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专题3.4 二项式定理与杨辉三角
教学目标
（1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
教学重难点
1.重点
（1）二项式定理；
（2）二项展开式的通项；
（3）二项式系数。
2.难点
（1）系数最大项与二项式系数的最大项；
（2）二项展开式中的对称性、增减性与最值问题。
知识点01 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数n ，都有： ，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做
n
b
a
)
(
的二项展开式．
式中的
做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式的第
项： ，
其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做 ，
（2）二项式
的展开式的特点：
①项数：共有
项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第
项的二项式系数为 ，最大二项式系数项 ；
③次数：各项的次数都等于 ．字母
降幂排列，次数由
到
；字母
升幂排列，次
数从
到
，每一项中，
，
次数和均为
；
④项的系数：二项式系数依次是
，项的系数是
与
的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第
项，该项的二项式系数是
r
n
C ；
②字母
的次数和组合数的上标相同；
③
与
的次数之和为
．
注意：①二项式
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C a
b
和
的二项展开式的第r+1 项
r
n r
r
n
C b
a
是有区别的，应用二项式定理时，其中的
和
是不能随便交换位置的．
②通项是针对在
这个标准形式下而言的，如
的二项展开式的通项是
1
( 1)r
r
n r
r
r
n
T
C a
b
（只需把
看成
代入二项式定理）．
知识点02 二项式展开式的最值问题
（1）二项式系数的性质
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
③二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，变形式
．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数 最大；
如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数 ， 相等
且最大．
（2）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，设
第
项系数最大，应有 ，从而解出
来．
知识点03 二项式展开式中的系数和有关问题
（1）设
0
1
1
2
2
2
n
n
n
n
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C a
b
C b
，
二项式定理是一个恒等式，即对
，
的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取
，
的值．
①令
1
a
b
，可得：
0
1
2n
n
n
n
n
C
C
C
②令
，可得：
0
1
2
3
0
1
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
，即：
0
2
1
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
（假设n 为偶数），再结合①可得：
0
2
1
3
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
．
（2）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当
为偶数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当
为奇数时，奇数项的系数和为
；
偶数项的系数和为
．
（可简记为：
为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若
，同理可得．
注意：常见的赋值为令
，
或
，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
题型一：求二项展开式
【典例1】.（24-25 高三上·北京通州·期末）在二项式
的展开式中，常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】.已知二项式
的展开式中
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】.（24-25 高三·上海·随堂练习）
的二项展开式是 ．
【变式3】.在二项式
的展开式中，常数项是第 项．
题型二：求含有参数的二项展开式
【典例2】.（24-25 高二下·上海·期中）若
的展开式中含
项的系数为
，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】.（25-26 高三上·云南昭通·阶段练习）
展开式中的常数项为160，则实数
．
【变式2】.（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）在
展开式中
的系数为20，则实数
的值为
．
【变式3】.（2025·北京东城·一模）在
的展开式中，
的系数为10，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【典例3】.（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）
的展开式中
项的系数为（ ）
A．120
B．90
C．60
D．45
【变式1】.（24-25 高二下·广东广州·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．14
C．
D．9
【变式2】.（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）
展开式中含
项的系数为 ．
【变式3】.（2025·浙江丽水·一模）
展开式中的常数项是 ．
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
【典例1】.（2025·江苏宿迁·三模）（多选题）
的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共8 项
B．含
项的系数为480
C．无常数项
D．所有项的二项式系数之和为128
【变式1】.（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知
的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，
则展开式中的常数项为 .
【变式2】.（24-25 高二下·上海奉贤·期末）在
的二项展开式中系数最大的项的系数是
（结果用数字表示）
【变式3】.（2025·甘肃白银·三模）已知
展开式的所有二项式系数之和为32，则
展开式
的各项中系数的最大值为（ ）
A．252
B．210
C．120
D．10
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【典例5】.（25-26 高三上·河北·开学考试）（多选题）设
，则下列说
法正确的有（ ）
A．
的展开式中所有项的二项式系数的和为
B．
C．
D．
【变式1】.（25-26 高三上·江苏南京·阶段练习）若二项式
的展开式中二项式系数和为 64 ，那么
该展开式中的常数项为（ ）
A．
B．
C．15
D．20
【变式2】.（25-26 高三上·北京昌平·期中）已知
的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为
【变式3】.（25-26 高三上·四川南充·阶段练习）已知
的展开式中各项系数之和为64，则该展开式
中
的系数为 ．
题型六：杨辉三角
【典例6】.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13 世纪）所著的
《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和
的展开式的各项系数，此三角形称为“杨
辉三角”，若“杨辉三角”中第
行的各数之和比上一行各数之和大64，则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式1】.（2024 高二下·全国·专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算
法》一书中，画了一个由二项式
展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本
源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2 行开始，除1 以外，其他每一个数值都是
它上面的两个数值之和，每一行第
个数组成的数列称为第
斜列．该三角形数阵前5 行如
图所示，则该三角形数阵前2022 行第
斜列与第
斜列各项之和最大时，
的值为（ ）
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
【变式2】.（2025 高二·全国·专题练习）南宋数学家杨辉发明的“杨辉三角”（如图所示）是我国数学史
上的一个伟大创造，它展现了二项式系数在三角形中的几何排列．按照这一规律，第9 行第8 个数是
．
【变式3】.（24-25 高二下·上海·期中）“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三
角”中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列
为2，3，3，4，6，4，5，
10，…，若
，
，则
的最大值为 ．
题型七：二项式定理与数列求和
【典例7】.已知数列
是等比数列，
，公比是
的展开式的第二项（按
的降幂排列）.
（1）求数列
的通项
；
（2）求数列
前
项和
；
（3）若
，求
.
【变式1】.已知函数
，其中
．
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，
，求
(
，1，2，3，…，8)的最大值；
（3）若
，求证：
．
题型八：排列组合综合
【典例8】.（25-26 高三上·辽宁丹东·阶段练习）三个家庭的3 位妈妈带着2 名女宝和2 名男宝共7 人踏春，
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；2 名女宝相邻且不排最
前面也不排最后面；为了防止2 名男宝打闹，2 人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数
共有（ ）
A．192 种
B．288 种
C．144 种
D．96 种
【变式1】.雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022 到2023 赛季中国高中篮球联
赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12 人（其
中1 人为队长），教练组3 人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，
总共有多少种站法（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】.现有
个小球和
个小盒子，下面的结论正确的是 .
①若
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中（允许有空盒），则共有
种放法；
②若
个相同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有
种；
③若
个不同的小球放入编号为、
、、
的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有
种；
④若编号为、
、、
的小球放入编号为、
、、
的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的
编号全不相同的放法共有种.
【变式3】.冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022 年北京冬季奥运会的吉祥物．将6 个不同的冰墩墩分配到甲
乙丙丁4 人，每人至少分配1 个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
一、单选题
1．（24-25 高二上·江西·期末）二项式
的展开式中有理项的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（24-25 高二下·广西河池·阶段练习）在
的展开式中，
的系数为40，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·广东·阶段练习）
的展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．88
C．24
D．18
4．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．25
C．
D．50
5．（24-25 高二下·安徽·期末）已知
的展开式中第3 项与第5 项的二项式系数之比为
，则展开
式中的有理项的项数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（24-25 高二下·江苏镇江·阶段练习）
的展开式的第二项的二项式式系数为（ ）
A．10
B．5
C．
D．
7．（24-25 高二下·广东汕头·期中）在二项式
展开式中，下列说法不正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为15
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有3 项
D．常数项为第五项
8．（24-25 高二下·全国·课后作业）
的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为
（ ）
A．第1 项和第3 项
B．第2 项和第4 项
C．第3 项和第1 项
D．第4 项和第2 项
9．在
的二项展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第5 项和第6 项
10．（25-26 高三上·河北·开学考试）
的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常
数项为（ ）
A．60
B．
C．15
D．
11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高二下·福建泉州·期末）已知
，则下列选项中错误的是
（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
D．
13．当
时，将三项式
展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在
的展开式中，
的系数为75，则实数a 的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
14．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展
“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数
有（ ）
A．432 种
B．240 种
C．192 种
D．96 种
15．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6 个广告，其中3 个不同的商业广告和3 个不同的公益广
告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3 个连续播放，则不同的播放方式有
（ ）
A．144 种
B．72 种
C．36 种
D．24 种
二、多选题
16．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）（多选题）已知
的展开式中各项系数之和为
，则展开式
中（ ）
A．各项的二项式系数之和为
B．含
的项的系数为
C．奇数项的二项式系数之和为
D．二项式系数最大项为第项
17．（24-25 高二下·内蒙古·期末）（多选题）已知
的展开式中，各项的二项式系数之和为64，
则（ ）
A．
B．各项系数之和为
C．第3 项的二项式系数最大
D．常数项为
18．（24-25 高二下·河北保定·期末）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
的展开式的二项式系数之和为
D．
19．（24-25 高二下·山西·期末）（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．在
中的最大值为
C．
D．
三、填空题
20．展开：
．
21．（24-25 高二下·天津和平·期末）已知二项式
的展开式中，
的系数为28，则
的系
数为 .
22．（25-26 高三上·全国·阶段练习）在
展开式中，
的系数为 ．
23．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）
的展开式中
项的系数是 ．
24．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）
的展开式的第7 项的二项式系数是 .
25．（24-25 高二下·山西·阶段练习）在
的二项展开式中，第4 项的二项式系数是 ．
26．（24-25 高二下·北京·阶段练习）
的展开式有7 项，则
；二项式系数最大的项为
.
27．已知二项式
的展开式中第二项与第四项的系数相同.则展开式中系数最大的项是
.
28．（25-26 高三上·北京顺义·期中）已知
，则
；
.
29．（25-26 高三上·山东潍坊·期中）已知
，则
．
30．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261 年所著的《详解九
章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律（如图所示），则
“杨辉三角”中第30 行中第12 个数与第13 个数之比为 .
四、解答题
31．已知
，函数
.
（1）当
时，求函数展开式中含
的一次项系数之和；
（2）当
时，
①求函数
展开式中的常数项；
②证明：
.
