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专题2.15 抛物线的标准方程
教学目标
①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。
②了解抛物线在实际问题中的初步应用。
教学重难点
教学重点：
1.抛物线的定义及其图形特征;
2.抛物线的标准方程及其性质;
教学难点：
1.抛物线与坐标轴的交点;
2.抛物线的焦点和准线。
知识点01 抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点
和一条定直线（其中定点
不在定直线上）的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点
叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：
(
为点
到准线的距离).
【即学即练】已知抛物线
上的点P 到其焦点的距离为4，则点P 的坐标为 ．
【答案】
或
【分析】根据抛物线的方程确定焦点坐标与准线方程，设
，结合抛物线的定义与已知即可得点
P 的坐标.
【详解】抛物线
的标准方程为
，
则抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
，
设抛物线上一点
，
由抛物线的定义可得
，解得
，所以点P 的坐标为
或
.
故答案为：
或
.
知识点02 抛物线的标准方程
设
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程
y 2=2px （
）
y
2=−2px （
）
x 2=2 py
（
）
x
2=−2py （
）
图形
焦点
F( p
2 ,0)
F(−p
2 ,0)
F(0, p
2 )
F(0,−p
2 )
准线
x=−p
2
x= p
2
y=−p
2
y= p
2
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线
的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为
;若一次项的字母是
,
则焦点就在
轴上,若其系数是正的,则焦点就在
轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在
轴
的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是
,则焦点就在
轴上,若其系数是正的,则焦点就在
轴的正半
轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在
轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于
，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线y 2=2px （
）上一点
到焦点
的距离
，也称为抛物
线的焦半径.
【即学即练】方程
可以化简为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】等式两边同时平方，化简即可.
【详解】由
，两边同时平方有
，
故选：B.
题型01 抛物线定义的理解
【典例1】已知点
及抛物线
上一动点
，则
的最小值是 ．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义将点
到焦点
的距离转化为到准线的距离，再根据三点共线时距离和最短求
出结果即可.
【详解】∵
即
，
∴焦点为
，准线为：
，
由抛物线的定义，点
到焦点
的距离等于到准线的距离，即
，
∴
，
∵当
三点共线时，
最小，此时
，
∴
，
故答案为：2.
【变式1】设点
为抛物线
上一点，F 为焦点，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义求出点
的横坐标
，最后将
代入抛物线方程求出纵坐标
.
【详解】在抛物线
中，
，则
，所以焦点
的坐标为
，准线方程为
.
已知点
到焦点
的距离
，则点
到准线
的距离也为
，即
，解得
.
因为点
在抛物线
上，且
，所以
.
又因为
，所以
.
故选：A.
【变式2】抛物线
上与焦点的距离等于6 的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义，可以求得点的横坐标，进一步得到纵坐标.
【详解】因为
，所以
．由焦半径公式
得
，
，
因为抛物线开口朝左，所以
，即
，所以
故选：A．
【变式3】已知抛物线
的焦点为
，
在C 上，则
．
【答案】5
【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】
抛物线为
，
，
在C 上，
.
故答案为：5.
【变式4】已知点
在抛物线
上，
的焦点为
，则
．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解.
【详解】由题意，抛物线
的焦点
，准线为
，
所以点
到准线的距离
，则
.
故答案为：2.
题型02 利用抛物线定义求方程
【典例1】点
到抛物线
的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【分析】将
转化为
，分类讨论
和
两种情况，利用抛物线性质，列出关于a 的方
程求解即可.
【详解】将
转化为
,
当
时，抛物线开口向上，准线方程
，
点
到准线的距离为
，解得
，
所以抛物线方程为
，即
；
当
时，抛物线开口向下，准线方程
，
点
到准线的距离为
，解得
或
（舍去），
所以抛物线方程为
，即
.
所以抛物线的方程为
或
故选：D.
【变式1】已知点
，动圆
过点
，且与
相切，记动圆圆心
点的轨迹为曲线
，则曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，点
到点
的距离和它到直线
的距离相等，
所以点
的轨迹是以
为焦点的抛物线，所以
的方程为
，故C 正确.
故选：C.
【变式2】已知抛物线
的焦点为
为抛物线上一点，若
到
轴的距离为5，且
，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求得抛物线的准线方程为
，根据题意，利用抛物线的定义，得到
，求得
的值，
即可求解.
【详解】由抛物线
，可得准线方程为
，
因为
，根据抛物线定义可知点
到准线的距离为
，
又因为
到
轴的距离为5，可得
，解得
，
所以抛物线的标准方程为
．
故答案为：
．
【变式3】已知
为抛物线
：
（
）上一点，点
到
的焦点的距离为9，到
轴的距离为
6，则
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合题意可求得结果.
【详解】因为点
到
的焦点的距离为9，到
轴的距离为6，
所以
，则
．
故选：C
【变式4】已知抛物线
（
）上的点
到焦点的距离为3，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】首先分析题意，根据抛物线定义解出方程即可.
【详解】抛物线的准线方程的为
，由抛物线的定义可得
，解得
，
故选：B.
题型03 抛物线上点到定点距离及最值
【典例1】已知抛物线
的焦点为
为
上的动点，
为圆
上的动
点，设点
到
轴的距离为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】作出图形，过点
作
垂直于抛物线的准线，垂足为点
，利用抛物线的定义可知
，分析可知，当且仅当
为线段
分别与圆A 抛物线
､
的交点时，
取最小值，即可得解.
【详解】根据已知得到
，圆
，
所以
，圆A 的半径为1，
抛物线
的准线为
，过点
作
，垂足为点
，则
，
由抛物线的定义可得
，
所以，
.
当且仅当
为线段
分别与圆A 抛物线
､
的交点时，两个等号成立，
因此，
的最小值为2.
故选：B.
【变式1】已知P 是抛物线
上的一个动点，那么点P 到直线
的距离与到该抛物线准线距离
之和的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义把点
到的距离转化到点
到焦点
的距离，就是求点
到直线
的距离.
【详解】设过点
分别向准线和
作垂线，垂足分别为
，
因为抛物线
的焦点
，由抛物线的定义得：
，
所以只需要求
最小即可.
当且仅当
三点共线时
最小，且最小值为点
到直线
的距离，即
.
故选：B.
【变式2】已知
，P 为抛物线
上任一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出
，再由二次函数的最值，即可得到结果.
【详解】依题意，
是抛物线
上的点，设
，
则
，
对于函数
，当
时，
，
所以
的最小值是
，
即
的最小值为
.
故选：C
【变式3】设点
为圆
上的一动点，点
为抛物线
上的一动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，可得
，利用两点之间的距离公式可得
，结合二次函数的单调性即
可判断出结论．
【详解】如下图，设
，
则
，
，当且仅当
时取等号，此时
，
，因此
，
故选：B．
【变式4】抛物线
上动点
和圆
上动点
间的距离
的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据圆的性质，化简得到
，设
坐标
，得到
，结合二次
函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设圆心为
，则
，
因为点
在
上，则
坐标
，
点坐标
，
则
，
因为圆
的半径为，所以
最小值为
．
故答案为：
．
题型04 抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
【典例1】已知
是抛物线
的焦点，
是抛物线上的一个动点．若
为抛物线内部
一点，且
周长的最小值为
，则抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作准线的垂线，垂足为
，结合抛物线定义，
的周长为
，数形结合，结合两点间距离公式计算即可.
【详解】抛物线
的准线方程为
，焦点
．
因为点
在抛物线
内部，如图，过点
作准线的垂线，垂足为
，
由抛物线的定义可知
，
所以
周长为
，
故当
，
，
三点共线时，
取得最小值
，且
，
则
周长的最小值为
，
解得
，
此时抛物线C 的准线方程为
.
故选：B
【变式1】已知抛物线
的焦点为
，定点
，若对抛物线
上任一动点
，都有
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程是
．
如图，过点
作准线的垂线
，垂足为
，连接
．
因为点
在抛物线上，所以根据抛物线的定义得
，
所以
，当且仅当
三点共线时取等号，
当
时，
取最小值，即
，所以
的最小值为1．
故选：A．
【变式2】（多选）已知点
在抛物线
上运动，
为抛物线的焦点，点
，则
的
值可能是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用抛物线定义求出
的最小值即可.
【详解】抛物线
的焦点
，准线
，
如图，过点
作
于A，过点
作
于
，连接
，
由抛物线的定义知
，则
，当且仅当点
在
上时取等号，
又
，所以
的最小值为7.
故选：ABC
【变式3】已知点
，设点
是抛物线
上任一点，
是抛物线的焦点，则
的最小值
为 ．
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出
的最小值.
【详解】根据题意，过点
作
垂直准线于点
，如图所示：
根据抛物线的定义，抛物线上的点到抛物线
的焦点
的距离等于到它的准线
的距离，
所以
，当
三点共线时取得最小值，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式4】抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，点
，则
的最大
值是 ．
【答案】4
【分析】作
准线l，M 为垂足，由抛物线的定义可得
，故当P，A，M
三点共线时
取最大值.
【详解】根据抛物线方程
，可得
，准线方程为
，
作
准线l，M 为垂足，又知
，
由抛物线的定义可得
，
故当P，A，M 三点共线时，
取最大值，
最大值为
．
故答案为：4.
题型05 根据抛物线方程求焦点和准线
【典例1】抛物线
的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】将
化为标准方程
，再根据平移的规律确定出焦点坐标即可．
【详解】对于抛物线
，其焦点坐标为
，
而抛物线
是
由向下平移1 个单位形成的，
所以抛物线
的焦点坐标为
．
故答案为：
．
【变式1】抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把抛物线方程化为标准式，即可得其准线方程.
【详解】由抛物线
，得
，所以
，解得
，
所以其准线方程为
.
故选：C.
【变式2】若抛物线
的焦点坐标为
，则抛物线C 的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.
【详解】因为抛物线
的焦点坐标为
，
所以抛物线方程为
，
准线方程为
.
故选：D
【变式3】（多选）若直线
与抛物线
只有1 个公共点，则抛物线
的焦点坐标可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题需要分情况讨论直线与抛物线只有一个公共点时
的值，再根据抛物线焦点坐标公式求出焦
点坐标.情况分为直线斜率为0 和不为0 两种，对于斜率不为0 的情况，通过联立直线与抛物线方程，利用
判别式来确定
的值.
【详解】当
时，
，抛物线方程为：
.
此时，该直线与抛物线只有一个交点，符合已知条件.
那么抛物线的焦点坐标为：
.
当
时，联立直线与抛物线方程：
.
消去
，整理得
，进一步化简得：
.
因为直线与抛物线只有一个交点，所以判别式为0，即：
，解得
（舍去）或者
.
所以抛物线方程为：
，此时焦点坐标为
.
故选：BC.
【变式4】设
，则抛物线
的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】化简方程为标准方程，根据抛物线方程求得焦点坐标.
【详解】设
，抛物线
，可知焦点在
轴上，焦点坐标为
.
故答案为：
．
题型06 抛物线的焦半径公式
【典例1】已知
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，点
在
上，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】由抛物线定义及
得
，进而将点
代入抛物线方程即可得.
【详解】由抛物线的定义，知
，又
，
，
所以
，即
，
由点
在
上，得
，
结合
，解得
.
故选：C
【变式1】已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的焦点的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点在抛物线上得出
，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离.
【详解】因为点
在抛物线C：
上，所以
，即
，
所以A 到C 的焦点的距离为
．
故答案为：5.
【变式2】已知点
在以
为焦点的抛物线
上，若
，则
.
【答案】
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线
，则
，
由抛物线的定义可得，
，即
.
故答案为：3.
【变式3】抛物线
上一点
，焦点为
，已知
，则
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义进行求解
.
【详解】由抛物线的定义可得准线方程为：
，
由
在抛物线上，且
,
则
，解得
.
故答案为：
【变式4】已知抛物线
：
的焦点为
，点
在抛物线
上，若
，则
．
【答案】3
【分析】根据抛物线的定义求参数值即可.
【详解】由抛物线的定义知
，即
.
故答案为：3
抛物线y 2=2px （
）上一点
到焦点
的距离
，也称为抛物线的焦
半径.
题型07 求抛物线方程
【典例1】在平面坐标系中，动点P 和点
满足
，则动点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得．
【详解】由题意
，
由
得
，
化简得
．
故答案为：
．
【变式1】若点
到直线
和它到点
的距离相等，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析可知点
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，即可得解.
【详解】因为点
到直线
和它到点
的距离相等，
所以，点
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，
设其方程为
，则
，可得
，
故点
的轨迹方程为
.
故选：D.
【变式2】已知平面直角坐标系中，动点
到
的距离比
到
轴的距离大2，则
的轨迹方程是
.
【答案】
或
【分析】设出点
的坐标，利用已知列出方程化简即得.
【详解】设点
，依题意，
，即
，整理得
，
所以
的轨迹方程是
或
.
故答案为：
或
【变式3】点
，点B 是x 轴上的动点，线段PB 的中点E 在y 轴上，且AE 垂直PB，则点P 的轨迹方
程为 ．
【答案】
【分析】设动点P 的坐标，找到等量关系，建立方程，化简求解.
【详解】设
，
，则
．由点E 在y 轴上，得
，则
，即
．
又
，若
，则
，即
．若
，则
，此时点P，B 重合，
直线PB 不存在．所以点P 的轨迹方程是
．
故答案为：
.
【变式4】动点P（x，y）到y 轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P 的轨迹方程．
【答案】
或
【分析】根据题意列方程
可求出结果.
【详解】依题意可得
，
两边平方得
，即
，
当
时，
；
当
时，
.
所以点P 的轨迹方程为：
或
.
题型08 抛物线的实际问题
【典例1】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可
以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm．为了使反
射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探
照灯的深度为 cm．
【答案】60.5
【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得.
【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为
轴（抛物线开
口方向是
轴的正方向），如下图所示：
则可设抛物线的方程为
，
由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点
，
代入抛物线方程得
，解得
，所以抛物线的方程为
，
当灯口圆的直径增大到
时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为
，
将
代入抛物线方程求得
，此时探照灯的深度为
.
故答案为：
【变式1】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860 年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射
太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成
熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能
利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m 的抛物面，则其轴
截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然
后可得.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
，
由图可得点
在抛物线上，即
，解得
，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为
.
故选：A.
【变式2】某学习小组研究一种如图1 所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2 所示的抛物线，在轴
截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F 处，已知卫星接收天线的口径（直
径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为
，结合条件列方程求
，结合抛物线性质
可求结论.
【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
.
由题意可得
，将点
的坐标代入抛物线的方程可得
，
解得
，所以抛物线的方程为
，
焦点的坐标为
，即
，
所以抛物线焦点到顶点的距离为
.
故选：B.
【变式3】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，
平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成
太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径
为
，灶
深
为
，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
在
可得
，即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为
，
由题意可知
在抛物线上，故
，
因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为
，
故选：D.
【变式4】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面
，水面宽
，根据图中坐标
系，这条抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】设抛物线的方程为
，代入点
即可求解.
【详解】设抛物线的方程为
，抛物线过点
，所以
，
则这条抛物线的方程为
，即
．
故答案为：
.
1．已知抛物线Γ：
的焦点为F，准线为l，过Γ 上一点P 作
于A，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】求出交点坐标和准线方程，得出
的坐标，即可求出
的值.
【详解】由题意，
在抛物线Γ：
中，
，Γ 的准线方程为
，
设
，
，解得
，
∵
，
∴
，
故
的坐标为
或
，
由几何知识得，
．
故选：D.
2．已知抛物线
的焦点为
，若
上一点
到
轴的距离为3，到
的准线的距离为
4，则直线
的倾斜角为（ ）
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
【答案】B
【分析】根据抛物线的准线方程结合已知条件解出
，进而得到
点坐标，再利用斜率公式求解即可.
【详解】过
上一点
作准线的垂线，垂足为
，与
轴的交点为
，连接
，
由题意可得
，
，的方程为
，
所以
，解得
，所以
的方程为
，则
，且
，
当
时，
的斜率
，此时
的倾斜角为60°；
当
时，
的斜率
，此时
的倾斜角为120°；
所以直线
的倾斜角为60°或120°，
故选：B
3．已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
上，则抛物线C 的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出直线与y 轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．
【详解】直线
与y 轴的交点为
，
所以抛物线C 的焦点为
，故
，解得
，
所以抛物线C 的标准方程为
．
故选：D．
4．已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为 4 ，则点
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定专线方程，结合抛物线的定义确定点
的纵坐标，带入
即可求解.
【详解】由题可知抛物线
的准线方程为
.
设点
,根据抛物线的定义可知
,即
.
由抛物线方程可得
,即
,所以点
到
轴的距离为
.
故选：D.
5．设抛物线
的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，
，A 为垂足，如果直线
的斜率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由抛物线
，求出焦点
，再结合题意求出直线
的方程为：
，在求出点
及点
，从而可求解.
【详解】由抛物线
，则焦点
，准线：
，
又因为直线
的斜率为
，则直线
的方程为：
，
因
，所以可得点
，
又
，所以
，即得点
，
则
.
故选：C.
6．在平面直角坐标系xOy 中，
为抛物线
的焦点，点
在
上，若
轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
轴，可得点
坐标，即可求出
.
【详解】抛物线
，焦点
，
当
轴时，
，则
，解得
，
即
或
，如下图，
不妨取
，则
，
所以
．
故选：D
7．已知点
，直线PA 的斜率为
，直线PB 的斜率为
，若
，则点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，其中
，表示
为
，整理化简得点
的轨迹方程.
【详解】设
，其中
，则
，即
，
所以点
的轨迹方程为
．
故选：A.
8．已知点
是抛物线
上的动点，定点
，则
到点
的距离与
到
轴的距离之和的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由抛物线焦半径公式可得
，
，当且仅当
三点
共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值.
【详解】抛物线
，焦点坐标为
，准线方程为
，
设
到
轴的距离为
，过点
作
⊥准线
于点
，
由抛物线焦半径公式可得
，
，
则
，当且仅当
三点共线时，等号成立，
其中
，所以
到点
的距离与
到
轴的距离之和最小值为
.
故选：A
9．（多选）抛物线
的焦点为
，点
在
上，若
.则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据抛物线的定义求得
的横坐标，进而求得
的坐标.
【详解】依题意，抛物线
的焦点为
，
准线方程为
，
由于
，根据抛物线的定义可知
，
则
，
所以
的坐标为
、
.
故选：AB
10．设
为抛物线
：
的焦点，点
为
上一点，过
作
轴的垂线，垂足为
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点
的坐标
，进而求得
，再根据
解得
，
．法一：根据两角互补和余弦公式解得结果；法二：计算得到
，
，在
中，由余弦定理计算得到结果．
【详解】因为抛物线
，所以
，所以抛物线的焦点
的坐标为
．
设
，如图，由抛物线的定义可知
，又
，
所以
，解得
，故
．
方法一：设
为原点，则
．
方法二：
，所以
，
在
中，由余弦定理得
．
故答案为：
.
11．已知抛物线
，焦点为
.
(1)求
的坐标及抛物线
的准线方程；
(2)已知点
是抛物线
上的一个动点，定点
，则当
点在抛物线C 上移动时，求
的最小
值.
【答案】(1)
，准线方程为
.
(2)3
【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程.
（2）根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】（1）将抛物线
：
化为标准方程得，
，
其焦点坐标为
，准线方程为
.
（2）由抛物线的定义知，点P 到焦点
的距离即为点P 到准线的距离，
为点P 到定点
的距离与点P 到准线的距离之和，
要使得
最小，
则点P，A 在一条垂直于准线的直线上，
故最小值即为点
到准线
的距离为3，
所以，
的最小值为3.
12．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程.
(1)焦点
关于准线的对称点为
；
(2)关于
轴对称，与直线
相交所得线段的长为12.
【答案】(1)标准方程为
.焦点坐标
，准线方程为
(2)标准方程为
.焦点坐标
，准线方程为
【分析】（1）设抛物线标准方程后得到焦点坐标和准线方程，由题意列出等量关系求得
，从而得到抛
物线标准方程，焦点坐标和准线方程；
（2）设抛物线标准方程，由对称性得到交点坐标，将点坐标代入方程求得
，从而得到抛物线标准方
程，焦点坐标和准线方程.
【详解】（1）由题意知，可设抛物线的标准方程为
，准线方程为
，
又∵焦点
关于准线的对称点为
，
∴
，解得
，
∴所求抛物线的标准方程为
.焦点坐标
，准线方程为
.
（2）设所求抛物线的标准方程为
，
直线
与抛物线交于M，N 两点，则
，
将点
的坐标代入抛物线方程得
，解得得
，
故所求抛物线的标准方程为
.焦点坐标
，准线方程为
.
13．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点F 关于准线的对称点为
；
(2)关于y 轴对称，与直线
相交所得线段的长为12．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可知抛物线焦点在y 轴上，设其方程为
，根据焦点和准线求得
，即
可得方程；
（2）设抛物线方程为
，根据弦长列式求解即可.
【详解】（1）显然抛物线焦点在y 轴上，
设其方程为
，焦点
，准线
，
依题意，
，解得
，
所以抛物线的标准方程为
.
（2）设抛物线方程为
，由
，得
，
于是
，解得
，即
，
所以所求抛物线的标准方程为
.
14．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
；
(2)焦点在
轴上且其到准线的距离为6.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由准线方程，得
的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程；
（2）由焦点的位置和焦点到准线的距离，得
的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程.
【详解】（1）因为抛物线的准线方程为
，则
，可得
，抛物线开口向上，
所以抛物线的方程是
．
（2）因为焦点在
轴上且其到准线的距离为6，可知
，抛物线开口向左或向右，
所以抛物线的方程是
或
．
