文档文本内容
专题4.3.2 独立性检验
教学目标
1.理解2×2 列联表的结构，能准确读取和填写表格数据；
2.牢记独立性检验的统计量公式，会代入数据计算；
3.掌握基于小概率值的检验规则，能判断两变量是否独立。
教学重难点
重点：2×2 列联表的应用、检验统计量计算、独立性判断规则；
难点：统计量计算的准确性、检验规则的理解与规范应用。
知识点01 2×2 列联表
设X，Y 为两个变量，它们的取值分别为
和
，其样本频数列联表(
列联表)如下：
总计
a
b
a＋b
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
知识点02 独立性检验
①利用随机变量
(也可表示为
)
(其中
为样本容量)来判
断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验；
②基于小概率值
的检验规则：
当
时，我们就推断H0不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过
；
当
时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X 和Y 独立
【即学即练】
1．为了考察某种药物A 对预防疾病B 的效果，进行了200 次动物试验，得到如下列联表：
药物A
疾病B
合
计
患病
未患病
服用
100
未服
用
40
60
100
合计
200
在服用药物A 的动物中，患病的频率为0.2.
(1)求x，y；
(2)依据小概率值
的独立性检验，是否认为服用药物A 对预防疾病B 有效?
附：
，
.
0.1
0.05
0.01
0.00
5
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
题型01 2×2 列联表
【例1】一个
列联表如下：
合计
35
45
7
合计
73
则表中
，
的值分别是 （ ）
A．10，38
B．17，45
C．10，45
D．17，38
【例2】下面是一个2×2 列联表：
项目
y1
y2
总计
x1
a
2
1
70
x2
5
c
30
总计
b
d
100
则由上表可得
.
【变式1-1】如下是一个
列联表，则
.
y1
y2
总计
x1
a
35
45
x2
7
b
n
总计
m
73
s
【变式1-2】下表是
、
两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完
善表格.
单位：人
类别
愿意选择“物理”
不愿意选择“物
理”
总计
班
20
42
班
16
总计
44
【变式1-3】某电视台对年龄高于40 岁和不高于40 岁的人是否对打乒乓球感兴趣进行调查，随机调查了高
于40 岁的60 人，不高于40 岁的40 人，根据样本数据绘制等高堆积条形图如图所示，写出2×2 列联表．
题型02 卡方的计算
【例3】为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下
列联表：
性别
晚上
白天
总计
女
30
男
30
总计
40
90
则
的值最接近（附：
，
）（ ）
A．18
B．11
C．8
D．6
【例4】已知某校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动
的满意程度，该校随机抽取了350 人进行调查，整理得到如下列联表，则认为该校学生对课外活动的满意
情况与性别有关联的把握为（ ）
性别
满意情况
满意
不满意
总计
男
150
100
250
女
50
50
100
总计
200
150
350
A．5%
B．90%
C．95%
D．99%
【变式2-1】交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线上有自
东向西依次编号为1，2，…，21 的21 个车站．为调查编号为10 和11 两个站点的乘客对调图的满意度是
否有差异，在这两个站点多次乘坐列车
的旅客中，随机抽取100 名旅客，并得出如下列联表，则
的值
约为（ ）
车站编号
满意度
满意
不满意
总计
10
28
12
40
11
57
3
60
总计
85
15
100
A．6.923
B．7.851
C．10.635
D．11.765
【变式2-2】下面是一个2×2 列联表：
X
Y
合计
10
30
70
80
合计
20
110
附：
，其中
则
(保留小数点后3 位)
【变式2-3】某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职
工中各随机抽取了100 人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40 和
20，则下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：
，其中
．
A．依据小概率值
的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值
的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．根据小概率值
的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
题型03 独立性检验解决实际问题
【例5】近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司
机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000 名司机，得到的
列联表如下：
偏好新能源车
偏好燃油车
总计
年轻司机
300
200
500
中老年司机
200
300
500
总计
500
500
1000
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？
(2)该新能源车企生产的一款汽车在2025 年上半年每个月的销量
（千辆）与月份
线性相关，数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
销量
（千
辆）
0.8
0.9
1.1
1.1
1.3
1.4
求
关于
的线性回归方程.
参考公式及数据：
.
，其中
.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
【例6】近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男女
､
､
消费者各100 名，得到如下列联表：
男消费者
女消费者
合计
喜欢粗加工水产品
65
40
105
喜欢深加工水产品
35
60
95
合计
100
100
200
(1)从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为
，事件“此人喜欢深加工水产品”为
，求
和
；
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？
附：
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【变式3-1】为庆祝中国共产主义青年团成立100 周年，引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校
举办了“青春心向党，建功新时代”的团史知识竞赛，100 名学生的得分情况如下表：
得分
男生
3
7
15
9
6
女生
4
18
28
6
4
规定得分不低于80 分的学生可获得“团史学习之星”荣誉称号.请完成下面
列联表，并判断是否有
99%的把握认为学生获得“团史学习之星”荣誉称号与性别有关？
未获得荣誉称号
获得荣誉称号
合计
男生
女生
合计
附：
.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【变式3-2】随机询问80 名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业
买食品时是否看营养说明
合计
不看营养说明
看营养说明
从事与医疗相关行业
12
28
40
从事与医疗无关行业
18
22
40
合计
30
50
80
依据小概率
的
独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【变式3-3】为考察国产14 纳米光刻机和进口14 纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500 台14 纳米光刻
机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表：
良品
次品
合计
国产14 纳米光刻机
170
80
进口14 纳米光刻机
150
100
250
合计
180
500
(1)求
，
的值，并以频率估计概率，估计国产14 纳米光刻机的次品率；
(2)根据小概率值
的独立性检验，能否判断国产14 纳米光刻机与进口14 纳米光刻机质量有差异?
附：
，其中
为样本容量.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
题型04 独立性检验中的参数与最值问题
【例7】某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的
关系，现从该地区随机抽取
名居民，统计数据如下：
生活习惯
合
计
良
好
不够良
好
患有该疾病居民
0.6n
1.4n
2n
未患有该疾病居
民
1.2n
0.8n
2n
合计
1.8n
2.2n
4n
若根据小概率值
的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则
从该地区抽取居民人数至少为（ ）
附：
，
．
A．60
B．76
C．80
D．100
【例8】某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．
调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4 小时的人数占比为
，抽取的女生中每周平均体育
运动时间超过4 小时的人数占比为
，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均
体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ）
附：
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A．60
B．65
C．70
D．75
【变式4-1】针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，
其中被调查的男生女生人数均为
､
人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的
，女生中喜欢
短视频的人数占女生人数的
.零假设为
：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断
不成立，此推断犯
错误率不超过
，则
的最小值为（ ）
附：
，附表：
0.05
0.01
3.841
6.635
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式4-2】校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生
人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的
，女生选学生物学的人数占女生人数的
.若依据小概率值
的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人.
附表：
0.10
0
0.05
0
0.01
0
0.00
5
0.001
2.70
3.84
6.63
7.87
10.82
6
1
5
9
8
其中，
，
.
A．20
B．30
C．35
D．40
【变式4-3】针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，
调查样本中女生人数是男生人数的
，男生追星的人数占男生人数的
，女生追星的人数占女生人数的
，
若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（ ）
参考数据及公式如下：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A．12 人
B．11 人
C．10 人
D．18 人
一、单选题
1．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
①若
的观测值为
，我们有
的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100 个吃零食的人中必
有99 人是女性；
②从独立性检验可知有
的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可
能性为
；
③若从统计量中求出有
的把握认为吃零食与性别有关系，是指有
的可能性使得出的判断出现错误.
A．①②
B．①③
C．②③
D．③
2．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲和乙两家公司今年分别提供了2 个和3
个不同的职位，一共收到了100 份简历，具体数据如下表．
公司
求职者（专业/性别）
文
史/男
文史/女
理
工/
男
理工/女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5
0.400
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
0.708
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分析毕业生的选择意愿与性别的关联知，对应的
的观测值
；分析毕业生的选择意愿与专业的
关联知，
的观测值
．则下列说法中正确的是（ ）．
A．有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联
B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大
C．理工专业的毕业生更倾向于选择乙公司
D．女性毕业生更倾向于选择甲公司
3．根据分类变量
与
的观测数据，计算得到
，依据小概率值
（
）的独立性
检验，则（ ）
A．变量
与
不独立
B．变量
与
独立
C．变量
与
不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
D．变量
与
独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1
4．为了了解疾病A 是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50 人进行了问卷调查，得到了如下的列联
表：则认为疾病A 与性别有关的把握约为（ ）
患疾病A
不患疾病A
总计
男
20
5
25
女
10
15
25
总计
30
20
50
A．
B．
C．
D．
5．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500 名使用血清的人与另外500 名未使用血
清的人一年中的感冒记录作比较，利用
列联表计算得
的观测值
.
附表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数
的
，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的
，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的
，
若有
的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（ ）(参考数据：
)
A．30 人
B．24 人
C．18 人
D．12 人
二、多选题
7．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120 位用户进
行调研，得到的调研数据如下表所示，则（ ）
年龄
周平均使用时间
超过4 小时
不超过4 小时
总计
不超过40 岁
54
b
72
40 岁以上
c
d
总计
72
120
附：
，
．
（1）当
时，没有充分的证据判断变量A，B 有关联，可以认为变量A，B 是没有关联的；
（2）当
时，有90%的把握判断变量A，B 有关联；
（3）当
时，有99%的把握判断变量A，B 有关联；
（4）当
时，有99.9%的把握判断变量A，B 有关联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4 小时的概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时与年龄有关
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4 小时与年龄有关
8．某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课程是否和性别有关进行调查，其中被调查的男生
和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的
，女生中选修外出研学课程的人数
占女生总人数的
．若依据
的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据
的独立
性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查的男生可能有（ ）
附：
0.05
0.01
3.841
6.635
，其中
．
A．150 人
B．220 人
C．300 人
D．350 人
三、填空题
9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
，因
为
，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ．
10．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市
文旅局随机选择100 名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100 分），80 分及以上为良好等
级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，
该市文旅局再次随机选择100 名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为
120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段
（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）．
11．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了
使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同
学各50 名，整理得到下列
列联表：
性别
兴趣爱好
感兴趣
不感兴趣
总计
男
50
女
50
总计
80
20
100
使得“有
但没有
的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的
的一个值为 ．
四、解答题
12．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了
一项调查，统计结果如下表（单位：人）.
使用人数体验
青年男性使用人数
青年女性使用人数
总计
较好
200
一般
100
总计
(1)求出
，
的值；
(2)依据小概率值
的
独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否
存在差异.
附：
，
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
13．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100 名学生，得到部分统计数据如
下表：
学业成绩
使用手机
小时
使用手机
小时
良好
20
不良好
40
记事件
“学业成绩良好且使用手机
小时”，事件
“学业成绩不良好且使用手机
小时”，已
知事件
的频率是事件
的频率的3 倍.
(1)求表中的
，
的值；
(2)记使用手机
小时的学生中学业成绩良好的概率为
，求
的估计值；
(3)根据上述数据，请画出
列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成
绩”有关？请说明理由.
参考数据：
，其中
.
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
14．某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为
交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频繁发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率
降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口
的行人中随机抽取了200 人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下
列联表：
30 岁及以下
30 岁以上
总计
闯红灯
60
未闯红灯
80
总计
200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济
处罚，了研究不同处罚金额的效果，交警部门在试行四种不同处罚金额（5 元、10 元、15 元、20 元）的情
形下，每种情形均随机抽取200 人进行调查，统计了闯红灯的人数，汇总如下表：
处罚金额（单
位：元）
5
10
15
20
闯红灯的人数
50
40
20
0
将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题.
(1)将
列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚
前，是否有
的把握认为闯红灯与年龄有关？
(2)当处罚金额为10 元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？
(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.
