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第四章 概率与统计（高效培优单元测试卷·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．课桌上有12 本书，其中理科书籍有4 本，现从中任意拿走6 本书，用随机变量
表示这6 本书中理科书
籍的本数，则概率为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
故
，A 正确，
其他选项，均不合要求.
故选：A
2．具有相关关系的变量
与
的一组样本数据如下，若已求得线性回归方程为
，则下列选项
错误的是（ ）
1
2
3
4
5
16
12
11
1
0
6
A．
B．
与
具有负相关关系
C．当
时，
的预测值为0
D．去掉其中某对样本数据，
与
的样本相关系数可能不变
【答案】C
【详解】对于A，根据表中数据计算可得
，
，
代入线性回归方程得
，得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
与
具有负相关关系，故B 正确；
对于C，当
时，
，故C 错误；
对于D，样本点
为样本中心点，去掉这个样本点，
与
的样本相关系数不变，故D 正确.
故选：C
3．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊
盒、
感
冒灵颗粒
盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为
，
，
，他感冒时，随机从这几盒药物里选择
一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件
，取到莲花清瘟胶囊为事件
，取
到
感冒灵颗粒为事件
，感冒被治愈为事件
，
则
，
，
，
，
，
，
所以感冒被治愈的概率为
．
故选：D
4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点
出发，每隔
等可能地向上或向右移动一个单位，
则质点移动6 次后位于
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】质点从原点
出发，移动6 次后位于
，则质点向右移动2 次，向上移动4 次，
由此质点移动6 次后位于
的概率为
.
故选：D.
5．2020 年2 月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播微课推送等多种方式来指导
､
学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男女学生，发现有
､
80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概率大于0.001 且不超过0.01 的前
提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男女学生总数量可能为（ ）
､
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
A．130
B．190
C．240
D．250
【答案】B
【详解】依题意，设男、女学生的人数都为
，则男、女学生的总人数为
，可得
列联表如下，
喜欢网络课
程
不喜欢网络课
程
总
计
男
生
女
生
总
计
故
，
由题意可得
，
所以
，结合选项可知，只有B 符合题意.
故选：B.
6．用模型
拟合一组数
，若
，
，设
，
得变换后的线性回归方程为
，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．7
【答案】B
【详解】由已知，
，所以
，
，
，所以
，
由题意，
满足线性回归方程为
，所以
，所以
，
此时线性回归方程为
，即
，
可将此式子化为指数形式
，即为
，
因为模型为模型
，所以
，
，
所以
.
故选：B.
7．已知随机变量
，
均服从正态分布，其中
，且
，设函数
，
则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
因为
，所以
，
即
，
＝
，
因为
，所以根据对称性可知
，
所以函数
的图象关于
对称，故排除AC；
当
时，
，所以排除D．
故选：B
8．现有平面向量
，
，
，在平面直角坐标系内，一质点从坐标原点出
发，以如下规则移动：每次移动距离为一个单位长度，每次按向量
方向移动的概率为
，按向量
方向
移动的概率为
，按向量
方向移动的概率为
，从第二次起，每次移动的起点为前次移动的终点.则经过
4 次移动后，记质点与原点的距离为2 的概率为
，质点与原点的距离为
的概率为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】依题意可知
，且
，因此三个向量两两夹角均为
，
易知
，
所以若经过4 次移动后质点最终与原点距离为2 的情况中不可能有移动了三种方向的组合，也不会只沿一
个方向移动，
因此移动四次质点最终与原点距离为2 的情况为任选两个方向各移动2 个单位，
即按照
的方向移动即可；
所以
.
同理质点最终与原点距离为
的情况为：向一个方向移动3 个单位，另一个方向移动一个单位，
即按照
的方向移动即可；
所以
.
故选：B
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择.为了解来某市旅游的游
客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下表格.零假设H0旅行方式与年龄没有关联，
则下列说法中，正确的有（ ）
小于40 岁
不小于40 岁
自由行
38
19
跟团游
20
23
附:χ2=
，其中
.
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40 岁的概率为
B．在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6 人，再从中随机选取2 人做进一步的访谈，则2
人中至少有1 人不小于40 岁的概率为
C．根据
的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01
D．根据
的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05
【答案】BD
【详解】对于A，选择自由行的游客人数为
，其小于40 岁的概率是
，故A 错误；
对于B，选择自由行中小于40 岁和不小于40 岁的人数比为2：1，
则按年龄分层抽样抽取的6 人中，有4 人小于40 岁，有2 人不小于40 岁，
设事件
为“2 人均小于40 岁”，则2 人中至少有1 人不小于40 岁的概率为
，
故B 正确；
对于C，因为
，
所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C 错误；
对于D，因为
，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D 正确.
故选：BD.
10．已知随机事件
，
满足
，
，
，则（ ）
A．
与
相互独立
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意知
，又
，
可得
，
即
，解得
，
满足
，所以
与
相互独立，A 正确.
易知
,B 错误.
又因为
,C 正确.
根据
可得
所以
，D 错误，
故选：AC.
11．高考数学的多选题每题
分，每题有
个或个正确选项，全部选对得
分．若正确答案个数为
个，
则选对个且无错选得分；若正确答案个数为个，则选对个且无错选得
分，选对
个且无错选得
分．
若不选或有错选则不得分．现假设正确答案个数为
个的多选题出现概率为
，现随机填写某个
多选题的若干个选项，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则随机填写
个选项时可以使得分的数学期望最高
B．若
，则随机填写个或
个选项可以使得分的数学期望最高
C．若
，则随机填写
个选项时可以使得分的数学期望最高
D．随机填写
个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望
【答案】BCD
【详解】设随机填写
个选项的得分为
，
则
的可能取值有
、
、，
，
，
，
所以，
，
的可能取值有
、
、
，
，
，
，
所以，
，
的可能取值有
、
，
，
，
所以，
.
对于D 选项，
，
所以，随机填写
个选项的得分数学期望一定高于随机填写个选项的得分数学期望，D 对；
对于A 选项，若
，
，即
，A 错；
对于B 选项，若
，
，即
，
所以，随机填写个或
个选项可以使得分的数学期望最高，B 对；
对于C 选项，若
，
，则
，
所以，随机填写
个选项时可以使得分的数学期望最高，C 对.
故选：BCD.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．随机变量
，且
，则
．
【答案】0.3/
【详解】因为
，即
，且
，
所以
，
则
.
故答案为：
13．将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中
个区域，统计这些区域
内的某种水源指标
和某植物分布的数量
，得到样本
，且其相关系数
，记
关于
的线性回归公式为
．经计算可知：
，
，
，则
．
x
1
2
3
5
7
10
11
20
25
30
y
9.02
5.27
4.06
3.03
2.59
2.28
2.21
1.89
1.80
1.75
【答案】
【详解】因为
，
，所以
．
由
，
解得
，所以
．
故答案为：
14．在n 维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标
，其中
．定义：在n 维空间中的两点
与
的曼
哈顿距离为
，若在6 维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X
为所取两点间的曼哈顿距离，则
．
【答案】
【详解】对于
的随机变量，在坐标
与
中有k 个坐标
值不同，剩下
个坐标相同，此时对应情况数有
种，所以
，
则X 的分布列为：
X
1
2
…
6
P
…
所以
，
，
．
故答案为：
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动，需依次按顺序完成A（剪纸•窗花），B（陶艺•杯盏），C
（刺绣•团扇）三个手工作品，只有完成当前作品，才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完
成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表，各个手工作品能否完成相互独立.
手工作品
完成的概率
获得的积分
A
0.8
200
B
0.5
600
C
0.4
1200
(1)求该成员未获得制作手工作品C 的资格的概率；
(2)设该成员获得的总积分为
，求
的分布列及均值.
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，592
【分析】
【详解】（1）分别用
表示完成
三个手工作品的事件，则
相互独立.
用
表示该成员未获得制作手工作品C 的资格，
则
.
（2）
的可能取值为
则
的分布列为
0
200
800
2000
0.2
0.4
0.24
0.16
.
16．甲、乙两人组成“闪电队”参加双人投篮接力赛，规定每轮比赛甲、乙在指定位置各投篮一次，已知
甲每轮投中的概率为
，乙每轮投中的概率为
，在每轮比赛中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也
互不影响.
(1)求“闪电队”在一轮比赛中至少投中1 次的概率；
(2)若“闪电队”在两轮比赛中投中次数不少于3 次，可获得决赛资格，求“闪电队”获得决赛资格的概率.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）设一轮比赛中，
“甲投中”，
“乙投中”，
“闪电队”投中篮球至少有1 次，
由于两人投篮的结果互不影响，所以
相互独立，由已知可得，
，
“至少投中1 次”的对立事件是“甲、乙都没投中”，
.
因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中1 次的概率是
.
（2）设
分别表示甲两轮投篮投中1 次，2 次的事件，
分别表示乙两轮投篮投中1 次，2 次的事
件，
根据事件独立性，得
，
，
设
表示：“闪电队”在两轮比赛中投中篮球的总数不少于3 次，
且
两两互斥，
与
，
与
，
与
分别相互独立，
，
因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是
.
17．某调查小组研究短视频播放量与内容类型的关联性，从平台抽取容量为200 的样本，整理数据如下：
播放量\内容类型
知识类
娱乐类
合计
高播放
50
70
120
低播放
30
50
80
合计
80
120
200
(1)是否有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联？
(2)定义似然比R(B|A)=P(B|A)/P(Ā|B)，当R(B|A)≥1.35 时，认为事件A 条件下B 发生有优势．现从200 个样
本中任选1 个，A 表示“选到高播放视频”，B 表示“选到娱乐类视频”，估计R(B|A)的值，并判断是否有
优势；
(3)从知识类样本中按播放量分层抽样选出8 个视频，再从这8 个视频中抽取2 个分析内容质量，求抽取的
2 个视频中高播放视频的个数X 的概率分布和数学期望．
附：
，
．
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)没有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联；
(2)
，有优势；
(3)答案见解析.
【分析】
【详解】（1）假设短视频播放量与内容类型无关联，由题中数据可得
，
所以假设成立，即有99%的把握认为短视频播放量与内容类型有关联.
（2）由题，
，所以有优势.
（3）从知识类样本中抽取个视频，则抽样比为
,
所以从高播放抽取
个视频，从低播放抽取
个视频，
可取
，
，
，
，
所以
的分布列为
X
0
1
2
P
18．某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识
竞赛，海量题库中篮球足球排球三类相关知识题量占比分别为
､
､
．甲校友回答篮球、足球、排球
这三类问题中每个题的正确率分别为
．
(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得
分．设该校友回答三题
后的总得分为
分，求
的分布列及数学期望；
(3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取
道题目，答对题目数不少于
道，即可获得奖励．现以获得奖励的
概率大小为依据，若甲校友在
和
之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
，理由见解析
【分析】
【详解】（1）设
“甲校友所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球相关知识的题目”，
“所选的题目为足球相关知识的题目”，
“所选的题目为排球相关知识的题目”，
则
，且
两两互斥．
根据题意得
，
，
，
，
则
，
所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为
．
（2）
的可能取值为
，
，
，
，
，
则
的分布列为：
-3
1
5
9
所以
．
（3）当
时，
为甲校友答对题目的数量，
由题意可知
，其中
，
故当
时，甲校友获得奖励的概率
，
当
时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前8 题答对题目的数量大于等于5，
②前8 题答对题目的数量等于4，且最后2 题至少答对1 题，
③前8 题答对题目的数量等于3，且最后2 题全部答对，
故当
时，甲校友获得奖励的概率
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以甲校友应选
．
19．泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机
变量
的所有可能取值为0，1，2，…，且
，
，其中
，则称
服从泊
松分布，记作
.
(1)当
时，泊松分布近似于正态分布，且满足
，若
，求
的
近似值；
(2)已知当
，
时，可以用泊松分布
近似二项分布
，即对于
，
，当
不太大时，有
.已知某快递公司共有20000 个包裹待配送，每个包裹
有0.00015 的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3 起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）
(3)若
，且
，求
的取值范围.
参考数据：若
，
，
，则有
，
，
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）当
时，泊松分布
近似于正态分布
，
即
，
，要计算
，
根据正态分布的性质，因
，
故
.
（2）设
为配送延迟包裹数，则
，
，
因为
，
，
，
所以
，
那么，某天至少3 起配送延迟的概率约为
.
（3）由
，可得
，
根据泊松分布的概率公式：
，
，可得
.
设
，
由
，可知
在
上为减函数.
因为
，所以
，
所以
，即
，故
的取值范围为
.
