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第04 讲 复数的乘法与除法
课程标准
学习目标
1．理解复数的乘、除运算法则，会进行复
数的乘除运算；
2．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，
并能应用周期性进行化简与计算；
3．会在复数范围内求解实系数一元二次方
程.
1．通过学习复数的乘法和除法，培养数学运算核心素
养；
2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养数学
抽象核心素养.
知识点01 复数的乘法
1、复数乘法的运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋
bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方
（1）复数乘方的定义：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数
幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z 和自然数m、n 有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
（2）虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.
【即学即练1】（24-25 高三下·河南驻马店·阶段练习）已知i 为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 复数的除法
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
(a+bi)÷(c +d i)= a+bi
c +d i = (a+bi)(c−d i)
(c +d i)(c−d i) = (ac +bd)(bc−ad)i
c
2+d
2
= ac +bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，
＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
【即学即练2】（24-25 高一下·天津武清·阶段练习）已知i 是虚数单位，则复数
．
知识点03 复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x = −b±
❑√b
2−4 ac
2a
②当∆<0时，x = −b±
❑√−(b
2−4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
（3）若m+ni(m，n∈R)是方程的虚数根，则m−ni(m，n∈R)也是方程的根，且满足根与系数的
关系.
【即学即练3】（24-25 高一下·浙江湖州·阶段练习）已知
是方程
的一个根，则
．
题型01 复数的乘法运算
【典例1】（2025·河北保定·一模）已知为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·山东枣庄·期末）复数
的虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式2】（2025·陕西榆林·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3】（24-25 高三下·山东·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2025 高三下·全国·专题练习）若复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 复数的除法运算
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数
，则
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式1】（2025·山东济宁·一模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（2025·山东菏泽·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·河北·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知
，为虚数单位，若
为实数，则
．
题型03 复数的乘方运算
【典例3】（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）复数
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·江西·二模）若集合
（i 是虚数单位），
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·重庆·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式3】（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）若
，
，则
的取值可以是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式4】（24-25 高三下·上海·阶段练习）设i 是虚数单位，则
．
题型04 根据乘除运算结果求参数
【典例4】（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数
满足
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．0 或2
【变式1】（23-24 高三下·湖南·阶段练习）若复数
满足
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·陕西商洛·期末）已知a，b 均为实数，
，则
.
【变式3】（23-24 高一下·浙江·期中）设
为虚数单位，且
，则
．
【变式4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且
，则
的值为
．
题型05 复数的运算性质
【典例5】（24-25 高一下·山西·阶段练习）已知
，
均为复数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是实数
C．若
，则
是纯虚数
D．若
，则
【变式1】（24-25 高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数
为
的共轭复数，则下列结论一定正确的
是（ ）
A．
B．
一定是实数
C．若
，则
D．
【变式2】（24-25 高一下·山东·阶段练习）设
为复数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】（24-25 高二下·山西·阶段练习）已知复数
，
，则下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式4】（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知复数
，
，
为
的共轭复数，则下列结论中一定
成立的是（ ）
A．
为虚数
B．若
，则
C．
D．若
，则
的最小值为
题型06 复数范围内方程的根
【典例6】（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程
的两个根分别为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·河北石家庄·期末）已知
是关于
的方程
的一个根，
均为
实数，则
（ ）
A．7
B．3
C．
D．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·云南玉溪·阶段练习）已知
，关于
的方程
的一
个根是
，另一个根是
，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ）
A．复数
对应的点在第四项象限
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·浙江湖州·阶段练习）已知
是方程
的一个根，则
．
【变式4】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数
满足
.
(1)求复数
和
；
(2)若复数
是关于
的方程
的一个根，求实数a，b 的值.
一、单选题
1．（24-25 高三下·北京·阶段练习）复数
的虚部为（ ）
A．
B．i
C．
D．
2．（河南省安阳市2025 届高三第二次模拟考试数学试题）若复数
在复平面内对应的点位于
轴上，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（山东省济南市2025 届高三下学期3 月模拟考试数学试题）设复数
满足
（为虚数单位），
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·北京朝阳·一模）设复数
的共轭复数为
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
5．（北京市石景山区2025 届高三一模考试数学试题）在复平面内，复数
对应的点坐标为
，
则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．（24-25 高三上·上海奉贤·期中）设
，则
是
的（ ）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
7．（2025 高三·全国·专题练习）若复数
满足
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
8．（24-25 高一下·山东·阶段练习）已知复数
可以表示为
，其中
，
是以
轴非负半轴为始边，向量
所在射线为终边的角．已知
与
的乘积
，则将向量
绕原点
逆时针旋转
，长度变为原来的2 倍后，得到向量
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数
满足
，则（ ）
A．
的实部为3
B．
的虚部为
C．
D．
在复平面内对应的点在第四象限
10．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，
表示
的共轭复数，复数
满足
，则下列正确的是（ ）
A．
的虚部为
B．
C．
是纯虚数
D．若
是方程
的一个根，则
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知
都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南玉溪·期中）求值：
.
13．（2025·新疆喀什·二模）
的虚部为 ．
14．（24-25 高三下·上海·阶段练习）若
是关于
的实系数方程
的一个复数根，则
.
四、解答题
15．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）（1）已知
，若
为纯虚数，求m 的值．
（2）已知复数z 满足
，求z．
16．（24-25 高二上·全国·开学考试）已知复数
．
(1)若
，求
；
(2)在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求
的大小．
17．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）已知复数
（
，为虚数单位）.
(1)若
为纯虚数，求实数a 的值；
(2)若
，且复数
在复平面内所对应的点位于第四象限，求a 的取值范围.
18．（24-25 高二上·湖北恩施·期中）已知
(1)求
；
(2)若复数
满足
在复平面内对应的点为
，且点
，求
的取值范围．
19．（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“
维形态复数
”：
，其中为虚数
单位，
，
.
(1)当
时，证明：“2 维形态复数”是“1 维形态复数”的平方；
(2)若“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等，求
的值.
