第04讲：数列学生版_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_12027年高考数学考前核心考点题型三轮冲刺讲与练（新高考地区专用）

第04讲：数列
【题型归纳】
 题型一：S 和a 关系求通项公式
n n
 题型二：累加法求通项公式
 题型三：累乘法求通项公式
 题型四：构造法求通项公式
 题型五：等差数列问题
 题型六：等比数列问题
 题型七：数列的实际应用问题
 题型八：数列恒（能）成立问题
 题型九：倒叙相加法求和
 题型十：错位相减法求和
 题型十一：裂项相加法求和
 题型十二：分组（并项）求和法
 题型十三:数列与不等式交汇问题
 题型十四：数列与统计交汇问题
【题型探究】
题型一：S 和a 关系求通项公式
n n
【典例1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且对任意正整数n，点 都在
直线 上，则 的值是（ ）
A． B．16 C． D．32
【变式1】．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列 ，满足 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
若数列 满足 ，则数列 是（ ）
A．单调递增数列 B．单调递减数列C．常数列 D．等比数列
题型二：累加法求通项公式
【典例2】．（2026·天津东丽·二模）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．211 B．225 C．239 D．261
【变式1】．（2026·湖北武汉·二模）若数列 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）在数列 中， ， ，则 （ ）
A．0 B．2458 C．2460 D．2459
题型三：累乘法求通项公式
【典例3】．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列 满足 ，则
（ ）
A．670 B．675 C．2025 D．4050
【变式1】．（2025·江西·模拟预测）已知数列 满足： ， ，令
，数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列 满足 .记数列 的前 项
和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四：构造法求通项公式【典例4】．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为
______.
【变式1】．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列 的前 项和为 ，且 ．若 ，
则 的最小值为______．
【变式2】．（2022·湖南益阳·一模）已知数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 项
和 _______.
题型五：等差数列问题
【典例5】．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列
的前 项和为 ，若 对于任意正整数 恒成立，则 的最小值为___________．
【变式1】．（2026·吉林·三模）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ______．
【变式2】．（2026·安徽滁州·二模）已知数列 的通项公式是 ，去掉数列 中的
后余下的项构成新的数列 ，则数列 的前 项和 ________．
题型六：等比数列问题
【典例6】．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列 满足 ，且对任意的 ，满足
，则 ___________．
【变式1】．（2026·河南开封·二模）已知集合 ， ，将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，若 且 ，则 __________．
【变式2】．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列 满足对任意的正整数m，n都有
，则等比数列 的公比q的取值范围是________．
题型七：数列的实际应用问题
【典例7】．（24-25高三上·浙江·月考）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，
经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层
有 个小球，第二层有 个小球，第三层有 ..........依此类推，最底层有 个小球，
共有 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共 层，小球总个数为 ，则该垛积的第一层的小球个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每
个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加 . 记甲、乙两公司在2023年第 个月的
盈利分别为 ， （单位：万元）. 已知 ， ，则 最大时， 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【变式2】．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为 ，2小时
后，细胞总数约为 ，问当细胞总数超过 个时，所需时间至少为（ ）
（参考数据： ）
A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时
题型八：数列恒（能）成立问题
【典例8】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，对
任意不等于 的正整数 ，都有 ，则实数 的取值范围是______
【变式1】．（2026·上海普陀·二模）设 ， ， ， 是等比数列 的前n项和，且 ，公比
为3，令 ，若恰存在2个k的值，对任意的 ，皆有 成立，则 的取值范围为______.
【变式2】．（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列 首项为2，公差为2，前n项和为 ，数列 前n项和为
，且满足 ．若对于任意 ， 成立，则m的最小值为_____________．
题型九：倒叙相加法求和
【典例9】．（2026·广西桂林·一模）已知函数 ，则
（ ）
A．2026 B．2025 C．1013 D．
【变式1】．（2026·山西临汾·一模）已知 ，数列 满足：，则 为（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
【变式2】．（2024·浙江·一模）若 ，已知数列 中，首项 ，
， ，则 _____.
题型十：错位相减法求和
【典例10】．（2026·重庆·模拟预测）已知数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【变式1】．（2026·山西·二模）已知数列 是等比数列，满足 ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项；
(2)设 ，且 的前 项和为 ，求证： .
【变式2】．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式：
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ，求 的取值范围．
题型十一：裂项相加法求和
【典例11】．（2026·云南·模拟预测）已知数列 和 满足 .(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 恒成立，求 的取值范围.
【变式1】．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列 的各项均为正整数， ，第 项满足 .
(1)分别求 ， ， 的值；
(2)求 的表达式，其中 ；（用含k的式子表示）
(3)若数列 满足 ，记 的前n项和为 ，证明： .
【变式2】．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和 ，求证： ．题型十二：分组（并项）求和法
【典例12】．（2026·天津南开·二模）已知数列 ，其中 为等差数列，且满足
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；
(3)记 ，证明 ．
【变式1】．（2026·天津·一模）已知 是单调递增的等差数列，其前n项和为 ， 为等比数列， ，
， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ．
（i）求 ；
（ii）求证： ．
【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）已知数列 的前 项和为 ，若对任意 ，向量 ，
，有 ．数列 满足 ，其前 项和为 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
题型十三:数列与不等式交汇问题
【典例13】．（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，若满足 ， ，且 ．
(1)求证： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和，若 ， ，不等式 恒成立，求
实数 的取值范围．
【变式1】．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列 的公差为4，其前8项之和为144．等比数列 的公比为
，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ．
（i）证明：数列 是等比数列；
（ii）证明： ．
【变式2】．（2026·广东广州·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 的导函数 在 上的
图象是一条连续不断的曲线，已知 ，且对于任意 ，都有 ．
(1)判断函数 的单调性，并证明：对于任意 ，都有
(2)若 在 上单调递增，且数列 满足 ．（i）证明：数列 单调递减；
（ii）记 为数列 的前 项和，证明：对于任意 ，都有 ．
题型十四：数列与统计交汇问题
【典例14】．（2026·天津北辰·二模）设数列 的前 项积为 ，满足 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)已知有穷数列 经过一次 变换后得到数列
.其中， 表示 、 中的较小者.记数列 的所有
项之和为 .若 是 的一个排列，例如，当 时， 、 、 、 可以为 、 、
、 的一个排列.
（i）当 时，设 的最小值为 ，求 的值；
（ii）在（i）的条件下，若 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，设 ，求数
列 的前 项和.
【变式1】．（2026·湖南长沙·模拟预测）某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，
其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程 次后，箱子中普
通卡片的张数记作 ， 的数学期望记为 .
(1)求随机变量 的分布列；
(2)设 .
（ⅰ）用含 的式子表示 ；
（ⅱ）证明： 是等比数列，并求 .
【变式2】．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围
内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次 且
后仍未累计命中 次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 分，未命中记得 分，当累计得分达到 分，
则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到 分，游戏立即结束，无法获奖.
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命
中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为 .
(1)当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望；
(2)当 且 时，求甲同学获奖的概率（用含 的表达式表示）；
(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 次的概率为 ；若乙同学获奖概率不小于 ，求 的最小值.
【高考达标】
一、单选题
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列 中， ，则数列 中正数项共有（ ）
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项2．（2026·河南·模拟预测）设等差数列 的首项和公差均为m，等比数列 的首项和公比也均为m，其中
，若数列 的前6项和与数列 的前3项和都等于S，则 （ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
3．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列 的前n项的和为 ，且满足 ，
，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．6 D．
5．（2026·重庆·三模）已知数列 的前 项和为 ， 且 ，则对 ，（ ）
A．
B．
C．存在常数 ，使得
D．存在常数 ，使得
6．（2026·北京昌平·二模）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 为常数列时，
B．对于任意 ， 为递减数列
C．当 时， 为递增数列，且对于任意正整数 ， 成立
D．当 时， 为递减数列，且存在正整数 ，使得 成立7．（2026·河南新乡·三模）已知数列 满足 ，其中 .若 对任意的
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． ， ， 成等比数列 D．若 ，则
9．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则（ ）
A．数列 的公差为2 B．
C． D．当 取得最大值时， 或7
10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知 为等比数列 的前n项和， 为其前n项积，公比 ，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B．使 的正整数n的最小值为5
C． 的最大值为 D．
11．（2026·江西·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．记数列 ，则数列 的前 项的和小于
B．记数列 ，则数列 的前2026项的和为2026
C．D．数列 的前 项的和为
三、填空题
12．（2026·山东济南·模拟预测）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前n项和为 ，若 ，当n
取最大值时， 的最大值为________．
13．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时，
_____.
14．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 ______．
15．（2026·福建龙岩·三模）已知数列 ，设 ．若 ，
，其中 ，当 取得最小值时， __________．
四、解答题
16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 与2的等差中项是 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记 ，试判断 与 的大小关系，并给出证明．
17．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列
a
n

的前n项和为 S n， a 1 0 ，当 n2 时， S n (S n a n 1)S n1．
1
{ }
(1)证明：数列 S 是等差数列；
n
1
2n
a  { }
(2)若 1 2，求数列 S 的前n项和T ．
n na  b  b a a L a
18．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列 n 和 n 满足 n n n1 2n.
a 2n b b b
(1)若 n ，求 1 2 3的值；
1 1 1 t
    t 

(2)若a n，且b b b 3恒成立，求t的取值范围.
n 1 2 n
19．（2026·吉林·三模）有m个编号分别为1,2,

,m的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2
个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类
n
 1nm,nN*
p
推.在以上取球过程中，记从第 个盒子中取出蓝球的概率为 n.
p
(1)求 2；
p
(2)求 n；
np 
(3)求数列 n 的前 n 项和.
20．（2026·山东东营·二模）某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质
地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个．每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中．若抽
得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券．每位顾客只有一次抽奖机会．
(1)求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率；
N  NN*,N 3 
(2)若一个不透明的盒子中共有 个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随
EX
机变量 ．证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为 ；
X N
(3)为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取
出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽
P
n
奖．已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球．求第 位顾客获得七折优惠券的概率 n．X,Y
EX YEXEY
参考公式：若 是离散型随机变量，有 ．