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专题06 抛物线
考点01 抛物线的定义与标准方程
考点02 抛物线的几何特征
考点03 抛物线焦点弦问题
考点04 抛物线中的定点、定值问题
考点05 抛物线与直线的位置关系
考点01 抛物线的定义与标准方程
1．设抛物线
的焦点为F，已知点
在C 上，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先将点代入抛物线得出
，再应用抛物线定义得出
即可求解.
【详解】因为点A 满足
，又
，代入抛物线方程得
，
因为
，可得
，
故选：C．
2．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：
从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛
物线
，一条光线经过点
，与
轴平行射到抛物线
上，经过两次反射后经过点
射出，则光线从点
到点
经过的总路程是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】B
【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果.
【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为
，显然直线
过焦点
，
分别从
向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
，如下图所示：
由抛物线方程
可知准线方程为
，
再由抛物线定义可得
，
因此光线从点
到点
经过的总路程为
.
故选：B.
3．已知抛物线
，
为
的准线与
的对称轴的交点，
为抛物线
上的点，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】由抛物线方程
的性质可知，焦点
，准线：
，
为
的准线与
的对称轴的交点可得
，已知
为抛物线上的点，代入方程得到
，再根据两点间距
离公式
构建关于
的方程求解.
【详解】
由抛物线
的性质可知， 焦点
，准线：
.
又因为
为
的准线与
的对称轴的交点，
所以
.
因为
位于
上，则
，
所以
，故
根据两点间距离公式：
，
故选：B.
4．抛物线
绕其顶点顺时针旋转
之后，得到的图形正好对应抛物线
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可.
【详解】抛物线
即
开口向上，将其绕顶点逆时针旋转
，得到的抛物线开口向左，其方
程为
，即为原抛物线，所以
，则
．
故选：B
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知拋物线
的焦点为F，准线为直线
，过点F 的直
线l 与C 相交于A，B 两点，则
面积的最小值为（ ）
A．18
B．16
C．12
D．8
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出抛物线
的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求
出三角形面积的最小值.
【详解】依题意，
，解得
，则抛物线
，焦点
，
设点
，直线的方程为
，
由
消去
得
，则
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最小值为8.
故选：D
6．如图，设抛物线
的焦点为
，过
轴上一点
作直线交
于
，
两点，若
，
，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.
【详解】对抛物线
，焦点
，准线：
.
如图：
过
向准线作垂线，垂足为
，交
轴于
，根据抛物线定义，得
，所以
；
过
向准线作垂线，垂足为
，交
轴于
，根据抛物线定义，得
，所以
.
所以
，所以
.
故选：B
7．已知抛物线
的焦点为
的准线与
轴交于点
，若
为
上一点，
为钝角，且
，则
.
【答案】
【分析】若
垂直于准线于
，易得
，从而有
、
，令
，
，应用余弦定理列方程求参数，注意
即可得.
【详解】如下图，若
垂直于准线于
，则
，故
，
所以，在
中
，故
，
令
，
，而
，则
，
所以
，整理得
，
所以
，而
为钝角，结合三角形边角关系知
，
当
时，
，不符合要求，
所以
，
，经验证满足要求，
所以
.
故答案为：
8．已知抛物线
的准线为，点
在
上，直线
，点
到直线
的距离与到直线
的距离之和的最小值是 .
【答案】3
【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为
，
由抛物线的定义知，点
到直线的距离等于点
到点
的距离，
因此点
到直线
的距离与到直线的距离之和的最小值，
即为点
到直线
的距离，即为
.
故答案为：3
9．已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
为
上两点，
．则
的最小值
为
【答案】
【分析】设
方程为
，与抛物线方程联立求出点
的坐标，进而求得直线
方程，求得点
的坐
标，由抛物线定义表示出
，利用基本不等式求解.
【详解】设
方程：
，则
，求得
，
则
方程：
，
所以
，即
，
所以
，解得
，
所以
,
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
10．抛物线
上的一点
到
轴的距离为12，则
与焦点
间的距离
．
【答案】
【分析】设点
，则
，先计算
得点
的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解.
【详解】设点
，则
，所以
，所以
，
所以
，
故答案为：
.
11．已知
为抛物线
上的两点，若
是边长为
的等边三角形，
为坐标原点，
则抛物线方程为 ．
【答案】
【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于
轴对称，不妨取
在第一象限，根据对称性求出
点坐标，
代入抛物线方程中可得答案．
【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于
轴对称，则
两点关于
轴对称，
轴是等边三角形边
的垂直平分线，不妨取
在第一象限，
如图，由
，
，得
，
将
代入抛物线方程中得
，
所以
，抛物线方程为
．
故答案为：
.
考点02 抛物线的几何特征
1．点
在抛物线
上，若点
到点
的距离为6，则点
到
轴的距离为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点
到焦点的距离等于点
到准线的距离，结合点
和准线的位置，求点
到
轴的距离.
【详解】抛物线
开口向右，准线方程为
，
点
到焦点的距离为6，则点
到准线的距离为6，
点
在y 轴右边，所以点
到y 轴的距离为4．
故选：A．
2．已知
，则方程
表示的曲线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由方程
得
或
，通过分类讨论，结合抛物线的性
质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.
【详解】方程
，得
或
，
当
时，则有
或
，分别表示开口向上的抛物线满足
的部分和
斜率为正且在
轴上截距为正的直线，故A，B，D 不符合，C 符合；
当
时，则有
或
，分别表示开口向上的抛物线满足
的部分和
斜率为负且在
轴上截距为负的直线，故A，B，C，D 均不符合，
综上，方程
表示的曲线可能是C.
故选：C.
3．下列抛物线中，开口最小的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次项的系数判断即可.
【详解】对于对于抛物线的标准方程中，
开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小，
观察四个选项发现：A 选项平方项的系数的绝对值最小，
本题选择A 选项.
4．方程
与
在同一坐标系中的图象大致是 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对
赋值，由此判断出正确选项.
【详解】
变形为
，此表示焦点在x 轴的抛物线，排除D；
当
时，
表示开口向右的抛物线，此时
表示双曲线，排除C;
当
时，
表示开口向左的抛物线，此时
表示椭圆或圆或不表示任何图
形，排除B;
选A
【点睛】本小题主要考查二元二次方程表示图像的识别，包括椭圆、双曲线和抛物线方程与图像的对应，
属于基础题.
5．已知抛物线
，其中
，
是过拋物线焦点
的两条互相垂直的弦，直线
的倾斜角为
，当
时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】D
【分析】依题写出直线
的方程并与抛物线方程联立，求得
的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对
称性求出相关线段长，即可求得答案．
【详解】由题意知
，直线
的倾斜角
，则直线
的方程为
，
联立
，消去
可得：
，解得
，
，
，
由抛物线的定义可得
，
，
根据抛物线的对称性结合
是过抛物线焦点
的两条互相垂直的弦，
可知
，
，
故
，
故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为
．
故选：D
6．已知抛物线
的焦点为
准线为
为抛物线上一点，过点
作直线
于点
，且
的内心
，则
内切圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：不妨设
且
，由抛物线的光学性质知直线
和抛物线相切，利用导数求得
，结合两点式列方程求得
，进而得到
为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法
二：设圆与
的切点分别是
，连接
，根据已知得到
在
轴上，
在
直线上，设
，
，且
，由
得
，
等面积法求内切圆半径，即可得.
【详解】.设内切圆半径为，
法一：由抛物线的光学性质知直线
和抛物线相切，
不妨设
且
，
，则
，解得
，
所以
，则
，而
，所以
，
即
为等边三角形，其内切圆半径
，故内切圆面积为
.
法二：设圆与
的切点分别是
，连接
，
由
，又
，所以
，即
，所以
在
轴上，
连接
，所以
是
的角分线，所以
在
直线上，
设
，
，且
，
由
，所以
，解得
或
，
若
时，
与题设矛盾，所以
，易知
，
由
，解得
，则内切圆面积为
.
故选：B
7．双曲线
的两条渐近线与拋物线
的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则
双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称性，即可根据
求解.
【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线
的倾斜角为
，所以
故
，所以
，所以双曲线的离心率
.
故选：C
8．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，则这个等边三角形的边长为
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】D
【分析】正三角形的另外两个顶点关于
轴对称，设另外两个顶点坐标分别是
，把
顶点代入抛物线方程化简即可求解.
【详解】设正三角形的边长为
，
由图可知正三角形的另外两个顶点关于
轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是
，
把顶点代入抛物线方程得
解得
，
所以正三角形的边长为
.
故选：D.
9．
是抛物线
上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且
的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据重心可得
，结合对称性可得
，再根据抛物线的定义运算求解.
【详解】设
，
因为
的重心恰为F，则
，解得
，
由
可知
关于x 轴对称，即
，
则
，即
，
又因为
，解得
.
故选：D.
10．已知椭圆
：
与抛物线
：
交于
两点，
为坐标原点，若
的
外接圆经过点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】解法一：确定外接圆的方程，与椭圆联立可得
点坐标，代入抛物线方程即可得解；
解法二：根据椭圆和抛物线的对称性知
的外接圆的圆心必在x 轴，设直线AB 与x 轴的交点为
，结合圆的性质可得
、进而得
，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】解法一：设
，则
，
，
由椭圆和抛物线的对称性，知
的外接圆的圆心必在x 轴，
又圆过点
与点
，所以该圆的圆心为
，半径为
，
所以该圆的方程为
，
由点
为圆与椭圆的交点，
由
，解得
，所以
.
解法二：设
，则
，
.
由题意知，
四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知
的外接圆的圆心必在x 轴，
设
与x 轴相交于点D，则
，
在圆中，由相交弦定理可得有
，
即
，又
，
所以
，解得
，①
代入
，得
，②
将①②代入椭圆方程，得
，
整理，得
，解得
.
经检验，
时，符合题意.
故实数p 的值为
.
故选：A.
11．已知
为坐标原点，垂直抛物线
的轴的直线与抛物线
交于
两点，
，
则
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】由题知
为等腰直角三角形，进而得
，再代入方程求解即可.
【详解】解：∵
，∴
，∴
，
∵
，且
轴，
∴由抛物线的对称性
为等腰直角三角形，
设
与
轴的交点为
，
∴
，即
，
∴将
代入
得
，解得
．
故选：D．
考点03 抛物线焦点弦问题
1．已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，过点F 的直线与抛物线交于点
，
，点
在上的射影为
，则下列命题中错误的是（ ）
A．若
，则
B．以
为直径的圆与准线相切
C．设
，则
D．过点
与抛物线
有且仅有一个公共点的直线至多有2 条
【答案】D
【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．
【详解】对于A，因为
，所以
，则
，故A 正确；
对于B，设N 为
的中点，点N 在l 上的射影为
，点Q 在l 上的射影为
，
则由梯形性质可得
＝
＝
＝
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
当且仅当M，P，F 三点共线时等号成立，故C 正确；
对于D，显然直线
，
与抛物线只有一个公共点．
当过点M 的直线斜率存在时，可设为
，
由
，可得
，
令
，解得
，
所以直线
与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D 错误；
故选：D.
2．已知直线与抛物线
交于
两点，且
交
于
，点
的坐标为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题知，直线
的斜率为
，从而求得直线
方程为
；又
，所以
，联立
得
，利用根与系数的关系代入计算求出
值．
【详解】
，
，
，
，则直线
的方程为：
，即
，
设
、
两点的坐标分别为
，
联立
，消
得：
，
，
，
，
．
故选：C．
3．已知直线
过抛物线
的焦点
，且与抛物线
交于
两点，则线段
的中点到准线的距离为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】先求出抛物线方程为：
，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解．
【详解】直线
与
轴的交点为
，
又经过
的焦点，故焦点
，可得
，
即抛物线
：
，准线为
．
由
，
可得
，则
，
所以
，线段
中点的横坐标为3，
则线段
的中点到准线的距离为
．
故选：B
4．已知抛物线
的焦点是
，直线
均过焦点
且互相垂直，则
的值是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理
和弦长公式求解
和
即可.
【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置，
该抛物线的焦点
，
因为直线AB 和CD 均过焦点且互相垂直，则两直线斜率存在且不等于零，
设AB 的斜率为
，则CD 的斜率为
，
直线AB 的方程为
，
与抛物线联立得：
，
则
，
同理可得
，
因此，
故选：D.
5．已知抛物线
的焦点
在直线
上，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最小值为（ ）
A．36
B．54
C．82
D．108
【答案】D
【分析】由点在直线上得到
的值，从而得到抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，由韦达定理得交
点坐标关系，由抛物线定义得到
，消元转化成函数求最值问题，求导求得最值.
【详解】抛物线焦点
，因为点
在直线
上，所以
，
解得
，所以
，
设直线的方程为
，
，
，
联立
得
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
由
，得
，所以
，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
故
，所以
的最小值为108．
故选：D.
6．已知抛物线
的焦点为
，直线过点
且与
交于
两点（
在
点上方），过
点
分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为
，则
的大小为 ．
【答案】
【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到
，根据平行得到角相等，从而得
到
平分
．同理可得
平分
，即可得到结果.
【详解】解法1 如图，由抛物线定义易知
，
根据等边对等角，所以
，
因为
轴，根据两直线平行，内错角相等，从而
，所以
平分
．
同理可得
平分
，所以
．
解法2 抛物线
的焦点为
，由题可知的斜率不为0，
故设直线的方程为
，
令
，
，则
，
，
联立直线与抛物线方程得
，消去
整理得
，
则
，
．
又
，
，所以
，
则
，则
．
故答案为：
.
7．已知抛物线
的准线与以
为直径两端点的圆相切，过抛物线
的焦点
的动直线与抛物线交于A，B 两点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据圆与准线相切可得
，进而联立直线与抛物线方程得韦达定定理，根据焦半径公式，结
合基本不等式即可求解.
【详解】抛物线
的准线方程为
，由
知
，
以
的中点
为圆心，DE 为直径的圆的方程为
.
由题意得
，解得
，故
，且
.
设直线的方程为
，
当
时，直线方程为
，则
，则
；
当
时，将
与抛物线方程联立并消去
可得
.
设
，则
，
所以
.
从而
，
故
，当且仅当
时取等号.
综上，
的最小值为
，
故答案为：
8．已知直线l 与椭圆C：
交于A，B 两点，与抛物线E：
交于P，Q 两点（P 在x
轴上方），且直线l 过E 的焦点F，若线段AB 的中点为M，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为
，则
．
【答案】
【分析】设
，
，代入椭圆方程，利用点差法得
，即可设直线的方程，
，
，与抛物线方程联立，解得
，利用抛物线的定义即可求解.
【详解】设
，
，所以
两式相减可得
，
又
，所以
．
故设直线l：
，
，
，
所以
得
，解得
，
，
故
．
故答案为：
.
9．如图，已知抛物线的标准方程为
，其中
为坐标原点，抛物线的焦点坐标为
，
为抛物线上任意一点（原点除外），直线
过焦点
交抛物线于
点，直线
过点
交抛物线
于
点，连接
并延长交抛物线于
点．
(1)若弦
的长度为
，求
的面积；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据条件得抛物线的方程为
，设出直线方程，联立直线与抛物方程得
，
结合条件，利用弦长公式，即可求解；
（2）设
，根据条件，利用抛物线的性质及弦长公式，求得
，
，再
利用基本不等式，即可求解；
【详解】（1）因为焦点坐标为
，所以
，所以抛物线的方程为
．
设直线
的方程为
，
，
由
，得
，则
，
所以
，解得
，
则
的面积为
.
（2）因为
在抛物线上，可以设
，根据第（1）问可知
两点的纵坐标之积为定值为
，
所以
，由（1）知
，其中当
时，
，
可得
，
当
时，
，满足
，所以
，
设直线
的方程为
，
，
，
由
，得
，所以
，
又
，所以
，代入
，得到
，所以
，
又
过点
，设直线
的方程为
，
由
，得
，则
，
所以
，代入
，得
，则
，
所以
，
易知直线
斜率存在，且
，所以
．
所以
，
所以有
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
最小值为
．
10．如图所示，设抛物线
的焦点为
，经过点
的直线交抛物线于
两点，且
两点
坐标分别为
，
是抛物线的准线上的一点，
是坐标原点.若直线
的斜率分别为：
，判定
和
的值大小关系，并说明理由.通
过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即
和
的值大小关系）不变，并证明你的结论.
【答案】相等，理由见解析，相等证明见解析
【分析】设出定点坐标与斜率表达式，推导
与
的关系，再分
轴，
，
三种情况讨
论角度关系即可；再根据题意和如上过程概括出更一般的条件并进行验证.
【详解】设
，直线
，
联立
，得
，
，
直线
的斜率分别记为：
，
得
且
，
故
，
如果取
时，得
，
，即
，且
，
设
，
（1）若
轴，则
，
，
；
（2）若
，则
，
同理可得
，
，
而
，即
，
易知
都是锐角，
；
（3）若
，类似的也可证明
.
综上所述，
，所以
和
的值相等.
通过对以上问题的研究，可概括出：设抛物线
的焦点为
，经过点
的直线交抛物线于
两点，且
两点坐标分别为
，
是抛物线的准线上的一点，
是坐标原
点.若
，
和
的值相等.证明如下.
设
，
联立
，得
，
，
直线
的斜率分别记为：
，
得
且
，
故
，
，即
，且
，
设
，
（1）若
轴，则
，
，
；
（2）若
，则
，
同理可得
，
，
而
，即
，
易知
都是锐角，
；
（3）若
，类似的也可证明
.
综上所述，
，所以
和
的值相等.
11．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，且
的最小值为4.
(1)求
的方程；
(2)设过
的另一直线交
于
两点，且点
在直线
上.
（i）证明：直线
过定点
；
（ii）对于（i）中的定点
，当
的面积为
时，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
或
.
【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可；
（2）（i）设直线
方程：
.
直曲联立.另外，由前问求出
.进而得到直线
方程，化简得到
.即可求出定点.
（ii）先求出
和直线
方程，还求出点
到直线
的距离，根据面积公式计算出
点坐标，
即可求出直线
方程.
【详解】（1）设直线
方程：
，代入
中，消去
得
.
设
，则
.
当
时，有
的最小值为
.
，故
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程：
.
由
消去
得
.①
又由（1）知
，同理
.
当
的斜率不存在时，
的斜率不存在时，不妨设
此时
，
；
当
的斜率存在时，直线
的斜率
.
直线
方程为
，化简得
②
由①②得
，即
.
由
得
，直线
过定点
；
所以直线
过定点
；
（ii）由（i）知
，
直线
方程为：
，点
到直线
的距离
，
，解得
或6.所以
点坐标为
，或
.
且
，
或
.
直线
方程为
或
.
【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为k），
（2）利用条件得到有关k 与x，y 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与x，y
的等式进行变形，直至找到定点，
①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，让系数等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常
数.
考点04 抛物线中的定点、定值问题
1．已知抛物线
为坐标原点，直线与抛物线
相交于
两点，且直线
的斜率之积
为-2，则点
到直线的最大距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】设直线
，
，联立直线与抛物线的方程，表示出
，与韦达定理
联立求出
，结合题意分析即可求解.
【详解】设直线
，
，
则
，可得
，
所以
，
又
，
，所以
，
所以
，
所以
，所以直线
恒过
，
则点
到直线的最大距离为4.
故选：
.
2．如图所示，已知拋物线
过点
，圆
．过圆心
的直线与抛物线
和圆
分别交于
、
、
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由点在抛物线上求出
，分析可知，直线不与
轴，设
、
，设直线的方程为
，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出
的值，结合焦半径公式以及基
本不等式可求得
的最小值.
【详解】由题设，
，则
，故抛物线的标准方程
，则焦点
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为，
若直线与
轴垂直，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设点
、
，设直线的方程为
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，
，则
，
结合图象可知，
，
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：由韦达定理得出
为解题的关键，结合基本不等式求最值.
3．已知
是抛物线
上异于原点的两点，且以
为直径的圆过原点，过点
向直线
作垂线，垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据以
为直径的圆过原点可求得直线
恒过定点
，由
四点共圆可知
的最大值为该圆直径
，进而求得结果.
【详解】设点
，点
，其中
，
，
以
为直径的圆过原点，
，解得：
，
易知直线
的斜率不为
，不妨设直线
的方程为：
，
由
化简整理得：
，
，解得：
，
直线
恒过定点
，
，
，
四点共圆，
即点
在以
为直径的圆（除原点外）上运动，此时该圆直径为
，
的最大值为该圆的直径，即
.
故选：B．
4．已知抛物线
的焦点为
，过点
作直线与抛物线
交于
两点，则说法不
正确（ ）
A．线段
长度的最小值为
B．当直线斜率为
时，
中点坐标为
C．以线段
为直径的圆与直线
相切
D．存在点
，使得
【答案】B
【分析】A：通过联立思想得到
，由此可计算出
，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出
的最
小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离
是否等于半径即可；D：代入
坐标，计算出
的值，根据结果再进行判断.
【详解】对于A：
的焦点坐标为
，直线的斜率不为
，设
，
，
联立
，可得
，且
，
所以
，所以
，且
，
所以
，当且仅当
时取等号，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，即
中点纵坐标为
，故B 错误；
对于C：抛物线的准线方程
，设
中点为
，过点
向准线作垂线，
垂足分别为
，如下图：
由抛物线的定义可知：
，
即
等于以
为直径的圆的半径长，故C 正确；
对于D：当
时，
.
所以
，
由选项A 可知：
，所以
，所以此时
，
所以
的倾斜角互补，所以
，故D 正确；
故选：B
【点睛】结论点睛：已知
是抛物线
的过焦点
的一条弦，设
，则有：
（1）
；（2）
.
5．已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线
与抛物线
交于
两点，点
为坐标原点，则
是（ ）
A．直角
B．锐角
C．钝角
D．与点
位置有关
【答案】C
【分析】方法一：设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合数量积分析判断；
方法二：根据结论
，
，结合数量积分析判断.
【详解】方法一：抛物线
的焦点
的坐标为
，
由题意可知：直线
的斜率一定存在，
设
，
，直线
的方程为
，
与抛物线
联立，得
，
恒成立，
则
，
，
所以
，所以
为钝角．
方法二：因为抛物线焦点在
轴上，则
，
，
则
，故
为钝角．
故选：C.
6．如图，已知抛物线
，直线过点
与抛物线
交于
两点，点
关于
轴的对称点
为
，连接
.直线
是否过定点？ （填“是”或“否”）.若是，则定点坐标为 .
【答案】 是
【分析】设直线的方程为
，又设
，
，则
，与抛物线方程联立，由韦
达定理得
，
，即可求直线
的方程，进而求解.
【详解】设直线的方程为
，又设
，
，则
，
由
，得
．
则
，
，
，
所以
，
则直线
的方程为
，
所以，
．
当
时，
，所以直线
过定点
．
故答案为：是；
.
7．已知抛物线
与直线
相切，在
轴的正半轴上，是否存在某个确定的点
，过该点的动直线与抛物线
交于
两点，使得
为定值？ （填“存在”或“不
存在”），若存在，求出点
的坐标为 ．
【答案】 存在
【分析】将抛物线方程与直线
联立，由判别式为0 可得
.假设存在满足条件的点
，则直线
，将直线与抛物线联立结合韦达定理可得
，据此可得答案.
【详解】将抛物线
与直线
联立有：
，消去x 得：
，
由于直线与抛物线相切，得
，
，所以
．
假设存在满足条件的点
，则直线
，
将直线与抛物线联立有：
，消去x 得：
.
判别式为：
，设
，
，
由韦达定理有:
，
，
，
，
从而
.
则当
时，
为定值，所以
．
故答案为：存在；
.
8．已知抛物线
，过点
任作一条直线与抛物线
交于
，
两点，设点
，连接
，
并延长，分别与抛物线
交于点
，
，则直线
过定点 ，
．
【答案】
【分析】第一空：设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，
，
，
，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理有
，
，求得
即可；第二空：由斜率公式、韦达定理即可求解.
【详解】如图，设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，
，
，
．
由
得
，故
，
同理，
，
，所以
，故
．
由
得
，故
，
所以
，即
，所以直线
过定点
．
下面求
的值．
解法1：因为
，
所以
．
解法2：因为
，所以
．
故答案为：
，
.
9．过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
，则
．
【答案】
【分析】设
，联立抛物线并应用韦达定理得
，
，结合
整理化简即可得.
【详解】由题意，设
，联立抛物线得
，
，
所以
，
，又
，
，
所以
．
故答案为：
10．已知点
在抛物线
上，且
的焦点为
，过点
作直线与
交于
、
两点，则
的取值范围为 ；若直线
、
分别交
于
、
两点（点
、
异于点
、
），则
．
【答案】
【分析】将点
的坐标代入抛物线的方程，求出
的值，可得出抛物线
的方程，分析可知，直线不与
轴重合，可设直线的方程为
，与抛物线方程联立，由
可求出
的取值范围，列出韦达定
理，结合韦达定理可求出
的取值范围；设点
、
，由
可推导出
，
，利用抛物线的焦半径公式结合三角形的面积公式可求得
的值.
【详解】将点
的坐标代入抛物线方程可得
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
，易知抛物线
的焦点为
，
若直线与
轴重合，此时，直线与抛物线
只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为
，联立
可得
，
则
，解得
或
，
由韦达定理可得
，
，
所以，
；
设点
、
，则
，
，
由题意可知，
，即
，整理可得
，
显然
，则
，同理可得
，
.
故答案为：
；.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
11．如图，已知抛物线
，过点
作斜率为
，
的直线，
，分别交抛物线于点
，
与
，
．
(1)若点
是抛物线
上位于第一象限内一点，且其到焦点
的距离为2，求点
的坐标；
(2)若
，证明：
；
(3)若直线
过点
，请判断直线
是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)直线
恒过点
．
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用
，即可得到
结论.
（3）先设直线
过点P 得出
,同理结合理
过点Q 得出
,最后得出
的直线得出定点.
【详解】（1）由题意
，解得
，
所以
，又
，
所以
，即点
的坐标
；
（2）由题知
，设
，
，
，代入抛物线可得
，
，
又
，
，
同理
.
（3）因为
，
所以
，代入点
得
①，
设
，同理
，
过点
②
，
结合①②可得
又因为
所以
，整理得
所以直线
过定点
.
12．在平面直角坐标系
中，曲线
的点均在圆
外，且对
上任意一点
，点
到
直线
的距离比点
到点
的距离小1．
(1)求曲线
的方程；
(2)若直线上一动点
，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，求四边形
面积的最小值；
(3)设
为直线上一动点，过点
作圆
的两条切线，分别与曲线
相交于点
和
．探究：点
的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是，定值2304．
【分析】（1）方法一：由题意
上任意一点
到直线
的距离等于点
到点
的距离，然后由抛物
线定义求解方程即可；
方法二：由题意，设点
的坐标为
，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程.
（2）四边形
的面积
，根据点与圆的位置关系求得
的最小值，即可得解.
（3）设点
的坐标为
，则切线方程为
，利用相切关系得关于
的二次方程，设过
点
所作的两条切线
的斜率分别为
，根据韦达定理得
，设点
的纵坐标
分别为
，联立直线
与抛物线方程，由韦达定理得
，同理可得
，从而代入化简得
.
【详解】（1）方法一：由题意，
到直线
的距离比点
到点
的距离小1，
上任意一点
到直线
的距离等于点
到点
的距离，
因此，曲线
的是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
故曲线
的方程为
．
方法二：由题意，设点
的坐标为
，
由题意得
，易知点
位于直线
的右侧，
，化简得
，曲线
的方程为
．
（2）由题意得，
的圆心为
，半径
，
又
四边形
的面积
，
当
的值最小时，四边形
的面积最小，又
的最小值为
，
四边形
面积的最小值为
．
（3）当点
在直线
上运动时，设点
的坐标为
．又
，
过点
且与圆
相切的直线的斜率
存在且不为0，
每条切线都与
有两个交点，则切线方程为
，
即
，所以
，整理得
①.
设过点
所作的两条切线
的斜率分别为
，
则
是方程①的两个实数根，
．
联立
得，
③.
设点
的纵坐标分别为
，则
是方程③的两个实数根，
．
同理可得，
⑤.
联立①③⑤三式，得
，
当
在直线
上运动时，点
的纵坐标之积为定值2304．
13．（1）抛物线
的两条弦AB、CD 交于点
， M、N 分别为AB、CD 中点；
（i）证明： 若
(b 为常数)，则直线MN 过定点；
（ii）若
(c 为常数)，求与直线MN 平行的定直线；
（2）抛物线
交y 轴于C，抛物线
交y 轴于D．设A 为抛物线
顶点
右侧一点，过点A 作
切线交y 轴于B．设M 为
上一点，作
轴交直线AB 于点N．若B 为CD 中
点，且MN 最小值的最大值为4，求
的值．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）
，其中
；（2）2 或10.
【分析】（1）联立直线
与抛物线，利用韦达定理找到中点
与
的关系，
同理，通过
的坐标
得到直线
的方程，（i）根据
，进一步得到直线
的纵截距为定值，即过定点，（ii）根
据
，进一步得到
为定值，要求与直线MN 平行的直线，注意不要重合即可；
（2）设出点
坐标用表示，根据
与
相切，联立后
求出与的关系，写出切线
的方程，再
设出
的横坐标，表示
的长度，逐步以、
、为主元，利用二次函数求出最值，得到、、
的值即可.
【详解】（1）由题意，
、
斜率均存在，
设
，直线
方程：
，
联立
，消
得：
，
由韦达定理得
，
由于
为
中点，故
，
代入直线
方程得
，
设
，同理
，
，
所以
，
直线
的方程：
，
化简得：
（i）由于
，
则直线
：
，
令
，则
，
所以直线
过定点
.
（ii）由于
，则
，
，
所以与直线MN 平行的直线方程为
，其中
.
（2）由题意
，
，
，
若
，则无法过点
作
的切线，
若
，则
重合，不合题意，故
，
设
，
且
，则
，
直线
的方程为
，
联立
，消
得
，
由于
与
相切，则
，
则
，直线
：
，
设
，则
，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
，
或
，
则此时
或10.
考点05 抛物线与直线的位置关系
1．抛物线
与直线
交于
两点，
为坐标原点，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】联立抛物线与直线方程得
，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到
，即可求解.
【详解】设
，
，
由
，消
得到
，
则
，
因为
，则
，又
，
，
所以
，
所以
，解得
，
故选：D.
2．如图，已知抛物线
，过
作直线
交抛物线于
，连接
，将
绕
轴
旋转一周得到旋转体
，则
的体积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线AB 的方程，与抛物线联立，设
，
，由旋转体的体积公式，利用韦达定
理，结合面积公式以及基本不等式求解即可.
【详解】设
，
，
，
设直线
：
，m 显然存在，
则
，可得
，
则：
，
，
设M、N 关于y 轴的对称点分别为
、
，
记以等腰梯形
绕y 轴旋转一周得到圆台体积为
，
以
为底面直径，O 为顶点的圆锥体积为
，
以
为底面直径，O 为顶点的圆锥体积为
，
则所求旋转体体积为：
.
当且仅当
，即
时等号成立，此时所求旋转体体积的最小值为
．
故选：D.
3．已知直线
与抛物线
相交于
两点，若直线OA 与OB 的斜率之和为4，O 为坐标
原点，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】法一：联立抛物线与直线并整理得
，根据已知及韦达定理列方程求参数即可；
法二：设A
，B
，且
，根据已知有
，再联立抛物线与直线并整理得
，应用韦达定理得到方程求参数.
【详解】法一：由
，其中
，得
，
整理得
，设
，
因为直线OA 与OB 的斜率之和为4，由韦达定理，
，解得
.
法二：设A
，B
，且
，
因为直线OA 与OB 的斜率之和为4，
所以
，
可得
，即
（*），
联立
且
，消去
，得
，
由韦达定理，
，
代入（*），可得
，解得
.
故选：A
4．已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦点坐标求出
，设出
，
坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基
本不等式进行转化求解即可．
【详解】
如图，设抛物线
的焦点坐标为
，
焦点为
，
，得
，即抛物线方程为
，
当
轴时，易得
，
，则
，
则
；
当
不垂直
轴时，设斜率为
，
，
，
则直线
的方程为
，
，代入
可得
，即
，
则
，
，
过
分别作准线的垂线，垂足分别为
，
则
，
，
，
则
，
于是，
，
当且仅当
，即
时取等号.
综上：因
,故
的最小值为
.
故选：C.
5．已知
为抛物线
上一点，直线与抛物线
交于
，
两点，点
不在直线上，
且直线
与
的倾斜角互补，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将点
代入抛物线方程得
，则抛物线方程为
，根据直线
与
的倾斜角互补得
，化简得
，利用两点间斜率求得
，即可得解.
【详解】因为
是抛物线
上一点，所以
，得
，
所以抛物线方程为
，设
，
的坐标分别为
，
，
易知直线、直线
、直线
的斜率存在，
则
，
，
由题意
，可得
，
所以
，
所以直线
的斜率为定值
.
故选：C.
6．设抛物线
，焦点F，直线l 过点
且斜率为
，与C 交于
，
两点，满足
．若Q 为抛物线上一点，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件
转化为
，联立韦达定理求解
，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线
，进而
联立抛物线方程求出
坐标，再利用数量积求
，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值.
【详解】由抛物线的方程
，则其焦点
，
直线l 过点
且斜率为
，其方程为
，
联立直线与抛物线方程消
得
，设交点
，
则
，
,
由抛物线定义可得
，代入条件
，
得
，结合
解得
，满足
，
可得
；
设
，设
，由
，
则由余弦定理得，
故
，则
，
则
，即
，
联立直线
与抛物线
方程消
得
，
则
，解得
，
即
，又
，
则
，
则
，
所以
，
则
.
故选：C.
7．（多选）已知抛物线
的焦点为
，
为
轴上一点，且
，线段
与抛物线
相交于点
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．直线
的方程为
B．以线段
为直径的圆与
轴相切
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于C，由图结合
，可得
为线段
的中点，然后结合抛物线定义可判断选项正误；对
于D，注意到
，据此可判断选项正误；对于A，由CD 分析可得直线
斜率，结合
，可得直线方程；对于B，取线段
中点
，过
作
轴于
，结合几何知识可判断选项正
误.
【详解】抛物线的焦点
，准线
，
.
对于C，如图，因为
，所以
为线段
的中点，
，
过
作准线的垂线，垂足为
，与
轴交于
，则
，
由抛物线的定义可知，
，得
，故C 正确；
对于D，在
中，有
，得
，故D 正确；
对于A，
，则直线
的斜率为
，又
所以直线
的方程为
，
即
或
，故A 错误；
对于B，取线段
中点
，过
作
轴于
，
则
，
所以
，即线段
中点到
轴的距离等于
，则以线段
为直径的圆与
轴相切，故B 正
确．
故选：BCD．
8．设抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线
交于点
在
轴上方），
为坐标原点，
.则（ ）
A．
B．
C．
与
面积之比为3
D．
面积为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线方程由
求出
的值判断选项A；由
求出
点坐标，得直线MN 的斜率
和
的值判断选项B；联立方程组利用韦达定理求出
点坐标，可求
与
面积之比判断选项
C；结合
的坐标求出
面积判断选项D.
【详解】抛物线
的焦点为
，
，即
，解得
，A 选项正确；
抛物线
，由
，可得
，
.
直线MN 的斜率为
，则
，B 选项错误；
直线MN 方程为
，代入抛物线中有
，
则有
，得
，
，
与
面积之比为，C 选项正确；
，D 选项正确.
故选：ACD.
9．已知抛物线
的焦点为
，
是圆
上一点，过
作抛物线
的两条切线，
切点分别为
，若
分别与
轴交于点
，则
外接圆半径的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，则设切线方程为
，联立可得
，根据坐标关系可得
，同理可得
，从而可得
外接圆的直径为
，根据圆外一点与圆上一点的位置关
系得直径最小值从而得所求.
【详解】设
且
，则设切线方程为
，
联立
，
则
可得
，
则切线方程为
，所以
，
又抛物线
的焦点为
，
从而直线
的斜率之积为
，
所以
，同理
，
所以
外接圆的直径为
，
圆
的圆心
，半径
，
外接圆直径
最小值为
，
所以外接圆半径最小值为
.
故答案为：
.
10．设抛物线
的焦点为
，准线为，
是与
轴的交点，
．过此抛物线上一点
作直线
的垂线，垂足记为点
，
与
相交于点
，若
，则点
到
轴的距离为 ．
【答案】
/
【分析】根据向量的线性关系确定
，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.
【详解】作图如下：
因为
为
，
的中点，
所以
，即
为
的三等分点，且
．
又因为
，所以
，
所以
，
所以
．不妨设
，且在第一象限，
则
，所以
．
因为点
在抛物线上，所以
，
由
为
的三等分点，得
，
即点
到
轴的距离为
．
故答案为：
11．过点
作直线与抛物线
：
相交于
两点，是
的准线，过
作
且交于
，过B 作
且交于
.
(1)当
，且
与
轴平行时，
,求抛物线
的方程；
(2)记
,
（i）若
，是否存在
，使得
为定值？若存在，则求出
；若不存在，请说明理由；
（ii）若
，且
的斜率为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
，
（ii）
【分析】（1）根据抛物线的概念及准线的性质，用坐标表示向量，根据向量数量积的坐标表示，求出参
数，求出抛物线方程.
（2）（i）根据抛物线与直线的位置关系，设出坐标，用参数表示面积，根据面积之间的关系，以及韦达
定理，求出参数的值.
（ii）根据抛物线与直线的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，列出方程，构造出新的函数，根据函
数定义域，求出函数值域，进而求出结果.
【详解】（1）如图所示，
当
时，
，
由
可知，当
时，
，解得
，
不妨设
，
由准线方程为
得
，
则
，
由
可得
，因为
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）（i）如图所示，
根据对称性原则，不妨设
在第一象限，
在第四象限，
设
，可得
，
，
则
，
当直线
斜率为0 时，与抛物线只有一个交点，不符合题意，所以设直线
解析式为
，
则
，
由
得
，
化简得
，
联立直线和抛物线方程得
，消去
得
，可知直线与抛物线必有两个交点
，
则
，
代入得
，
化简得
，
当
时，
为定值，即
，
此时
，代入得
，
因为
，化简得
，解得
，此时
；
综上，
时，
为定值
.
（ii）
当
，
的斜率为
，则直线
解析式为
，
此时
，
联立直线和抛物线方程得
，消去
得
，
可知直线与抛物线必有两个交点
，
则
，
由
得
，
化简得
，
代入
得
，
化简得
，
令
，
令
，即
，
则
，
变形得
，根据对勾函数可知
在
上单调递增，
所以
，则
，
即
的范围为
.
12．综合与探究：在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
两点（点
在点
的右侧），与
轴交于点
，它的对称轴与
轴交于点
，直线经过
两点，连接
.
(1)求
两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)探索直线上是否存在点
，使
为直角三角形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点
是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点
；
①使以点
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点
为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
，
，
(2)存在，
或
(3)①存在
②存在
【分析】（1）通过令抛物线
，求出与
轴交点
、
的坐标；根据抛物线对称轴公式求出对称轴，
进而得到点
坐标；令
得到点
坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式；
（2）先根据点的坐标求出线段长度，判断
的形状，再分
和
两种情况，通
过解直角三角形求出点
的坐标；
（3）①通过作与
轴平行的直线
，找到抛物线上的点
，根据菱形的判定条件判断四边形
是否
为菱形；
②通过作垂直于
的直线
，找到矩形
，确定点
的坐标.
【详解】（1）当
时，
解得
，
∴点
的坐标为
，点
的坐标为
.
∵
.
∴抛物线的对称轴为直线
.
∴点
的坐标为
，
当
时，
，
∴点
的坐标为
.
设直线的表达式为
，则
，
解得
∴直线的表达式为
.
（2）
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
.
又
点
的坐标为
，
.
.
为等边三角形.
.
分两种情况：
当
时，
，
.
作
轴于点
，如图：
在
中，
，
，
点
的坐标为
．
作
轴于点
，如图：
当
时，
，
，
.
.
.
在
中，
，
，
.
，
点
的坐标为
.
综上所述：直线上存在点
，使
为直角三角形，点
的坐标为
或
；
（3）①过点
作
轴交抛物线于点
，连接
，如图：
点
的坐标为
，
，
当
时，
，
（不合题意舍去），
点
的坐标为
，
.
点
的坐标为
，
.
由（2）可知
，
，
四边形
是菱形.
当点
位于点
处时，抛物线上存在点
，使以点
、
、
、
为顶点的四边形为菱形，此时点
的
坐标为
；
②过点
作
交直线于点
，连接
、
，如图：
,
，
由（2）可知
，
.
由（2）可知
，
，
.
点
的坐标为
，点
的坐标为
，点
的坐标为
,
，
，
四边形
是矩形，
抛物线上存在点
即点
处，使以点
、
、
、
为顶点的四边形为矩形，此时点
的坐标为
．
13．已知
是抛物线
的焦点，
是
上的一点，且
．
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，且
，求的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据焦半径公式求
，即可求抛物线方程；
（2）首先设直线
，与抛物线方程联立，结合条件和韦达定理，即可求解直线方程.
【详解】（1）由条件可知，
，得
，
所以抛物线方程为
；
（2）设直线
，
，
，
，
联立
，得
，
，
，①
由
，可得
，②
由①②可知，
，
或
，
，
所以
或
，得
或
，
即直线的方程为
，即
或
，即
.
14．设抛物线
的焦点为
，
为
上位于第一象限的一点，当
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为
上不与
重合的两动点，且直线
的斜率之和为0．
（ⅰ）设
的纵坐标为，求直线
的斜率；
（ⅱ）设
外接圆的圆心为
，圆
在点
处的切线为，证明：与
有且仅有一个公共点．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到
，将将点
代入抛物线的方程，求得
，即可抛物线
的方程；
（2）（i）设
，则
，不妨设
在
的左侧，根据斜率公式，分别求得
，结合
，得到
，进而求得直线
的斜率；
（ii）设
为抛物线在点
处的切线，转化为证明
与圆
相切，利用导数的几何意义，求得
，取
上点
左侧一点
，结合圆的性质，即证
，利用两角差的正切公式，化简，即可得
证，得到答案.
【详解】（1）解：由抛物线
，可得焦点
，
因为
为
上位于第一象限的一点，且
，所以
，
将点
代入抛物线的方程，可得
，解得
或
（舍去），
所以抛物线
的方程为
.
（2）解：（i）设
，则
，不妨设
在
的左侧，
根据题意，可得
，同理可得
，
因为直线
的斜率之和为
，所以
，
即
，整理得
，
所以
.
（ii）设
为抛物线在点
处的切线，要证明即为
，即
与圆
相切，
由函数
，可得
，所以
，
要证
与圆
相切，取
上点
左侧一点
，
结合圆的弦切角定理的逆定理，即证
，只需证
，
即证
，即证
，
即证
，
由（i）知
，即证
，
即证
，即
，成立，
所以
即为圆
的切线，所以直线与圆
有且只有一个公共点.
15．在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离与到直线
：
的距离相等，记
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线过点
与曲线
交于点
，
，点
满足
，当直线
斜率最大时，求点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程；
（2）先通过向量关系得到点M 与Q 的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ 斜率最
大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N 坐标.
【详解】（1）设动点
，则点
到点
的距离为
，
直线
的距离为
；
因为动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，
所以
，所以
的方程
.
（2）设
，由
，即
得
；
因为点
在轨迹
上，所以
，而
，
因为要求
斜率的最大值，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
，直线
，
由
与
联立，得
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
