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第39 讲 复数 · 分类练习
考点一：复数的概念..........................................................................................................................1
考法1：复数的分类与概念辨析...........................................................................................1
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数...............................................................................1
考法3：复数对应点所在象限的判断...................................................................................1
考点二：复数的相等与共轭复数......................................................................................................2
考法4：利用复数相等求参数或复数...................................................................................2
考法5：共轭复数的概念与性质判断...................................................................................2
考法6：实系数一元二次方程的复数根...............................................................................2
考点三：复数的运算..........................................................................................................................2
考法7：复数的代数形式四则运算.......................................................................................2
考法8：解复数方程...............................................................................................................3
考法9：复数运算与共轭、模长的综合...............................................................................3
考法10：复数幂的周期性与数列求和.................................................................................3
考点四：复数的模..............................................................................................................................3
考法11：直接利用代数形式求模.........................................................................................3
考法12：利用复数方程求模.................................................................................................4
考法13：复数模的综合运算与性质.....................................................................................4
考法14：复数模的最值（非几何法）.................................................................................4
考点五：复数的几何意义..................................................................................................................4
考法15：复数运算与对应点所在象限.................................................................................4
考法16：复数与平面几何及向量的结合.............................................................................4
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）.....................................................................5
考点六：与复数有关的最值问题......................................................................................................5
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值.........................................................................5
考法19：复数新定义问题.....................................................................................................5
考点七：复数的三角形式..................................................................................................................6
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转.........................................................................6
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用.............................................................................6
考点一：复数的概念
考法1：复数的分类与概念辨析
1.（2026·湖北襄阳五中·检测）下列四种说法正确的是（ ）
A. 如果实数a=b，那么a-b+(a+b)i是纯虚数．
B. 实数是复数．
C. 如果a=0，那么z =a+bi是纯虚数．
D. 任何数的偶数次幂都不小于零．
2.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数z =a+bi，a,b∈R，且b≠0，下列说法正确
的是（ ）
A. z - ´z是纯虚数
B. z
2是实数
C. z⋅i是虚数
D. 若| z|=1，则z + 1
z 是实数
考法2：根据纯虚数或实数条件求参数
3.（2025·江西上饶·二模）已知复数z =3a-2+(a-2)i(a∈R)，若z为实数，则| z|=（
）
A. 2
B. 5
C. 4
D. 1
4.（2025·江西·检测）已知复数z满足| z|=2，若´z为纯虚数，则z =＿＿＿＿＿＿
考法3：复数对应点所在象限的判断
5.（2024·广东·检测）若(2+i)z =i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于
（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6.（2025·河南·检测）已知复数z , ´z在复平面内对应的点分别为A ,B，则“A在第二象限”
是“B在第三象限”的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
考点二：复数的相等与共轭复数
考法4：利用复数相等求参数或复数
7.（2026·河南·检测）已知复数z = a+i
1+2i的实部与虚部相等，则实数a=（ ）
A. -3
B. - 1
3
C. 1
3
D. 3
8.（2025·安徽淮北·二模）若3( z + ´z)+ 4( z - ´z)=6+8i，则| z|=（ ）
A. ❑√2
B. ❑√3
C. 2
D. 2❑√2
考法5：共轭复数的概念与性质判断
9.（2026·广东湛江·检测）设复数z1, z2在复平面内的点关于实轴对称，z1=1+i，则
z1
z2
=（
）
A. -i
B. i
C. -1
D. 1
10.（2026·江苏南通·检测）（多选）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（
）
A. 若z∈R，则z = ´z
B. 若z
2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z =1-i，则| z|=1
D. 若z
2+1=0，则z =i
考法6：实系数一元二次方程的复数根
11.（2026·山东·一模）已知a,b为实数，虚数1-i是方程x
2+ax +b=0的根，则ab的值为（
）
A. - 4
B. -2
C. 2
D. 4
12.（2026·广东茂名·一模）已知关于x的方程x
2+ 4 x +a=0(a∈R)的两根在复平面xOy上对
应的点分别为P和Q，若△POQ是等边三角形，则a=＿＿＿＿＿＿
考点三：复数的运算
考法7：复数的代数形式四则运算
13.（2026·河北·检测）已知复数z满足z(1-3i)=3+ 4i，则´z =（ ）
A. - 9
10 - 13
10 i
B. - 9
10 + 13
10 i
C. 3
5 + 4
5 i
D. 3
5 - 4
5 i
14.（2025·安徽·一模）（多选）若z
z +3为纯虚数，则复数z可以为（ ）
A. -12-6i
5
B. -3+2i
2
C. -12+8i
5
D. -3+3i
2
考法8：解复数方程
15.（2025·广东·联考）已知复数z =1-i，则´z( z -i)=（ ）
A. -1+3i
B. 3-i
C. 1+i
D. -1-i
考法9：复数运算与共轭、模长的综合
16.（2026·山东日照·二模）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（多选）（
）
A. 若z∈R，则z = ´z
B. 若z
2∈R，则z∈R
C. 若z
2+1=0，则z =±i
D. 若(1+i)z =1-i，则| z|= ❑√2
17.（2026·广东佛山·二模）设z1，z2为复数，若z1 z2=i，则（多选）（ ）
A. z1= ´z2
B. | z1|=
1
| z2|
C. | z1+ z2|= ❑√2
D. ´z1⋅´z2=-i
考法10：复数幂的周期性与数列求和
18.（2026·浙江嘉兴·二模）已知{zn}是由复数组成的数列，zn+1=( zn-3)⋅i
2026（i为虚数单
位），且z1=1+i，则（多选）（ ）
A. z2= 1+3i
2
B. z2+ z3=3
C. | z1- z2+ z3- z4+⋯- z2026|=1013 ❑√5
D. 若| z - z2025|=1，则| z - z2026|的最小值为❑√5-1
19.（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则i+2i
2+3i
3+⋯+10i
10=＿＿＿＿＿＿
考点四：复数的模
考法11：直接利用代数形式求模
20.（2026·安徽·二模）已知复数z1=1+2i，z2=1- ❑√3i，则（ ）
A. | z1|<| z2|
B. | z1|>| z2|
C. z1> z2
D. z1< z2
21.（2026·安徽·检测）已知复数4 -3i与-2+i分别对应向量⃗OA与⃗OB，其中O为坐标原点，
则|⃗AB|=＿＿＿＿＿＿
考法12：利用复数方程求模
22.（2026·安徽·检测）若| ´z|=| z -2i|，则z的虚部为（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
23.（2026·安徽·联考）已知虚数z满足| z|
2⋅(2 ´z -1)=2- 4 z，则|2 z -3|=（ ）
A. 3
B. 4
C. 2❑√3
D. ❑√11
考法13：复数模的综合运算与性质
24.（2025·河北保定·二模）若非零复数z满足(2-i)z =| z|
2，则´z =（ ）
A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i
25.（2025·江西·模拟）已知复数z满足| z|= ❑√6，则下列结论正确的是（多选）（ ）
A. z可能为1- ❑√6i
B. z ´z =6
C. z的实部与虚部之积不大于 3
D. z在复平面内对应的点可能是(2,❑√2)
考法14：复数模的最值（非几何法）
26.（2026·湖北襄阳·二模）已知z1=1+i, z2=-1+i，若w = λ z1+(1- λ)z2,( λ∈R)，则|w |的
最小值为（ ）
A. 1
B. ❑√2
C. 2
D. 1
2
考点五：复数的几何意义
考法15：复数运算与对应点所在象限
27.（2025·广东·检测）在复平面内，1+i
1+2i对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
28.（2025·广东·检测）（多选）已知i为虚数单位，复数z满足z = 1+5i
1+i ，则（ ）
A. z的实部为3
B. z的虚部为2i
C. z⋅´z =13
D. ´z在复平面内对应的点在第四象限
考法16：复数与平面几何及向量的结合
29.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数3- ❑√3i对应的向量绕原点沿顺时针方向旋
转π /3，则旋转后的向量对应的复数为（ ）
A. -2❑√3i
B. 3+ ❑√3i
C. 2❑√3i
D. -3+ ❑√3i
30.（2026·山东潍坊·二模）（多选）已知复数z1, z2，其中z1在复平面内对应的点为(4 ,-2)，
则下列结论中正确的是（ ）
A. ´z1=-2+ 4i
B. | z1|=2❑√5
C. 若z1
2= z2
2，则| z1|=| z2|
D. 若| z1+ z2|=0，则´z1=- ´z2
考法17：复数模的几何意义（距离与轨迹）
31.（2026·江西·检测）若复数z满足| z +1-2i|≤3，则z在复平面内对应的点的坐标不可能
为（ ）
A. (1,3)
B. (0,3)
C. (2,1)
D. (2,2)
32.（2025·江西·联考）已知方程{
|2+3i- z|=1,
| z - 4 -k |=| z -3i-k |有且仅有一个复数解z，则实数k的
可能取值有（多选）（ ）
A. 1
8
B. 15
8
C. - 19
8
D. 65
4
考点六：与复数有关的最值问题
考法18：转化为圆上点到定点距离的最值
33.（2026·湖北黄冈·检测）已知z∈C，且| z -1|=1，i为虚数单位，则| z -2i|的最大值
是（ ）
A. ❑√5+1
B. ❑√5-1
C. 2
D. ❑√5
考法19：复数新定义问题
34.（2025·河北保定·一模）数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如
z =a+bi+c j+d k的数为四元数，其中a,b,c ,d都是实数，i, j ,k都是虚数单位，这些虚数单
位满足i
2= j
2=k
2=-1.其中z的模为| z|=
❑√a
2+b
2+c
2+d
2，z的共轭四元数记作
´z =a-bi-c j -d k．给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：
(a1+b1i+c1 j+d1k )+(a2+b2i+c2 j+d2k )=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2) j+(d1+d2)k.对于四元
数的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：ij =- ji=k , jk =-kj =i，ki=-ik = j．
（1）若z =1+2i+3 j+ 4 k，求z⋅´z的值；
（2）已知四元数zn=an+bni+cn j+dnk．
（i）若an=(
1
2)
n
,bn=
1
n
2+n
,cn=sin nπ
2 ,dn= (-1)
n-1
n
，求证：| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|<2；
（ii）若数列{an},{bn},{cn},{dn}均为正项数列，且| z1+ z2+ z3+⋯+ zn|= L（L为常数），求
证：| z1|
2+| z2|
2+| z3|
2+⋯+| zn|
2≥L
2
n ．
考点七：复数的三角形式
考法20：复数三角形式的乘除运算与旋转
35.（2026·山东淄博·检测）（多选）已知复数z1=cosα +isinα，z2=cos β -isin β，
z3=cos(α + β)+isin(α + β)，z4=1，复数z1, z2, z3, z4在复平面内对应的点分别为P1, P2, P3, A，
则下列说法中正确的是（ ）
A. |⃗O P1|=|⃗O P2|
B. | z1- z4|=| z2- z4|
C. ⃗OA ⋅⃗O P3=⃗O P1⋅⃗O P2
D. ⃗OA ⋅⃗O P1=⃗O P2⋅⃗O P3
考法21：棣莫弗定理与欧拉公式的应用
36.（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：
(cosθ+isinθ)
n=cosnθ+isinnθ，设z =cos π
3 +isin π
3 .
（1）证明：| z1 z2|=| z1|| z2|；
（2）若ω= z + a
z ∈R，求a的值；
（3）证明：| z
2025- z
2026|=| z
2026- z
2027|.
