文档文本内容
专题03 圆与方程
考点01 圆的标准方程和一般方程
考点02 圆的几何性质相关计算
考点03 直线与圆的位置关系
考点04 圆与圆的位置关系
考点05 圆的方程的实际应用
考点01 圆的标准方程和一般方程
1．圆心为
，半径为3 的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程易得.
【详解】圆心为
，半径为3 的圆的方程为
.
故选：C.
2．已知点
，
，则以线段
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为
为直径，所以圆心为
，
半径
，
所以圆的方程为
.
故选：C.
3．圆心在直线l：
上，且过
，
两点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
的垂直平分线，再求出圆心，半径即可.
【详解】
,
中点为
，
故其垂直平分线方程为
，即
,
联立
解得
，故圆心C 为
，
半径
，
故圆的方程为
，
故选：D.
4．以点
为圆心且经过点
的圆
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程
，根据题意求出
即可.
【详解】依题意得圆
的半径
，
则圆
的标准方程为
.
故选：D.
5．“关于x，y 的方程：
表示圆”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若
表示圆，则
，解得
或
，
故“关于x，y 的方程：
表示圆”是“
”的必要不充分条件．
故选：A
6．数学家欧拉在1765 年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交
点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在
中，
，
，
，则
的九点圆的方程是 ．
【答案】
【分析】
三条边的中点均为圆上的点，分别设为
，求出直线
和
的垂直平分线的方程，
则两垂直平分线的交点即为圆心，再由圆的定义求出半径，即可得到圆的方程.
【详解】记
的边
，
，
的中点分别为
则
边的中点
，
边的中点
，
边的中点
，
因为直线
的斜率
，线段
中点坐标为
，
所以线段
的垂直平分线方程为
，即
；
因为直线
的斜率
，线段
中点坐标为
，
所以线段
的垂直平分线方程为
，即
；
联立
，解得
.
由垂径定理推论得，该点
即为圆心，
结合圆上点
可得半径：
，
所以
的九点圆的方程为
．
故答案为：
．
7．已知点
在同一个圆上，则这个圆的方程为 .
【答案】
【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案.
【详解】设圆的一般方程为
，
将点
代入得
，
解得
，满足
，则
，
将
代入
也适合，
故所求圆的方程为
.
故答案为：
8．根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)过点
和点
，半径为
；
(2)过三点
.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；
（2）解法一：设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解，解法二：设出圆的一般方程，再代入三
点坐标，即可求解.
【详解】（1）设圆心坐标为
，则圆的方程为
.
因为
是圆上的点，
所以
解得
或
，
因此，所求圆的方程为
或
.
（2）解法一、设圆的标准方程为
，
得
，得
，
所以圆的标准方程是
.
解法二、设所求圆的一般方程为
，
将已知三点的坐标代入，即得方程组
，解得
，
故所求圆的方程为
，即
.
9．已知方程
表示一个圆.
(1)求t 的取值范围；
(2)求这个圆的圆心和半径；
【答案】(1)
；
(2)圆心坐标为
，半径为
.
【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解；
（2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径.
【详解】（1）由题意
，解得：
，
所以的取值范围是
；
（2）圆的标准方程是
，
圆心坐标为
，半径为
.
10．已知方程
表示一个圆，求实数k 的取值范围.
【答案】
【分析】根据圆的一般方程条件建立关于k 的不等式，即可得解.
【详解】因为方程
表示一个圆，
所以
，解得
或
即实数k 的取值范围为
.
考点02 圆的几何性质相关计算
1．在平面直角坐标系中，存在圆
，点
和点
，M 为圆O 上的动点，则下列说
法中正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】C
【分析】设点
，求得
，其中
，结合
和
，即可求解.
【详解】设点
，由圆
，点
和点
，
可得
，
其中
，点
在圆
外，点
在圆
内，
如图所示，可得
，
当且仅当
为
的延长线与圆
的交点时，取得等号，
所以
的最大值为
；
又由
，
当且仅当
为
与圆
的交点
时，取得等号，
所以
的最小值为
.
故选：C.
2．已知线段
是圆
的一条动弦，且
，若点P 为直线
上的任意
一点，则
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】过圆心
作
，由已知求得
，再求出圆心到直线
的距离，求得
的
最小值，再由
求解.
【详解】由圆
，圆心
，半径为2，
如图，过圆心
作
，垂足为
，连接
，由
，
可得
，
由
，当
共线时取等号，
又
是
的中点，所以此时
，
所以
，
则此时
，即
的最小值为2.
故选：C.
3．（多选）已知直线
与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当直线与圆
相切时，切线方程是
C．当
时，圆
上恰有三个点到直线的距离等于
D．圆
上的一点
到直线的最大距离是
【答案】ABD
【分析】将直线方程整理为
，由
，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A 的对
错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离
，可得参数a 的值，即求出直线的方程，判断出B 的对
错；当
时，可得直线l 的方程，求出圆心到直线l 的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为
，
判断出C 的对错；直线恒过的定点
，当
时，则圆心C 到直线l 的距离最大，且最大值为
，
进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为
，可判断出D 的对错.
【详解】对于A，将直线
转化为
，
由
，解得
，直线恒过定点
，A 正确；
对于B，圆
，可得圆心
，半径
，
由直线
与圆相切，可得圆心C 到直线l 的距离
，
即
，解得
，
故切线方程为
，即
，B 正确；
对于C，当
时，直线
，
点
到此直线距离为
，
因此圆
上恰有四个点到直线的距离等于
，C 错误；
对于D，因为直线恒过定点
，可得
，
当
时，圆心C 到直线l 的距离最大，且最大值为
，
所以圆上的点到直线的最大距离为
，D 正确.
故选：ABD.
4．（多选）几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转
体体积也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，
平面区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋
转区域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面
绕
轴旋转形成的几何体体积为
，记半圆面
重心坐标为
.如图2，阴影部分为函数
与
围成的区
域，记该区域绕
轴，
轴旋转形成的几何体体积分别为
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用定义及圆的周长、面积公式计算可得A，将该半圆面绕
旋转形成球体结合定义计算即可
判定B；结合B 的结论及图2 阴影部分与半个单位圆面积的关系即可判定C；构造半径为1 的圆柱减去图2
阴影区域的旋转体的纵截面，再构造纵截面为半个单位圆及其内切圆，通过计算得同一截面截取该两个旋
转体的面积相同计算即可判定D.
【详解】对于A，易知它的重心即其圆心，由定义可知
，故A 错误；
对于B，易知该半圆面绕
旋转所得的几何体为半径为1 的球体，
其体积
，故B 正确；
对于C，根据条件易知半圆面
绕横轴旋转形成的几何体体积为
，
设点
，
则
，
所以图2 阴影面积小于半径为1 的半圆面积，即
，故C 正确；
对于D，图（1）阴影区域满足
，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为
，
图（2）阴影区域满足
，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为
，
设纵坐标为
的平面去截这两个几何体，
联立
得
，其截图（1）对应旋转体的截面面积为
，
联立
得
，其截图（2）对应旋转体的截面面积为
，则
，
易知
，而
，故D 正确；
故选：BCD
【点睛】思路点睛：第三项，主要在于判定该抛物线与单位圆的覆盖面积关系；第四项，结合祖暅定理构
造抛物线与半个单位圆及其内接圆形成截面恒等的结构很关键.
5．（多选）已知曲线
，则以下说法正确的是（ ）
A．点
在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
【答案】BC
【分析】选项A，结合图象，当
时，
或
，可判断；选项B，将
换成
，将
换成
，
方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其
在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C 结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度
即得.
【详解】
选项A：当
时，得
，即
，
因
，故
，故
或
，
因
，故点
在曲线外部，故A 错误；
选项B：将
换成
，将
换成
，方程
不变，
故曲线关于原点对称，故B 正确；
选项C：将将
换成
，方程
不变，故曲线关于
轴对称，
设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为
，
当
时，方程
，即
，
其圆心坐标为
，半径为
，如图，
当
时，得
或
，故弦长
，
由
，故
，
则
，故
，故C 正确；
选项D：由题意可知曲线的周长为
，故D 错误，
故选：BC
6．已知点
满足
，点
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据条件分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度.
【详解】因为
，变形得
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，以2 为半径的圆的上半部分，如图所示，
则当
与点
重合时，线段
长度最大，
可知当
与点
重合时，
，在
中根据勾股定理可知
.
故答案为：
.
7．在一个质地均匀的圆形晾衣架上均匀分布着24 个完全相同的夹子，往这些夹子上挂
只袜
子，并将晾衣架悬挂在高处．每只袜子完全相同，且只能被一个夹子夹住，一个夹子最多夹着一只袜子．
若无论按照什么挂法，晾衣架稳定后都无法保持水平，则正整数m 的取值一共有 种．
【答案】
【分析】根据圆形晾衣架的反射对称和旋转对称，分析能保持水平的
的情况，进而得到无法保持水平
的情况.
【详解】在
个夹子中取一只夹子记为
，从这只夹子向逆时针方向将余下的夹子依次记为
，
圆形晾衣架均匀分布24 个夹子，若能保持水平，则袜子的分布需反射对称和旋转对称，
其中
，
，
，
反射对称，
，
，
，
旋转对称
若
为偶数，可将
只袜子分成
组，每组挂在一对对顶点上，此时成对袜子的质心抵消，整体质心与中
心重合；
被 2 整除的
：2、4、6、…、24，共
种；
旋转对称：若
为 3 的倍数，将
只袜子分成
组，每组挂 3 个旋转对称点，整体质心与中心重合；
被 3 整除的
：3、6、9、…、24，共24÷3=8种；
当
时，将其中的三只袜子挂在三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点上，
例如：五只袜子分别挂在
位置上，可保持整体质心与中心重合；
当
时，将其中的三只袜子挂在三个旋转对称点，余下四只袜子挂在余下的两对对顶点上，
例如：七只袜子分别挂在
位置上，则可保持整体质心与中心重合；
当
时，将其中的九只袜子分三组挂在三组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点上，
例如：十一只袜子分别挂在
位置上，可保持整体质心与中心重合；
当
时，将其中的九只袜子分三组挂在三组三个旋转对称点，余下四只袜子挂在余下的两对对顶点上，
例如：十三只袜子分别挂在
位置上，可保持整体质心与中心重合；
当
时，将其中的十五只袜子分五组挂在五组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的一对对顶点
上，
例如：十七只袜子分别挂在
位置上，可保持整体质
心与中心重合；
当
时，将其中的十五只袜子分五组挂在五组三个旋转对称点，余下两只袜子挂在余下的两对对顶点
上，
十九只袜子分别挂在
位置上，可保持整体质心
与中心重合；
又当
时，无法保持整体质心与中心重合，
故答案为：
8．圆
关于直线
对称，则
．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可．
【详解】由题意得直线
过圆心
，代入直线方程有
，
解得
，
故答案为：3．
9．已知圆
，直线
与圆相交，则直线截圆的最短
弦长为 ．
【答案】
【分析】由
求出直线过的定点
，进而可判断定点在圆内，所以直线
被圆截得的弦长最短时，
，由此即可求解．
【详解】将直线
整理得，
，
由
得，
，
则直线过定点
，
由
得，
，圆心为
，半径
因为
，所以点
在圆
内部，
当直线截圆的弦长最短时，
，
所以弦长为
，
故答案为：
．
考点03 直线与圆的位置关系
1．设直线l 的方程为
，圆C 的方程为
，则直线l 与圆C 的位置关系为
（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【答案】A
【分析】先求出圆心及半径，再应用点到直线距离求出
即可判断直线和圆的位置关系.
【详解】因为圆C 的方程为
，所以圆心为
半径为
，
则圆心到直线距离
，所以
，所以则直线l 与圆C 相交.
故选：A.
2．（多选）过直线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，已知点
是圆
上一动点，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最大值是
C．四边形
面积的最小值为
D．当
最小时，直线
的方程为
【答案】ABD
【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到
；对于B：当
与圆
相切且
直线
时，
最大，计算此时的
即可；对于C：当
直线
时，
最小，计算此时的四边形
面积即可；对于D：当
直线
时，
最小，利用以线段
为直径的圆与圆
的相交弦直线即为直线
的方程，两圆作差即得到此时的直线
的方程.
【详解】选项A：
，故A 正确；
选项B：当
与圆
相切且
直线
时，
最大，
此时
，
，
，
，故B 正确；
选项C：由
，
当
与直线
垂直，
最小，
最小，
，
，故C 错误；
选项D：由题意知
，则
，
，即
，
，
，
当
最小，
取得最小值，此时
垂直于直线
，
所以直线
方程为.
，联立
，解得
，即
，
则以
为直径的圆的方程为
，
即为四边形
的外接圆，方程为
，
由四边形
的外接圆
与圆
相交于
，
两圆方程相减即为
的方程
，故D 正确.
故选：ABD.
3．（多选）圆
与圆
相交于
，
两点，下列说法正确
的是（ ）
A．
的直线方程为
B．公共弦
的长为
C．圆
与圆
的公切线段长为1
D．线段
的中垂线方程为
【答案】ABC
【分析】两圆方程相减可求出
直线的方程，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦
的长，求出
，再由可求得
结果，线段
的中垂线就是直线
，求出直线
的方程
即可.
【详解】由
，得
，则
，半径
，
由
，得
，则
，半径
，
对于A，由于
,故两圆相交，则公共弦
所在的直线方程为
，
即
，所以A 正确，
对于B，
到直线
的距离
，
所以公共弦
的长为
，所以B 正确，
对于C，因为
，
，
，
所以圆
与圆
的公切线长为
，所以C 正确，
对于D，根据题意可知线段
的中垂线就是直线
，因为
，
所以直线
为
，即
，所以D 错误，
故选：ABC.
4．（多选）已知P 是圆C：
上的一个动点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点，
则下列说法正确的是（ ）
A．|OP|的最大值为
B．|OP|的最小值为
C．|MN|最大值为6
D．|MN|最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据题意可得：所以
，
，计算可得A，B 选项，设圆心C 到直线
的距离为
,结合图形可知：当
为直径时，
，当
时，
,结合弦长公式即
可求出
的最小值和最大值.
【详解】由于P 是圆C：
上的一个动点，过原点O 的动直线与圆C 交于M，N 两点,所
以点
在圆
内，
所以
，故A 正确；所以
，故B 正确；
设圆心C 到直线
的距离为
,则
,当
为直径时，
，所以
,故C 正确；
由于
时
,所以
,故D 不正确；
故选：ABC
5．若点
关于直线
对称的点
在圆
上，且
在第一象限内，则实数
的值为
.
【答案】
【分析】根据已知确定点
关于直线
对称的点在圆
上，易得对称点为圆
和
圆
的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然
在圆
上，又直线
经过该圆的圆心
，
所以点
关于直线
对称的点在圆
上，
又点
关于直线
对称的点在圆
上，
所以对称点为圆
和圆
的交点，联立得交点
（舍去第四象限的点），
所以
与
两点所在直线，与
垂直，故
.
故答案为：
6．已知
是定义在
上的奇函数，且满足
，当
时，
，
若函数
与直线
的图象所有交点的横坐标之和为6，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合函数对称性、奇偶性及其解析式，可画出
图象，再利用直线与圆的位置关系计算即可
得.
【详解】由
，则
关于
中心对称，且
，
又
是定义在
上的奇函数，则
，
则
，
故
，故
周期为
，
由当
时，
，则
，
故当
时，
的图象为以
为圆心，为半径的圆的上半圆，
又
关于
中心对称，且过点
，
即函数
与直线
必有公共点
，
由函数
与直线
都关于
中心对称，
则当函数
与直线
的图象在
左侧有交点时，
在
右侧必有一关于
对称的交点，
由函数
与直线
的图象所有交点的横坐标之和为6，
则两图象除
外必有额外一组交点，
作出
如下图：
当
时，直线
需与圆
的上半圆相切：
即有
，解得
，又
，则
；
当
时，直线
与圆
无交点，
则
，解得
或
，由
，则
；
综上所述：
.
故答案为：
.
7．已知一个圆与
轴相切，在直线
上截得弦长为
，且圆心在直线
上，则此圆的方程为
.
【答案】
，
【分析】设出圆心
和半径，根据弦长得到方程，求出
，得到圆的方程.
【详解】设圆心为
，则圆的半径为
，
故圆的方程为
，
圆心
到
的距离为
，
所以直线
上截得弦长为
，
故
，解得
，
故此圆的方程为
或
.
故答案为：
，
8．已知圆
.若直线
与圆
交于
两点，
(1)求
的取值范围；
(2)证明：直线
与直线
（
为坐标原点）的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与圆得
，结合
求参数范围；
（2）设
，
，应用韦达定理及斜率两点式整理化简
，即可证.
【详解】（1）将直线代入圆的方程，得
，
整理得
，且直线与圆有两个交点，
所以
，解得
，即
的取值范围是
；
（2）设
，
，由（1）及根与系数的关系得
，
所以
，
即直线
的斜率之和为定值.
9．已知圆心为
的圆经过点
和
，且圆心
在直线
上．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆的切线，求切线方程．
【答案】(1)
；
(2)
或
【分析】（1）设圆心
，通过半径求得
，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【详解】（1）由题意设圆心
，
因为
，即
，
解得
，即
，半径
，
所以圆
的标准方程为
；
（2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为
，
此时圆心
到直线
的距离为
，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过
的切线方程为
，
即
，
则圆心
到切线的距离
，解得
，
此时切线的方程为：
，即
，
综上所述：过
的切线方程为
或
．
10．已知
及经过点
的直线.
(1)当与
相切时，求直线的方程；
(2)若直线与圆相交于A，B 两点，且
，求
的长.
【答案】(1)
或
；
(2)
.
【分析】（1）当直线斜率不存在时，易得切线方程
；当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于
半径求出斜率即得切线方程；
（2）取
的中点为
，设
，结合图形可得
，由勾股定理得出①和②，联立求出
，即得
的长.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线
，
圆心
到
的距离为2，等于半径，符合题意；
当直线的斜率存在时，设
，即
，
由
，解得
，所以的方程为
；
故直线的方程为
或
.
（2）
如图，取
的中点为
，设
，连
，则
，
又
，则
，
，
在
中，有
①，在
中，
②，
联立①和②，解得
，故
.
11．圆
，过点
作直线，
(1)若直线为圆
的切线，求直线的方程；
(2)若直线与圆
交于
，
两点，当
的面积最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
或
.
(2)
或
【分析】（1）由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到
答案；
（2）由题意结合三角形面积公式可得
，所以圆心
到直线的距离为
，利用点到
直线的距离公式可求得
.
【详解】（1）由圆
，得其标准方程为
，
所以圆心为
，半径为
.
当直线垂直于
轴时，即
满足条件.
当直线不垂直于
轴时，可设直线方程为
，即
，
，则直线方程为
.
切线的方程为
或
.
（2）由直线与圆相交于M，N 两点，设C 到直线距离为
，则
，当且仅当
时等号成立，
所以圆心C 到直线的距离
，解之得
或
.
则直线的方程为
或
考点04 圆与圆的位置关系
1．若圆
：
与圆
：
有且仅有2 条公切线，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可知圆
与圆
相交，故
，所以点
在以原点
为圆心，半
径分别为2 和4 的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得
代表点
到直线
的距离的5 倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解.
【详解】由题可知圆
，半径
，圆
，半径
.
∵圆
与圆
有且仅有2 条公切线，∴圆
与圆
相交，∴
，
∴点
在以原点
为圆心，半径分别为2 和4 的圆所夹的圆环内部（不含边界）.
又
，∴
代表点
到直线
的距离的5 倍.
∵圆心
到直线
的距离为1，
∴圆环内的点
到直线
的距离
，
∴
的取值范围为
.
故选：C.
2．（多选）圆
与圆
的位置关系可能是（ ）
A．内含
B．相交
C．外切
D．内切
【答案】BCD
【分析】先求出圆心距
，再根据圆与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆
，圆
的圆心分别为
，
，则
.
圆
，圆
的半径分别为1，
，且
，
当
时，
，此时两圆相离，
当
，此时两圆外切，
当
时，
，此时两圆相交，
当
时，
，此时两圆内切，
综上，这两个圆的位置关系不可能是内含.
故选：BCD.
3．（多选）已知圆
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
，
相交
B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为
D．两圆的公切线有2 条
【答案】ABD
【分析】根据两圆圆心距离与半径的和差比较即可判断A；两圆相减求得公共弦所在直线方程判断B；利
用两点斜率公式求解判断C；利用两圆位置关系判断公切线条数即可判断D.
【详解】对于A，
的圆心
，半径
，
的圆心
，半径
，
计算两圆心之间的距离
，
比较d 与
，
，
因为
，所以两圆相交，选项A 正确.
对于B，
即
，
即
，
相减并化简得：
，选项B 正确.
对于C，圆心
，
，根据斜率公式
，选项C 错误.
对于D，两圆位置关系为相交，相交的两圆公切线有两条，选项D 正确.
故选：ABD.
4．已知圆
，以圆
上任意一点
为圆心，
为半径的圆与圆
：
交于
，
两点，则当
最大时，
的面积为 .
【答案】
【分析】作出图形，根据条件先判定
等腰三角形，结合垂径定理、正弦函数的单调性可知当弦
为圆
的直径时
最大，再计算三角形面积即可.
【详解】由题意知，
，在
中，
，
显然
，
所以
是锐角，
，
又函数
在
上单调递增，
因此当且仅当公共弦
最大时，
最大，此时弦
为圆
的直径，
在
中，
，
，
所以
，
.
故答案为：
5．已知圆
经过点
，点
，且圆心在直线
上.
(1)求圆
的标准方程；
(2)设
，
，若圆
上存在点
，使
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆心，建立方程组即可求得圆心坐标，然后求出半径长，从而写出圆的方程；
（2）由
构造圆，由两个圆有交点建立不等式即可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）设圆
的圆心为
，则
解得
圆
的半径
所以圆
的标准方程是
（2）
，
点
在以
为直径的圆上
设线段
的中点为
，则
，圆
又
点
在圆
上，
圆
与圆
有公共点
即：
两边平方解得：
实数
的取值范围为
.
【点睛】本题考查了圆的相关性质，（1）可以设圆心由圆的性质建立方程即可得到答案；（2）中根据
得到三点共圆，由两圆有交点建立不等式即可求得结果.
6．已知圆
，圆
，
且
.
(1)证明：
与
相切；
(2)若
与
内切，求公切线的方程；
(3)若
，且
，圆
与
内切于点
，且
与
的面积之积为
，若经过点
，
的直线
分别交
于点（异于点
），交
于点
（异于点
），证明：以
为直径的圆过定点.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得
与
的圆心坐标和半径，求得
，结合圆与圆的位置关系，即
可得证；
（2）联立方程组，求得直线的方程
，结合直线与圆的位置关系，证得直线与
相切，也
与
相切，即可得到圆
与
的公切线方程；
（3）根据题意，得到过
和
的直线过点
的直线
，求得点
，得到
为直径的圆的方程，将其整理为关于
的二次多项式，
结合与
无关，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）证明：由
，可得圆心
，半径
，
圆
，可得
，
可得圆心
，半径
，
则
，
当
时，可得
，
，则
，两圆相外切；
当
时，可得
，
，则
，两圆相内切；
当
时，可得
，
，则
，两圆相内切.
综上可得，当
时，圆
与
相切.
（2）解：联立方程组
，可得
，
设直线的方程为
，
由点
到直线的距离为
，
点
到直线的距离为
，
所以直线与
相切，也与
相切，所以为圆
与
的公切线方程，
即圆
与
的公切线方程
.
（3）证明：联立方程组
，整理得
，解得
，
所以
与
的切点为
，且圆
与
内切于点
，
所以直线
过点
的直线，此时直线方程为
，
当
且
时，可得
，且
和
的面积之积为
，
则
，可得
，
又由直线的倾斜角为
，则有
，可得
，
则以
为直径的圆的方程为：
，
整理得
，
即
，
将其整理为关于
的二次多项式，可得：
，
所以
，即
，解得
或
，
所以以
为直径的圆恒过定点
，
.
7．已知实数
满足
，求以下各式的最小值.
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】（1）根据所求式子，转化为直线斜率问题，利用圆与直线有公共点求解；
（2）令
，根据直线与圆有公共点，借助圆心到直线的距离求解即可；
（3）配方后，转化为两个圆有公共点，利用圆心距离与半径关系求解即可.
【详解】（1）方程
表示以
为圆心，
的圆，
表示点
与
的连线
的斜率，
设过点
的直线的斜率为
，
则
，即
，
所以圆心到直线的距离
，解得
，
所以
的最小值为
；
（2）令
，即
，
则圆心到直线的距离
，解得
，即
，
故
的最小值为
；
（3）
=
，表示圆上的点
到
的距离的平方，令圆上的点
到
的距离
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
故
的最小值为9；
8．已知在平面直角坐标系
中，点
，直线
．设圆
的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心
也在直线
上，过点
作圆
的切线，求切线的方程；
(2)若圆
上存在点
，使
，求圆心
的横坐标
的取值范围．
【答案】(1)
或
；
(2)
.
【分析】（1）联立两直线可求出圆心为
，写出圆的方程，设切线方程为
，利用点到直线的
距离等于半径即可求出切线的斜率，写出切线方程.
（2）设圆心为
， 则圆的方程为：
，设
为
，根据
，可得圆
方程：
，利用两圆有公共点知
，即可求解.
【详解】（1）联立
，解得
，即圆心
，所以，圆
的方程为
．
若切线的斜率不存在，则切线的方程为
，此时直线
与圆
相离，不合题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为
，即
，
由题意可得
，整理可得
，解得
或
．
所以切线方程为：
或
.
（2）设圆心
的坐标为
，则圆
的方程为
，
设点
，由
可得
，整理得
，
由题意可知，圆
与圆
有公共点，所以
，
即
，解得
．
所以，圆心
的横坐标
的取值范围是
．
9．已知圆
：
.
(1)设直线
与圆
相切于点
，求点
的坐标；
(2)求圆
与圆
：
的公共弦所在直线的方程；
(3)设
，
，
为直线
上的动点，
，
分别与圆
交于点
，
（
，
均异于
，
），求点
到直线
的距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将
代入
，再解方程即可；
（2）先证明两圆相交，再用圆
与圆
的方程作差即可得到公共弦所在直线的方程；
（3）设直线
：
，联立圆
得到
，
，再利用
，
交点在直线
，求得
，即直线
：
，则直线
过定点
即可求解.
【详解】（1）将
代入
，得
，
解得
，
所以点
的坐标为
.
（2）圆
：
的圆心
的坐标为
，半径
，
圆
：
的圆心坐标为
，半径
，
圆
与圆
的圆心距为
，
，
所以圆
与圆
相交，
用圆
与圆
的方程作差得
，
整理得
，
所以圆
与圆
：
的公共弦所在直线的方程为
.
（3）依题意可得直线
的斜率不能为0，则可设直线
：
.
由
得
，
则
，即
.
设
，
，则
，
，
.
又因为直线
：
，直线
：
，
所以将
代入
，
得
.
又因为直线
，
的交点在直线
上，所以
，解得
，
所以直线
过定点
.
当
时，点
到直线
的距离最大，且最大值为
.
10．已知圆
，圆
.
(1)求圆
与圆
的公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求圆
与圆
的公切线的交点
的坐标，并求公切线方程.
【答案】(1)
，
(2)
，
和
【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，几何法利用勾股定理求弦长；
（2）由图可知一条公切线为
，直线
与
的交点为
，设另一条公切线的方程为
，利用圆心到直线距离等于半径求出k 即可得切线方程.
【详解】（1）圆
的圆心
，半径为1，圆
的圆心
，半径为3，
已知圆
，圆
，即
，
两圆方程相减可得公共弦直线方程为
.
点
到的距离为
，所以公共弦长为
.
（2）结合图象可知，点
到直线
的距离为1，点
到直线
的距离为3，
圆
与圆
有一条公切线为：
.
直线
与
的交点为
.
设另一条公切线的方程为
，即
，
则点
到公切线的距离
，解得
.
此时满足点
到直线的距离为1，
所以另一条公切线的方程为
，即
综上，两圆的公切线方程为
和
.
11．如图，在平面直角坐标系
中，圆
，圆
都与直线
及
轴正半轴相切．若两圆的半径之
积为2，两圆的一个交点为
，求直线的方程．
【答案】
【分析】由对称性，设圆心
在直线
，，
，则
，利用两圆的交点
，可得
是方程
的两根，根据韦达定理，结合半径之积
即可求解.
【详解】由题意，圆心
都在
轴与直线组成角的角平分线上．
若直线的斜率
，设
，则
．
圆心
在直线
上，可设
．
交点
在第一象限，
，
所以
．
所以
即
所以
是方程
的两根，于是
．
由半径的积
，得
，故
．
所以
，直线的方程为
．
考点05 圆的方程的实际应用
1．某圆拱桥的水面跨度12 米，拱高4 米，现有一船宽8 米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度
约为（ ）（参考数据
，
）.
A．2.5 米
B．2.7 米
C．2.6 米
D．3.1 米
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将
代入求得纵坐标判断.
【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为
轴，过桥的最高点垂直于
轴的直线为
轴，建立
平面直角坐标系，设图中矩形EFGH 为船刚好能通过桥下时的位置，
则
，
，
，
，
设圆拱桥所在圆的方程为
，
由已知得：
；
解得
，
.
故圆的方程为
令
，解得
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米），
故选：C.
2．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直
角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点
是阴影部分（包括边界）的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】转化为点
与点
连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记
，则
为直线
的斜率，
故当直线
与半圆
相切时，斜率
最小，
设
，则
，解得
或
（舍去），
即
的最小值为
.
故选：C.
3．如图，已知一艘停在海面上的海监船
上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区域，一艘轮船
从位于海监船正东
的
处出发，径直驶向位于海监船正北
的
处岛屿，速度为
．这艘
轮船能被海监船监测到的时长为（ ）
A．1 小时
B．0.75 小时
C．0.5 小时
D．0.25 小时
【答案】C
【分析】以
为原点，东西方向为
轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和
半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【详解】如图，以
为原点，东西方向为
轴建立直角坐标系，
由题意可知
，
，圆
方程
，半径
，
直线
方程：
，即
，
设
到
距离为
，
则
，故直线与圆相交，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
如图，设直线与圆交点为
，取
中点
，连接
，则
，
所以
，
设监测时间为，则
（小时），
故轮船能被海监船检测到的时间是0.5 小时．
故选：C．
4．某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方
的
处，台风以
的速度向正东方向
移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为
，轮船以
的速度向东南方向航行，若将轮船
视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为 小时.
【答案】10
【分析】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为
，则台
风侵袭轮船等价于
，建立不等式求解即可.
【详解】以
为坐标原点，台风移动的方向为
轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为
，圆心
，
此时轮船的位置为
，
则台风侵袭轮船等价于
，
所以
，解得
，
所以台风侵袭轮船的时长为
小时.
故答案为：10.
5．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度
是10m，拱高
是1m，每隔1m 需要一根支柱支撑，
则支柱
的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：
【答案】0.65
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点
的横
坐标即可求出支柱
的长.
【详解】
以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P 的坐标分别为
，
设圆拱所在的圆的方程是
，
因为点A，B，P 在所求的圆上，
所以
，解得
，
故圆拱所在的圆的方程是
，
将点
的横坐标
代入上述方程，解得
（负值舍去）；
即支柱
的长约为0.65m．
故答案为：0.65
6．如图，某标准足球场的底宽
码，球门宽
码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲
位于边线上的点
处
.
(1)若球员甲直接在
点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要
控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求
的大小）？
(2)若球员甲直接在
点起脚打门，球的初速度方向为
方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行
高度），挂入球门远角
，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求
，再利用两角和差的正切公式即可；
（2）以
为原点，设球心为
求出过点
且与直线
垂直的直线方程以及线段
的垂直平分线，联立
方程组即可求出点
的坐标，最后利用两点间距离公式即可求
.
【详解】（1）由题意可知
，
，
，
.
（2）以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
，
则
，
，
因线段
的中点为
，则线段
的垂直平分线为
，
即
，
设所求圆弧的圆心为
，
因球的初速度方向为
方向，则直线
为圆
的切线，则
，则
，
则直线
的方程为
，
联立
得，
，即
，
则
，
则这段圆弧所在圆的半径是
码
7．如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东
方向距
O 岛
千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛2 千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方
向，1 千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C 经过O，A，B 三点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，正沿着北偏东
方向
行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险．
【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解；
（2）首先求船
行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.
【详解】（1）依题意，因
岛在
岛的北偏东
方向距
岛
千米处，则点
,
又
岛在
岛的正东方向距
岛2 千米处，则
，
设过O，A，B 三点的圆C 的方程为
，
则
,解得
，
所以圆C 的方程为
．
（2）因船D 在O 岛的南偏西
方向距O 岛4 千米处，则
，
而船D 沿着北偏东
方向行驶，
则船D 的航线所在直线l 的斜率为
，直线的方程为
，
由（1）知，圆C 的圆心为
，半径
，
则圆心
到直线的距离
，则
，
所以该船没有触礁的危险．
