1
第五章 统计与概率 章末题型大总结
题型01 统计的相关概念
2
【典例1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）下列调查中，适合用普查的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间
B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量
C．了解一批电池的使用寿命
D．了解某市居民对废电池的处理情况
【答案】B
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果没
有普查准确，但相对节约人力，物力和时间．
【详解】A、了解我省初中学生的家庭作业时间，适合抽样调查，故此选项错误；
B、了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况，适合用普查，符合题意；
C、华为公司一批某型号手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故此选项错误；
D、了解某市居民对废电池的处理情况，适合抽样调查，故此选项错误；
故选：B．
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（
）
A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率
B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间
C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况
【答案】B
【分析】根据普查和抽样调查的适用特征即可结合选项逐一求解.
【详解】A 选项中做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；
B 选项中班级人数有限，比较容易调查，因而适合普查；
C 选项中数量大并且时间长，不适合普查；
D 选项中普查时数量太大，要费太大的人力物力，得不偿失，不适合普查．
故选:B.
【变式2】（23-24 高一下·新疆伊犁·阶段练习）为了解某中学高一年级600 名学生的身高情况，抽查了其
中100 名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
解题锦囊
（1）普查
像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．
（2）总体、个体
在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目
的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体．
（3）抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
样本
从总体中抽取若
个个体进行考察
这若
个个体所构成的集合叫做总体的
个样本
样本中
3
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生的身高是总体的一个个体
C．100 名学生的身高是总体的一个样本
D．600 名学生的身高是总体
【答案】A
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分
个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，
首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样
本确定出样本容量．
【详解】A．以上调查属于抽样调查，故符合题意；
B．每名学生的身高情况是总体的一个个体，故不符合题意；
C．100 名学生的身高是总体的一个样本，故不符合题意；
D．600 名学生的身高情况是总体，故不符合题意；
故选：A．
【变式3】（23-24 高一下·广西河池·期末）某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的
50种饮料中抽取了
种饮料，对其质量进行了检查．在这个问题中，
是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本
D．样本量
【答案】D
【分析】根据随机抽样概念求解即可.
【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；
个体：把组成总体的每个对象称为个体；
样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；
样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位；
在售的50 种饮料中抽取了30 种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50 种饮料是总体，每一种饮料是个体，30 种饮料是样本，30 是样本量．
故选：D．
题型02 抽样方法
4
【典例1】（24-25 高二上·安徽·阶段练习）为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采用分
层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是10：9，被抽到的
参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7 人，则参加调研的总人数是（ ）
A．133
B．170
C．70
D．63
【答案】A
【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.
【详解】已知甲村和乙村的人数之比是10：9，根据分层抽样，可设甲村被抽取参与调研的村民有10a 人，
则乙村被抽取参与调研的村民有9a 人，则
，解得
.
所以参加调研的总人数为
.
故选：A
【变式1】（24-25 高一上·全国·课堂例题）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（ ）
A．从10 名同学中抽取3 人参加座谈会
B．红星中学共有学生1600 名，其中男生840 名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量
为200 的样本
C．从1000 名工人中，抽取100 人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
【答案】B
【分析】由分层抽样的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】A 中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；
C 和D 中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层抽样；
B 中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．
故选：B.
【变式2】（2024 高一下·全国·专题练习）①一次数学考试中，某班有12 人的成绩在100 分以上，30 人的
成绩在90～100 分，12 人的成绩低于90 分，现从中抽取9 人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的
解题锦囊
随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样两种：
5
工作人员为参加
接力赛的6 支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层抽样
D．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可.
【详解】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；
对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．
故选：A
【变式3】（23-24 高一下·云南玉溪·阶段练习）某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700 个零件
进行抽样，先将700 个零件进行编号，
.从中抽取70 个样本，下图是利用软件生成的
随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3 位数，只要读取的号码落在编号范
围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70 个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中
第2 行第6 列的数2 开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6 个样本编号是（
）
A．007
B．328
C．253
D．623
【答案】D
【分析】根据系统抽样规则列举出前几个，即可得解.
【详解】依题意可得抽取的样本编号依次为：
，
，
，
，
，
，
，
所以第
个样本编号是
.
故选：D
【变式4】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）某校高一年级有810 名学生，现用比例分配的分层随机抽样
方法抽取一个容量为72 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为
（ ）.
A．450
B．360
C．400
D．320
【答案】B
【分析】根据分层抽样定义计算即可.
【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为
.
故选：B.
题型02 数据的数字特征与数据的直观表示
6
【典例2】（23-24 高一下·四川乐山·期末）（多选）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支
如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．娱乐开支比通信开支多5 元
B．日常开支比食品中的肉类开支多100 元
C．娱乐开支金额为100 元
D．肉类开支占储蓄开支的
【答案】BCD
【分析】先由图2 计算出食品的开支，再由图1 计算出总开支，从而对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于C，由图2 可知食品的开支为
元，
由图1 可知食品开支为
，所以总开支为
元，
则娱乐开支为
元，故C 正确；
对于A，通信开支为
元，娱乐开支比通信开支多
元，故A 错误；
对于B，日常开支为
元，肉类为
元，
日常开支比肉类开支多
元，故B 正确；
对于D，储蓄开支为
元，肉类开支占储蓄开支的
，故D 正确.
故选：BCD.
【变式1】（24-25 高一上·广西南宁·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．如图
描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
解题锦囊
扇形图体现各部分数量关系,柱形图和折线图体现具体数量和变化趋势.解决此类问题的通用方法是根据
图像逐项分析.
7
A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以
千米小时的速度行驶小时，消耗10 升汽油
D．某段道路机动车最高限速40 千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【分析】根据汽车的“燃油效率”的定义结合图象依次判断各个选项即可；
【详解】对于A，由图象可知当速度大于
时，乙车的燃油效率大于
，
当速度大于
时，消耗升汽油，乙车的行驶距离大于
，故A 错误；
对于
，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，
即当速度相同时，消耗升汽油，甲车的行驶路程最远，
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；
对于
，当速度为
时，甲车的燃油效率为
，即甲车行驶
时，耗油升，
故甲车行驶小时，路程为
，耗油为升，故 C 错误；
对于
，当速度小于
时，丙车燃油效率大于乙车的燃油效率，
用丙车比用乙车更省油，故D 正确.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·重庆巫山·期末）（多选）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选
科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，
并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为96
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取
人，则生史地组合抽取
人
8
【答案】ACD
【分析】根据政史地的人数和占比求出高一学生总数判断A，根据选考物化地和物化政组合
的人数相等和图表中的信息求出各选科的人数判断BC，利用分层抽样的特点判断D.
【详解】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为
人，占比
，
所以该校高一学生总数为
人，A 说法正确；
由扇形图可知选择物化生的人数为
人，
所以选择物化地和物化政的人数为
人，
又因为选考物化地和物化政组合的人数相等，
所以选考物化地和物化政组合的人数均为
人，B 说法错误；
该校高一学生中选考物理的人数有
人，选考历史的人数有
人，
选考物理的人数比选考历史的人数多，C 说法正确；
因为选考生史地的学生人数占比为
，
所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取
人，则生史地组合抽取
人，D 说法正
确；
故选：ACD
【变式3】（多选）甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公
里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲跑步里程的极差等于110
B．乙跑步里程的中位数是270
C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为
，
，则
D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为
，
，则
【答案】AD
【分析】根据极差、中位数、平均数、标准差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，甲跑步里程的极差为
，A 正确；
9
对于B，乙跑步里程的中位数为
，B 错误；
对于C，甲跑步里程的平均数
，
乙跑步里程的平均数
，
，C 错误；
对于D，根据折线图知，甲的波动大，乙的波动小，
，D 正确.
故选：AD
题型04 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【典例4】（24-25 高二上·四川成都·期中）2024 年度最具幸福感城市调查推选活动于9 月16 日正式启动，
在100 个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前
生活状态满意程度的指标，常用区间
内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高，现随机抽
取10 位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（
）
A．该组数据的第60 百分位数为7.5
B．该组数据的极差为5
C．该组数据的平均数为7.5
D．该组数据的中位数为7
【答案】C
【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根
据中位数的计算即可求解D.
【详解】A 选项：
，因此该组数据的第60 百分位数为
，故A 正确；
B 选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为
，故B 正确；
C 选项：该组数据的平均数为
，故C 错误；
D 选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D 正确，
故选：C.
【变式1】（24-25 高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10
解题锦囊
样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括平均数、众数、中位数;另一类是
反映样本数据的波动大小的,包括样本方差及标准差.通常,在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要
研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动
性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,稳定性越好.
10
人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ）
学生数
平均
分
方差
男生
6
80
4
女生
4
75
2
A．77.5，9.2
B．77.5，11
C．78，9.2
D．78，11
【答案】C
【分析】由平均数及方差计算公式即可求解.
【详解】由均值和方差公式直接计算.
可估计全班学生数学的平均分为
，方差为
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高二上·云南迪庆·期中）已知样本数据90，100，95，110，105，则（ ）
A．极差为20
B．平均数为103
C．方差为50
D．
分位数为97
【答案】AC
【分析】根据一组数据的极差，平均数，方差，百分位数的定义依次求解即可.
【详解】由题意可得样本数据的极差为
，故A 正确；
平均数为
，故B 错误；
方差为
，故C 正确；
将样本数据从小到大排列为90，95，100，105，110，因为
，所以
分位数为
，
故D 错.
故选：AC
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古·期末）（多选）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、
乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ）
A．丙组数据的中位数为5
B．甲组数据的70%分位数是2
C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差
【答案】ACD
【分析】根据中位数，百分位数，方差以及极差的计算和定义即可结合选项逐一求解.
11
【详解】将丙组数据从小到大排列为2，3，4，6，7，8，可得丙组数据的中位数为
，A 正确.
将甲组数据从小到大排列为2，3，4，因为
，所以甲组数据的70%分位数是4，B 错误.
甲组数据的平均数为3，方差等于
，
乙组数据的平均数为7，方差等于
，故方差相等，C 正确.
甲组数据的极差为
，乙组数据的极差为
，D 正确.
故选：ACD
【变式4】（24-25 高二上·浙江·期中）（多选）从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他
们的月用电量都在
之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如
图所示，以下选项正确的有（ ）
A．
B．本组样本的众数为250
C．本组样本的第45 百分位数是300
D．用电量落在区间
内的户数为82
【答案】ACD
【分析】由频率分布直方图中矩形面积之和为1 计算可得A 正确；根据众数以及百分位数定义计算可得B
错误，C 正确；由频率估计对应频数计算可得D 正确.
【详解】对于A，因为
，
解得
，故A 正确；
对于B，样本的众数位于
内，但不一定是250，故B 错误；
对于C，前2 组的频率之和为
，前3 组的频率之和为
，
故第45 百分位数位于
内，设其为
，
则
，解得
，故C 正确；
对于D，
的频率为
，
12
故用电量落在区间
内的户数为
，故D 正确.
故选：ACD
题型05 用样本的分布估计总体的分布
【典例5】某市甲、乙两个监测站在10 日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如
图所示，以下说法正确的是（ ）
A．这10 日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站
B．这10 日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数
C．这10 日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167
D．这10 日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值
【答案】C
【分析】根据茎叶图数据逐个判断各个选项即可.
【详解】由茎叶图易知A 错误；
甲监测站污染物浓度的中位数是
，乙监测站污染物浓度的中位数是167，B 错误；
这10 日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值，即众数是167，C 正确；
甲监测站该污染物浓度的平均值
解题锦囊
1、频率分布直方图
（1）各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组
的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1．
(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数值.
(3)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点的横坐标之和.
(4)众数:最高的矩形底边中点的横坐标.
2、由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的
第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本
容量较大时,作图较烦琐.
13
，
，D 错误;
故选:C．
【变式1】（23-24 高二下·上海·期中）（多选）从某个品种的小麦中随机选取14 株，测量麦穗长度（单位：
），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的
是（ ）
A．小麦麦穗长度的极差是3.9
B．小麦麦穗长度的中位数等于众数
C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数
D．小麦麦穗长度的第75 百分位数是10.6
【答案】ACD
【分析】根据茎叶图可得这14 组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解.
【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A 正确；
中位数为：
；众数为：9.7；
平均数为：
，
，故第75 百分位数为：10.6，
由以上数据可知：ACD 正确，
故选：ACD.
【变式2】（24-25 高二上·湖北·阶段练习）某校组织50 名学生参加庆祝中华人民共和国成立75 周年知识
竞赛，经统计这50 名学生的成绩都在区间
内，按分数分成5 组：
，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，
下列结论错误的是（ ）
A．成绩在
上的人数最少
14
B．成绩不低于80 分的学生所占比例为
C．50 名学生成绩的极差为50
D．50 名学生成绩的平均分小于中位数
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图求出
的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断.
【详解】设
这一组的频率为
，则由各组频率之和为1，
得
，解得
，
各组频率依次为：
，
对于A，
这一组频率最小，即成绩在
上的人数最少，A 正确；
对于B，成绩不低于80 分的学生频率为
，成绩不低于80 分的学生所占比例为
，B 正确；
对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50 名学生的成绩都在区间
内，
但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是
，则极差小于等于
，但不一定等于50，C 错误；
对于D，根据频率分布直方图，得50 名学生成绩的平均数是
，而50 名学生成绩的中位数为80，
因此50 名学生成绩的平均分小于中位数，D 正确.
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）（多选）某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000 名
考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为
，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列
说法中正确的是（ ）
A．考生参赛成绩的平均分约为72.8 分
B．考生参赛成绩的第75 百分位数约为82.5 分
C．分数在区间[60,70)内的频率为0.2
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200 的样本，则成绩在区间
应抽取30 人
15
【答案】BC
【分析】对A，确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对B，第75
百分位数得到位于
内，代入公式可计算第75 百分位数值；对C，分数在区间[60,70)内的频率为0.2
可判断；对D，用分层随机抽样可得区间
应抽取60 人，即得到答案.
【详解】对A，平均成绩
为
，故A 错误；
对B，由频率分布直方图知第75 百分位数位于
内，
则第75 百分位数为
，故B 正确；
对C，分数在区间[60,70)内的频率为
，故C 正确；
对D，区间
应抽取
人，故D 错误.
故选：BC
题型05 互斥事件与对立事件
【典例5】（23-24 高二上·河南·阶段练习）现有8 张卡片，有3 张分别印有“一等奖”，“二等奖”，
“三等奖”，其余5 张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1 张，设事件A 表示“甲没有中奖”，事件B 表示
“甲获得一等奖”，事件C 表示“甲获得二等奖”，事件D 表示“甲获得三等奖”，事件E 表示“甲中
奖”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A 和事件E 是对立事件
B．事件B 和事件C 是互斥事件
C．
D．
【答案】ABC
【分析】用1,2.3 分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用
表示印有
“谢谢惠顾”的五张卡片，写出样本空间
，及事件
，根据对立事件的定义验证选项A；根据互斥事件的定义验证
选项B；根据并、交事件的定义写出事件
，
，再根据古典概型的概率公式检验
选项C，D 即可.
解题锦囊
(1)不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空集．在互斥的基础上必有一个发
生的是对立事件，互为对立的两个事件的概率之和为1.
(2)求较复杂事件的概率一般可分为三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它
们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
16
【详解】用1,2.3 分别表示印有“一等奖”，“二等奖”，“三等奖”的三张卡片；用
表示印有
“谢谢惠顾”的五张卡片，则样本空间为
，
由题意知
，
因为
，所以事件A 和事件E 是对立事件，故选项A 正确；
因为
，所以事件B 和事件C 是互斥事件，故选项B 正确；
因为
，所以
，故选项C 正确；
因为
，所以
，所以
，故选项D 错误；
故选：ABC.
【变式1】（23-24 高一下·西藏拉萨·期末）从装有3 只红球，3 只白球的袋中任意取出3 只球，则下列每
对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（ ）
A．“取出2 只红球和1 只白球”与“取出1 只红球和2 只白球”
B．“取出2 只红球和1 只白球”与“取出3 只红球”
C．“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只白球”
D．“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只红球”
【答案】AB
【分析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事
件；对于BCD，利用与A 相同的方法进行分析，从而解答题目.
【详解】从袋中任意取出3 个球，可能的情况有：“3 个红球”“2 个红球、1 个白球”“1 个红球、2 个白
球”“3 个白球”.
对于A：“取出2 只红球和1 只白球”与“取出1 只红球和2 只白球”不可能同事发生，是互斥事件，
但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A 正确；
对于B：“取出2 只红球和1 只白球”与“取出3 只红球”不可能同事发生，是互斥事件，
但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B 正确；
对于C：“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只白球”不可能同事发生，是互斥事件，
其中必有一事件发生，故是对立事件，故C 错误；
对于D：“取出3 只红球”与“取出3 只球中至少有1 只红球”可能同事发生，
故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D 错误.
故选：AB.
【变式2】（23-24 高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件
“出现点数为奇数”，
事件
“出现点数为3”，事件
“出现点数为3 的倍数”，事件
“出现点数为偶数”，则以下选
项正确的是（ ）
A．B 与D 互斥
B．A 与D 互为对立事件
17
C．
D．
【答案】ABD
【分析】写出
以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可.
【详解】由题意
，样本空间为
，
对于A，
，这意味着
不可能同时发生，故A 正确；
对于B，
，这意味着
中有且仅有一个事情发生，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式3】（23-24 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知事件
两两互斥，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得.
【详解】因为事件
两两互斥，所以
，故D 正确；
，则
，故A 正确；
，则
，故B 错误；
，故C 正确.
故选：ACD
【变式4】（23-24 高一下·山东枣庄·期末）一个盒子中装有6 个除颜色外完全相同的小球，其中3 个红球，
2 个绿球，1 个黄球.若从中任取2 个小球，则下列判断错误的是（ ）
A．恰有一个红球的概率为
B．两个球都是红球的概率为
C．“有黄球”和“两个都是红球”互斥
18
D．“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立
【答案】ABD
【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，可得相应概率，判断A、B，再根据互斥事件和对
立事件定义判断C、D，可得答案.
【详解】从6 个球中任取2 个球共有
种取法，
设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为
，
，一个黄球记为
，
记事件A 为恰有一个红球，
，
即恰有一个红球共18 种取法，所以
，故A 错误；
记事件B 为两个球都是红球，则
，
所以
，故B 错误；
记事件
为有黄球，表示2 个球中至少有1 个是黄球，
而两个球都是红球，不可能包含黄球，即C 和B 不可能同时发生，是互斥事件，故C 正确；
记事件
为至少有一个绿球，则D 包含恰有1 个绿球， 记事件
为至多一个绿球， 则E 也包含恰有1 个
绿球，
所以
，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，故D 错误.
故选：ABD．
题型06 事件的独立性
【典例6】（24-25 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件
：两次
的点数之和为偶数，
：两次的点数之积为奇数，
：第一次的点数大于2，则（ ）
A．
B．
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】ABD
【分析】先利用分步乘法计数原理求出基本事件数，再求出符合条件的事件数，进而求解概率判断A，B，
解题锦囊
1、相互独立事件的概念
对任意两个事件
与
，如果
成立，则称事件
与事件
相互独立，简称为独立．
2、相互独立事件的性质
（1）事件
与
是相互独立的，那么
与
，
与
，
与
也是否相互独立．
（2）相互独立事件同时发生的概率：
．
．
19
利用独立事件的乘法公式判断C，D 即可.
【详解】由分步乘法计数原理得基本事件
的总数为
个，
事件
包含的基本事件
为
，
，共18 个，
所以
，
事件
包含的基本事件
为
，共9 个，
所以
，故A 正确;
事件
包含的基本事件
为
，
，
，共有24 个，
所以
，故B 正确，
而
包含的基本事件为
共有9 个，
所以
，而
，故
，
所以
与
不是相互独立事件，故C 错误;
而
包含的基本事件为
，共有6 个，
所以
，而
，故
，
所以
与
是相互独立事件，故D 正确.
故选：ABD.
【变式1】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）（多选）已知事件
，
满足：
，
，则
（ ）.
A．若
，
互斥，则
B．若
，
互斥，则
C．若
，
互相独立，则
D．若
，
互相独立，则
【答案】AD
【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式判断D，根据概
率加法公式判断C.
20
【详解】当
，
互斥时，
，
又
，
，
所以
，A 正确；
当
，
互斥时，事件
，
不可能同时发生，
所以
，B 错误；
当
，
互相独立，则
，
又
，
，
所以
，D 正确；
当
，
互相独立时，
，C 错误.
故选：AD.
【变式2】（23-24 高一下·广东湛江·期末）（多选）今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓
住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80 元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客
小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
【答案】CD
【分析】对于A 和B，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即得；对于C，利用互斥事件的概率加法公
式即得；对于D，利用对立事件的概率公式计算即得.
【详解】对于A，因小王和小张中奖相互独立，则小王和小张都中奖的概率为
，故A 错误；
对于B，小王和小张都没有中奖的概率为
，故B 错误；
对于C，小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况：
①小王中奖但小张没中奖；②小张中奖但小王没中奖.两者互斥，
故只有一个人中奖的概率为：
，故C 正确；
对于D，因“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事件为“小王和小张都中奖”，
故小王和小张中至多有一个人中奖的概率为
，故D 正确.
故选：CD.
【变式3】（23-24 高一下·吉林·期末）（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚正面
朝上”，事件
“第二枚正面朝上”，事件
“两枚硬币朝上的面相同”，事件
“两枚硬币朝上
的面不同”，则（ ）
A．
B．B 与C 互斥
21
C．C 与D 互为对立
D．A 与C 相互独立
【答案】ACD
【分析】利用古典概型公式即可判断A，根据相互独立事件和互斥事件以及对立事件的定义即可判断BCD.
【详解】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，
可能出现的情况有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，
事件
包含（正，正），（正，反）
种，
事件
包含（反，正），（正，正）
种，
事件
包含（正，正），（反，反）
种，
事件
包含（正，反），（反，正）
种，
对于A，事件
，故A 正确；
对于B，事件B 和C 可能同时发生，即（正，正），故B 错误；
对于C，由上面列举知，事件C 与D 为互斥事件，且其并集构成了整个样本空间，
即C 与D 互为对立，故C 正确；
对于D，由上面列举知：
，
，
所以事件A 与C 相互独立，故D 正确.
故选：ACD.
题型07 古典概型
【典例7】（23-24 高一下·甘肃白银·期末）（多选）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点
数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．方程
有实数解
【答案】BCD
【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案.
【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36 种.
对于选项A，满足
的有
，
，
，
，
，共5 种，
解题锦囊
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，经常出现此种概型的题目．
用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的样本空间的样本点是否是等可能的，同时要弄清所求事件所
包含的等可能出现的结果(样本点)的个数．
22
故概率为
，故A 错误；
对于选项B，满足
的有
，
，
，
，
，
，共6 种，
故概率为
，故B 正确；
对于选项C，满足
，即
的有
，
，
，
，
，
，共6 种，故概率为
，故C 正确；
对于选项D，方程
有实数解，则
，即
，
符合题意的有(1,4)，
，
，
，
，
，共6 种，故概率为
，故D 正确.
故选：BCD.
【变式1】（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）（多选）某年级有12 个班，现要从2 班到12 班中选1 个班的
学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不
正确的有（ ）
A．公平，每个班被选到的概率都为
B．公平，每个班被选到的概率都为
C．不公平，6 班被选到的概率最大
D．不公平，7 班被选到的概率最大
【答案】ABC
【分析】求出每个班被选到的概率，如果概率不相等，则不公平.
【详解】列表如下：
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
23
点数之和为
，
点数之和为
点数之和为
，
点数之和为
点数之和为
，
点数之和为
点数之和为
，
点数之和为
点数之和为
，
点数之和为
点数之和为
，
点数之和为
，
所以不公平，7 班被选到的概率最大.
故选：
【变式2】（23-24 高一下·山东临沂·期末）（多选）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2 个黑球、3
个白球，现从盒子里随机取出2 个小球，记事件
“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件
“两个球中至多一个黑球”，事件
“两个球均为白球”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用列举法写出随机取出
个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率
求法求概率.
【详解】记个白球为
，
个黑球为
，随机取出
个小球的事件如下，
，
事件
对应的基本事件有
，所以
，故A 正确；
事件
对应的基本事件有
，所以
，
事件
对应的基本事件有
，所以
，又
，
故D 错误；
其中
对应的基本事件有
，所以
，故B 正确；
对应的基本事件有
，所以
，故C 错误.
故选：AB
【变式3】（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）从1，2，3，4，5 这5 个数字中不放回地任取两个数，则
两个数都是奇数的概率是 .
24
【答案】
/
【分析】列举所有可能的情况求解即可.
【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有
，
，(1,4)，
，(2,3)，
，
，
，
，
共10 种情况，
其中两个数都是奇数的情况有
，
，
共3 种情况，故两个数都是奇数的概率是
.
故答案为：
【变式4】（23-24 高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创
造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用
横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10 记为“—”，62 记
为“
”．现从由4 根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ．
【答案】
/
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4 根算筹，
当十位1 根，个位3 根，共有2 个两位数13、17；
当十位2 根，个位2 根，共有4 个两位数22，26，62，66；
当十位3 根，个位1 根，共有2 个两位数31，71；
当十位4 根，个位0 根，共有2 个两位数40，80；
其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为
，
故答案为：
题型08 频率与概率的关系
25
【典例8】（24-25 高二上·湖北武汉·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做
了
次试验，发现正面朝上出现了
次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
【答案】
；
/
；
.
【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率.
【详解】正面向上的频率为：
；
因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：
.
故答案为：
；
.
【变式1】（24-25 高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数m
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
【答案】
【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得；
【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率总是接近于某个数，
在它附近摆动，这个常数就是事件A 的概率；
观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在
附近，进而求解即可.
故答案为：
【变式2】（24-25 高一上·江西抚州·开学考试）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9 个红球，3 个
白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸
到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个.
【答案】8
解题锦囊
(1)求一个事件的概率的一种方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才可看作该事件的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
26
【分析】根据绿球个数除以总个数即可.
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在
，所以摸到绿球的概率为
，
设不透明的袋中有
个绿球，因为空袋中有9 个红个球，3 个白球，所以
，解得：
;
故答案为：8
【变式3】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样
本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4500
车辆数/辆
600
80
110
120
90
若每辆车的投保金额均为2500 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新
司机的占15%，在赔付金额为4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，
获赔金额为4500 元的概率为 ．
【答案】 0.21/
0.18/
【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新
司机人数和赔付金额为4500 元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为
4500 元的概率.
【详解】赔付金额大于投保金额的频率为
，
估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21，
在样本车辆中，车主是新司机的占15%，
故投保的新司机人数为
，
在赔付金额为4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即
人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500 元的概率为
.
故答案为：0.21，0.18
题型09 概率与统计的综合问题
27
【典例9】（24-25 高二上·四川绵阳·期中）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选
择一般从A，B，C，D 四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5 分，选错的得0 分；
多项选择题一般从A，B，C，D 四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确
的），其评分标准为全部选对的得6 分，部分选对的得部分分（两个答案的每个答案3 分，三个答案的每
个答案2 分），有选错的得0 分.
(1)考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5 分的概率；
(2)考生乙有一道答案为ABD 多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4 分的概率；
(3)现有2 道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6 分的概率为
，得3 分的概率
为
；考生丁得6 分的概率为
，得3 分的概率为
.丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影
响，求这2 道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18 分的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）分丙得12 分，丁得6 分，丙得9 分，丁得9 分和丙得6 分，丁得12 分三种情况，利用独立事件和互
斥事件的概率求解.
【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有A，B，C，D 共4 种可能结果，样本空间
，
其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得5 分”，故
.
（2）乙同学所有可能的选择答案有10 种：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，
样本空间
，共有10 个样本点，
设N=“猜对本题得4 分”，
，有3 个样本点，故
.
解题锦囊
统计和古典概型、对立事件的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点,此类题很好地结合了统计与概
率的相关知识,并且在实际生活中应用也十分广泛,能很好地考查综合解题能力,在解决综合问题时,要求对图
表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除无关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求
解的目的.
28
（3）由题意得丙得0 分的概率为
，丁得0 分的概率为
，
丙丁总分刚好得18 分的情况包含：
事件A：丙得12 分有6+6 一种情况，丁得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况，
则
；
事件B：丙得9 分有6+3，3+6 两种情况，丁得9 分有6+3，3+6 两种情况，
则
；
事件C：丙得6 分有6+0，0+6，3+3 三种情况，丁得12 分有6+6 一种情况，
则
；
所以丙丁总分刚好得18 分的概率
.
【变式1】（24-25 高二上·云南·期中）某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100 名居民平均每天的
运动时长（单位：h），并根据统计数据分为
，
，
，
，
，
六个小
组（所调查的居民平均每天的运动时长均在
内），得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出图中m 的值，并估计这100 名居民平均每天的运动时长的中位数；
(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在
，
这两个时间段内的居民中抽出6 人
分享运动心得，若再从这6 人中选出2 人发言，求这2 人来自不同分组的概率.
【答案】(1)
，2.4h
(2)
.
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m，再利用中位数的计算公式直接计算；
（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】（1）由
，解得
.
因为
，所以中位数在
内，
设中位数为x，则
，得
，
29
即估计这100 名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.
（2）由题知，平均每天运动时长在
，
内的频率分别为0.25，0.05，
则应从平均每天运动时长在
，
内的居民中分别抽出5 人，1 人.
记
时间段内的5 人分别为a，b，c，d，e，记
时间段内的1 人为M，则从这6 人中选出2 人的
基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15 个，
2 人来自不同分组的基本事件
，
，
，
，
，共5 个，
所以这2 人来自不同分组的概率为
.
【变式2】（24-25 高二上·广东佛山·阶段练习）袋子中有6 个大小质地完全相同的小球，其中红球有2 个，
编号分别为1，2；白球有
个，编号分别为
，不放回地随机摸出两个球.
(1)写出实验的样本空间；
(2)记事件
为“摸出的两个球中有红球”，求事件A 发生的概率；
(3)记事件
为“摸出的两个球全是白球”，事件
为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求
和
，判断事件
是否相互独立.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
，
，不相互独立.
【分析】（1）根据给定条件，列举并写出样本空间.
（2）利用列举法，结合古典概型计算概率.
（3）利用古典概率求出
，再利用相互独立事件的定义判断即得.
【详解】（1）摸出编号为
的两个球的基本事件记为
，
所以实验的样本空间
.
（2）由（1）知，
，事件
，
，
所以事件A 发生的概率
.
（3）由（1），事件
，
，事件M 的概率为
，
事件
，
，事件M 的概率为
，
30
事件
，
，则
，而
，
显然
，所以事件M，N 不相互独立.
【变式3】（23-24 高一下·甘肃甘南·期末）为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑
消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消
防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初
赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5 个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20 分，否则得0 分；第
二轮从B 类的4 个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20 分，答错得0 分．若两轮总得分不低于40
分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A 类的5 个问题中，甲只能答对4 个问题，在B 类的4 个问题
中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求甲在第一轮比赛中得0 分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
【答案】(1)
(2)乙更容易晋级复赛
【分析】（1）对A 类的5 个问题进行编号：
，其中甲能答对的4 个问题的编号为
，利用
列举法，根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）根据题意按第一轮得20 分且第二轮至少得20 和第一轮得0 分且第二轮得40 分，结合独立事件和对
立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.
【详解】（1）对A 类的5 个问题进行编号：
，其中甲能答对的4 个问题的编号为
，
第一轮从A 类的5 个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为：
，共10 种，
其中得0 分的情况有：
，4 种，
所以甲在第一轮比赛中得0 分的概率为
；
（2）甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得20 分且第二轮至少得20 分的概率为：
，
甲第一轮得0 分且第二轮得40 分的概率为：
，
所以甲晋级复赛的概率为
；
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20 分且第二轮至少得20 分的概率为：
乙第一轮得0 分且第二轮得40 分的概率为：
，
所以乙晋级复赛的概率为
，
因为
，所以乙更容易晋级复赛.
31
