专题07
函数的单调性和最值压轴题
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2 时，都有____________，那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递增，当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时，称它是增函数
当x1<x2 时，都有___________，那么
就称函数f(x)在区间I 上单调递减，
当函数f(x)在它的定义域上单调递减
时，称它是减函数
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上__________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性，区间I 叫做y＝f(x)的单调区间．
3.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D，都有____________；
(2)∃x0∈D，使得____________
(1)∀x∈D，都有__________；
(2)∃x0∈D, 使得____________
结论
M 为最大值
M 为最小值
4.与单调性有关的结论
(1)∀x1，x2∈D 且x1≠x2，有f（x1）－f（x2）
x1－x2
>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D 上单调递增(减)．
(2)在函数f(x)，g(x)的公共定义域上，有如下结论：
①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数；
②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数．
(3)若函数f(x)在区间D 上具有单调性，则f(x)在区间D 上具有以下性质：
①当a>0 时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0 时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；
②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与
1
f（x）
有相反的单调性；
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③若f(x)≥0，则f(x)与f（x）具有相同的单调性．
(4)“对勾函数”f(x)＝x＋p
x(p>0)的单调递增区间是(－∞，－p)，( p，＋∞)；单调递减区间是(－p，0)，(0，
p)．
题型一求函数的单调区间
例1.（1）函数
2
( )
6
8
f x
x
x
的单调递增区间为（
）
A．(
,3]
B．
3,4
C．
2,3
D．[3,
)
(2).若定义在R 上的函数
f
x 满足
2
3
2
f
x
f
x
x
x
，则
f
x 的单调递增区间为（
）
A．
, 10
和
0,1
B．
, 5
和
0,1
C．
10,0
和
1,
D．
5,0
和
1,
(3)．如果函数
y
f x
在区间I 上是增函数，而函数
f
x
y
x
在区间I 上是减函数，那么称函数
f
x 在区
间I 上为“缓增函数”，区间I 为
f
x 的“缓增区间”.若函数
2
2
4
f x
x
x
是区间I 上的“缓增函数”，则
f
x 的“缓增区间” I 为（
）
A．
1,
B．
2,
C．
0,1
D．
1,2
(4).已知函数
1
f x
x
a x
．（其中
0
a
）
(1)求函数
f
x 的单调增区间；
(2)若对任意
1
2
,
1,
1
x x
a
，使得
1
2
2
f
x
f
x
a
恒成立，求实数a 的取值范围．
练习题
(1).函数
2
5
4
y
x
x
的递增区间是(
)
A．
, 2
B．
5, 2
C．
2,1
D．
1,
(2).设函数
y
f x
在
,
上有定义，对于给定的正数K，定义函数
( ),
( )
( )
( )
k
f x
f x
K
f
x
K
f x
K
，
，取函数
| |
( )
1
x
f x
a
a
，当
1
K
a
时，函数
( )
kf
x 在下列区间上单调递减的是（
）
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A．
,0
B．
,a
C．
, 1
D．
1,
(3)．如果函数
y
f x
在区间I 上是减函数，且函数
f
x
y
x
在区间I 上是增函数，那么称函数
y
f x
是
区间I 上的“可变函数”，区间I 叫做“可变区间”.若函数
2
4
2
f
x
x
x
是区间I 上的“可变函数”，则“可变
区间” I 为（
）
A．
,
2
和
2,2
B．
2,2
C．0,
2
D．1, 3
题型二函数单调性的判断和证明
例2（1）.已知
2
( )
3
2 |
|, ( )
2
f x
x
g x
x
x
，构造函数
( ),( ( )
( ))
( )
( ),
( )
( )
g x
f x
g x
F x
f x
f x
g x
，关于
( )
F x 有以下结论：
①有最大值3，最小值1
②有最大值7
2 7
，无最小值
③递增区间为(
,2
7),(1, 3)
④最小值为1
其中正确结论的序号是：
.
(2).设函数
2
2
1
( )
, ,
R
a
f x
x
ax
b a b
x
x
.
(1)当
0
a
时，判断
( )
f x 在
0 1，上的单调性，并用定义法证明；
(2)对
4,
a
及
R
b
，总存在
0
1,2
x
，使得
0
(
)
f x
t
成立，求实数t 的取值范围.
练习题
（1）.已知定义在R 上的函数
f
x 对任意,
R
x y
都有
1
f x
y
f x
f
y
，且当
0
x
时，
1
f x ．
(1)求证：
f
x 在R 上是增函数；
(2)若
3
4
f
，关于x 的不等式
2
2
3
f
x
t
f
x
有解，求实数t 的取值范围．
（2).已知
f
x 的定义域为R ，对任意
R
x
y
，
都有
1
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，1
f x ，
1
0
f
.
(1)求
0 ,
1
f
f
；
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(2)证明：
f
x 在R 上是减函数；
(3)解不等式：
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
.
题型三已知单调性求参数
例3.（1）若函数
2
1
( )
2
8
f x
kx
x
在[1,2] 上单调递减，则正数k 的取值范围为（
）
A．[1,3)
(10,
)
B．[1,
)
C．[2,
)
D．[2,3)
(10,
)
(2).定义“函数
y
f x
是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数
,
D
y
f x
x
，对于给定的非零常数a ，总
存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有
af x
f x
T
恒成立，此时T 为
f
x 的周期. 若
y
f x
是
1,上的a 级类周期函数，且
1
T ，当
1,2
x
时，
2
2
1
x
f x
x
,且
y
f x
是
1,上
的单调递增函数，则实数a 的取值范围为
A．5 ,
6
B．
2,
C．10 ,
3
D．
10,
(3).设函数
( )
y
f x
和
(
)
y
f
x
，若两函数在区间
,
m n 上的单调性相同，则把区间
,
m n 叫做
( )
y
f x
的“稳
定区间”.已知区间[1,2021]为函数
1
2
x
y
a
的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（
）
A．[ 2, 1]
B．1 ,2
2
C．
1
2,
2
D．[1,2]
题型四
函数的单调性与最值及值域
例4(1).定义：
min
,a b 表示a ，b 两数中较小的数．例如
min 2,4
2
.已知
2
( )
min
,
2
f x
x
x
，
( )
2
(
)
x
g x
x
m m
R ，若对任意
1
[ 2,0]
x
，存在
2
[1,2]
x
，都有
1
2
f x
g x
成立，则m 的取值范围为
（
）
A．[ 4,
)
B．[ 6,
)
C．[ 7,
)
D．[ 10,
)
(2).已知函数
3
3
f x
bx
b
x
在
1,1
上的最小值为3
，则实数b 的取值范围是（
）
A．
, 4
B．
9,
C．
4,9
D．
9 ,9
2
(3).已知函数
2
f
x
x
ax
b
，当
2,2
x
时设
f
x 的最大值为
,
M a b ，则当
,
M a b 取到最小值时
a
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（
）
A．0
B．1
C．2
D．
1
2
（1）设函数
( )
3
f x
m
x
，若存在实数, (
)
a b a
b
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域为[ , ]
a b ，则实数m 的取值范
围是（
）
A．
9 , 2
4
B．
5
2,
4
C．
9
3,
4
D．
9
5
,
4
4
(2).设
2
( )
min 2 ,16
,
8
16 (
0)
x
f x
x x
x
x
，其中
min
, ,
a b c 表示a，b，c 三个数中的最小值,则
( )
f x 的最
大值为
A．6
B．7
C．8
D．9
(3).已知函数
4
( )
,
[ ,
)
a
f x
x
b x
b
x
，其中
0,
b
a
R
，记M 为
( )
f x 的最小值，则当
2
M
时，a 的取
值范围为（
）
A．
1
3
a
B．
1
3
a
C．
1
4
a
D．
1
4
a
(4).若函数
f
x 在区间
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称函数
f
x 为“和谐函数”.已知
2
f
x
x
m
是区间
,a b 上的“和谐函数”（其中
2
b
a
），则实数m 的取值范围（
）
A．
0,1
B．1 ,1
2
C．
1
0, 2
D．1 2
,
2 3
题型五
创新提升能力题
1.已知函数
3
1
2
f
x
x
x
，若关于x 的不等式
1
f x
x
恒成立，则实数的最大值为（
）．
A．
1
2
B．3
4
C．1
D．5
4
2.已知函数
18 ,2
12
2
15
12
,12
18
2
x
x
x
f x
ax
a
x
，若对于任意的实数
1
x 、2
x 、
3
2,18
x
，均存在以
1
f x
、
2
f x
、
3
f x
为三边边长的三角形，则a 的取值范围是（
）
A．
3
5
4
12
a
B．
5
3
12
4
a
C．
3
0
4
a
D．
3
0
4
a
3.对于函数
( )
y
f x
，若存在定义域D 内某个区间[ , ]
a b ，使得
( )
y
f x
在[ , ]
a b 上的值域也是[ , ]
a b ，则称函
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数
( )
y
f x
在定义域D 上封闭.如果函数
( )
(
0)
1 |
|
kx
f x
k
x
在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是
.
4.已知函数
2
2
2
( )
2 4
2
, ( )
1 (
) , ,
R
f x
ax
b
b x g x
x
a
a b
.
(1)当
0
b
时，若
( )
f x 在(
,2]
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)求满足下列条件的所有整数对( , )
a b ，存在
0x ，使得
0
f
x
是
( )
f x 的最大值，
0
g x
是( )
g x 的最小值；
(3)对满足（2）中的条件的整数对( , )
a b ，函数( ) |
( )
2 ( )
|
h x
f x
g x
t
在定义域上的最大值为2，求t 的值.
5.已知函数
2
f
x
x
a
.
(1)若
4
a
，记函数
f
x
h x
x
.当
0
x
时，写出
h x 的增区间.（不需要证明）；
(2)记函数
4
3
m x
x
f
x
.若
m x 在区间
1,1
上最大值是2，求a 的值；
(3)记函数
f x
g x
x
，对
0,1
x
，有
1
1
g x g
x
成立，求实数a 取值范围.
1.关于函数
( )
2
3|
2|
f x
x
x
的单调递增区间为（
）
A．(
,2]
-
B．(
,4]
-
C．[2,
)
D．[4,
)
2.已知函数
f x
x x
，若对任意的
,
2
x
t t
，不等式
3
f x
t
f x
恒成立，则实数t 的取值范围是
（）
A．
2 3
2,
B．
2 3
2,
C．0,2 3
2
D．2 3
2,2 3
2
3.已知函数
( ) |
2|
| 2
1| (
)
f x
x
a
x
a
R
.若存在x
R
，使得不等式
f x
a
成立，则实数a 的取值范围是
（
）
A．
5
, 2
B．
5
0,2
C．
0,
D．1 5
,
2 2
4.已知函数
f x
x
,
2
g x
ax
x
,其中
0
a
,若
1
1,2
x
,
2
1,2
x
,使得
1
2
1
2
f
x
f
x
g x
g x
成立,
则
a
A．1
B．
1
2
C．2
3
D．3
2
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5.若函数
y
f x
在区间I 上是增函数，且函数
f
x
y
x
在区间I 上是减函数，则称函数
f
x 是区间I 上的
“H 函数”．对于命题：①函数
2
f x
x
x
是
0,1 上的“H 函数”；②函数
2
2
1
x
g x
x
是
0,1 上的“H
函数”．下列判断正确的是（）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为假命题, ②为真命题
D．①为真命题, ②为假命题
6.已知函数
3
2,
0
( )
3,
0
x
x
f x
x
x
，( )
5
2 (
0)
g x
kx
k k
，若对任意的
1
[ 1
x ，1]，总存在
2
[ 1
x ，1]使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，则实数k 的取值范围为（
）
A．(0,2]
B．
2
(0,
]
3
C．(0,3]
D．(1,2]
7.对于定义域为I 的函数，如果存在区间
,
m n
I
，同时满足下列两个条件：
①
( )
f x 在区间
,
m n 上是单调的；
②当定义域是
,
m n 时，
( )
f x 的值域也是
,
m n ，则称
,
m n 是函数
( )
y
f x
的一个“黄金区间”.
如果
,
m n 可是函数
2
2
1
(
0)
a
a x
y
a
a x
的一个“黄金区间“，则n
m
的最大值为（
）
A．
3
3
B．1
C．2 3
3
D．2
8.已知函数
f x
x x
a
．
(1)当
2
a
时，求
f
x 的增区间；
(2)若
1
2
,
[0,2]
x x
，都有
1
2
2
f
x
f
x
，求实数a 的取值范围．
9.已知
f
x 定义域为R ，对任意,
R
x y
都有
1
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，1
f x ，
1
2
f
．
(1)试判断
f
x 在R 上的单调性，并证明
(2)解不等式：
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
10．设函数
2
( )
(
1) |
| 3(
)
f x
x
x
x
a
a
R ．
（1）当
0
a
时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数
f
x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；
（3）若对
x
R ，不等式
2
f x
x
≥
恒成立，求a 的取值范围．
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11.已知函数
( )
(
0)
a
f x
x
a
x
具有如下性质:在(0,
]
a 上是减函数,在[
,
)
a 上是增函数.
（1）若函数
2 (
0)
b
y
x
x
x
的值域为[6,
)
,求b 的值;
（2）已知函数
2
4
12
3
( )
2
1
x
x
f x
x
,
[0,1]
x
,求函数
( )
f x 的单调区间和值域;
（3）对于（2）中的函数
( )
f x 和函数( )
2
g x
x
c
,若对任意
1
[0,1]
x
,总存在
2
[0,1]
x
,使得
2
1
g x
f
x
成
立,求实数c 的值.
12.已知函数
0
1
ax
g x
a
x
在区间1 ,1
5
上的最大值为1．
(1)求实数a 的值；
(2)若函数
2
1
0
x
b
f x
b
b
g x
，是否存在正实数b ，对区间1 ,1
5
上任意三个实数r、s、t，都存
在以
f g r
、
f g s
、
f g t
为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
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