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专题06 等比数列的前n 项和
教学目标
1．掌握等比数列前n 项和的两类核心公式，能根据已知量（首项、公比、末项）灵活
选用公式计算。
2．理解等比数列前n 项和的函数特征，明确q 取不同值时Sn 对应的函数类型及图象
特征。
3．知晓等比数列前n 项和的相关性质，能运用性质解决简单的数列计算与推理问题。
建立Sn 与通项an 的关联认知，理解二者间的一次函数关系及推导逻辑。
教学重难点
重点：
掌握等比数列前n 项和公式及应用，理解Sn 的函数特征与核心性质。
难点：
理解Sn 的指数型函数特征，掌握Sn 与an 的关系推导及性质灵活运用。
知识点01 等比数列的前n 项和公式
已知量
公式
首项
与公比
首项
,末项
与公比
【即学即练】
1．已知
是等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．1022
B．1023
C．1024
D．1025
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为
，由题意可得
解得
则
故选：B.
2．设
是等比数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．4
C．8
D．16
【答案】A
【详解】设公比为
，
因为
，故
，而
，故
，故
，
故选：A.
知识点02 等比数列前n 项和的函数特征
（1）Sn与公比q的关系
等比数列前n项和的函数形式由公比q是否为1 决定，对应两种不同的函数类型，且点(n,Sn)均为对应函
数图象上的孤立点（因n为正整数）。
1.当q=1时，等比数列所有项相等，前n项和公式为：Sn=na1
此式是关于n的正比例函数（a1为常数），点(n,Sn)落在直线y=a1x上。
2.当q≠1且q>0时，等比数列前n项和公式为：Sn=a1(1−q
n)
1 q
−
对公式变形可得：Sn=a1
1 q
−
−a1
1 q
−
⋅q
n，令A=a1
1 q
−
，则Sn= A
−q
n+A。
此时Sn是关于n的指数型函数，点(n,Sn)落在指数型函数y= A
−q
x+A的图象上。
（2）Sn与通项an的关系
该关系仅在公比q≠1时成立，核心结论为：Sn与an成一次函数关系（即Sn=kan+b，k、b为常数）。
推导依据
1.等比数列通项公式：an=a1q
n 1
−
2.前n项和变形公式：Sn= A
−q
n+A（A=a1
1 q
−
）
将q
n=q⋅q
n 1
−代入Sn公式，可得：
Sn= A
q
−⋅
⋅
q
n 1
−+A= q
A
−⋅
⋅
a1
1
−⋅an+A，令常数k= q
A
−⋅
a1
1
−，b=A，则Sn=kan+b，即Sn是an的一次函
数。
【即学即练】
3．若数列
是等比数列，其前
项和
，
为正整数，则实数
的值为 .
【答案】1
【详解】当
时，
，当
时，
，
所以
，
又
是等比数列，所以
是以为首项，
为公比的等比数列，
此数列的前
项和
，则
的值为.
故答案为：1.
4．记
为数列
的前
项和.若
，则
.
【答案】
【详解】
，令
得
当
时，
，
两式相减可得
数列
是首项为
，公比为2 的等比数列，
.
故答案为：
.
知识点03 等比数列前项和的性质
（1）等比数列
中,若项数为
,则
;若项数为
,则
.
（2）若等比数列
的前
项和为
,则
成等比数列(其中
均不为
,公比为
.
【即学即练】
5．等比数列
中，
是其前
项和，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．7
D．
或
【答案】A
【详解】因为
，
，
，
又因为
，
所以
为公比为
的等比数列，
所以
；
故选：A.
6．已知等比数列
的前6 项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则
．
【答案】1
【详解】设公比为
，则
，
其中
，又
，
故
，
，
故
，即
，
解得
.
故答案为：1
题型01 等比数列前n 项和基本量的计算
【例1】记
为正项等比数列
的前
项和，已知
，则该数列的公比为（ ）
A．4
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】设公比为
，
若
，则由
，可得
，解得
，不符合题意，所以
；
由
，则
，显然
，
所以
，即
，
即
，解得
（负值已舍去）.
故选：D
【例2】记两个等比数列
的前
项和分别为
，公比分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为两个等比数列
的前
项和分别为
，公比分别为
，
所以
，化简得
.
解得
或
，因为等比数列的公比不为0，所以
.
故选：B.
【变式1-1】设
是等比数列
的前
项之和，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【详解】设等比数列
的首项为
，公比为
，
当
时，
，所以
.
此时
，所以
.
那么
，因为
成等差数列，
所以
，所以有
，
化简得
，由于
，所以解得
，又
，
所以
，所以
.
故选：C.
【变式1-2】已知各项均为正数的等比数列
的前
项和
满足
，则
．
【答案】
【详解】当等比数列
的公比为1 时，
，不合题意；
所以公比
，可得
，
可得
，即
；
所以
.
故答案为：
【变式1-3】记
是等比数列
的前
项和，
，
，则正整数
的值为（ ）
A．18
B．9
C．6
D．2
【答案】B
【详解】设等比数列
的公比为
，
当
时，
，所以
不成立，故
不符合题意；
当
时，
，
因为
，所以
，或
舍去，
，
因为
，所以
，且
，
所以
，所以
，
因为
且
，
所以
.
故选：B
（1）在等比数列
的五个量
中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；
（2）在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比
或
进行判断,若两种情况都有可能,则要分类
题型02 等比数列片段和问题
【例3】若数列
的前n 项和为
，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列
为等差数列，则
，
，
为等差数列
B．若数列
为等比数列，则
，
，
为等比数列
C．若数列
为等差数列，则
，
，
为等差数列
D．若数列
为等比数列，则
，
，
为等比数列
【答案】C
【详解】对于A，C，设等差数列
的首项为
，公差为
，
所以
.
所以
，
.
所以
，则
，
，
不为等差数列，所以A 错误；
，
.
所以
，
.
所以
，所以
，
，
为等差数列，C 正确；
对于B，当等比数列
的公比
时，
.
由于等比数列的项不能为0，所以
，
，
不为等比数列，B 错误；
对于D，当等比数列
的公比
时，
.
由于等比数列的项不能为0，所以
，
，
不为等比数列，D 错误；
故选：C.
【例4】已知等比数列
的前n 项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．17
B．18
C．
D．
【答案】A
【详解】设
的公比为q，则
，
所以
，又
，
所以
，解得
或
（舍），
所以
，
故选：A．
【变式2-1】已知等比数列
的前n 项和为
且
，若
，
，
，则下列等式恒成立
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是等比数列，设首项是
，公比为
，
，
，
，
当
时，
，
令
，
且
，则
，
，
选项A：
，
，
且
，
，故
不恒成立，故A 错误；
选项B：
，
，
不恒成立，故B 错误；
选项C：当
时，
，
，
，
当
时，
，
，故
，
综上，
恒成立，故C 正确；
选项D：
，
不成立，故D 错误．
故选：C．
【变式2-2】已知
为正项等比数列
的前
项和，且
，
，则
的值为 .
【答案】4
【详解】由正项等比数列
满足
，
当等比数列的公比
时，
，解得
，
则
，
，故
不满足题意；
所以
，根据等比数列的性质，可得
也成等比数列，
即
，
得
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：4.
【变式2-3】已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意知
、
、
成等比数列，所以
，
即
，
所以
，
故当
时，
取得最小值．
故答案为：.
（1 ）等比数列
的前
项和
, 满足
成等比数列( 其中
均不为
,这一性质可直接应用.讨论.
题型03 等比数列奇偶项和的性质
【例5】已知等比数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】本题首先可设公比为
，然后根据
得出
，再然后根据
求出
，最后根据等比数列前
项和公式即可得出结果.
【详解】设等比数列
的公比为
，
则
，
即
，
因为
，所以
，
则
，
即
，解得
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前
项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出
公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
【例6】已知等比数列
共有
项，其和为
，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】设等比数列
的奇数项和为
,偶数项和为
,则
，解得
，
而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比
.
故选：B
【变式3-1】若等比数列
共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列
的公比为 ，项数为 ．
【答案】 2 9
【详解】在等比数列
中，由
，得
，解得
，
设这个数列共有
项，则
，解得
，所以这个等比数列的项数为9.
故答案为：2；9
【变式3-2】已知等比数列
共有2n 项，其和为
，且
，则
公比
．
【答案】2
【详解】设
，
由题意可知：
，解得
，
所以
．
故答案为：2.
【变式3-3】等比数列
中，
，项数为奇数，所有奇数项和为
，所有偶数项和为
，则数列的
公比
.
【答案】
/
【详解】设等比数列
共有
项，
则
，
，
则
，解得
.
故答案为：
.
等比数列的项数是偶数时,
；等比数列的项数是奇数时,
.
题型04 等比数列中Sn 与an 的关系
【例7】已知数列
的前
项和记为
，若
，则
（ ）
A．15
B．31
C．63
D．127
【答案】C
【详解】因为
，
所以当
时，
，即
；
当
时，
，
，
两式作差得
，即
，
所以数列
是等比数列，公比为
，首项为
.
所以
故选：C
【例8】（多选）已知
是数列
的前n 项和，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A：令
，得
，则
，故A 正确；
对于B：
，当
时，有
，两式相减，
得
，整理得
，
又因为
，故
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，易知
是递减数列，故B 错误；
对于C：由B 可知，
，故C 正确；
对于D：将
代入
，可得
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式4-1】已知数列
的前n 项和
满足
，（
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知
，则
，且
，
两式相减得：
，因为
，所以
，故
，
则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，
由于
随n 的增大而减小，故
单调递增，所以
，
综上，
.
故选：C
【变式4-2】已知数列
的前
项和是
，且
，若
，则称项
为“和谐项”，那
么数列
的所有“和谐项”的和为 .
【答案】2047
【详解】由题意得，当
时，
，
所以
，
由
，得
，所以
是公比为2 且首项为1 的等比数列，
所以
，
由
得
，即
，所以和为
.
故答案为：2047.
【变式4-3】已知数列
中，前n 项的和为
，且
(1)求数列
的通项公式；
(2)如果
恒成立，求
最小值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】
【详解】（1）
①，
②，
-
①②得
，即
所以数列
是以
为公比的等比数列，
又
，即
，
所以
（2）
，
则
所以
，
两式相减，得
得
所以
，
解不等式得
若公比q≠1，则Sn与an成一次函数关系（即Sn=kan+b，k、b为常数）
题型05 等比数列中Sn 与n 的关系
【例9】已知数列
的前
项和
，下列结论正确的是（ ）
A．当且仅当
时，
是等比数列
B．当且仅当
时，
是等比数列
C．当且仅当
时，
是等比数列
D．当且仅当
时，
是等比数列
【答案】B
【详解】当
时，
，
当
时，
，
若
是等比数列，则
，因此
，解得
；
当
时，
，
，
，
又
，所以
，
因为当
时，
，
此时数列
是首项为
，公比为的等比数列；
即当且仅当
时，
是等比数列，
故选：B.
【例10】已知
是等比数列
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
因为
为等比数列，
，所以
，
可得：
，
，
易知
构成首项为，公比为
的等比数列，
所以
.
故选：A.
【变式5-1】记
为等比数列
的前
项和，若
（
为常数），则
．
【答案】2
【详解】因为
，所以
，
，
因为
为等比数列，
所以
，即
，解得
.
故答案为：2
【变式5-2】已知等比数列
的前
项和为
，若
，
为实数，则
.
【答案】
【详解】当
时，
，
当
时，
，
所以
，
，因为
为等比数列，所以
，
即
，解得
或0（舍去），
所以
，
，公比
，所以
.
故答案为：
.
【变式5-3】设公比不为1 的等比数列
的前n 项和为
，已知
，则
=（ ）
A．55
B．65
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知
，分别令
，
得
，
，
，
则
，
因为
为公比不为1 的等比数列，
则
，所以有
，
即
，解得
，或
.
由等比数列各项均不为
，可知
，则
.
验证：当
时，
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时也适合上式，故
，
则
，故
是公比为
的等比数列，满足题意.
因此
.
故选：C.
当q=1时，Sn关于n成正比例函数（a1为常数）；
当q≠1且q>0时，Sn是关于n的指数型函数
题型06 等比数列前n 项和的实际应用
【例11】一个球从32m 的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5 次着地时，共经
过的路程是 m．
【答案】92
【详解】依题意，5 次落地的路程分别为：
，
，
，
，
，
第2 项至第5 项是首项为32，公比为
的等比数列，
所以总路程
.
故答案为：92
【例12】（多选）某同学暑假抽出最多15 天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方
案：第一种，每天支付60 元；第二种，第1 天付6 元，从第2 天起，每一天比前一天多付6 元；第三种，
第一天付0.2 元，以后每天比前一天翻一番（即增加1 倍）．假设该同学工作
天，则下列选项正确的是
（ ）
A．按第二种方案得到的劳动总报酬为
B．按第三种方案得到的劳动总报酬为
C．若
，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多
D．若
，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多
【答案】ACD
【详解】第一种，每天支付60 元，则按第一种方案得到的劳动总报酬为
；
第二种，第1 天付6 元，从第2 天起，每一天比前一天多付6 元；则每天的报酬构成首项为
，公差为
的
等差数列，
则按第二种方案得到的劳动总报酬为
，即A 正确；
第三种，第一天付0.2 元，以后每天比前一天翻一番（即增加1 倍），
则每天的报酬构成首项为
，公比为
的等比数列，
则按第三种方案得到的劳动总报酬为
，即B 不正确．
因为
，
，
，
所以若
，则选择第一种方案得到的劳动总报酬最多，故C 正确．
因为
，
所以选择第三种方案得到的劳动总报酬最多，故D 正确．
故选：ACD.
【变式6-1】按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，...来标记纸张的
幅面规格，具体规格标准为：①A0 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为
；②将
纸张
平行幅宽方向裁开成两等份，便成为
规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0 规
格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4 规格纸张40 张，A2 规格纸张10 张，A1 规格纸张5 张.为满足上述要求，
至少提供A0 规格纸张的张数为 .
【答案】8
【详解】依题意1 张A0 规格的纸张可以裁剪出2 张A1 规格的纸张，或4 张A2 规格的纸张，或16 张A4
规格的纸张,
设一张A0 规格的纸张的面积为
，
则一张A1 规格的纸张的面积为
，一张A2 规格的纸张面积为
，一张A4 规格的纸张面积为
；
依题意共需要的纸张面积为
，
所以至少提供8 张A0 规格的纸张，
其中将3 张A0 规格的纸张裁成5 张A1 和2 张A2，将2 张A0 规格的纸张裁成8 张A2，
将剩下的3 张A0 规格的纸张裁成48 张A4 规格，
共可以裁出A4 规格纸张48 张，A2 规格纸张10 张，A1 规格纸张5 张.
故答案为：8
【变式6-2】（多选）在流行病学中，基本传染数
是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情
况下，一个感染者平均传染的人数.
一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过
程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数
，平均感染周期为7 天（即每个感染者7 天内感
染3 人），则下列说法正确的是（初始感染者传染
个人为第一轮传染，这
个人每人再传染
个人为
第二轮传染……）（ ）
A．第5 轮新增感染人数为243
B．由1 个初始感染者经过
轮传染后得此传染病的总人数约为
C．感染人数由1 个初始感染者增加到1000 人大约需要6 轮传染
D．感染人数由1 个初始感染者增加到2026 人大约需要49 天
【答案】ACD
【详解】设第
轮感染人数为
，
由题意可知数列
为等比数列，其首项
，公比
，
所以
，
对于A,当
时，
，故A 正确；
对于B，由题意可得
，
所以由1 个初始感染者经过
轮传染后得此传染病的总人数约为
，故B 错误；
对于C，由B 可知由1 个初始感染者经过
轮传染后得此传染病的总人数约为
，
令
，
得
，
又因为
，
，
又
，
所以
，
即感染人数由1 个初始感染者增加到1000 人大约需要6 轮传染，故C 正确；
对于D，令
，
得
，
因为
，
，
所以
，
所以感染人数由1 个初始感染者增加到2026 人大约需要7 轮，约需要
天，故D 正确.
故选:ACD.
【变式6-3】（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到
米．要登上皂幕山的最高峰，
一共需要走
级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前
分钟中，每分钟走
级
阶递，由于体力有限，小明每隔
分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔
分钟，其速度降低
，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：
，
，
，
）
A．小吉到达最高峰的时间比小明早
B．小明到达最高峰的时间比小吉早
C．小吉登上最高峰所需时间多于
分钟
D．两人到达最高峰的时间差距超过
分钟
【答案】AC
【详解】记第
个
分钟小明和小吉走的级数分别为
、
，
则由题意可知
，
，且
，
，
故数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
且
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
且
，
所以数列
和
前
项和分别为：
，
，
所以
，
，
而
，故第
个
分钟小明每分钟走的级数为
，
所以小明登上最高峰所需时间为
分；
因为
，
，
而
，故第
个
分钟小吉每分钟走的级数为
，
所以小吉登上最高峰所需时间为
分，
且
分，
，
所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过
分钟，小吉登上最高峰所需时间多于
分钟.
故选：AC.
题型07 分组求和法
【例13】已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前20 项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）在数列
中，
，
当
时，
，
两式相减得
，
则
，
由
可得
，
所以当
，
依然成立，
的通项公式为
.
（2）由（1）得
则
，
所以数列
的前20 项和
.
【例14】已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
，则
，
所以
.
【变式7-1】已知数列
的前
项和为
，且
，则
的值为（ ）
A．107
B．169
C．1389
D．1409
【答案】D
【详解】依题意，
.
故选：D
【变式7-2】已知等差数列
的前
项和
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，则
，
可得
，即
；
且
符合上式，所以
.
（2）因为数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
则
，即
，可得
，
所以
.
【变式7-3】已知等比数列
的前
项和
．
(1)求
的值及数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意得
，
，
，
因为
是等比数列，所以
，
即
，解得
，故
．
当
时，
，
当
时，
满足上式，故
．
（2）由（1）得
，则
，
则
.
题型08 错位相减法
【例15】已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】
【详解】（1）根据已知条件，
，令
，解得
，
同理，易得
.
当
时，
，
与
两式相减，得
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
.
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，则
，
两式相减可得
，
整理得
.
【例16】已知数列
的前
项和
.
(1)证明：
；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
由于
，故对
，
，
所以
，而
，
故
；
（2）
，
故
①，
则
②，
式子①-②得
，
故
.
【变式8-1】已知等比数列
中，
，
，数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，因为
，
，
则
，解得
，
所以
，
又
，所以
；
（2）由（1）可得
，
所以
，
则
，
所以
，
所以
.
【变式8-2】已知数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由
，两边同时除以
：
得
，所以
又
，故数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列.
（2）由（1）可知：
，故
；
（3）
，
，
两式相减，得
，
，
故
.
【变式8-3】已知等差数列
的公差
，前
项和为
，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，
，又
，
所以
，解得
，
所以
；
（2）因为
，即
，所以
，
所以
，
所以
，
则
，
所以
，
所以
.
一、单选题
1．已知数列
是等比数列，若
，
，则
（ ）
A．51
B．
C．-13
D．85
【答案】A
【详解】设等比数列
的公比为
，由
，
，得
，解得
，
所以
.
故选：A
2．已知等比数列
的前
项和为
，满足
，公比
，若
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】依题意，
，
，
由
，得
，整理得
，则
，
所以
.
故选：B
3．等比数列
的前n 项和为
，已知
，且
与
的等差中项为
，则
（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
【答案】C
【详解】设等比数列
的公比为
，则
①
由
与
的等差中项为
可得
②，
将①代入②，可得
，解得
，回代入①，解得
，
则
.
故选：C.
4．已知正项数列
满足
，则数列
的前4 项和
（ ）
A．102
B．96
C．120
D．140
【答案】C
【详解】因为
满足
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
是以3 为首项，以3 为公比的等比数列，
所以
.
故选：C.
5．已知
是递增的等比数列，其前
项和为
．若
，则（ ）
A．
B．
C．数列
的前
项和为
D．
【答案】C
【详解】对于A，因为数列
是递增的等比数列，且
，
所以
，即
，
联立得
，解得
或
（舍去），
则
，
，故A 错误；
对于B，则
，故错误；
对于C，易知
，则
，
，
两式相减得
，
，则
，故正确；
对于D，易知
，则
，
所以
是以1 为首项，以
为公比的等比数列，
所以
，
易知
是单调递增，且当
时，
，故错误；
故选：C
6．已知等比数列
中各项均为正数，且
，记
的前
项积为
，且
，则
取最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对任意的
，
，设等比数列
的公比为
，则
，
因为
，则
，所以
，即
，
因为
，所以
，即
，故数列
单调递增，所以
，
故当
且
时，
；当
且
，
.
所以当
时，
最小.
故选：C.
7．设
，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
则
，
则
，
两式作差得
，
所以
，
即得
，
计算得
.
故选：C.
8．已知数列
满足
，若数列
是公比为3 的等比数列，则数列
的前20 项
和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为数列
是公比为3 的等比数列，
所以
，
因此数列
的奇数项和偶数项都是以为公比的等比数列，
所以数列
的前20 项和为：
.
故选：A
二、多选题
9．记公比大于0 的等比数列
的前
项和为
.若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A、B，由
，解得
，故A、B 正确；
对于C：
，故C 错误；
对于D：
，D 正确；
故选：ABD.
10．已知数列
的前
项和为
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，B，由
，可得
，
因为
，
，
，所以
，
解得
，故A 正确，B 错误；
对于C，由A，B 选项的分析可得：
，即
，
又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
即
，所以
，
则
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．设等比数列
的公比
，且
，
，则
.
【答案】
【详解】
，
，
则
，
因为
，解得：
.
又因为
，则
，
所以
.
故答案为：
.
12．已知
，
，记
，则数列
的前
项和
.
【答案】
【详解】由三角函数知：
，
所以
，
数列
是首项为 、公比为
的等比数列，
所以数列
的前
项和
.
故答案为：
13．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025 年1 月开始逐步将本地1000 辆燃油公交车替换为新能源
公交车.记第
个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为
（单位：辆），其中
.从2025 年2 月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10 辆，每月弃置
的燃油公交车数量为上一个月的2 倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0 则不再弃置.则该
地区截止3 月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000 台，且
全部为新能源公交车.
【答案】
【详解】投入的新能源公交车数量构成等差数列
，
首项
，公差
，故
，
，
前3 项和为
.
弃置的燃油公交车数量构成等比数列
，首项
，公比
，
故
，
，前3 项和为
.
截止3 月底公交车总数为
.
设第
月底满足条件，等差数列
前
项和为
.
等比数列
前
项和为
，
当
时，
，剩余燃油
；
时弃置370 辆，燃油全部弃置.
由
，得
，
解得
，故
.
故答案为：1110；11.
四、解答题
14．设数列
的前
项的和为
.
(1)若
是等比数列，且
，
，求
；
(2)若
是公差不为0 的等差数列，且
，
，
成等比数列，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设等比数列
的公比为
.
因为
，所以
，
所以
，
，
则
，整理得
，解得
，所以
.
所以
.
（2）设等差数列
的公差为
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
.
15．已知等差数列
和等比数列
满足：
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前10 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设
的公差为d，
的公比为q．
由题知
，消元得：
，解得
或
（舍），
所以
即
．
（2）因为
．
所以
．
16．已知数列
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项和为
，求满足
的最大整数
．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设
的公比为
，则
，
因为
，所以
，则
，
则
，即
，
整理得
，解得
或
（舍去），则
，
所以
．
（2）由（1）可知
，
故
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，
故
随着
的增大而增大，
又
，
，
所以满足
的最大整数
．
