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重难点专题03 二次根式的概念与性质
模块一、二次根式的概念
重难点一、二次根式的识别
判定依据：式子同时满足两点，一是带有二次根号 “
”，二是被开方
数为非负数。识别题目不要只看根号，需要观察被开方数取值范围。注意
才是标
准二次根式，像
不是二次根式；同时区分四次根式等其他根式，避免混淆。
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．a
B．
7
−
C．7
D．3 7
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式有意义的条件、二次根式的识别
【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据
此逐一判断选项即可
【详解】解：二次根式的定义为：形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方
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数为非负数两个条件
选项A 中，当
0
a
时，
a 无意义，不一定是二次根式，不符合要求；
选项B 中，被开方数7
0
−
，
7
−无意义，不是二次根式，不符合要求；
选项C 中，根指数为2，被开方数7
0
，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求；
选项D 中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求
2．（25-26 八年级下·吉林·期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A．
3
−
B．
x
C．
a
b
−
D．3.5
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二次根式的识别
【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数．
A、
3
−中的3
0
−
，不符合被开方数为非负数，故
3
−不是二次根式，选项A 不符合题意；
B、
x 中的x ，当
0
x
时不符合被开方数为非负数，故
x 不是二次根式，选项B 不符合题意；
C、
a
b
−
中的a
b
−
，当a
b
时，
0
a
b
−
，不符合被开方数为非负数，故
a
b
−
不是二次根式，选项C
不符合题意；
D，3.5 中的3.5
0
，符合被开方数为非负数，故3.5 是二次根式，选项D 符合题意．
3．（25-26 八年级下·山东聊城·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．
2
−
B．
3 27
−
C．
2026
a +
D．
2
2026
x +
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二次根式的识别
【分析】一般地，形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：
2
−被开方数为负，
3 27
−
根指数为3，均不是二次根式．
当
2026
a −
时，
2026
a +
的被开方数小于0，不是二次根式．
∵
2
0
x
，
∴
2
2026
2026
0
x +
∴
2
2026
x +
一定是二次根式．
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4．（21-22 八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有( )
①
3
5
，②
2
−，③
4
3
x +
，④3 27 ，⑤
2
1
5
（- ），⑥
(
)
3
2
2
x x
−
，⑦
2
2
3
−
+
x
x
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【难度】0.8
【知识点】二次根式的识别
【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐
个判断即可得出结果．
【详解】解：①
3
5
，
3
0
5
，根指数为2，是二次根式．
②
2
−，
2
0
−
，不是二次根式．
③
4
3
x +
，
4
0
x
，
4
3
0
x
+
，根指数为2，是二次根式．
④3 27 ，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式．
⑤
2
1
5
−
，
2
1
1
0
5
25
−
=
，根指数为2，是二次根式．
⑥3
2 (
2)
x x
−
，
2
x
，
3 2
0
x
−
，不是二次根式．
⑦
2
2
3
x
x
−
+
，配方得
(
)
2
2
2
3
1
2
x
x
x
−
+
=
−
+
，
(
)
2
1
0
x −
，(
)
2
1
2
0
x
−
+
，根指数为2，是二次
根式．
综上，符合条件的二次根式共4 个．
5．（25-26 九年级下·辽宁辽阳·开学考试）给出下列各式：
(
)
2
3
32;
6;
2
12;
0 ;
1;
5
m m
a
−
−
+
①
②
③
④
⑤
⑥
．其中二次根式的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【难度】0.78
【知识点】二次根式的识别
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如
(
)
0
a a
的式子叫做二次根式．
【详解】解：①∵32
0
，∴
32 是二次根式；
②6 不是二次根式；
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③∵12
0
−
，∴2
12
−
不是二次根式；
④∵
0
m
，∴
0
m
−
，∴
(
)
0
m m
−
是二次根式；
⑤∵
2
1
0
a +
，∴
2
1
a + 是二次根式；
⑥3 5 是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3 个．
6．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（ ）
①
1
3
；②
3
−；③
2
1
x
−
+ ；④3 8 ；⑤
2
1
3
；⑥6 1
x
−
；⑦
2
2
3
x
x
+
+
．
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【难度】0.75
【知识点】二次根式的识别
【分析】根据二次根式的定义（形如a 且
0
a
的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条
件，统计符合的个数即可．
【详解】解：根据二次根式的定义是形如a （
0
a
）的式子，需满足根指数为2 且被开方数非负，
①
1
3
：被开方数1
0
3
，根指数为2，是二次根式，
②
3
−：被开方数3
0
−
，无意义，不是二次根式，
③
2
1
x
−
+ ：
2
0
x
，
2
1
1
0
x
+
，根指数为2，是二次根式，
④3 8 ：根指数为3，是三次根式，不是二次根式，
⑤
2
1
3
：被开方数
2
1
1
0
3
9
=
，根指数为2，是二次根式，
⑥6 1
x
−
：被开方数1
x
−
的取值随x 变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根
式，
⑦
2
2
3
x
x
+
+
：
(
)
2
2
2
3
1
2
x
x
x
+
+
=
+
+
，(
)
2
1
0
x +
，(
)
2
1
2
2
0
x
+
+
，根指数为2，是二次根
式，
∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4 个．
故选：C．
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7．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）按一定规律排列的单项式：
2
a ，
4
2a ，
6
3a ，
8
2a ，
10
5a ，……；第n 个单项式为（ ）
A．
n
na
B．
2
1
n
n
a
+
C．
2n
na
D．
2
1
n
na
+
【答案】C
【难度】0.75
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、二次根式的识别
【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n 个单项式的表达式．
【详解】解：将已知单项式按序号整理可得：
第1 个：
2
2 1
1
a
a
=
，
第2 个：
4
2 2
2
2
a
a
=
，
第3 个：
6
2 3
3
3
a
a
=
，
第4 个：
8
2 4
2
4
a
a
=
，
第5 个：
10
2 5
5
5
a
a
=
，
...
根据规律可得，第n 个单项式的系数为n ，a 的次数为2n ，
∴第n 个单项式为
2n
na
．
8．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：
3
5
7
9
11
, 2
, 3
, 4
, 5
,
a
a
a
a
a
；第n
个单项式为（ ）
A．
n
na
B．
2
1
1
n
n
a
−
+
C．
2
1
n
na
+
D．
2
1
n
na
−
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数、单项式规律题、二次根式的识别
【分析】分别找出单项式的系数和字母指数的规律，即可得到第n 个单项式．
【详解】解：将单项式分为系数和a 的指数两部分分别找规律：
1
n = 时，第1 个单项式为
3
2 1 1
1
a
a +
=
；
2
n =
时，第2 个单项式为
5
2 2 1
2
2
a
a +
=
；
3
n = 时，第3 个单项式为
7
2 3 1
3
3
a
a +
=
；
...
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∵系数部分根号内的数随序号变化，
第n 个单项式的系数部分为
n ；
a 的指数为连续奇数，第n 个单项式中a 的指数为2
1
n+ ；
∴第n 个单项式是
2
1
n
na
+ ．
重难点二、求二次根式的值
先确定被开方数数值，借助
进行计算。代入数值前，先检验被开方
数是否非负，保证根式有意义。若含有字母，结合已知条件判断符号，化简后再求值；运
算遵循实数运算顺序，最终结果保持最简形式，不可保留能开方的因式。
1．（25-26 八年级下·全国·暑假作业）当
3
x
−
=
时，二次根式
19
x +
的值为（ ）
A．4
B．4
−
C．4
D．16
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】求二次根式的值
【分析】将给定x 的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解：将
3
x
−
=
代入二次根式
19
x +
可得
19
3 19
16
4
x +
=
−+
=
=
．
2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式
2
1
x + 的值是有理数，则x 的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二次根式的值
【分析】将各选项的x 依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案．
【详解】解：将各选项x 的值分别代入2
1
x+ 计算判断：
∵当
4
x = 时，2
1
2 4 1
9
x+ = + =
，9
3
=
，3 是有理数，符合要求；
当
3
x = 时，2
1
7
x + =
，7 是无理数，不符合要求；
当
2
x =
时，2
1
5
x+ =
，5 是无理数，不符合要求；
当
1
x = 时，2
1
3
x+ =
，3 是无理数，不符合要求．
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3．（2026·山西晋中·二模）伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为
“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间t （s）和下落高度h （m）之间满足关系式
2h
t
g
=
，其中
2
10m/s
g =
（不考虑空气阻力），当物体从70m 高处做自由落体运动时，下落的时间t 介于
（ ）
A．3s 和4s之间
B．4s和5s 之间
C．5s 和6s之间
D．6s 和7s之间
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、求二次根式的值
【分析】将已知的h 和g 代入公式得到t 的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t 的范围即可
【详解】解：∵
70m
h =
，
2
10m/ s
g =
，
代入公式
2h
t
g
=
得：
2 70
14
10
t
=
=
，
又∵
2
3
9
=
，
2
4
16
=
，且 9
14
16
，
∴
9
14
16
，即 3
4
t
，
∴ t 介于3s 和4s之间
4．（24-25 八年级上·重庆·期中）已知3
3
2
8
5 3
0
a
b
−+
−
=
，则6
9
a
b
−
的值为（ ）
A．9
B．9
C．3
D．3
±
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】相反数的定义、立方根概念理解、求二次根式的值
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得2
8
a −与
5
3b
−
互为相反数，即得2
8 5 3
0
a
b
−+ −
=
，得到2
3
3
a
b
−
= ，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的
性质得到2
3
3
a
b
−
= 是解题的关键．
【详解】解：∵3
3
2
8
5 3
0
a
b
−+
−
=
，
∴2
8
a −与5
3b
−
互为相反数，
∴2
8 5 3
0
a
b
−+ −
=
，
∴2
3
3
a
b
−
= ，
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∴
(
)
6
9
3 2
3
3 3
3
a
b
a
b
−
=
−
=
=
，
故选：C ．
5．（23-24 八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）观察分析下列各数：0 ，3 ，6 ，3，12 ，15 ，18 ，
根据其中的规律，则第10 个数是（ ）
A．
21
B．24
C．
27
D．
28
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数字类规律探索、求二次根式的值
【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3 是解题的关键．
【详解】解：∵0 ，3 ，6 ，3，12 ，15 ，18 ，
∴第n 个数为3
3
n −
，
∴第10 个数是3 10
3
27
−
=
，
故选C．
6．（22-23 八年级下·浙江宁波·阶段检测）当
4
x = −时，代数式16
2x
−
的值为________．
【答案】2 6
【难度】0.95
【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简
【分析】将
4
x = −代入代数式，再根据二次根式的化简法则计算即可得到结果．
【详解】当
4
x = −时，
(
)
16
2
16
2
4
16
8
24
2 6
x
−
=
−−
=
+
=
=
．
7．（25-26 八年级下·浙江金华·期末）当
3
x = 时，二次根式1
x
+
的值为__________．
【答案】2
【难度】0.95
【知识点】求二次根式的值
【详解】解：当
3
x = 时，1
1 3
4
2
x
+
=
+
=
=
．
8．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）当
1
x = 时，二次根式11 2x
−
的值为________．
【答案】3
【难度】0.95
【知识点】求二次根式的值
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【分析】将x 的值代入二次根式计算化简即可．
【详解】解：∵
1
x = ，
∴11 2
11 2
9
3
x
−
=
−
=
=
．
9．（2024·四川德阳·中考真题）二次根式(
)
2
3
−
的值是 _________．
【答案】
3
【难度】0.95
【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简
【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：(
)
2
3
9
−
=
，
因此(
)
2
3
9
3
−
=
= ．
10．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）当x 的值为_________时，
2
4
9
x
−
+
的值最大，这个最大值为
_________．
【答案】 0 1
【难度】0.85
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握
0
a
是解题的关键，
当
2
9
x +
最小时，
2
4
9
x
−
+
的值最大，求出答案即可．
【详解】解：因为
2
4
9
x
−
+
的值最大，
所以
2
9
x +
最小时，符合题意，
即当
0
x =
时，
2
4
9
4
3
1
x
−
+
=
−
= ，此时
2
4
9
x
−
+
的值最大，
所以当x 的值为0 时，
2
4
9
x
−
+
的值最大，最大值为1．
故答案为：0，1．
11．（20-21 八年级下·湖北荆门·阶段检测）已知
3
xy =
，则
x
y
y
x
y
x
+
= ________．
【答案】2 3
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【难度】0.65
【知识点】求二次根式的值
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵
3
xy =
，
∴x 与y 同号，
①当
0
x
，
0
y
时，
原式
xy
xy
y
x
y
x
=
+
xy
xy
=
+
3
3
=
+
2 3
=
；
②当
0
x
，
0
y
时，
原式
xy
xy
y
x
y
x
=
+
−
−
xy
xy
= −
−
3
3
= −
−
2 3
= −
，
故答案为：2 3
．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
重难点三、求二次根式中的参数
根据二次根式定义列出不等式：被开方数≥0；若同时存在分母，额外增加
分母≠0 的限制条件。联立不等式求解参数取值范围，有多个限制条件时取解集的公共部
分。求出范围后检验边界数值，确认能否取等号，防止出现增根。
1．（25-26 八年级下·山东菏泽·期中）若72n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
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【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求二次根式中的参数、化为最简二次根式
【分析】先对72 分解因数，将根号内整理为平方数与剩余因数乘积的形式，根据二次根式结果为整数的
要求，即可求出最小正整数n．
【详解】解：∵
2
72
6
2
=
∴
2
72
6
2
6 2
n
n
n
=
=
∵72n 是整数，且n 为正整数
∴
2n 是整数，即2n 为完全平方数
∴ 正整数n 的最小值为2 ．
2．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a 是正整数，且二次根式10
a
−
的值是整数，则正整数a
所有可能的值的和为（ ）．
A．24
B．26
C．28
D．30
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数
【分析】根据10
a
−
是整数，求出a 的取值范围，再根据a 是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a 是正整数，10
a
−
的值是整数，
∴0
10
a
，
当10
0
a
−
=
时，即
10
a =
，
当10
1
a
−
= 时，即
9
a =
，
当10
4
a
−
=
时，即
6
a =
，
当10
9
a
−
= 时，即
1
a = ，
综上所述，正整数a 的值可以是10，9，6，1，
∴所有可能的a 之和为10
9
6
1
26
+
+
+
=
．
3．（25-26 八年级下·天津西青·期末）已知
5
n +
是整数，则正整数n 的最小值为____________．
【答案】4
【难度】0.85
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【知识点】求二次根式中的参数
【详解】解：
n
是正整数，
5
n +
是整数，
5
n
+ 是完全平方数，
∵大于5的最小完全平方数是9，
∴
5
9
n+ =
，
解得
4
n =
．
4．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期中）已知x 是正整数，且18x 是整数，则x 的最小值是_________．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】先根据二次根式的性质化简为：3 2x ，由题意可知，
2x 必须是整数，即2x 必须是一个完全
平方数，当
2
x =
时，2
2 2
4
x = =
，4 是完全平方数，进而得出答案．
【详解】解：
x
为正整数，且18
3 2
x
x
=
是整数，
2x
必须是整数，即2x 必须是一个完全平方数，
当
2
x =
时，2
2 2
4
x = =
，4 是完全平方数，
此时2
4
2
x =
=
，
3 2
3 2
6
x
=
=
是整数，
x
的最小值是2 ．
5．（25-26 八年级下·湖北·期中）已知18
n
−
是整数，写出一个符合题意的自然数n 的值：_______．
【答案】2 （答案不唯一）
【难度】0.9
【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数
【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合18
n
−
是整数，得到18 n
−
为不大
于18 的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数n ．
【详解】解：根据二次根式的定义，得18
0
n
−
，
解得
18
n
，
n
是自然数，18
n
−
是整数，
18
n
−为不大于18 的完全平方数，0 到18之间的完全平方数有014 916
，，，，，
当18
16
n
−
=
时，
2
n =
，符合题意．
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6．（24-25 八年级下·吉林松原·阶段检测）若二次根式1
2
a
−
=
，则a =_______．
【答案】3
−
【难度】0.95
【知识点】求二次根式中的参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结
果．
【详解】解：对1
2
a
−
=
两边同时平方，
得1
4
a
−
=
，
移项，得
4 1
a
−=
−，
合并同类项，得
3
a
−= ，
系数化为1，得
3
a = −，
验证：当
3
a = −时，
(
)
1
1
3
4
0
a
−
= −−
=
，满足二次根式有意义的条件．
7．（25-26 八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式
12
5
a
a
+
+ 与
4
3
a
b
+
相等，则a
b
+
=_______．
【答案】2
【难度】0.76
【知识点】求二次根式中的参数、同类二次根式
【分析】根据定义得出
1
2,2
5
4
3
a
a
a
b
+ =
+
=
+
，求出
1,
1
a
b
=
= ，然后代入a
b
+
计算即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式
12
5
a
a
+
+ 与
4
3
a
b
+
相等，
∴
1
2,2
5
4
3
a
a
a
b
+ =
+
=
+
，
解得
1,
1
a
b
=
= ，
∴
1 1
2
a
b
+
= + =
．
8．（25-26 九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y 满足
2
2
,|
3|
0
x
x
x
y
−
= −
−
−
+
=
，则
y
x 的值为
__________．
【答案】1
2 /0.5
【难度】0.65
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、负整数指数幂、求二次根式中的参数
【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负
性是解题的关键．
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由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入|
3|
0
x
y
−
+
=
求得 y 的值，然后代入
y
x 求值即可．
【详解】解：∵
2
2
x
x
−
= −
−
，且
2
0,
2
0
x
x
−
−
−
，
∴
2
0
x −
=
，即
2
x =
，
将
2
x =
代入|
3|
0
x
y
−
+
=
，得| 2
3|
0
y
−
+
=
，解得：
1
y = −．
∴
1
1
2
2
y
x
−
=
=
．
故答案为：1
2 ．
9．（23-24 九年级上·浙江温州·自主招生）若n 是整数，且
2
9
28
n
n
+
+
是自然数，则n 的值是
__________．
【答案】3或12
−
【难度】0.4
【知识点】求二次根式中的参数、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设
2
9
28
n
n
k
+
+
=
（k 为自然
数），则
2
2
9
28
n
n
k
+
+
=
，整理得关于n 的二次方程
(
)
2
2
9
28
0
n
n
k
+
+
−
=
，其判别式
2
D
4
31
k
=
−
，需为
完全平方数．令
2
D
m
=
，得
2
2
4
31
k
m
−
=
，因式分解后根据整数解条件求解k 和m ，再代入求根公式得n
的值即可解答．
【详解】解：设自然数k 满足
2
9
28
n
n
k
+
+
=
（k 为自然数），
则
2
2
9
28
n
n
k
+
+
=
，整理得
(
)
2
2
9
28
0
n
n
k
+
+
−
=
，
将方程看作关于n 的二次方程，
其判别式需为完全平方数：
(
)
2
2
D
81 4 28
4
31
k
k
=
−
−
=
−
，
设
2
D
m
=
（m 为整数），
则
2
2
4
31
k
m
−
=
，
因式分解得(
)(
)
2
2
31
k
m
k
m
−
+
=
，
由于31为质数，其整数因式分解为1 31
或(
) (
)
1
31
−
−
，
故有：①2
1
k
m
−
= ， 2
31
k
m
+
=
，解得
8
k = ，
15
m =
，
②2
31
k
m
−
=
，2
1
k
m
+
= ，解得
8
k = ，
15
m = −
，
③2
1
k
m
−
= −， 2
31
k
m
+
= −
，解得
8
k = −（舍去，因为k 为自然数），
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④2
31
k
m
−
= −
，2
1
k
m
+
= −，解得
8
k = −（舍去，因为k 为自然数），
将
8
k = 代入原方程，解得
9 15
2
n
−
=
，即
3
n = 或
12
n = −
，
验证这两个解均满足原方程，
故答案为：3或12
−
．
10．（21-22 八年级下·北京西城·期中）已知n 是正整数
．．．，18
2n
−
是整数
．．，则满足条件的所有n 的值为
__________．
【答案】9或7 或1
【难度】0.4
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n 的取值范围，然后令18 2n
−
等于所有可能的平方
数即可求解．
【详解】解：由题意得18 2
0
n
−
，
解得
9
n
，
∵n 是正整数，
∴
1
n
∴1
9
n
，
∴2
2
18
n
，
∴0
18 2
16
n
−
，
∵18
2n
−
是整数，
∴18 2
0
n
−
=
或18 2
1
n
−
= 或18 2
4
n
−
=
或18 2
9
n
−
=
或18 2
16
n
−
=
，
解得
9
n =
或
17
2
n =
或
7
n =
或
9
2
n =
或
1
n = ，
∵n 是正整数，
∴
9
n =
或
7
n =
或
1
n = ，
故答案为：9或7 或1
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关
键．
11．（25-26 八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式
2
4
x −
，回答下列问题：
(1)当x 为何值时，该二次根式有意义？
(2)当
6
x =
时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为2 时，求x 的值．
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【答案】(1)
2
x
(2)当
6
x =
时，值为2 2 ；当值为2 时，
4
x =
【难度】0.65
【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件解答即可．
（2）将
6
x =
代入2
4
x −
即可求解，令2
4
2
x −
=
时，求解即可
【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足2
4
0
x −≥，
解得：
2
x
，
∴当
2
x
时，该二次根式有意义．
（2）解：当
6
x =
时，则
2
4
2 6
4
2 2
x −
=
−
=
，
令
2
4
2
x −
=
时，则2
4
4
x −
= ，
解得：
4
x = ．
模块二、二次根式有意义的条件
重难点一、二次根式有意义的条件
核心规则：二次根式
有意义，要求被开方数a≥0。如果式子同时包含分
式、多个二次根式，需分别列出不等式组：每个根号内代数式≥0，分母不等于 0。求出
所有不等式解集，取交集，得到自变量取值范围，做题不要遗漏隐藏限制条件。
1．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）下列各数中，可使式子
7
x −
有意义的x 的值是（ ）
A．1
−
B．3
C．5
D．9
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求
出x 的取值范围，再结合选项判断正确结果．
【详解】解：依题意，
7
0
x−
．
解得
7
x
．
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四个选项中只有9
7
，满足条件．
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）若a 是二次根式，则a 的值可能是（ ）
A．3
−
B．2
−
C．1
−
D．0
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据a 是二次根式，则
0
a
，即可得到答案．
【详解】解：∵a 是二次根式，
∴
0
a
，
各选项中只有0 满足
0
a
．
3．（2022 八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）若二次根式
2
x−
有意义
．．．，则x 的取值范围是（ ）
A．
2
x
B．
2
x
C．
2
x
D．
2
x
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x 的取值范围
【详解】解：∵二次根式
2
x −
有意义时，被开方数必须是非负数
∴
2
0
x−
，
解不等式得
2
x
4．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）当
3
x = 时，下列二次根式没有意义的是（ ）
A．
4
x
−
B．
4
x −
C．3
x
+
D．3
x
−
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件逐个分析即可．
【详解】解：
3
x = ，
4
4
3
1
0,
4
3
4
1
0,3
3
3
6
0,3
3
3
0
x
x
x
x
−
=
−
=
−
=
−
= −
+
=
+
=
−
=
−
=
，
二次根式没有意义的是
4
x −
．
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5．（2022 七年级·湖南长沙·竞赛）代数式
x ＋
1
x−＋
2
x−
的最小值是（ ）
A．0
B．1＋2
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二次根式的应用、二次根式有意义的条件
【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x 的取值范围，再结合算术平方根的性质求代数式的最小值．
【详解】解：要使代数式有意义，需满足
0
x
，
1
0
x−
，
2
0
x−
．解得
2
x
．
∵ 被开方数越大，算术平方根越大，
∴ 当
2
x
时，
x ，
1
x−，
2
x−
的值均随x 的增大而增大．
∴ 代数式
1
2
x
x
x
+
−+
−
的值随x 的增大而增大．
∴ 当
2
x =
时，代数式取得最小值．代入得最小值为2
2 1
2 2
2 1 0
1
2
+
−+
−
=
+ + = +
．
6．（22-23 九年级上·浙江宁波·阶段检测）当a _________时，式子3
a
−
在实数范围内有意义．
【答案】
3
【难度】0.9
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于a 的不等式，求解不等
式即可得到结果．
【详解】解：若二次根式3
a
−
在实数范围内有意义，则被开方数满足 3
0
a
−
，
解得
3
a ．
7．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）当x =_____时二次根式12
x
−
有最小值．
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的被开方数为非负数，二次根式的最小值为0，据此列方程求解
x 即可．
【详解】解： 二次根式12
x
−
的被开方数满足非负要求，
12
0
x
−
，
12
x
−
的最小值为0 ，此时12
0
x
−
=
，
解得
12
x =
，
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即当
12
x =
时二次根式12
x
−
有最小值．
8．（21-22 九年级下·云南曲靖·期中）若,x y都是实数，且
6
6
3
y
x
x
=
−
+
−
+ ，则x
y
+
的算术平方根
是______．
【答案】
3
【难度】0.75
【知识点】求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式被开方数非负的性质求出x 的值，再代入求出y 的值，最后计算x
y
+
的算术平方
根.
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴
6
0
x−
，6
0
x
−
，
解得
6
x =
，
把
6
x =
代入
6
6
3
y
x
x
=
−
+
−
+
，得
0
0
3
3
y =
+
+
=
，
∴
6
3
9
x
y
+
=
+
=
，
∵9的算术平方根为3，
∴x
y
+
的算术平方根是3．
9．（2022 九年级上·上海奉贤·竞赛）已知实数a 满足
2023 | 2022
|
a
a
a
−
+
−
=
，则
2
2022
a −
的值为
________________；
【答案】2023
【难度】0.56
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出
2023
a
，再化简绝对值，然后两边平方可得答案．
【详解】解：由题意得，
2023
0
a −
，
2023
a
，
2022
1
a
−
−，
2023
2022
a
a
a
−
+
−
=
，
2023
2022
a
−
=
，
2
2023
2022
a
−
=
，
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2
2022
2023
a
−
=
.
10．（25-26 八年级下·云南昭通·期末）若
2027
2026
m
m
m
−
+
−
=
，则
2
2026
m −
= ______．
【答案】2027
【难度】0.4
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】首先根据二次根式的意义确定m 的取值范围，进而确定出2026
m
−
的符号，然后对条件中的等
式化简整理即可得解．
【详解】由
2027
m−
有意义，得
2027
0
m−
，
2027
m
，
2026
0
m
−
.
2026
2026
m
m
−
=
−
，
2027
2026
m
m
m
−
+
−
=
可化简为
2027
2026
m−
=
，
2
2027
2026
m
−
=
，即
2
2026
2027
m −
=
．
模块三、二次根式的性质
重难点一、利用二次根式的性质化简
熟练掌握两条核心性质：
。化简
关键先判断字
母正负；正数绝对值为本身，负数绝对值取相反数。化简前挖掘题干隐含条件确定取值范
围，去掉绝对值符号，最终结果保证不含平方因式。
1．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）计算(
)
2
4
−
的结果为（ ）
A．4
B．4
−
C．2
D．2
−
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
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【详解】解：
2
2
( 4)
4
4
−
=
=
2．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）下列计算正确的是（ ）
A．
2
10
10
= −
B．(
)
2
10
10
−
= −
C．(
)
2
10
10
−
=
D．(
)
2
10
10
−
=
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用二次根式的性质化简
【详解】解：
2
10
10
10
=
−
，故A 错误；
(
)
2
2
10
10
10
−
=
=
，故B，D 错误，C 正确．
3．（25-26 八年级下·吉林·期末）计算(
)
2
2
−
的结果是（ ）
A．2
B．2
C．4
D．2
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：(
)
2
2
4
2
−
=
=
．
4．（2026·安徽芜湖·三模）下列计算正确的是（ ）
A．
2x
x
=
B．(
)
3
3
x
x
−
= −
C．
(
)
3
2
5
x
x
x
−
=
D．(
)
2
3
6
x
x
−
= −
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求一个数的立方根、同底数幂相乘、幂的乘方运算、利用二次根式的性质化简
【详解】A 选项
2x
x
=
，故A 计算错误；
B 选项立方根性质正确；
C 选项
(
)
3
2
5
x
x
x
−
= −
，故C 计算错误；
D 选项(
)
2
3
6
x
x
−
=
，故D 计算错误．
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5．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）若2
2
a
−
，则化简(
)
(
)
2
2
5
5
a
a
+
+
−
的结果为（ ）
A．2a
B．2 5
C．2 5
−
D．2a
−
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】无理数的大小估算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【详解】解：
2
2
a
−
，且2
5
3
，
5
0
a
+
，
5
0
a −
(
)
(
)
2
2
5
5
+
+
−
a
a
5
5
a
a
=
+
+
−
(
)
5
5
a
a
=
+
+
−
5
5
a
a
=
+
+
−
2 5
=
．
6．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简
(
)
(
)
2
2
2
a
b
a
b
+
−
−
的结果是（ ）
A．2a
−
B．0
C．2b
D．2
2
−
a
b
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简
【分析】根据数轴可判断出a
b
a
b
−
，，
的符号，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：由数轴可得
0
a
b
，
∴
0
b
a
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
a
b
a
b
+
−
−
(
)
=
a
b
a
b
−+
−
−
2a
= −
．
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7．（21-22 八年级下·辽宁盘锦·期中）化简：(
)
2
3
π
−
= _______________．
【答案】
3
−
【难度】0.85
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】利用二次根式的性质
2
a
a
=
，先将原式化为绝对值形式，再根据3
判断绝对值内式子的正
负，去掉绝对值符号即可得到结果．
【详解】解：(
)
2
3
π
3
π
−
=
−
，
∵3
，
∴3 π
0
−
，
∴(
)
2
3
π
π
3
−
=
−．
8．（25-26 七年级下·重庆·期末）已知a
b
c
、、在数轴上的位置如图所示，化简：
(
)
(
)
2
2
b
a
c
a
−
+
−
=
______．
【答案】c
b
−/ b
c
−+
【难度】0.65
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、利用
二次根式的性质化简
【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合
并同类项即可．
【详解】解：由a
b
c
、、在数轴上的位置可得
0
c
b
a
，且c
a
，
0,
0,
0
b
a
c
a
+
，
则
(
)
(
)
2
2
b
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
a
c
b
−
+
−
= −−
+
−
= −+
+ −
=
−
．
重难点二、复合二次根式的化简
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复合根式化简优先分层处理，先判断每层被开方数正负。遇到多层根号，由
内向外逐步化简，常结合
去掉根号。借助题目条件判定字母符号，准确去掉绝对
值；化简完成后回代检验，保证每一层根式内数值均为非负数。
1．（24-25 九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知
4
1
5
a
a
+
+
−=
，则6
2 a
−
= （ ）
A．3
1
−
B．3
1
+
C．5
1
−
D．2a
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令
(
)
1
0
t
a
t
=
−
，得出
2
1
a
t
=
+ ，代入原式得
2
5
5
t
t
+
+ =
，解得
2
t =
，得出
(
)
2
6
2 5
5
1
−
=
−
，进而可得出答案
【详解】解：令
(
)
1
0
t
a
t
=
−
，
∴
2
1
a
t
=
+ ，
∴
2
4
5
a
t
+
=
+
，
∴
2
5
5
t
t
+
+ =
，
移项，两边平方得
2
2
5
25 10
t
t
t
+
=
−
+
，
解得：
2
t =
，
∴
2
2
1
5
a =
+ =
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
6
2
6
2 5
5
2 5
1
5
1
5
1
a
−
=
−
=
−
+
=
−
=
−，
故选：C
2．（25-26 八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一
个式子平方的形式，如：
(
)
2
3
2 2
1
2
+
=
+
，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
1
2 1
2
2
1
2
+
=
+
+
=
+
，则3
2 2
1
2
+
= +
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若16
8 3
3
a
b
−
=
−
则a =___________，b = ___________．
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【答案】 2 2
【难度】0.85
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把16
8 3
−
变形为(
)
2
2 3
2
−
，
即可得到16
8 3
2 3
2
−
=
−
，问题得解．
【详解】解：∵
(
)
(
)
2
2
2
16
8 3
2
2 2 2 3
2 3
2 3
2
−
=
−
+
=
−
，
∴16
8 3
2 3
2
−
=
−
，
∴
2,
2
a
b
=
=
．
故答案为：2,2
3．（25-26 八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简：3 2 2
−
=____________________．
【答案】2 1
−/ 1
2
−+
【难度】0.85
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将3 2 2
−
化成(
)
2
2
1
−
，
再由二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：
(
)
2
2
3
2
1
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
2
2
2 1 1
2
1
−
=
−
+
=
−
，
(
)
2
3
2 2
2
1
2
1
2
1
−
=
−
=
−
=
−，
故答案为：2 1
−．
4．（25-26 八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：
(
)
2
3
2 2
1
2
1
2
+
=
+
= +
；
(
)
2
5
2 6
2
3
2
3
+
=
+
=
+
；
(
)
2
7
2 12
3
4
3
2
+
=
+
=
+
；
根据以上的等式回答问题：
(1)填空：13
2 42
+
=_______；
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(2)化简10
4 6
−
，并写出化简过程．
【答案】(1) 6
7
+
(2)
6
2
−
【难度】0.85
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，
（1）将原式化为(
)
2
6
7
+
，再开方即可；
（2）将原式化为(
)
2
6
2
−
．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
13
2 42
6
2 6
7
7
6
7
6
7
+
=
+
+
=
+
=
+
，
故答案为：6
7
+
；
（2）解：原式
6
4
6
4
=
−
+
(
)
2
2
6
2 2
6
2
=
−
+
(
)
2
6
2
=
−
6
2
=
−
．
5．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答．
形如
2
m
n
的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如
2
2
3
2 2
( 2)
2 2
1
( 2
1)
2
1
+
=
+
+ =
+
=
+ ；
(1)填空10
4 6
+
= ____________；
(2)化简
29 8 13
−
，并写出化简过程．
【答案】(1)2
6
+
(2)4
13
−
【难度】0.85
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
（1）仿照阅读材料解答即可；
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（2 ）仿照阅读材料解答即可．
【详解】（1）解：10
4 6
+
(
)
2
2
2
2 2
6
6
=
+
+
(
)
2
2
6
=
+
2
6
=
+
；
故答案为：2
6
+
；
（2）
29 8 13
−
(
)
2
2
4
2 4 13
13
=
−
+
(
)
2
4
13
=
−
4
13
=
−
．
6．（24-25 八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答：
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
2 1 1
2
2 2
1
3
2 2
−
=
−
+
=
−
+ =
−
，
反过来，
(
)
2
3
2 2
2
2 2
1
2
1
−
=
−
+ =
−
．
(
)
2
3
2 2
2
1
−
=
−
，3 2 2
2 1
−
=
−．
(1)仿照上述过程，化简：5
2 6
−
；
(2)若
2
m
n
a
b
+
=
+
，直接写出
,
m n与,a b 之间的关系．
【答案】(1) 3
2
−
(2)m
a
b
=
+ ，n
ab
=
【难度】0.85
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）模仿题干过程，得
(
)
2
5
2 6
3
2
−
=
−
，故5
2 6
3
2
−
=
−
，即可作答．
（2）因为
2
m
n
a
b
+
=
+
，则
(
)
2
2
2
m
n
a
b
a
b
ab
+
=
+
=
+
+
，即可作答．
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【详解】（1）解：依题意
(
)
2
5
2 6
3
2 6
2
3
2
−
=
−
+
=
−
(
)
2
5
2 6
3
2
3
2
−
=
−
=
−
．
（2）解：∵
2
m
n
a
b
+
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
2
m
n
a
b
a
ab
b
a
b
ab
+
=
+
=
+
+
=
+
+
，
即m
a
b
=
+ ，n
ab
=
．
7．（24-25 八年级下·山东泰安·阶段检测）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如：
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
2
3
2 2 3
2
3
2 2
3
2
3
+
=
+
+
=
+
+
=
+
；
(
)
(
)
(
)
2
2
2
8
2 7
1 7
2 1 7
1
7
2 1
7
1
7
+
=
+
+
=
+
+
=
+
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将4
2 3
+
化成了(
)
2
1
x
+
，则x =__________，
4
2 3
+
=__________．
(2)请运用小明的方法化简
7
4 3
−
．
【答案】(1)3；3
1
+
(2)2
3
−
【难度】0.85
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
（1）将4 看成是1 3
+ ，则2 3
2 1
3
=
，由此求解即可；
（2）将7 看成是4
3
+ ，则4 3
2
2
3
=
，由此求解即可．
【详解】（1）解：
(
)
4
2 3
3 1
2 1 3
+
=
+
+
(
)
2
2
3
1
2 1
3
=
+
+
(
)
2
3
1
=
+
，
∴
3
x = ；
∴
(
)
2
4
2 3
3
1
3
1
+
=
+
=
+ ；
（2）解：
7
4 3
−
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4
3
4 3
=
+ −
(
)
2
2
2
3
2 2
3
=
+
−
(
)
2
2
3
=
−
2
3
=
−
．
8．（24-25 八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考：
形如
2
m
n
的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a
b
m
+
=
，ab
n
= ，
这样(
)
(
)
2
2
a
b
m
+
=
，
a
b
n
=
，
那么便有
(
)
2
2
(
)
m
n
a
b
a
b a
b
=
=
．
例如：化简
7
4 3
+
．
解：首先把
7
4 3
+
化为7
2 12
+
，这里
7
m =
，
12
n =
．
由于4
3
7
+ = ，4 3 12
?
，(
)
(
)
2
2
4
3
7
+
=
，
4
3
12
=
(
)
2
7
4 3
7
2 12
4
3
2
3
+
=
+
=
+
=
+
．
仿照上面的例题，解决下列问题．
(1) 11 2 30
−
；
(2)
7
40
+
．
【答案】(1) 6
5
−
(2) 5
2
+
【难度】0.62
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】（1）令
11,
30
m
n
=
=
，根据5
6
11,5 6
30
+
=
=
，结合例题化简二次根式即可；
（2）把所求式子变形为
7
2 10
+
，令
7,
10
m
n
=
=
，根据5
2
7,5 2
10
+
=
=
结合例题化简二次根式即可．
【详解】（1）解：令
11,
30
m
n
=
=
，
∵5
6
11,5 6
30
+
=
=
，(
)
(
)
2
2
5
6
5
6
11
+
=
+
=
，5
6
30
=
，
∴
(
)
2
11 2 30
6
5
6
5
−
=
−
=
−
；
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（2）解：
7
40
7
2 10
+
=
+
，
令
7,
10
m
n
=
=
，
∵5
2
7,5 2
10
+
=
=
，(
)
(
)
2
2
5
2
5
2
7
+
=
+
=
，5
2
10
=
，
∴
(
)
2
7
40
7
2 10
5
2
5
2
+
=
+
=
+
=
+
．
9．（25-26 八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料一：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇
到如
2
3
1
+ 的式子，其实我们还可以将其进一步
化简：
(
)
(
)(
)
2
3
1
2
3
1
3
1
3
1
−
=
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
3 1
3
1
−
=
−
(
)
2
3 1
2
−
=
3 1
=
−
我们就称这个过程为分母有理化．
材料二：
形如
2
a
b
的化简，只要我们找到两个正数
(
)
x
y x
y
、
，使
x
y
a
xy
b
+
=
=
、
，则∶
(
)
2
2
a
b
x
y
xy
=
+
= √(√𝑥)² + (√𝑦)² ± 2√𝑥⋅√𝑦
= √(√𝑥± √𝑦)²
(
)
x
y x
y
=
我们就称
2
a
b
为“理想二次根式”，则上述过
程就称之为化简“理想二次根式”．
任务：
(1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知
1
2
2
3
4
2 3
m
n
=
=
+
−
，
，求m
n
+
的值
(2)若
(
)
2
6 5
5
a
m
n
+
=
+
，且a，m，n 为正整数，求a 的值．
【答案】(1)3
(2)46 或14
【难度】0.6
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可．
（2）先推导出(
)
2
2
2
2
2
5
2 5
5
5
2
5
m
n
m
mn
n
m
n
mn
+
=
+
+
=
+
+
，得到
31 / 33
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
2
5
2
5
6 5
a
m
n
mn
+
+
=
+
，继而推导出
2
2
5
,2
6
m
n
n
a
m
+
=
=
，求出
1,
3
m
n
=
=
或
3,
1
m
n
=
= ，再分别
代入求出a 的值即可．
【详解】（1）解：∵
1
2
3
m =
+
，
2
4
2 3
n =
−
，
∴
1
2
2
3
4
2 3
m
n
+
=
+
+
−
(
)(
)
(
)
2
2
2
3
2
2
3
2
3
3
2 3 1 1
−
=
+
+
−
−
+
(
)
2
2
2
3
3 1
=
−
+
−
2
2
3
3 1
=
−
+
−
(
)
(
)(
)
2
3
1
2
3
3
1
3
1
+
=
−
+
−
+
2
3
3
1
=
−
+
+
3
= ；
（2）解：(
)
2
2
2
2
2
5
2 5
5
5
2
5
m
n
m
mn
n
m
n
mn
+
=
+
+
=
+
+
，
∵
(
)
2
6 5
5
a
m
n
+
=
+
，
∴
2
2
5
2
5
6 5
a
m
n
mn
+
+
=
+
，
∵a，m，n 为正整数，
∴
2
2
5
,2
6
m
n
n
a
m
+
=
=
，
即
3
mn = ，
∴
1,
3
m
n
=
=
或
3,
1
m
n
=
= ，
∴当
1,
3
m
n
=
=
时，
2
2
1
5 3
46
a =
+
=
，
当
3,
1
m
n
=
= 时，
2
2
3
5 1
14
a =
+
=
，
综上所述，a 的值为46 或14．
10．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
32 / 33
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(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
2
3
2 2 3
2
3
2
2
3
2
3
+
=
+
+
=
+
+
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
7
2 10
2
5
2 2
5
2
5
2 2
5
2
5
−
=
+
−
=
+
−
=
−
【类比归纳】
(1)①
(
)
2
4
2 3
1
3
2 1 3
1
−
=
+
−
=
+ （______）2 1
3
−
=（______
3
−
）2；
②10
2 21
+
=（_____+______）2；
(2)若
(
)
2
2
+
=
+
a
b
m
n
，当, ,
,
a b m n 均为正整数时，用含
,
m n的式子分别表示,a b ，得a =
__________，b = __________；
【拓展提升】
(3)如图，正方形DHFM 的面积为(
)
2
8 2 15 cm
−
，正方形BEFG的面积为(
)
2
23
4 15 cm
+
，求正方形
ABCD的面积．
【答案】(1)①3 ， 1；②
3 ，
7
(2) m
n
+
，mn ．
(3)45
【难度】0.45
【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用、复合二次根式的化简、二次根式的混合运算
【分析】（1）对照完全平方公式
2
2
2
(
)
2
x
y
x
xy
y
=
+
，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内
的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容；
（2）将等式右侧(
)
2
m
n
+
利用完全平方公式展开，对应等式左侧
2
a
b
+
的有理部分和带根号部分，
分别得到a 、b 的表达式；
（3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方
形的边长；再观察图形得出正方形ABCD的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算
正方形ABCD的面积。
【详解】（1）①
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
2 3
1 3
2 1 3
1
3
2 1
3
1
3
−
=
+
−
=
+
−
=
−
；
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②
(
)
(
)
(
)
2
2
2
10
2 21
3
7
2 3 7
3
7
2 3
7
3
7
+
=
+
+
=
+
+
=
+
．
（2）解：
(
)
2
2
a
b
m
n
+
=
+
(
)
(
)
2
2
2
2
2
a
b
m
n
m
n
m
n
mn
+
=
+
+
=
+
+
通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得：
a
m
n
=
+
，b
mn
=
．
（3）解：根据题意，正方形DHFM 的面积为 (
)
2
8 2 15 cm
−
。
(
)
(
)
(
)
2
2
2
8
2 15
(3
5)
2 3 5
5
3
2 5
3
5
3
−
=
+
−
=
+
−
=
−
，
边长
5
3
HD =
−
(cm)。
正方形BEFG的面积为 (
)
2
23
4 15 cm
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
23
4 15
23
2
15
23
2
20
2 20
3
3
20
3
+
=
+
=
+
=
+
+
=
+
４
60
边长
20
3
3
2 5
BE =
+
=
+
(cm)。
由图可知，正方形 ABCD 的边长
5
3
2 5
3
3 5
AD
AH
HD
=
+
=
−
+
+
=
，
正方形 ABCD的面积为(
)
2
3 5
45
=
