专题04
基本不等式压轴题
1.基本不等式：ab≤a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：__
0
,0
b
a
____．
(2)等号成立的条件：当且仅当
=
时，等号成立．
(3)其中
2
b
a
叫做正数a，b 的算术平均数，
ab 叫做正数a，b 的几何平均数．
2.利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当
y
x
时，x＋y 有最小值
p
2
．
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当_
y
x
_时，xy 有最大值4
2
S
．
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
3.常用不等式
(1) a2＋b2≥ab
2
(a，b∈R)．
(2)
b
a＋a
b≥
2
(a，b 同号)．
(3)ab≤
2
2
b
a
≤a2＋b2
2
(a，b∈R)
(4)
2
1
a＋1
b
≤ab≤a＋b
2
≤
a2＋b2
2
(a>0，b>0)．
题型一利用基本不等式求最值
例1.（1）.若正实数a ，b 满足
1
a
b
，则下列说法中正确的是（
）
A．ab 有最小值1
4
B．
a
b 有最小值
2
C．1
1
a
b
有最小值4
D．
2
2
a
b
有最小值
2
2
【答案】C
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
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【详解】对于A，因为正实数a ，b 满足
1
a
b
，所以1
2
a
b
ab
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，所以
1
4
ab
，故ab 有最大值1
4 ，故A 不正确；
对于B，
2
1
2
1
2
1
2
2
4
a
b
a
b
ab
ab
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，故
2
a
b
，
即
a
b 有最大值
2 ，故B 不正确；
对于C，1
1
1
4
a
b
a
b
ab
ab
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，故1
1
a
b
有最小值4，故C 正确；
对于D，
2
2
2
1
2
1
2
2
a
b
a
b
ab
ab
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，所以
2
2
a
b
有最小值
1
2 ，故D
不正确.
故选：C.
（2）．已知
0,
0
a
b
，若
4
a
b
，则（
）
A．
2
2
a
b
有最小值4
B．ab 有最大值2
C．1
1
a
b
有最大值1
D．
1
a
b
有最小值
2
4
【答案】D
【分析】运用均值不等式容易得到答案.
【详解】根据均值不等式：
0,
0
a
b
，则
2
2
2
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
，当且仅当a
b
时取等号；
2
2
2
8,
2
a
b
a
b
A 错；
4
2
,
4
a
b
ab
ab
，B 错；
1
1
4
1,
a
b
a
b
C 错；
1
1
1
2.
4
2 2
2
2
a
b
a
b
上述不等式都在
2
a
b
时取等号，D 对；
故选：D.
（3）．已知
0
x
，
0
y
，且
3
0
x
y
xy
；则下列结论正确的是（
）
A．xy 的最小值是1
B．x
y
的最小值是2
C．
4
x
y
的最小值是8
D．
2
x
y
的最大值是4 2
3
【答案】B
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【分析】利用基本不等式得
3
(
3)(
1)
x
y
xy
xy
xy
、
2
(
)
3
(
)
3
4
x
y
x
y
xy
x
y
分别求xy 、
x
y
的最值，注意取等条件；由题设有
3
1
y
x
y
且0
3
y
代入
4
x
y
、
2
x
y
，结合基本不等式求最值，
注意取等条件.
【详解】由
3
2
3
(
3)(
1)
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
，当且仅当
1
x
y
时等号成立，
即(
3)(
1)
0
xy
xy
，又
0
x
，
0
y
，故0
1
xy
，仅当
1
x
y
时等号成立，
所以0
1
xy
，故xy 的最大值是1，A 错误；
由
2
(
)
3
(
)
3
4
x
y
x
y
xy
x
y
，当且仅当
1
x
y
时等号成立，
所以
2
(
)
(
)
3
0
4
x
y
x
y
，即(
6)(
2)
0
x
y
x
y
，又
0
x
，
0
y
，
则
2
x
y
，仅当
1
x
y
时等号成立，故x
y
的最小值是2，B 正确；
由
3
0
x
y
xy
，
0
x
，
0
y
，可得
3
1
y
x
y
，且0
3
y
，
所以
2
2
3
4
3
3
4(
1)
5(
1)
4
4
4
4
4(
1)
5
1
1
1
1
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
y
4
2 4(
1)
5
3
1
y
y
，
当且仅当
1 1
y ，即
0
y
、
3
x
时等号成立，故
4
3
x
y
，C 错误；
同上，
2
2
3
2
3
2(
1)
3(
1)
4
4
2
2
2(
1)
3
1
1
1
1
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
y
4
2 2(
1)
3
4 2
3
1
y
y
，
当且仅当
1
2
y
，即
2
1
y
、
2
1
2
x
时等号成立，故
2
3
2
4
x
y
，D 错误；
（4）．当
0
x
时，函数
2
3
1
x
x
y
x
的最小值为（
）
A．2 3
B．2 3
1
C．2 3
1
D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将
2
3
1
x
x
y
x
化为
2
3
3
3
1
1
1
1
1
x
x
y
x
x
x
x
x
，使用基本不等式解
决.
【详解】因为
0
x
，所以
2
3
3
3
3
1
1
2
1
1
2 3 1
1
1
1
1
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
，当且仅当
3
1
1
x
x
，即
3
1
x
时，等号成立．
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故选：B．
练习题
(1).已知
0,
0
a
b
，且1
4
1
a
b
，则下列结论正确的是（
）
①
1
a
②ab 的最小值为16 ③a
b
的最小值为9 ④
1
9
1
a
b
的最小值为3
A．①②
B．②③④
C．①②④
D．①②③
【答案】D
【分析】①由1
4
1
1
a
b
判断；②利用基本不等式求解判断；为
1
4
1 4
1
2
a
b
a b
，③结合“1”的代换，
利用基本不等式求解判断；④转化为
1
9
1
9
9 1
1
4
1
4
b
b
a
b
b
b
b
，利用基本不等式求解判断.
【详解】①因为
0,
0
a
b
，且1
4
1
a
b
，所以1
4
1
1
a
b
，则
1
a ，故正确；
②因为
1
4
1 4
1
2
a
b
a b
，所以
16
ab
，当且仅当1
4
a
b
，即
2,
8
a
b
时，等号成立，故正确；
③因为
0,
0
a
b
，且1
4
1
a
b
，所以
1
4
4
4
5
5
2
9
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当
4
b
a
a
b
，即
3,
6
a
b
时，等号成立，故正确；
④因为
0,
0
a
b
，且1
4
1
a
b
，所以
1
9
1
9
9
9
1
2
1
2
1
4
4
1
4
b
b
b
a
b
b
b
b
b
当且仅当
9
4
b
b
，即
6
b
时，等号成立，故错误；
故选：D
(2)．设
0
a
b
，则
2
1
a
b a
b
的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为
0
a
b
，所以
0
a
b
，
所以
2
2
=
2
4
b
a
b
a
b a
b
（当且仅当b
a
b
时取等号），
所以
2
1
4
b a
b
a
，
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所以
2
2
2
2
2
1
4
4
2
=4
a
a
a
b a
b
a
a
，（当且仅当
2
2
4
a
a
，即= 2
a
时取等号）.
故答案为：D
(3)．已知正数a，b 满足
1
a
b
，则
6
3
a
a
b
b
最小值为（
）
A．25
B．19
2 6
C．26
D．19
【答案】A
【分析】先进行化简得
3
9
6
4
ab
b
a
a
b
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b 满足
1
a
b
，
所以
6
3
3
4
9
3
4
9
9
4
6
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
ab
ab
b
b
a
a
b
9
4
9
4
13
13
2
25
b
a
b
a
a
b
a
b
，当且仅当9
4
b
a
a
b
，联立
1
a
b
，
即
3
2
,
5
5
a
b
时等号成立，
故选：A.
(4)．若正数,x y 满足1
2
1
x
y
，则
2
2
4
16
x
y
xy
的最小值是（
）
A．
108
B．100
C．99
D．96
【答案】B
【分析】由1
2
1
x
y
可得2
8,
x
y
xy
xy
原式化为
2
20
xy
xy
，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】由1
2
1
x
y
可得2
2 2
8,
2,
4
x
y
xy
xy
xy
xy
x
y
时等号成立，
所以
2
2
2
2
2
4
16
2
20
20
10
100
x
y
xy
x
y
xy
xy
xy
xy
，
所以
10
xy
时，
2
2
4
16
x
y
xy
的最小值是100
，
故选：B
(5)．若x
y
z
，，均为正实数，则
2
2
2
2
xy
yz
x
y
z
的最大值为（
）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
4
【答案】C
【分析】将
2
2
2
2
x
y
z
变形为
2
2
2
2
x
y
y
z
，结合
2
2
2
2
2
,
2
x
y
xy z
y
yz
可求得答案.
【详解】因为x
y
z
，，均为正数，所以
2
2
2
2
2
,
2
x
y
xy z
y
yz
，
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所以
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
xy
yz
xy
yz
xy
yz
x
y
z
x
y
y
z
xy
yz
≤
，当且仅当x
y
z
时等号成立.
故选：C
(6).设二次函数
2
4
f x
ax
x
c
（x
R
）的值域为
0,，则
1
9
1
9
c
a
的最大值为
A．31
25
B．38
33
C．6
5
D．31
26
【答案】C
【详解】解：因为二次函数f（x）=ax2-4x+c 的值域为[0，+∞），
所以
0
16
4
0
a
ac
＞
，ac=4，c=
4
a ，
所以
1
9
1
9
c
a
=
1
4
1
a +
9
9
a
=
2
2
18
36
13
36
a
a
a
a
=1+
5
36
13
a
a
由于a+ 36
a ≥12（当且仅当a=6 时取等号）
所以1+
5
36
13
a
a
≤1+ 1
5 = 6
5 ．
故答案为C
(7)．已知正数a，b 满足
2
6
a
b
，则
1
2
2
1
a
b
的最小值为（
）
A．7
8
B．10
9
C．9
10
D．8
9
【答案】C
【分析】由
2
6
a
b
，得到
2
2
2
10
a
b
，再利用“1”的代换求解.
【详解】解：因为
2
6
a
b
，
所以
2
2
2
10
a
b
，
所以
4
2
1
2
1
1
4
1
2
2
9
2
2
2
5
2
2
1
10
2
2
2
10
2
2
2
10
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
当且仅当
2
2
2
2
b
a
，即
4
3
a
，
7
3
b
时，等号成立．
故选：C
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(8)．已知
1,
0
x
y
>
>
，且
1
2
1
1
x
y
，则
2
1
x
y
的最小值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．7
2 6
【答案】A
【分析】利用“乘1 法”将问题转化为求
1
2
(
1)
2
1
x
y
x
y
的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
1
x
，
1
0
x
，又
0
y
，且
1
2
1
1
x
y
，
1
2
2
2(
1)
2
2(
1)
2
1
(
1)
2
5
5
2
1
1
1
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
9
，
当且仅当2
2(
1)
1
y
x
x
y
，解得
4
x
，
3
y 时等号成立，
故
2
1
x
y
的最小值为9．
故选：A．
题型二证明不等式
例2.(1)设a ，b ，c 均为正数，且
1
a
b
c
，证明：
(1)
2
2
2
1
3
a
b
c
；
(2)
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）由
1
a
b
c
，则
2
2
2
2
2
2
2
1
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
，根据
2
2
2ab
a
b
，
2
2
2ac
a
c
，
2
2
2bc
b
c
，即可得证；
（2）根据
2
2
a
b
a
b
，
2
2
b
c
c
c
，
2
2
c
a
c
a
，即可得证.
【详解】（1）由
1
a
b
c
，得
2
2
2
2
2
2
2
1
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
，
又由基本不等式可知当a ，b ，c 均为正数时，
2
2
2ab
a
b
，
2
2
2ac
a
c
，
2
2
2bc
b
c
，
当且仅当
1
3
a
b
c
时，上述不等式等号均成立，
所以
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
3
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
，
即
2
2
2
3
1
a
b
c
，
所以
2
2
2
1
3
a
b
c
，当且仅当
1
3
a
b
c
时等号成立；
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（2）因为a ，b ，c 均为正数，
则
2
2
a
b
a
b
，
2
2
b
c
c
c
，
2
2
c
a
c
a
，当且仅当
1
3
a
b
c
时，不等式等号均成立，
则
2
2
2
2
2
2
a
b
c
b
c
a
a
b
c
b
c
a
，
即
2
2
2
1
a
b
c
a
b
c
b
c
a
，当且仅当
1
3
a
b
c
时等号成立.
所以
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
（2）．若正数a，b，c 满足
1
a
b
c
.
(1)求ab
bc
ca
的最大值；
(2)求证：
2
2
2
1
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
.
【答案】(1) 1
3
(2)证明见解析
【分析】（1）由
2
2
2
2
1
(
)
(2
2
2
)
2(
)
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ca
，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求
2
4
a
b
c
a
b
c
、
2
4
b
c
a
b
c
a
、
2
4
c
a
b
c
a
b
，即可证结论，注意等号成立条
件.
【详解】（1）由
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2(
)
(2
2
2
)
2(
)
2
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
，
所以
2
(
)
a
b
c
3(
)
ab
bc
ca
，即
1
3
ab
bc
ca
，仅当
1
3
a
b
c
时等号成立，
综上，ab
bc
ca
的最大值为1
3 .
（2）由
2
2
2
4
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
，仅当
2
4
a
b
c
b
c
，即
2
2
3
a
b
c
时等号成立，
由
2
2
2
4
4
b
c
a
b
c
a
b
c
a
c
a
，仅当
2
4
b
c
a
c
a
，即
2
2
3
b
c
a
时等号成立，
由
2
2
2
4
4
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
，仅当
2
4
c
a
b
a
b
，即
2
2
3
c
a
b
时等号成立，
综上，
2
2
2
1
(
)
4
4
4
2
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
a
b
c
a
b
c
b
c
c
a
a
b
，仅当
1
3
a
b
c
时等号成立.
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（3）．已知a，b，c 均为大于零的实数．
(1)求证：
2
2
2
9
a
b
b
c
c
a
a
b
c
；
(2)若
1
a
b
，求3
1
a
ab
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】对于（1），相当于证明
2
2
2
9
a
b
c
a
b
b
c
a
c
，恒等变形后利用基本不等式可
证；
对于（2），注意到
3
1
3
4
1
4
1
a
b
a
b
a
ab
a
ab
a
b
a
b
，后利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）证明：要证
2
2
2
9
a
b
b
c
c
a
a
b
c
，
即证
2
2
2
9
a
b
c
a
b
b
c
a
c
，注意到
2
2
2
1
1
1
2
a
b
c
a
b
c
a
b
b
c
a
c
a
b
b
c
a
c
1
1
1
a
b
b
c
a
c
a
b
b
c
a
c
设
，
，
a
b
m
b
c
n
a
c
t
，
则
1
1
1
a
b
b
c
a
c
a
b
b
c
a
c
=
1
1
1
3
n
m
t
n
t
m
m
n
t
m
n
t
m
n
n
t
m
t
3
2
2
2
9
n
m
t
n
t
m
m
n
n
t
m
t
，
当且仅当
，
，
n
m
t
n
t
m
m
n
n
t
m
t
，即m
n
t
时取等号.
故
2
2
2
9
a
b
b
c
c
a
a
b
c
（2）由
1
a
b
，所以3
1
3
4
1
4
1 (
)
a
b
a
b
a
ab
a
ab
a
b
a
b
4
4
5
5
2
9
b
a
b a
a
b
a
b
，当且仅当4b
a
a
b
，即
2
a
b
，
2
1
3
3
，
a
b
时取等号.故3
1
a
ab
的最小值为9.
练习题
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（1）．已知, ,
R
a b c
.
(1)证明：
2
2
2
2
2
3
a
b
c
a
b
c
≥
；
(2)若
2
2
2
9
a
b
，求
4
a
b
的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)9.
【分析】（1）由
2
2
4
4
a
b
ab
，
2
2
4
4
a
c
ac
，
2
2
2
b
c
bc
相加得
2
2
2
8
5
5
4
4
8
a
b
c
ab
ac
bc
≥
，从而
得到
2
2
2
2
9
9
9
2
2
a
b
c
a
b
c
，得到结论；
（2）在第一问的基础上，得到
2
2
2
2
2
3
a
b
b
a
b
b
≥
，得到
4
9
a
b
.
【详解】（1）∵, ,
R
a b c
，
∴
2
2
4
4
a
b
ab
，
2
2
4
4
a
c
ac
，
2
2
2
b
c
bc
，
∴
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
8
a
b
a
c
b
c
ab
ac
bc
≥
，
即
2
2
2
8
5
5
4
4
8
a
b
c
ab
ac
bc
≥
，当且仅当2a
b
c
时取等号，
∴
2
2
2
2
2
2
2
9
9
9
4
4
4
4
8
2
2
a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc
a
b
c
≥
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
（2）要
4
a
b
最大，当且仅当a，b 都是非负数，
由（1）得当
,
0,
a b
时，
2
2
2
2
2
3
a
b
b
a
b
b
≥
，当且仅当2a
b
时取等号，
所以
2
2
2
2
2
2
2
4
3
3
3
2
9
3
a
b
b
a
b
a
b
b
a
b
≤
，
由2a
b
，
2
2
2
9
a
b
得
1
a ，
2
b
，
所以当
1
a ，
2
b
时，
4
a
b
的最大值为9.
（2）．已知正实数a，b，c 满足
3
a
b
c
．
(1)求1
1
1
a
b
c
的最小值；
(2)求证：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
b
c
a
ab
bc
ca
a
b
c
．
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【分析】(1) 由
3
a
b
c
，有
1
1
3 a
b
c
，与1
1
1
a
b
c
相乘，利用基本不等式求最小值.
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(2) 要证
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
b
c
a
ab
bc
ca
a
b
c
，利用柯西不等式转化为证明
2
2
2
9
1
3
2 ab
bc
ca
a
b
c
，
由
3
a
b
c
，只需证
12
2
2
2
18
ab
bc
ca
ab
bc
ca
，换元，利用基本不等式可证.
【详解】（1）正实数a，b，c 满足
3
a
b
c
，由基本不等式，
1
1
1
1 1
1
1
1 3
3
3
3
a
b
c
b
a
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
a
b
c
c
a
，当且仅当
1
a
b
c
时等号成立.
1
1
1
a
b
c
的最小值为3.
（2）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
b
c
a
b
c
a
a
b
c
a
b
c
，由柯西不等式，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
9
1
1
1
b
c
a
a
b
c
b
c
a
a
b
c
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
1
1
1
3
b
c
a
a
b
c
a
b
c
要证
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
b
c
a
ab
bc
ca
a
b
c
只需证
2
2
2
9
1
3
2 ab
bc
ca
a
b
c
即证
2
2
2
18
3
ab
bc
ca
a
b
c
由
3
a
b
c
，
2
2
2
2
2
2
9
a
b
c
ab
bc
ca
，
2
2
2
9
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca
2
2
2
3
12
2
2
2
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
ab
bc
ca
令ab
bc
ca
t
，
0
t
2
6
12
2
2
2
12
2
2
6
2
18
2
t
t
ab
bc
ca
ab
bc
ca
t
t
t
t
∴
2
2
2
3
18
ab
bc
ca
a
b
c
，得证.
∴
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
b
c
a
ab
bc
ca
a
b
c
，当且仅当
1
a
b
c
时等号成立.,
（3）．已知a，b，c 均为正实数，且满足
3
a
b
c
.
证明：（1）
3 2
2
ab
bc
；
（2）
2
2
2
3
2
a
b
c
b
c
c
a
a
b
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
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【分析】（1）首先推得
2(
)
a
c
a
c
，再由条件转化为b 的式子，运用基本不等式可得结论；
（2）运用基本不等式推得
2
4
a
b
c
a
b
c
，
2
4
b
c
a
b
c
a
，
2
4
c
a
b
c
a
b
，再相加即可得到所求结论．
【详解】（1）由a ，b ，c 均为正实数，且满足
3
a
b
c
，
2
(
)
2
2(
)
a
c
a
c
ac
a
c
，
可得
2(
)
2(3
)
a
c
a
c
b
，当且仅当a
c
时取得等号．
则
2
3 2
(
)
2 (3
)
(
3
)
2
2
ab
bc
b
a
c
b
b
b
b
，
当且仅当
3
2
b
，
3
4
a
c
时取得等号．
（2）由a ，b ，c 均为正实数，且满足
3
a
b
c
，
2
2
2
4
4
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
，当且仅当2a
b
c
取得等号，
同理可得
2
4
b
c
a
b
c
a
，当且仅当2b
a
c
取得等号，
同理可得
2
4
c
a
b
c
a
b
，当且仅当2c
b
a
取得等号，
上面三式相加可得
2
2
2
3
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c
c
a
a
b
（当且仅当
1
a
b
c
时取得等号）．
【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利
用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母
为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
（4）．已知a ，b ，
R
c
，
2
2
2
1
a
b
c
．
1 证明：
1
1
2
ab
bc
ca
．
2 证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
．
【答案】
1 证明见解析；
2 证明见解析.
【解析】
1 先利用完全平方式子证出
1
2
ab
bc
ca
，再利用均值不等式证出
1
ab
bc
ca
，进而可求
证；
2 化简式子得
4
4
4
1
a
b
c
，再利用完全平方公式和基本不等式的运用得
4
4
4
1
3
a
b
c
，进而可求证结
论.
【详解】解：
1 证明：由
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
0
a
b
c
a
b
c
ab
bc
ca
ab
bc
ca
，
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得
1
2
ab
bc
ca
．
另一方面，
2
2
2
a
b
ab
，
2
2
2
b
c
bc
，
2
2
2
c
a
ca
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca
，即
1
ab
bc
ca
．
所以
1
1
2
ab
bc
ca
．
2 证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
b
c
a
c
a
b
2
2
2
2
2
2
4
4
4
1
1
1
1
a
a
b
b
c
c
a
b
c
，
因为
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
2
2
2
1
a
b
c
a
b
c
a b
b c
c a
a
b
b
c
c
a
，
即
4
4
4
3
1
a
b
c
，则
4
4
4
1
3
a
b
c
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
．
【点睛】本题考查不等式的证明，结合基本不等式和完全平方公式的运用，属于中档题.
题型三基本不等式求参数
例3.（1）当x ，
0,
y
时，
4
2
2
4
2
2
4
17
4
2
4
x
x y
y
m
x
x y
y
恒成立，则m 的取值范围是（
）
A．
25,
B．
26,
C．99 ,
4
D．
27,
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成
2
2
4
4
x
y
x
y
的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以
得到结果.
【详解】当x ，
0,
y
时，
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
4
4
4
4
2
4
17
4
25
2
4
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x y
y
x
x y
y
x
y
x
y
，
当且仅当
2
2
4
4
x
y
x
y
，即
2
y
x
=
时，等号成立，
所以
4
2
2
4
2
2
4
17
4
2
x
x y
y
x
x y
y
的最大值为25
4 ．
所以
25
4
4
m
，即
25
m
．
故选：A.
（2）．已知正数a ，b 满足1
1
1
a
b
，若不等式
2
2
2
0
2
2
b
a
a
b
mab
恒成立，则m 的最大值为（
）
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A．9
4
B．3
2
C．
2
D．3
10
4
【答案】B
【分析】结合条件，由
2
2
2
0
2
2
b
a
a
b
mab
可得
2
2
2
2
2
b
a
a
b
m
a
b
，然后由
2
2
2
2
2
a
a
b
b
可得
答案.
【详解】因为1
1
1
a
b
，所以a
b
ab
，
所以由
2
2
2
0
2
2
b
a
a
b
mab
可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
a
b
m
ab
a
b
，
因为
2
2
2
0
4
2
a
a
b
ab
b
，所以
2
2
2
2
2
a
a
b
b
，
所以
2
2
2
3
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
，所以
3
2
m
，当且仅当
3
a
，
3
2
b
时取等号，
故选：B．
（3）．若两个正实数x ，y 满足1
4
1
x
y
，且不等式
2
3
4
y
x
m
m
有解，则实数m 的取值范围（
）
A．
1,4
B．
, 1
4,
C．
4,1
D．
4,1
【答案】B
【分析】由题可得
2
min
3
4
y
x
m
m
，利用基本不等式可得
min
4
4
y
x
，再利用一元二次不等式的解法
即得．
【详解】解：∵不等式
2
3
4
y
x
m
m
有解，
∴
2
min
3
4
y
x
m
m
，
∵
0
x
，
0
y
，且1
4
1
x
y
，
∴
1
4
4
4
2
2
2
4
4
4
4
4
y
y
x
y
x
y
x
x
x
y
y
x
y
x
，
当且仅当4
4
x
y
y
x
，即
2
x
，
8
y
时取“＝”，
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∴
min
4
4
y
x
，故
2
3
4
m
m
，即
1
4
0
m
m
，
解得
1
m 或
4
m
，
∴实数m 的取值范围是
, 1
4,
．
故选：B．
练习题
（1）．若正数,x y 满足
1
x
y
，且不等式
4
1
0
1
m
x
y
恒成立，则实数m 的最大值为（
）
A．44
7
B．27
5
C．14
3
D．9
2
【答案】D
【分析】将
1
x
y
变成
1
2
x
y
，可得
4
1
1
4
1
1
2
1
x
y
x
y
x
y
，展开后利用基本不等式求解即可．
【详解】解：
0
x
>
，
0
y
，
1
x
y
，
1
2
x
y
，
∴
4
1
1
4
1
1
4
1
1
9
1
1 4
5
2 4
1
2
1
2
1
2
2
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
当且仅当4
1
1
y
x
x
y
，即
1
2
x
y
时等号成立，解得
1
3
x
，
2
3
y
时等号成立，
因为不等式
4
1
0
1
m
x
y
恒成立，
所以
min
4
1
1
m
x
y
，即
9
2
m
所以，实数m 的最大值为9
2 .
故选：D．
（2）．设
0
x
，
0
y
，不等式1
1
0
m
x
y
x
y
恒成立，则实数m 的最小值是（
）
A．2
B．2
C．1
D．4
【答案】D
【分析】将不等式1
1
0
m
x
y
x
y
恒成立转化为
max
1
1 (
)
m
x
y
x
y
,利用基本不等式求得
1
1 (
)
x
y
x
y
的最小值，即可得答案.
【详解】∵
0
x
，
0
y
，不等式1
1
0
m
x
y
x
y
恒成立，
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即
1
1 (
)
m
x
y
x
y
恒成立，∴只需
max
1
1 (
)
m
x
y
x
y
,
∵1
1 (
)
2
2
2
4
x
y
x y
x
y
x
y
y
x
y x
，当且仅当x
y
时取等号.
所以
1
1 (
)
4
x
y
x
y
，
∴
4
m ，∴m 的最小值为4
，
故选：D
（3）．若对任意实数
0,
0
x
y
，不等式
(
)
x
xy
a x
y
恒成立，则实数a 的最小值为（
）
A．
2
1
2
B．
2
1
C．
2
1
D．
2
1
2
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为
x
xy
a
x
y
对于任意实数
0,
0
x
y
恒成立，进而求出x
xy
x
y
的最大值，
设
(
0)
y
t t
x
及1
(
1)
t
m m
，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，
x
xy
a
x
y
对于任意实数
0,
0
x
y
恒成立，则只需求x
xy
x
y
的最大值即可，
1
1
y
x
xy
x
y
x
y
x
，设
(
0)
y
t t
x
，则
2
1
1
1
1
y
t
x
y
t
x
，再设1
(
1)
t
m m
，则
2
2
1
1
1
1 (
1)
1
y
t
m
x
y
t
m
x
2
1
2
2
2
2
m
m
m
m
m
1
1
2
1
2
2
2 2
2
2
2
m m
，当且仅当
2
2
1
y
m
m
x
时取得“=”.
所以
2 1
2
a
，即实数a 的最小值为
2
1
2
.
故选：D.
（4）．设正实数,
x y 满足
1 ,
1
2
x
y
，不等式
2
2
4
1
2
1
x
y
m
y
x
恒成立，则m 的最大值为（）
A．8
B．16
C．2 2
D．4 2
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【答案】A
【分析】设
1
,2
1
y
b
x
a
，求出,x y 的值，代入
2
2
4
1
2
1
x
y
y
x
中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设
1
,2
1
y
b
x
a
，则
1
1
0 ,
1
0
2
y
b
b
x
a
a
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
1
4
2
2
1
2
1
a
b
a
b
ab
a
b
x
y
y
x
b
a
ab
ab
1
1
2
2
2 2
2
2
2
8
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
当且仅当
1
a
b
即
2,
1
x
y
时取等号
所以
2
2
4
1
2
1
x
y
y
x
的最小值是8，则m 的最大值为8.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设
1
,2
1
y
b
x
a
，得出
1
1
0 ,
1
0
2
y
b
b
x
a
a
进
行代换，属于偏难题目.
（5）．若两个正实数x ，y 满足
4
1
2
2
2
2
x
y
，并且
2
4
6
x
y
m
m
恒成立，则实数m 的取值范围
是（
）
A．
, 8
2,
B．
, 2
8,
C．
,2
D．
2,8
【答案】D
【解析】将
4
1
2
2
2
2
x
y
变形为
4
1
1
x
y
，根据均值不等式可知
4
16
x
y
，由题意可知
2
16
6
m
m
，解不等式即可.
【详解】因为
4
1
2
2
2
2
x
y
，所以
4
1
1
x
y
.
所以
4
1
4
4
x
y
x
y
x
y
16
16
4
4
8
y
y
x
x
x
y
x
y
1
8
2
16
6 y
x
x
y
.
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当且仅当16 y
x
x
y
，即
64
x
，
4
y
时等号成立，
若使得
2
4
6
x
y
m
m
恒成立
则需
2
16
6
m
m
，即
2
6
16
0
m
m
，解得2
8
m
.
所以实数m 的取值范围是
2,8
.
故选：D
题型四创新提升能力题
1.设, ,
0
x y z
，
1
1
1
4
,
4
,
4
a
x
b
y
c
z
y
z
x
，则, ,
a b c 三个数（
）
A．都小于4
B．至少有一个不大于4
C．都大于4
D．至少有一个不小于4
【答案】D
【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．
【详解】假设三个数
1
4
4
x
y
且
1
4
4
y
z
且
1
4
4
z
x
，相加得：
1
1
1
4
4
4
12
x
y
z
x
y
z
，由基本不等式得：
1
4
4
x
x
；
1
4
4
y
y
；1
4
4
z
z
；
相加得：
1
1
1
4
4
4
12
x
y
z
x
y
z
，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数
1
4x
y
、
1
4y
z
、
1
4z
x
至少有一个不小于4．
故选D ．
2.若实数x，y，m 满足|
| |
|
x
m
y
m
，则称x 比y 接近m，
（1）若
2
3
1
x 比3 接近1，求x 的取值范围；
（2）证明：“x 比y 接近m”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
【答案】（1）2 2
2 2
x
；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）根据定义可得
2
3
2
x
，从而可求x 的取值范围.
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（2）通过反例可得“ x 比y 接近m ”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”不充分条件.利用不等式的性质可证明“ x 比y 接近m ”
是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】（1）因为
2
3
1
x 比3 接近1，故
2
3
1 1
3 1
x
，
故
2
3
2
x
，故
2
8
x ，所以2 2
2 2
x
.
（2）取
1 ,
2,
0
2
x
y
m
，
则
1
|
|
2 |
|
2
x
m
y
m
，故x 比y 接近m .
但
2
3
1
2
0
2
1
5
9
2
2
x
y
m
x
y
，
故“ x 比y 接近m ”推不出“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”.
所以“ x 比y 接近m ”是“ 2
3
1
x
y
m
x
y
”不充分条件.
若2
3
1
x
y
m
x
y
，则3
3
0
x
m
x
y
，故
0
x
m
x
y
，
所以
0
0
x
m
x
y
或
0
0
x
m
x
y
，
若
0
0
x
m
x
y
，则y
x
且x
m
，故
2
x
y
m
x
m
，
所以
2
0
x
y
m
x
y
，
故
2
2
2
0
x
m
y
m
x
y
m
x
y
，所以x
m
y
m
，
也就是“ x 比y 接近m ”.
若
0
0
x
m
x
y
，则x
y
且m
x
，故
2
x
y
m
x
m
，
所以
2
0
x
y
m
x
y
，
故
2
2
2
0
x
m
y
m
x
y
m
x
y
，所以x
m
y
m
，
故“ x 比y 接近m ”是“
3
1
x
y
m
x
y
”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab ，
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即证：
2
2
3
3
2
2
a b
ab
ab ab
a
b
ab ab ，
即证：
3
3
2
2
ab
ab
a
b
ab ab
a
b
，
即证：
2
2
2
2
a
b
ab
ab
b
a
a
b
，
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
b
a
b
a
a
b
b
a
b
a
，因为a
b
¹
，
故
2
2
2
a
b
a
b
ab
b
a
，故
2
2
2
2
0
a
b
ab
a
b
ab
b
a
，
所以
2
2
2
2
a
b
ab
ab
b
a
a
b
成立，
故
2
2
a b
ab
比
3
3
a
b 接近2ab ab .
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应
依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
3.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一
原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB 上
取一点C ，使得AC
a
，BC
b
，过点C 作CD
AB
交圆周于D，连接OD.作CE
OD
交OD 于E .则下列
不等式可以表示CD
DE
的是（
）
A．
2
0,
0
ab
ab
a
b
a
b
B．
0,
0
2
a
b
ab a
b
C．
2
2
0,
0
2
2
a
b
a
b a
b
D．
2
2
2
0,
0
a
b
ab a
b
【答案】A
【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD 和DE 的长度，利用CD>DE 即可得到答案.同时这是几何法构造
基本不等式及其推论的一种方法.
【详解】
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连接DB，因为AB 是圆O 的直径，所以
90
ADB
，所以在Rt ADB
中，中线
2
2
AB
a
b
OD
，由射影
定理可得
2
CD
AC CB
ab
，所以CD
ab
.
在Rt DCO
中，由射影定理可得
2
CD
DE OD
，即
2
2
2
CD
ab
ab
DE
a
b
OD
a
b
，
由CD
DE
得
2ab
ab
a
b
，
故选：A
4.已知
*
N
k
，, ,
R
x y z
，若
2
2
2
(
)
5(
)
k xy
yz
zx
x
y
z
，则对此不等式描述正
确的是
A．若
5
k
，则至少存在
．．．．一个以, ,
x y z 为边长的等边三角形
B．若
6
k
，则对任意满足不等式的, ,
x y z 都存在
．．．以, ,
x y z 为边长的三角形
C．若
7
k
，则对任意满足不等式的, ,
x y z 都存在
．．．以, ,
x y z 为边长的三角形
D．若
8
k =
，则对满足不等式的, ,
x y z 不存在
．．．以, ,
x y z 为边长的直角三角形
【答案】B
【详解】本题可用排除法，由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
y
z
z
x
x
y
z
xy
yz
zx
，
对于A ，若
5
k
，可得
2
2
2
xy
yz
zx
x
y
z
，故不存在这样的, , ,
x y z A错误，排除A ；对于
,
1,
1,
2
C x
y
z
时，
2
2
2
7
5
xy
yz
zx
x
y
z
成立，而以, ,
x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除
C ；对于
,
D
1,
1,
2
x
y
z
时，
2
2
2
8
5
xy
yz
zx
x
y
z
成立，存在以, ,
x y z 为边的三角形为直角三
角形，故D 错误，排除
,
D 故选B.
1．设
2
2
2
( )
,
( 1,1)
2
2
x
x
f x
x
x
，则（
）
A．
min
( )
1
f x
B．
max
( )
1
f x
C．
min
( )
1
f x
D．
max
( )
1
f x
【答案】D
【分析】对
( )
f x 变形后，利用基本不等式求解.
【详解】
( 1,1)
x
，则1
(0,2)
x
，
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(
1)
1
1
1
1
1
1
1
( )
2
1
2(
1)
2
2(
1)
2
2(1
)
2
2(1
)
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
，
当且仅当
0
x
时，等号成立，则
max
( )
1
f x
.
故选：D.
2．已知正数a，b 满足
1
a
b
，则
6
3
a
a
b
b
最小值为（
）
A．25
B．19
2 6
C．26
D．19
【答案】A
【分析】先进行化简得
3
9
6
4
ab
b
a
a
b
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b 满足
1
a
b
，
所以
6
3
3
4
9
3
4
9
9
4
6
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
ab
ab
b
b
a
a
b
9
4
9
4
13
13
2
25
b
a
b
a
a
b
a
b
，当且仅当9
4
b
a
a
b
，联立
1
a
b
，
即
3
2
,
5
5
a
b
时等号成立，
故选：A.
3．已知不等式
1
9
a
x
y
x
y
≥对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】由
1
1
a
xa
y
x
y
a
x
y
y
x
，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不
等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要
1
a
x
y
x
y
的最小值大于等于9 即可，
0
0
0
x
y
a
，
，
，
1
1
1
2
a
xa
y
x
y
a
a
a
x
y
y
x
，
当且仅当xa
y
y
x
即
y
ax 时等号成立，
2
1
9
a
a
，
2
a
或
4(
a
舍去)，即
4
a
所以正实数a 的最小值为4.
故选：B.
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【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
4．设
0
a
b
c
，则
2
2
1
1
2
10
25
(
)
a
ac
c
ab
a a
b
的最小值是
A．2
B．4
C．2 5
D．5
【答案】B
【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案.
【详解】解：
a
b
，
2
2
1
1
1
1
4
(
)
(
)
2
ab
a a
b
b a
b
a
b
a
b
，
当且仅当b
a
b
，即
2
a
b
时取等号，
2
2
1
1
2
10
25
(
)
a
ac
c
ab
a a
b
2
2
2
2
2
4
4
(
5 )
2
0
4
a
a
c
a
a
a
，
当且仅当
2
2,
5
a
a
c
取等号，即
2
a
，
2
2
,
2
5
b
c
取最小值，
可得
2
2
1
1
2
10
25
(
)
a
ac
c
ab
a a
b
的最小值：4，
故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题.
5．若
1
2
1
2
1
2
1
2
0
,0
,
1
a
a
b
b
a
a
b
b
且
，则下列代数式中值最大的是
A．
1 1
2 2
a b
a b
B．
1
2
1 2
a a
bb
C．
1 2
2 1
a b
a b
D．1
2
【答案】A
【详解】因为
1
2
1
2
1
2
1
2
0
,0
,
1
a
a
b
b a
a
b
b
2
2
1
2
1
2
1
2
1 2
1
(
)
(
)
2
2
2
a
a
b
b
a a
b b
1 1
2 2
1 2
2 1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
0
a b
a b
a b
a b
a
a b
a
a b
a
a
b
b
1 1
2 2
1 2
2 1
(
)
a b
a b
a b
a b
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1
2
1
2
1 1
2 2
1 1
2 1
1 2
2 2
1
(
)(
)
2(
)
a
a
b
b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
1 1
2 2
1
2
a b
a b
，综上可得
1 1
2 2
a b
a b
最大，故选A.
6．（多选题）已知
0
x
，
0
y
，且
2
6
x
y
xy
，则（
）
A．xy 的最大值为
2
B．x
y
的最小值为4 2
3
C．
1
1
2
1
x
y
的最小值为
2
2
D．
2
2
2
1
x
y
的最小值为16
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式有
2
6
2 2
x
y
xy
xy
xy
，结合换元法解一元二次不等式求
xy 范围，注意所得
范围端点取值判断A；由已知得(
2)(
1)
8
x
y
，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【详解】因为
0
x
，
0
y
，
所以
2
6
2 2
x
y
xy
xy
xy
，仅当
2
x
y
时，即
2,
1
x
y
等号成立，
令
0
t
xy
，则
2
2 2
6
(
3 2)(
2)
0
t
t
t
t
，故3 2
2
t
，
所以0
2
t
xy
，即0
2
xy
，仅当
2,
1
x
y
时右侧等号成立，
所以xy 的最大值为2 ，A 错误；
由
2
6
x
y
xy
，则
2
2
(
2)(
1)
8
xy
x
y
x
y
，
所以
(
2)
(
1)
3
2 (
2) (
1)
3
4 2
3
x
y
x
y
x
y
，
仅当
2
1
x
y
，即
2 2
2,
2 2
1
x
y
时等号成立，故x
y
的最小值为4 2
3
，B 正确；
由
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
x
y
x
y
，仅当
1
1
2
1
x
y
，即
2 2
2,
2 2
1
x
y
时等号成立，
所以
1
1
2
1
x
y
的最小值为
2
2
，C 正确；
由
2
2
(
2)(
1
1
)
1
2
2
6
x
x
y
y
，仅当
2
1
x
y
，即
2 2
2,
2 2
1
x
y
时等号成立，
所以
2
2
2
1
x
y
的最小值为16，D 正确.
故选：BCD
7．（多选题）已知正数a，b 满足
1
a
b
，则（
）
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A．ab 的最大值为1
4
B．1
1
a
b
的最小值为4
C．
a
b 的最小值为
2
D．
1
a
b
的最大值为1
【答案】AB
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项A，正实数a ，b 满足
1
a
b
，由基本不等式得
2
1
(
)
2
4
a
b
ab
，当且仅当
1
2
a
b
时
取等号，则A 正确；
对于选项B，1
1
2
2
2
4
a
b
a
b
b
a
a b
a
b
a
b
a
b
b a
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，则B 正确；
对于选项C，
2
(
)
2
1
2
1
2
a
b
a
b
ab
ab
a
b
，当且仅当
1
2
a
b
时取等号，即
2
a
b
，
则C 错误；
对于选项D，
1
0
a
b
，则0
1
b
，
1
1
1
1
1
1
1 2
1
a
b
b
b
b
b
b
b
，
当且仅当
1
b
b
，即
1
b 时，取等，但0
1
b
，故等号无法取到，故D 错误．
故选：AB.
8．已知
0,
0
a
b
，且
1
ab ，则1
1
8
2
2
a
b
a
b
的最小值为
．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为
8
2
a
b
a
b
，利用基本不等式即可求解.
【详解】
0,
0,
0
a
b
a
b
，
1
ab ,
1
1
8
8
2
2
2
2
ab
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
8
8
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
，当且仅当a
b
=4 时取等号，
结合
1
ab ,解得
2
3,
2
3
a
b
，或
2
3,
2
3
a
b
时，等号成立.
故答案为：4
9．已知实数a 、b 、c满足
0
a
b
c
，
2
2
2
1
a
b
c
，则a 的最大值为
.
【答案】
6
3
【详解】试题分析：因为
0
a
b
c
，所以
(
)
c
a
b
，
所以
2
2
2
[ (
)]
1
a
b
a
b
，
所以
2
2
2
2
2
1
0
b
ab
a
，
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由
2
2
4
4
2
2
1
0
a
a
，解得
6
6
3
3
a
≤
≤
，
故实数a 的最大值为
6
3
.
10．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac1
3 ；
（Ⅱ）
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由
2
2
2
a
b
ab
，
2
2
2
c
b
bc
，
2
2
2
a
c
ac
得：
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca
，
由题设得
，
即
2
2
2
2
2
2
1
a
b
c
ab
bc
ca
，
所以3(
)
1
ab
bc
ca
，即
1
3
ab
bc
ca
.
（Ⅱ）因为
2
2
a
b
a
b
，
2
2
b
c
b
c
，
2
2
c
a
c
a
，
所以
2
2
2
(
)
2(
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
a
，
即
2
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c
a
，
所以
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一
正二定三相等”.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
11．（1）若正数x，y 满足x＋y＋8＝xy，求xy 的取值范围．
（2）已知a，b，c 都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：
1
1
1
10
a
b
c
a
b
c
≥
．
【答案】（1）[16，＋∞)；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题得
8
2
8
xy
x
y
xy
，再解一元二次不等式得解.
（2）根据
1
a
b
c
化简
1
1
1
a
b
c
a
b
c
，利用均值不等式即可证明.
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【详解】（1）
8
2
8
xy
x
y
xy
，
即
2
2
8
0
xy
xy
，即(
4)(
2)
0
xy
xy
，解得
4
xy
，
所以
16
xy
，当且仅当
4
x
y
取等号
所以xy 的取值范围为[16,
)
（2）
, ,
a b c
都为正实数，且
1
a
b
c
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
3
b
c
a
c
a
b
a
b
c
a
a
b
b
c
c
4
4
2
2
2
10
b
a
c
a
c
b
b a
c a
c b
a
b
a
c
b
c
a b
a c
b c
，
当且仅当
1
3
a
b
c
时，等号成立，
所以
1
1
1
10
a
b
c
a
b
c
≥
.
12．（1）已知
0
x
，
0
y
，
2
x
y
，求4
1
x
y
的最小值；
（2）已知
1
0
4
x
，求
1
4
y
x
x
的最大值.
【答案】（1）9
2 （2）1
4
【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由题设知1 4
0
x
，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵
0
x
，
0
y
且
2
x
y
，
∴
4
1
1
4
1
2
x
y
x
y
x
y
1
4
1
4
9
5
5
2
2
2
2
y
x
y x
x
y
x
y
，
当且仅当4y
x
x
y
，即
4
3
x
，
2
3
y
时，等号成立，
∴4
1
x
y
的最小值为9
2 ；
（2）∵
1
0
4
x
，则1 4
0
x
，
∴
1
4
y
x
x
1
1 4
1 4
1
4
1 4
4
2
2
4
x
x
x
x
，
当且仅当4
1 4
x
x
即
1
8
x =
时等号成立.
∴
1
4
y
x
x
的最大值1
4 .
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13．汽车在隧道内行驶时，安全车距d （单位：m ）正比于车速v（单位：km/h ）的平方与车身长l（单位：
m ）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为70km/h 时，安全车距为19.6个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距d 与车速v 之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10 辆同一型号的货车，车身长为10m ，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道
起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为800m 的隧道用时最短?
【答案】(1)
2
0.5 ,0
5 5
0.004
,
5 5
l
v
d
v l v
(2)50km/h
【分析】（1）根据题意l 为定值，设比例常数为k ，则
2
d
kv l
，代入数值，得到
0.004
k
，令
2
0.004
0.5
v l
l
≥
，
则
5 5
v≥
，最后写出分段函数解析式即可；
（2）设通过隧道的时间为(h)
t
，则
900
9
1000
d
t
v
，分当0
5 5
v
和
5 5
v≥
两种情况，结合幂函数的性质及基
本不等式计算可得．
【详解】（1）根据题意l 为定值，设比例常数为k ，则
2
d
kv l
，
所以
2
19.6
70
l
kl
，所以
0.004
k
，
所以
2
0.004
d
v l
，令
2
0.004
0.5
v l
l
≥
，则
5 5
v≥
，
所以
2
0.5 ,0
5 5
0.004
,
5 5
l
v
d
v l v
.
（2）设通过隧道的时间为(h)
t
，则
800
10
9
900
9
1000
1000
l
d
d
t
v
v
．
①当0
5 5
v
时，
900
9
5
945
189 5
1000
5000
1000
5 5
t
v
．
②当
5 5
v≥
时，
2
5
5
900
0.36
36
2500
3600
9
1000
10
10
250
v
t
v
v
v
．
当且仅当2500 v
v
，即
50
v
时等号成立．
又189 5
9
5000
250
，
所以当
50
v
时用时最短．
答：当速度为50 km/h 时该车队通过该隧道用时最短．
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