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第五章 统计与概率 章末题型大总结
题型01 统计的相关概念
2
【典例1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）下列调查中，适合用普查的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量
C．了解一批电池的使用寿命
D．了解某市居民对废电池的处理情况
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（
）
A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率
B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间
C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况
【变式2】（23-24 高一下·新疆伊犁·阶段练习）为了解某中学高一年级600 名学生的身高情况，抽查了其
中100 名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生的身高是总体的一个个体
C．100 名学生的身高是总体的一个样本
D．600 名学生的身高是总体
【变式3】（23-24 高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的
50种饮料中抽取了
种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，
是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本
D．样本量
题型02 抽样方法
解题锦囊
（1）普查
像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．
（2）总体、个体
在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目
的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体．
（3）抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
样本
从总体中抽取若
个个体进行考察
这若
个个体所构成的集合叫做总体的
个样本
样本中
3
【典例1】（24-25 高二上·安徽·阶段练习）为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分
层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的
参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7 人，则参加调研的总人数是（ ）
A．133
B．170
C．70
D．63
【变式1】（24-25 高一上·全国·课堂例题）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（ ）
A．从10 名同学中抽取3 人参加座谈会
B．红星中学共有学生1600 名，其中男生840 名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量
为200 的样本
C．从1000 名工人中，抽取100 人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）①一次数学考试中，某班有12 人的成绩在100 分以上，30 人的
成绩在90～100 分，12 人的成绩低于90 分，现从中抽取9 人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的
工作人员为参加
接力赛的6 支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层抽样
D．分层抽样，分层抽样
【变式3】（23-24 高一下·云南玉溪·阶段练习）某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700 个零件
进行抽样，先将700 个零件进行编号，
.从中抽取70 个样本，下图是利用软件生成的
随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3 位数，只要读取的号码落在编号范
围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70 个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中
第2 行第6 列的数2 开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6 个样本编号是（
）
A．007
B．328
C．253
D．623
【变式4】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）某校高一年级有810 名学生，现用比例分配的分层随机抽样
解题锦囊
随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样两种：
4
方法抽取一个容量为72 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为
（ ）.
A．450
B．360
C．400
D．320
题型02 数据的数字特征与数据的直观表示
【典例2】（23-24 高一下·四川乐山·期末）（多选）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支
如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．娱乐开支比通信开支多5 元
B．日常开支比食品中的肉类开支多100 元
C．娱乐开支金额为100 元
D．肉类开支占储蓄开支的
【变式1】（24-25 高一上·广西南宁·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．如图
描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以
千米小时的速度行驶小时，消耗10 升汽油
D．某段道路机动车最高限速40 千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【变式2】（23-24 高一下·重庆巫山·期末）（多选）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选
解题锦囊
扇形图体现各部分数量关系,柱形图和折线图体现具体数量和变化趋势.解决此类问题的通用方法是根据
图像逐项分析.
5
科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，
并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为96
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取
人，则生史地组合抽取
人
【变式3】（多选）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公
里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲跑步里程的极差等于110
B．乙跑步里程的中位数是270
C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为
，
，则
D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为
，
，则
题型04 用样本的数字特征估计总体的数字特征
6
【典例4】（24-25 高二上·四川成都·期中）2024 年度最具幸福感城市调查推选活动于9 月16 日正式启动，
在100 个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前
生活状态满意程度的指标，常用区间
内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高，现随机抽
取10 位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（
）
A．该组数据的第60 百分位数为7.5
B．该组数据的极差为5
C．该组数据的平均数为7.5
D．该组数据的中位数为7
【变式1】（24-25 高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10
人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ）
学生数
平均
分
方差
男生
6
80
4
女生
4
75
2
A．77.5，9.2
B．77.5，11
C．78，9.2
D．78，11
【变式2】（24-25 高二上·云南迪庆·期中）已知样本数据90，100，95，110，105，则（ ）
A．极差为20
B．平均数为103
C．方差为50
D．
分位数为97
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古·期末）（多选）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、
乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ）
A．丙组数据的中位数为5
B．甲组数据的70%分位数是2
C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差
【变式4】（24-25 高二上·浙江·期中）（多选）从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他
们的月用电量都在
之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如
图所示，以下选项正确的有（ ）
解题锦囊
样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括平均数、众数、中位数;另一类是
反映样本数据的波动大小的,包括样本方差及标准差.通常,在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要
研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动
性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,稳定性越好.
7
A．
B．本组样本的众数为250
C．本组样本的第45 百分位数是300
D．用电量落在区间
内的户数为82
题型05 用样本的分布估计总体的分布
【典例5】某市甲、乙两个监测站在10 日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如
图所示，以下说法正确的是（ ）
A．这10 日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站
B．这10 日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数
C．这10 日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167
D．这10 日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值
解题锦囊
1、频率分布直方图
（1）各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组
的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1．
(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数值.
(3)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点的横坐标之和.
(4)众数:最高的矩形底边中点的横坐标.
2、由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的
第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本
容量较大时,作图较烦琐.
8
【变式1】（23-24 高二下·上海·期中）（多选）从某个品种的小麦中随机选取14 株，测量麦穗长度（单位：
），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的
是（ ）
A．小麦麦穗长度的极差是3.9
B．小麦麦穗长度的中位数等于众数
C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数
D．小麦麦穗长度的第75 百分位数是10.6
【变式2】（24-25 高二上·湖北·阶段练习）某校组织50 名学生参加庆祝中华人民共和国成立75 周年知识
竞赛，经统计这50 名学生的成绩都在区间
内，按分数分成5 组：
，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，
下列结论错误的是（ ）
A．成绩在
上的人数最少
B．成绩不低于80 分的学生所占比例为
C．50 名学生成绩的极差为50
D．50 名学生成绩的平均分小于中位数
【变式3】（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）（多选）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000 名
考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为
，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列
说法中正确的是（ ）
9
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8 分
B．考生参赛成绩的第75 百分位数约为82.5 分
C．分数在区间[60,70)内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200 的样本，则成绩在区间
应抽取30 人
题型05 互斥事件与对立事件
【典例5】（23-24 高二上·河南·阶段练习）现有8 张卡片，有3 张分别印有“一等奖”，“二等奖”，
“三等奖”，其余5 张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1 张，设事件A 表示“甲没有中奖”，事件B 表示
“甲获得一等奖”，事件C 表示“甲获得二等奖”，事件D 表示“甲获得三等奖”，事件E 表示“甲中
奖”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A 和事件E 是对立事件
B．事件B 和事件C 是互斥事件
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·西藏拉萨·期末）从装有3 只红球，3 只白球的袋中任意取出3 只球，则下列每
对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（ ）
A．“取出2 只红球和1 只白球”与“取出1 只红球和2 只白球”
B．“取出2 只红球和1 只白球”与“取出3 只红球”
C．“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只白球”
D．“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只红球”
【变式2】（23-24 高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件
“出现点数为奇数”，
事件
“出现点数为3”，事件
“出现点数为3 的倍数”，事件
“出现点数为偶数”，则以下选
项正确的是（ ）
A．B 与D 互斥
B．A 与D 互为对立事件
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知事件
两两互斥，若
解题锦囊
(1)不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空集．在互斥的基础上必有一个发
生的是对立事件，互为对立的两个事件的概率之和为1.
(2)求较复杂事件的概率一般可分为三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它
们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
10
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6 个除颜色外完全相同的小球，其中3 个红球，
2 个绿球，1 个黄球.若从中任取2 个小球，则下列判断错误的是（ ）
A．恰有一个红球的概率为
B．两个球都是红球的概率为
C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥
D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立
题型06 事件的独立性
【典例6】（24-25 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件
：两次
的点数之和为偶数，
：两次的点数之积为奇数，
：第一次的点数大于2，则（ ）
A．
B．
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【变式1】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）（多选）已知事件
，
满足：
，
，则
（ ）.
A．若
，
互斥，则
B．若
，
互斥，则
C．若
，
互相独立，则
D．若
，
互相独立，则
【变式2】（23-24 高一下·广东湛江·期末）（多选）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓
解题锦囊
1、相互独立事件的概念
对任意两个事件
与
，如果
成立，则称事件
与事件
相互独立，简称为独立．
2、相互独立事件的性质
（1）事件
与
是相互独立的，那么
与
，
与
，
与
也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：
．
．
11
住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80 元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客
小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
【变式3】（23-24 高一下·吉林·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚正面
朝上”，事件
“第二枚正面朝上”，事件
“两枚硬币朝上的面相同”，事件
“两枚硬币朝上
的面不同”，则（ ）
A．
B．B 与C 互斥
C．C 与D 互为对立
D．A 与C 相互独立
题型07 古典概型
【典例7】（23-24 高一下·甘肃白银·期末）（多选）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点
数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程
有实数解
【变式1】（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）（多选）某年级有12 个班，现要从2 班到12 班中选1 个班的
学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不
正确的有（ ）
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6 班被选到的概率最大
D．不公平，7 班被选到的概率最大
【变式2】（23-24 高一下·山东临沂·期末）（多选）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2 个黑球、3
个白球，现从盒子里随机取出2 个小球，记事件
“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件
“两个球中至多一个黑球”，事件
“两个球均为白球”，则（ ）
解题锦囊
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，经常出现此种概型的题目．
用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的样本空间的样本点是否是等可能的，同时要弄清所求事件所
包含的等可能出现的结果(样本点)的个数．
12
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5 这5 个数字中不放回地任取两个数，则
两个数都是奇数的概率是 .
【变式4】（23-24 高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创
造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用
横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10 记为“—”，62 记
为“
”．现从由4 根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ．
题型08 频率与概率的关系
【典例8】（24-25 高二上·湖北武汉·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做
了
次试验，发现正面朝上出现了
次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
【变式1】（24-25 高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数m
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
【变式2】（24-25 高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9 个红球，3 个
白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸
到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
【变式3】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样
本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
解题锦囊
(1)求一个事件的概率的一种方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才可看作该事件的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
13
赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4500
车辆数/辆
600
80
110
120
90
若每辆车的投保金额均为2500 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新
司机的占15%，在赔付金额为4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，
获赔金额为4500 元的概率为 ．
题型09 概率与统计的综合问题
【典例9】（24-25 高二上·四川绵阳·期中）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选
择一般从A，B，C，D 四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5 分，选错的得0 分；
多项选择题一般从A，B，C，D 四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确
的），其评分标准为全部选对的得6 分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3 分，三个答案的每
个答案2 分），有选错的得0 分.
(1)考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5 分的概率；
(2)考生乙有一道答案为ABD 多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4 分的概率；
(3)现有2 道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6 分的概率为
，得3 分的概率
为
；考生丁得6 分的概率为
，得3 分的概率为
.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影
响，求这2 道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18 分的概率.
【变式1】（24-25 高二上·云南·期中）某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100 名居民平均每天的
运动时长（单位：h），并根据统计数据分为
，
，
，
，
，
六个小
组（所调查的居民平均每天的运动时长均在
内），得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出图中m 的值，并估计这100 名居民平均每天的运动时长的中位数；
解题锦囊
统计和古典概型、对立事件的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点,此类题很好地结合了统计与概
率的相关知识,并且在实际生活中应用也十分广泛,能很好地考查综合解题能力,在解决综合问题时,要求对图
表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除无关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求
解的目的.
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(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在
，
这两个时间段内的居民中抽出6 人
分享运动心得，若再从这6 人中选出2 人发言，求这2 人来自不同分组的概率.
【变式2】（24-25 高二上·广东佛山·阶段练习）袋子中有6 个大小质地完全相同的小球，其中红球有2 个，
编号分别为1，2；白球有
个，编号分别为
，不放回地随机摸出两个球.
(1)写出实验的样本空间；
(2)记事件
为“摸出的两个球中有红球”，求事件A 发生的概率；
(3)记事件
为“摸出的两个球全是白球”，事件
为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求
和
，判断事件
是否相互独立.
【变式3】（23-24 高一下·甘肃甘南·期末）为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑
消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消
防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初
赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5 个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20 分，否则得0 分；第
二轮从B 类的4 个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20 分，答错得0 分．若两轮总得分不低于40
分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A 类的5 个问题中，甲只能答对4 个问题，在B 类的4 个问题
中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求甲在第一轮比赛中得0 分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
