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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题03 二次根式的概念与性质 模块一、二次根式的概念 重难点一、二次根式的识别 判定依据：式子同时满足两点，一是带有二次根号 “ ”，二是被开方 数为非负数。识别题目不要只看根号，需要观察被开方数取值范围。注意 才是标 准二次根式，像 不是二次根式；同时区分四次根式等其他根式，避免混淆。 1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）下列各式一定是二次根式的是（ ） A．a B． 7 − C．7 D．3 7 2．（25-26 八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． 3 − B． x C． a b − D．3.5 3．（25-26 八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ） A． 2 − B． 3 27 − C． 2026 a + D． 2 2026 x + 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 4．（21-22 八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有( ) ① 3 5 ，② 2 −，③ 4 3 x + ，④3 27 ，⑤ 2 1 5 （- ），⑥ ( ) 3 2 2 x x − ，⑦ 2 2 3 − + x x A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 5．（25-26 九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式： ( ) 2 3 32; 6; 2 12; 0 ; 1; 5 m m a − − + ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ．其中二次根式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（ ） ① 1 3 ；② 3 −；③ 2 1 x − + ；④3 8 ；⑤ 2 1 3 ；⑥6 1 x − ；⑦ 2 2 3 x x + + ． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式： 2 a ， 4 2a ， 6 3a ， 8 2a ， 10 5a ，……；第n 个单项式为（ ） A． n na B． 2 1 n n a + C． 2n na D． 2 1 n na + 8．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式： 3 5 7 9 11 , 2 , 3 , 4 , 5 , a a a a a ；第n 个单项式为（ ） A． n na B． 2 1 1 n n a − + C． 2 1 n na + D． 2 1 n na − 重难点二、求二次根式的值 先确定被开方数数值，借助 进行计算。代入数值前，先检验被开方 数是否非负，保证根式有意义。若含有字母，结合已知条件判断符号，化简后再求值；运 算遵循实数运算顺序，最终结果保持最简形式，不可保留能开方的因式。 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）当 3 x − = 时，二次根式 19 x + 的值为（ ） A．4 B．4 − C．4 D．16 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式 2 1 x + 的值是有理数，则x 的值可以是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为 “自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间t （s）和下落高度h （m）之间满足关系式 2h t g = ，其中 2 10m/s g = （不考虑空气阻力），当物体从70m 高处做自由落体运动时，下落的时间t 介于 （ ） A．3s 和4s之间 B．4s和5s 之间 C．5s 和6s之间 D．6s 和7s之间 4．（24-25 八年级上·重庆·期中）已知3 3 2 8 5 3 0 a b −+ − = ，则6 9 a b − 的值为（ ） A．9 B．9 C．3 D．3 ± 5．（23-24 八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）观察分析下列各数：0 ，3 ，6 ，3，12 ，15 ，18 ， 根据其中的规律，则第10 个数是（ ） A． 21 B．24 C． 27 D． 28 6．（22-23 八年级下·浙江宁波·阶段检测）当 4 x = −时，代数式16 2x − 的值为________． 7．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）当 3 x = 时，二次根式1 x + 的值为__________． 8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）当 1 x = 时，二次根式11 2x − 的值为________． 9．（2024·四川德阳·中考真题）二次根式( ) 2 3 − 的值是 _________． 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 10．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）当x 的值为_________时， 2 4 9 x − + 的值最大，这个最大值为 _________． 11．（20-21 八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知 3 xy = ，则 x y y x y x + = ________． 重难点三、求二次根式中的参数 根据二次根式定义列出不等式：被开方数≥0；若同时存在分母，额外增加 分母≠0 的限制条件。联立不等式求解参数取值范围，有多个限制条件时取解集的公共部 分。求出范围后检验边界数值，确认能否取等号，防止出现增根。 1．（25-26 八年级下·山东菏泽·期中）若72n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a 是正整数，且二次根式10 a − 的值是整数，则正整数a 所有可能的值的和为（ ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．（25-26 八年级下·天津西青·期末）已知 5 n + 是整数，则正整数n 的最小值为____________． 4．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x 是正整数，且18x 是整数，则x 的最小值是_________． 5．（25-26 八年级下·湖北·期中）已知18 n − 是整数，写出一个符合题意的自然数n 的值：_______． 6．（24-25 八年级下·吉林松原·阶段检测）若二次根式1 2 a − = ，则a =_______． 7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式 12 5 a a + + 与 4 3 a b + 相等，则a b + =_______． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y 满足 2 2 ,| 3| 0 x x x y − = − − − + = ，则 y x 的值为 __________． 9．（23-24 九年级上·浙江温州·自主招生）若n 是整数，且 2 9 28 n n + + 是自然数，则n 的值是 __________． 10．（21-22 八年级下·北京西城·期中）已知n 是正整数 ．．．，18 2n − 是整数 ．．，则满足条件的所有n 的值为 __________． 11．（25-26 八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式 2 4 x − ，回答下列问题： (1)当x 为何值时，该二次根式有意义？ (2)当 6 x = 时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为2 时，求x 的值． 模块二、二次根式有意义的条件 重难点一、二次根式有意义的条件 核心规则：二次根式 有意义，要求被开方数a≥0。如果式子同时包含分 式、多个二次根式，需分别列出不等式组：每个根号内代数式≥0，分母不等于 0。求出 所有不等式解集，取交集，得到自变量取值范围，做题不要遗漏隐藏限制条件。 1．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）下列各数中，可使式子 7 x − 有意义的x 的值是（ ） A．1 − B．3 C．5 D．9 2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）若a 是二次根式，则a 的值可能是（ ） A．3 − B．2 − C．1 − D．0 3．（2022 八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）若二次根式 2 x− 有意义 ．．．，则x 的取值范围是（ ） 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A． 2 x B． 2 x C． 2 x D． 2 x 4．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）当 3 x = 时，下列二次根式没有意义的是（ ） A． 4 x − B． 4 x − C．3 x + D．3 x − 5．（2022 七年级·湖南长沙·竞赛）代数式 x ＋ 1 x−＋ 2 x− 的最小值是（ ） A．0 B．1＋2 C．1 D．2 6．（22-23 九年级上·浙江宁波·阶段检测）当a _________时，式子3 a − 在实数范围内有意义． 7．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）当x =_____时二次根式12 x − 有最小值． 8．（21-22 九年级下·云南曲靖·期中）若,x y都是实数，且 6 6 3 y x x = − + − + ，则x y + 的算术平方根 是______． 9．（2022 九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数a 满足 2023 | 2022 | a a a − + − = ，则 2 2022 a − 的值为 ________________； 10．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）若 2027 2026 m m m − + − = ，则 2 2026 m − = ______． 模块三、二次根式的性质 重难点一、利用二次根式的性质化简 熟练掌握两条核心性质： 。化简 关键先判断字 母正负；正数绝对值为本身，负数绝对值取相反数。化简前挖掘题干隐含条件确定取值范 围，去掉绝对值符号，最终结果保证不含平方因式。 1．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）计算( ) 2 4 − 的结果为（ ） 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．4 − C．2 D．2 − 2．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（ ） A． 2 10 10 = − B．( ) 2 10 10 − = − C．( ) 2 10 10 − = D．( ) 2 10 10 − = 3．（25-26 八年级下·吉林·期末）计算( ) 2 2 − 的结果是（ ） A．2 B．2 C．4 D．2 4．（2026·安徽芜湖·三模）下列计算正确的是（ ） A． 2x x = B．( ) 3 3 x x − = − C． ( ) 3 2 5 x x x − = D．( ) 2 3 6 x x − = − 5．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）若2 2 a − ，则化简( ) ( ) 2 2 5 5 a a + + − 的结果为（ ） A．2a B．2 5 C．2 5 − D．2a − 6．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 ( ) ( ) 2 2 2 a b a b + − − 的结果是（ ） A．2a − B．0 C．2b D．2 2 − a b 7．（21-22 八年级下·辽宁盘锦·期中）化简：( ) 2 3 π − = _______________． 8．（25-26 七年级下·重庆·期末）已知a b c 、、在数轴上的位置如图所示，化简： ( ) ( ) 2 2 b a c a − + − = ______． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 重难点二、复合二次根式的化简 复合根式化简优先分层处理，先判断每层被开方数正负。遇到多层根号，由 内向外逐步化简，常结合 去掉根号。借助题目条件判定字母符号，准确去掉绝对 值；化简完成后回代检验，保证每一层根式内数值均为非负数。 1．（24-25 九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知 4 1 5 a a + + −= ，则6 2 a − = （ ） A．3 1 − B．3 1 + C．5 1 − D．2a 2．（25-26 八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一 个式子平方的形式，如： ( ) 2 3 2 2 1 2 + = + ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2 + = + + = + ，则3 2 2 1 2 + = + 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若16 8 3 3 a b − = − 则a =___________，b = ___________． 3．（25-26 八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：3 2 2 − =____________________． 4．（25-26 八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ( ) 2 3 2 2 1 2 1 2 + = + = + ； ( ) 2 5 2 6 2 3 2 3 + = + = + ； ( ) 2 7 2 12 3 4 3 2 + = + = + ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：13 2 42 + =_______； (2)化简10 4 6 − ，并写出化简过程． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如 2 m n 的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如 2 2 3 2 2 ( 2) 2 2 1 ( 2 1) 2 1 + = + + = + = + ； (1)填空10 4 6 + = ____________； (2)化简 29 8 13 − ，并写出化简过程． 6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答： ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 3 2 2 − = − + = − + = − ， 反过来， ( ) 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 − = − + = − ． ( ) 2 3 2 2 2 1 − = − ，3 2 2 2 1 − = −． (1)仿照上述过程，化简：5 2 6 − ； (2)若 2 m n a b + = + ，直接写出 , m n与,a b 之间的关系． 7．（24-25 八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子 可以化成另一个式子的平方，如： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 6 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 + = + + = + + = + ； ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 2 7 1 7 2 1 7 1 7 2 1 7 1 7 + = + + = + + = + ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将4 2 3 + 化成了( ) 2 1 x + ，则x =__________， 4 2 3 + =__________． (2)请运用小明的方法化简 7 4 3 − ． 8．（24-25 八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如 2 m n 的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a b m + = ，ab n = ， 这样( ) ( ) 2 2 a b m + = ， a b n = ， 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 那么便有 ( ) 2 2 ( ) m n a b a b a b = = ． 例如：化简 7 4 3 + ． 解：首先把 7 4 3 + 化为7 2 12 + ，这里 7 m = ， 12 n = ． 由于4 3 7 + = ，4 3 12 ? ，( ) ( ) 2 2 4 3 7 + = ， 4 3 12 = ( ) 2 7 4 3 7 2 12 4 3 2 3 + = + = + = + ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1) 11 2 30 − ； (2) 7 40 + ． 9．（25-26 八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇 到如 2 3 1 + 的式子，其实我们还可以将其进一步 化简： ( ) ( )( ) 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 − = + + − ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 1 − = − ( ) 2 3 1 2 − = 3 1 = − 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 2 a b 的化简，只要我们找到两个正数 ( ) x y x y 、 ，使 x y a xy b + = = 、 ，则∶ ( ) 2 2 a b x y xy = + = √(√𝑥)² + (√𝑦)² ± 2√𝑥⋅√𝑦 = √(√𝑥± √𝑦)² ( ) x y x y = 我们就称 2 a b 为“理想二次根式”，则上述过 程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 1 2 2 3 4 2 3 m n = = + − ， ，求m n + 的值 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 ( ) 2 6 5 5 a m n + = + ，且a，m，n 为正整数，求a 的值． 10．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 2 6 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 + = + + = + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 7 2 10 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 − = + − = + − = − 【类比归纳】 (1)① ( ) 2 4 2 3 1 3 2 1 3 1 − = + − = + （______）2 1 3 − =（______ 3 − ）2； ②10 2 21 + =（_____+______）2； (2)若 ( ) 2 2 + = + a b m n ，当, , , a b m n 均为正整数时，用含 , m n的式子分别表示,a b ，得a = __________，b = __________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形DHFM 的面积为( ) 2 8 2 15 cm − ，正方形BEFG的面积为( ) 2 23 4 15 cm + ，求正方形 ABCD的面积．
