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拓展提升01 几何体中的截面问题
题型01 判断截面形状
解题锦囊
作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体与截面的交线.
【典例1】（（25-26 高二上·上海·单元测试）在正方体
中，P、Q、R 分别是棱BC、
、
的中点，过P、Q、R 三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【变式1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体
中，作截面
如图交
，
，
，
分别于
，
，
，
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
【变式2】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体
中，点
分别是
的
中点，过点
的平面截该正方体所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，
，
，
，
，
，
，
为
所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与
，
，
三点所在平面平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体
中，点
、
满足
，则平面
截正方体
形成的截面图形为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【变式5】（2025 高三下·全国·专题练习）在长方体
中，过直线
的平面交直线
于
点E，交直线
于点F，则四边形
的形状为 .
题型02 截面周长问题
解题锦囊
先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的
问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，
快速破解问题．
【典例2】（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2，若K 为棱
的中点，过A，C，K 三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ）．
A．
B．6
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·四川内江·开学考试）一棱长为
的正四面体木块如下图所示，点
在平面
内，过点
将木块锯开，且使截面平行于直线
和
，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【变式2】（23-24 高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台
中，上底面边长为4，
下底面边长为6，体积为
，点E 为AD 中点，过点E 的平面α 与平面
平行，且与正四棱台各面
相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·高一·全国·单元测试）正方体
的棱长为1cm，过
作平行于对角线
的截面，则截面面积为
；其周长为 cm．
【变式4】（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱
中，
，
，
，
分别为棱
，
，
的中点，过
，
，
三点作正三棱柱
的截面，则截面与
侧面
的交线长为 .
题型03 截面的面积问题
【典例3】（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知正四棱柱
中，
(点E 在棱
BB1上)，
，则该四棱柱被过点
，
，
的平面截得的截面面积为
A．
B．36
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·重庆·期末）已知正方体
，E，F，G 分别为棱AB，
，
的中点，若平面EFG 截该正方体的截面面积为
，点P 为平面EFG 上动点，则使
的点P 轨迹
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）在边长为2 的正方体
中，E，F，G 是
的中点，那么过点E，F，G 的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边
形”中选择一个）；截面图形的面积为 ．
【变式3】（24-25 高二上·广西柳州·期中）如图，正方体
的棱长为2，E，F 分别为
的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为 .
【变式4】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）在棱长为2 的正方体
中，则它的外接球的表面
积为 ；若E 为
的中点，则过B、D、E 三点的平面截正方体
所得的截面面
积为 .
题型04 圆柱、圆锥、圆台中的截面问题
解题策略：
圆柱体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面垂直于底面去截时，得到的截面是矩形；
当平面既不平行也不垂直于底面去截时，得到的截面是椭圆或椭圆的一部分。
圆锥体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面通过圆锥的顶点且垂直于底面去截时，
得到的截面是等腰三角形；当平面既不平行于底面，也不通过顶点去截时，得到的截面是椭圆或抛物线或
双曲线的一部分。
【典例4】（24-25 高三下·浙江杭州·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，则它的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（1）（4）
D．（1）（5）
【变式2】（23-24 高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为
，底面积为
，平行于圆锥底面的
截面面积为
，则截面与底面的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·广东深圳·三模）底面半径为3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、
高为2 的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱
B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱
D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
【变式5】（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为
，则过圆锥母线的截面面积的最大值为
.
题型05 球的截面问题
解题策略：
球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 之间满足关系式：
.
【典例5】（2025 高一·全国·专题练习）四面体
的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过点E 作其外接球
的截面，则截面面积的最小值是 .
【变式1】（24-25 高二下·云南·开学考试）若球
被一个平面所截，所得截面的面积为
，且球心
到该
截面的距离为2，则球
的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
，
，过棱
作球
的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·甘肃兰州·一模）正方体
的棱长为2，平面
截正方体内切球所得的
截面面积为 ．
【变式4】（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知球
的半径为5，球心到平面
的距离为4，则球
被
平面
截得的截面面积为 ．
【变式5】（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）已知正四面体
的四个顶点在球
的球面上，
，
Q 为BC 的中点，则过点
的平面截球
所得截面圆的面积的取值范围是 ．
