
x>0,若f (f (a))<-2，则a的
取值范围为（ ）
A. (- 4 ,-3)∪(- 3+ ❑√5
2
,-2)∪(-1,- 3- ❑√5
2
)∪(4 ,10)
B. (- 4 ,-3)∪(-3,- 3+ ❑√5
2
)∪(- 3- ❑√5
2
,0)∪(4 ,10)
C. (-∞,- 4)∪(-3,0)∪(4 ,+ ∞)
D. (-∞,- 4)∪(-3,0)∪(10,+ ∞)
【答案】A
【思路】求解嵌套的分段函数不等式，代数运算往往十分繁琐.此时可以借助数形结合的思想，先
作出函数f ( x)的图象.将内层函数f (a)看作整体，通过图象找出满足外层不等式f (t )<-2的t的范
围，再将t替换回f (a)，再次结合图象解出a的范围.
【解析】作出f ( x)的图象.由f (f (a))<-2，可得-2<f (a)<-1或0<f (a)<4.
由0<f (a)<4，可得- 4<a<-3；
由-2<f (a)<-1，可得- 3+ ❑√5
2
<a<-2或-1<a<- 3- ❑√5
2
或4<a<10.
综上，a的取值范围为(- 4 ,-3)∪(- 3+ ❑√5
2
,-2)∪(-1,- 3- ❑√5
2
)∪(4 ,10).
【规律】对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效.解分段函数
不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
例15.（2026·宜春十校·二模） 已知函数f ( x)={
(3-a)x -3,
x ≤7
a
x -6,
x>7，若f ( x)满足
∀x1, x2∈R且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0成立，则实数a的取值范围为M；若数列{an}满
足an= f (n)={
(3-a)n-3,
n≤7
a
n-6,
n>7 (n∈N
*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为
N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A. M ⊂N
B. N ⊂M
C. M ∩N =∅
D. M = N
【答案】A
【思路】本题考查分段函数单调性与数列单调性的区别.对于分段函数在R上单调递增，不仅要求
每一段函数自身是增函数，还必须保证在分界点处，左侧函数的最大值不能大于右侧函数的最小
值.而对于数列的单调递增，由于其自变量是离散的正整数，只需保证相邻两项满足递增关系即可，
即在分界点处只需满足f （7 ）<f （8）.
【解析】∵对∀x1, x2∈R且x1≠x2，都有
f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0成立，∴f ( x)是R上的增函数，
{
3-a>0
a>1
7(3-a)-3≤a
解得9
4 ≤a<3，∴M =[ 9
4 ,3).
数列{an}满足an= f (n)={
(3-a)n-3,
n≤7
a
n-6,
n>7
(n∈N
*)，且{an}是递增数列，
∴{
3-a>0
a>1
f （7）<f （8）
，即{
3-a>0
a>1
(3-a)×7-3<a
8-6，解得2<a<3，∴N =(2,3)，
故M ⊂N.
【规律】分段函数在R上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关
系满足单调性.数列的单调性只需保证相邻项满足大小关系即可.
