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重难点专题01 函数
模块一、函数的相关概念
重难点一、函数的概念
判断函数抓住核心标准：在一个变化过程中，给定自变量 x 一个确定值，y
有唯一数值与之对应。区分易错题型：一个 x 对应多个 y 则不是函数；图像判断可用竖
线检验法，垂直 x 轴的直线与图像最多只有一个交点，做题紧扣 “唯一对应” 核心条
件分辨。
1．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）下列四个图象中，能表示y 是x 的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【详解】解：观察可知，只有选项B 中的图象，对于每一个确定的x 的值，都有唯一确定的y 值与之对
应，能表示y 是x 的函数，其他选项，均存在一个确定的x 的值，有2 个y 值与之对应，不能表示y 是x
的函数.
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2．（25-26 八年级下·广东江门·期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与
r 的关系式为
2π
C
r
=
．下列判断错误
．．的是（ ）
A．2 是常量
B．π 是常量
C．r 是变量
D．C 是常量
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量，数值发生变化的量称为变量，据此逐一判
断即可．
【详解】解：水中涟漪不断扩大，过程中半径r 、圆周长C 的数值都发生变化，2 和π 是固定不变的数
值，故2 是常量，π 是常量，r 是变量，C 是变量．
3．（25-26 八年级下·广东中山·期末）某商店销售一种商品，每件商品的售价为10 元，销售的总收入随
销售数量的变化而变化，在这个问题中，自变量是（ ）
A．售价
B．商品
C．总收入
D．销售数量
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】函数的概念
【分析】本题考查函数中自变量与因变量的概念，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到
答案．
【详解】解：∵在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，
又∵题目明确说明销售的总收入随销售数量的变化而变化，
∴本题中自变量是销售数量，故选D．
4．（25-26 七年级下·重庆·期末）2026 年5 月24 日，神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升
空．飞船上升过程中，飞船剩余燃料的质量会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一变化过程中，自变
量是（ ）
A．飞船的总质量 B．飞船的飞行高度
C．剩余燃料的质量
D．飞船的飞行时间
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【详解】解：∵在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量，
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又根据题意，剩余燃料的质量随飞船飞行高度的增加而减少，飞行高度是主动变化的量，
∴自变量是飞船的飞行高度.
5．（21-22 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列各式，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
3
1
y
x
=
+
B．
1
y
x
=
C．y
x
=
(
)
0
x
D．
2
3
2
1
y
x
x
=
+
−
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的概念
【详解】解：选项A 中，y 有唯一确定值和x 对应，能表示y 是x 的函数；
选项B 中，y 有唯一确定值和x 对应，能表示y 是x 的函数；
选项C 中，
(
0)
y
x x
=
，任取一个大于0 的x 值，例如
4
x = ，y 对应2 和2
−两个值，不满足y 有唯一
确定值和x 对应的要求，不能表示y 是x 的函数；
选项D 中，y 有唯一确定值和x 对应，能表示y 是x 的函数．
6．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高
度随着碗的数量变化的情况如表格所示：
碗的数量（只）
1
2
3
4
5
…
碗的高度（cm）
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…
上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________
【答案】 碗的数量 碗的高度
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系
【分析】在变化过程中，主动变化的量是自变量，随另一个量变化而被动改变的量是因变量．
【详解】解：碗的数量自主增减，碗的高度随着碗的数量而发生变化，
碗的数量是自变量，碗的高度是因变量．
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重难点二、求自变量的取值范围
分四类情况分步求解：整式全体实数；分式分母≠0；二次根式被开方数
≥0；实际问题额外满足现实意义，如长度、人数大于 0。多限制条件取解集公共部分，
联立不等式组求解，检验边界值能否取等，避免遗漏分式、根式隐藏限制条件。
1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）函数
(
)
0
9
2
y
x
x
=
−
+
−
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．
2
x
B．
2
x
且
9
x
C．
9
x
D．2
9
x
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】零指数幂、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【详解】解：根据题意得
9
0
x−
且
2
0
x−
，
解得
9
x
且
2
x
，
∴自变量x 的取值范围是
2
x
且
9
x
．
2．（25-26 八年级下·河北沧州·期中）下列四个函数中，自变量x 的取值范围是全体实数的是（ ）
A．
2
y
x
=
B．
1
y
x
=
+
C．
1
y
x
=
D．
1
2
y
x
=
+
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】求自变量的取值范围
【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式
要求被开方数非负，分式要求分母不为零．
【详解】对选项A，
2
y
x
=
是整式函数，自变量x 的取值范围是全体实数；
对选项B，
1
y
x
=
+ 是二次根式形式，要求被开方数非负，
可得
1
0
x+
，解得
1
x
−
，不是全体实数；
对选项C，
1
y
x
=
是分式，要求分母不为零，可得
0
x
，不是全体实数；
对选项D，
1
2
y
x
=
+
是分式，要求分母不为零，可得
2
0
x+
，即
2
x −，不是全体实数．
3．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）在函数
2
=
−
y
x 中，自变量x 的取值范围是______．
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【答案】
2
x
【难度】0.85
【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x 的不等式，求解不等式即可得到自
变量的取值范围．
【详解】解：由题意，得
2
0
x
−
，
移项得
2
x
−−，
系数化为1得
2
x
．
4．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）在函数
3
4
x
y
+
=
中，自变量x 的取值范围是______．
【答案】
3
x −
【难度】0.85
【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【详解】解：∵函数
3
4
x
y
+
=
，
∴
3
0
x + ，
解得
3
x −．
5．（25-26 九年级下·上海·阶段检测）函数
1
3
y
x
=
+
的定义域是_____．
【答案】
3
x −
【难度】0.95
【知识点】求自变量的取值范围
【分析】根据分母不为零即可解答．
【详解】解：∵
3
0
x+
，
∴
3
x −．
6．（25-26 八年级下·广东广州·期中）已知等腰三角形的周长为14cm，底边长为cm
y
，一腰长为cm
x
．
(1)求y 关于x 的解析式，并直接写出
．．．．自变量x 的取值范围；
(2)当自变量
4
x = 时，求出函数值．
【答案】(1)
7
14
2
7
2
y
x
x
=
−
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【难度】0.81
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、三角形三边关系的应用
【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围．
【详解】（1）解：等腰三角形周长为 14cm，腰长为
cm
x
，底边长为
cm
y
，
2
14
x
y
+
=
，
14
2
y
x
=
−
，
三角形两边之和大于第三边，
2x
y
，即 2
14
2
x
x
−
，
7
2
x
，
又
0
y
，即 14 2
0
x
−
，
7
x
，
自变量 x 的取值范围为 7
7
2
x
；
（2）解：当
4
x = 时，
14
2
4
6
y =
−
=
．
重难点三、求自变量的值或函数值
已知 x 求 y 直接代入解析式，化简计算得出函数值；已知 y 反求 x，把
函数值代入式子，解关于 x 的方程。计算完成后，把解带回原式验证，同时核对 x 是否
在自变量取值范围内，不在范围的解直接舍去，防止出现无意义的增根。
1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）变量y 与x 的关系式为
2
1
y
x
=
−，当
2
x =
时，y 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】求自变量的值或函数值
【详解】将
2
x =
代入关系式得
2 2 1
4 1
3
y =
−=
−=
．
2．（25-26 八年级下·四川绵阳·期末）下列各点在函数
3
1
y
x
=
−的图象上的是（ ）
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A．(
)
1,2
−
B．(
)
1,3
C．(
)
2,3
D．(
)
3,2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】根据函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代
入解析式计算，对比纵坐标即可判断．
【详解】解：∵函数图象上的点满足函数解析式
3
1
y
x
=
−，
∴将各选项横坐标代入计算：
A、当
1
x = −时，
3
3
2
1 1
2
y =
= −
−−
，故A 不符合题意；
B、当
1
x = 时，分母
1
0
x−=
，分式无意义，故B 不符合题意；
C、当
2
x =
时，
3
3
2 1
y =
=
−
，与点的纵坐标相等，故C 符合题意；
D、当
3
x = 时，
3
3
2
3 1
2
y =
=
−
，故D 不符合题意．
3．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）变量y 随x 变化的关系式如图所示，当x 从2 增加到4 时，y 的
值增加了（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系
【分析】分别求出
2
x =
和
4
x = 时y 的值，即可得到y 增加的值．
【详解】解：当
2
x =
时，
3 2 1
5
y = −=
，
当
4
x = 时，
3 4 1
11
y =
−=
，
∴y 的值增加了11 5
6
−=
．
4．（25-26 六年级下·山东淄博·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度(
)
cm
y
与所挂的物体的
质量(
)
kg
x
间有下面的关系：
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x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量
B．所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cm
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm
D．物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系
【分析】根据变量与函数的基本概念，及题目中表格给出的数据，逐一分析各选项即可判断正误．
【详解】解： A. x 与y 都是变量，x 的变化引起y 的变化，因此x 是自变量，y 是因变量，本选项正
确，不符合题意；
B. 由表格可知，当
4kg
x =
时，
12cm
y =
，因此所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cm，本选项正
确，不符合题意；
C. 弹簧不挂重物时，即
0
x =
，由表格得此时
10cm
y =
，不是0cm，本选项错误，符合题意；
D. 由表格数据可得10.5 10
0.5
−
=
，11 10.5
0.5
−
=
，11.5 11
0.5
−
=
，以此类推，可知物体质量每增加1kg ，
弹簧长度y 增加0.5cm，本选项正确，不符合题意．
5．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）在地球某地，气温T （单位：C
）与海拔d （单位：m ）之间的
关系可以近似地用
10
150
d
T =
−
表示，当
1800
d =
时，T = ________ C
．
【答案】2
−
【难度】0.9
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】将
1800
d =
代入给定的气温与海拔的关系式，计算即可得到T 的值．
【详解】解：把
1800
d =
代入
10
150
d
T =
−
，
得
1800
10
10 12
2
150
T =
−
=
−
= −．
6．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某
种金属导体的电阻R （单位：）与温度t （单位：C
）之间满足函数关系式
0.6
8
R
t
=
+ ，当温度
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10 C
t =
时，电阻R =______．
【答案】14
【难度】0.82
【知识点】求自变量的值或函数值
【分析】将
10 C
t =
代入已知函数关系式，计算即可得到电阻R 的值即可．
【详解】解：把
10 C
t =
代入
0.6
8
R
t
=
+ 得：
0.6 10 8
6 8
14
R =
+ = + =
，
即当温度
10 C
t =
时，电阻
14
R =
．
7．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）已知一个正方形的边长为cm
x
（
0
x
），这个正方形的周长为
cm
y
．
(1)求y 与x 之间的关系式；
(2)当
3
x = 时，y 等于多少？
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)
12
y =
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值
【分析】（1）根据正方形的周长公式列式即可；
（2）把
3
x = 代入（1）的关系式求解即可．
【详解】（1）解：y 与x 之间的关系式为
4
y
x
=
．
（2）解：当
3
x = 时，
4 3
12
y =
=
．
8．（25-26 七年级下·山东济南·期末）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信
息，解答下列问题：
碗的数量
x /个
1
2
3
4
5
6
…
高度
/ cm
y
5.2
6.4
__________
8.8
10.0
__________
…
(1)请将表格补充完整：
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(2)若有x 个碗整齐叠放在桌面上，高度为cm
y
，则y 与x 之间的关系式为__________（x 为正整数）；
(3)当碗的数量为15 个时，求这些碗的高度．
【答案】(1) 7.6；11.2；
(2)
1.2
4
y
x
=
+
；
(3)这些碗的高度为22cm ．
【难度】0.65
【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】（1）由表格可知，每增加1 个碗，高度增加1.2cm，据此计算填表即可；
（2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度y =一个碗的高度+ 每增加1 个碗增加的高度（碗的总数1
−），
从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式；
（3）把
15
x =
代入函数关系式即可解答．
【详解】（1）解：由表格可知，1 个碗高5.2cm，2 个碗高6.4cm，
∴每增加1 个碗，高度增加
(
)
6.4
5.2
1.2 cm
−
=
．
∴3 个碗的高度为
(
)
6.4 1.2
7.6 cm
+
=
，6 个碗的高度为
(
)
10.0 1.2
11.2 cm
+
=
．
（2）解：由题意可得，
(
)
5.2 1.2
1
1.2
4
y
x
x
=
+
−
=
+
，
即y 与x 之间的关系式为
1.2
4
y
x
=
+
；
（3）解：当
15
x =
时，
(
)
1.2 15
4
18
4
22 cm
y =
+
=
+
=
，
即当碗的数量为15 个时，这些碗的高度为22cm ．
模块二、函数的表示方法
重难点一、函数的三种表示方法
解析式法、列表法、图像法各有优势，解题按需转换。列表法直观读取对应
数值；解析式方便计算任意自变量对应函数值；图像法清晰观察变化趋势。题型常考三者
互相转化，根据表格坐标提炼解析式，结合解析式描点绘制函数图像，灵活切换解题。
1．（25-26 八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度(
)
cm
y
与所挂重物的质
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量(
)
kg
x
有下面的关系，那么弹簧总长(
)
cm
y
与所挂重物(
)
kg
x
之间的关系式为（ ）
(
)
kg
x
0
1
2
3
4
5
6
(
)
cm
y
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
A．
12
y
x
=
+
B．
0.5
12
y
x
=
+
C．
0.5
10
y
x
=
+
D．
10.5
y
x
=
+
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂1kg 重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式．
【详解】解：观察表格数据可知，
当
0
x =
时，
12
y =
，即弹簧原长为12cm，且x 每增加1kg ，y 增加0.5cm，
∴弹簧总长(
)
y cm 与所挂重物(
)
kg
x
之间的关系式为
0.5
12
y
x
=
+
．
2．（25-26 八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ）
A．记录某病人一天内不同时刻的体温
B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量
C．用公式计算圆柱高h 一定的情况下的体积V 与底面半径r 之间的关系
D．展示某运动员在100 米比赛中速度随时间的变化
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三
类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断．
【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象
法适合直观展示变化趋势．
又∵ A 选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B 选项反映各月份的平均降雨量，为
离散对应数据，优先选列表法；D 选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法．
C 选项中h 为定值，体积V 与底面半径r 有明确关系式
2
V
r h
=
，符合解析法的适用特征，优先用解析
法．
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3．（2025 八年级上·江苏连云港·专题练习）下面说法中正确的是（ ）
A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示
B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势
C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况
D．表达式法不能明显地表示对应规律
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法
【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、
B、D 的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C 选项正确描述了表格法的作用．
【详解】解：A 项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A 错误，不符合题意；
B 项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B 错误，不符合题意；
C 项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C 正确，符
合题意；
D 项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D 错误，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25 八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系
如表：
尺码
…
S
M
L
XL
2XL
…
衣长
/cm
…
67
69
71
73
75
…
若小明需要定制5XL ，则他的衣长是（ ）
A．81cm
B．83 cm
C．85 cm
D．87cm
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加2cm ，据此即可求解，
解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键．
【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加2cm ，
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∴当2XL变化到5XL 时，增加了3 个尺码，
∴
(
)
75 2 3
81 cm
=
+
，
∴他的衣长是81cm，
故选：A．
5．（25-26 八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
x
…
1
−
0
1
2
…
y
…
3
0
3
−
6
−
…
B．
(
0)
y
x x
= −
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、用表格表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系
【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y，并且对于变量x 的每一
个值，变量y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，由此判断选项即可．
【详解】解：A 选项，列表法表示y 是x 的函数；
B 选项，解析法表示y 是x 的函数；
C 选项，图像法表示y 是x 的函数；
D 选项，变量x 的每一个值，变量y 大部分情况下有2 个值与它对应，不能表示y 是x 的函数．
6．（25-26 八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ）
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①表达式y
x
=
中，y 是x 的函数；
②等边三角形的周长C 是边长a 的函数；
③下表中，b 是a 的函数；
a
3
−
2
−
1
−
1
2
3
b
2
−
3
−
6
−
6
3
2
④下图中，曲线表示y 是x 的函数
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法
【分析】根据函数的概念：对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解
答．
【详解】解：①表达式y
x
=
中，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函
数，符合题意；
②等边三角形的周长
3
C
a
=
，故等边三角形的周长C 是边长a 的函数，符合题意；
③由表格信息可得：对应a 的每一个值，b 都有唯一的值与之对应，故b 是a 的函数，符合题意；
④如图中，对于x 的每一个取值，y 不是都有唯一的值与之对应，故y 不是x 的函数，不符合题意．
综上，正确的是①②③．
7．（25-26 八年级上·全国·课后作业）下表中记录了某次试验中时间（单位：min ）和温度（单位：C
）
的数据．
时间/min
0
5
10
15
20
25
温度/ C
10
25
40
55
70
85
若温度的变化是均匀的，则14min 时的温度是________ C
．
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【答案】52
【难度】0.85
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题考查一次函数的应用．
根据题意和表格中的数据，可以计算出每分钟升高的温度和14min 时的温度.
【详解】解：由题意和表格中的数据可知，每分钟升高25 10
3
5
0
−
=
−
（℃），
14min 时的温度是
(
)
40
14 10
3
52
+
−
=
（℃）.
故答案为：52.
8．（24-25 七年级下·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下
的温度变化情况，得到下表：
时间/min
0
5
10
15
25
35
45
55
65
70
温度/℃
98
71
55
45
35
28
24
22
22
22
根据上表，回答问题：
(1)室温大概是________℃；
(2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？
(3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？
【答案】(1)22
(2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致
(3)18 分钟
【难度】0.65
【知识点】函数的三种表示方法
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，
（1）根据表格可知从55min 开始水温不再发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果；
（2）根据表格数据描述特点；
（3）结合表格数据分析求解．
【详解】（1）解：由表格可知，从55min 开始水温不在发生变化，为22℃，
∴当天的室温大概是22℃；
故答案为：22．
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（2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致；
（3）解：结合表格数据可得从15min 至25min 之间，平均每分钟温度降低1℃，
∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18 分钟．
重难点二、函数解析式
求解析式常用待定系数法，先设对应函数通用式子，再代入已知 x、y 对应
点坐标，解方程求出式子内常数。实际应用题先梳理数量关系，根据等量关系直接列出解
析式，写完后标注自变量取值范围。检验时代入表格数值，确认解析式数值匹配无误。
1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车以80 km/h 的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程
(
)
km
s
与所用的时间( )
h
t
之间的关系式为（ ）
A．
80
s
t
=
−
B．
80
t
s =
C．
80
s
t
=
D．
80
s
t
=
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】函数解析式
【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式．
【详解】根据题意可得
80
s
t
=
．
2．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）一个水箱里装有30 升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2 升／分
钟，则水箱中剩余水量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式是（ ）
A．
0.2
Q
t
=
B．
30
0.2
Q
t
=
−
C．
0.2
t
Q
=
D．
30
0.2
t
Q
=
−
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数解析式
【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t 分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求
解．
【详解】∵流速为0.2 升/分钟，流出时间为t 分钟，
∴t 分钟流出的水量为0.2t 升，
又∵剩余水量Q = 总水量- 流出水量，总水量为30升，
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∴
30
0.2
Q
t
=
−
．
3．（25-26 八年级下·河北衡水·期末）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需
50 元的配送费，且一棵树苗15 元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为
（ ）
A．
15
y
x
=
B．
50
y
x
=
C．
15
50
y
x
=
+
D．
50
15
y
x
=
+
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系
【分析】根据总金额由上门费和购买树苗的费用组成，将两部分费用相加得到总金额，即可推导出函数
解析式．
【详解】解：由题意得，
15
50
y
x
=
+
．
4．（25-26 八年级下·湖北·期末）某人一年内的月平均收入为x 元，设他在这一年（12 个月）的总收入为
y 元，则下列表示y 与x 的函数关系式正确的是（ ）
A．
12
x
y =
B．
12
y
x
=
C．
12
y
x
=
D．
12
y
x
=
+
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】函数解析式
【详解】解：∵总收入等于月平均收入乘以总月数，一年共有12个月，已知月平均收入为x 元，总收入为
y 元，
∴
12
y
x
=
．
5．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）长方形的周长为36cm，其中一边长为(
)
cm
x
，面积为
(
)
2
cm
y
，则y 与x 的关系式可表示为______．
【答案】
2
18
y
x
x
= −
+
【难度】0.85
【知识点】函数解析式
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵长方形的周长为36cm，其中一边长为(
)
cm
x
，
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∴另一边长为(
)
(
)
36
2
18
cm
x
x
−
=
−
，
∵面积为(
)
2
cm
y
，
∴
(
)
2
18
18
y
x
x
x
x
=
−
= −
+
．
6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）某地居民用电度数x （度）和应交电费y （元）对应数据如下：观
察表格里x 与y 的对应规律，写出y 和x 的关系式：_________（
0
x
）．
用电度数x
0
10
20
30
…
电费y
0
5.5
11
16.5
…
【答案】
0.55
y
x
=
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、用关系式表示变量间的关系
【详解】解：由题知，用电度数每增加10 度，电费增加5.5 元，
y 和x 的关系式为
0.55
y
x
=
．
7．（26-27 九年级·上海·暑假作业）一根蜡烛长18cm，点燃后每小时燃烧6cm，燃烧剩下的长度(cm)
y
与
燃烧的时间x （小时）之间的函数解析式是_________，自变量x 的取值范围 __________．
【答案】
18
6
y
x
=
−
/
6
18
y
x
= −
+
0
3
x
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【详解】解：根据题意，点燃后每小时耗去6cm，则x 小时后，耗去
(
)
6
,
x c m ，而蜡烛原长为18cm，
故有y 与x 之间的函数关系式是
18
6
y
x
=
−
，
又由于
18
6
0
y
x
=
−
，可得0
3
x
．
8．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）观察下列两个数的积：61 69
−
，62 68
−
，，68 62
−
，
69 61
−
．设这两个数的积为y ，第一个数个位上的数为x （1
9
x
的整数），则y 与x 的关系式为
______．
【答案】
2
10
4200
y
x
x
=
−
−
（1
9
x
的整数）
【难度】0.65
【知识点】数字类规律探索、函数解析式
【分析】观察所给的式子，得出规律即可．
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【详解】解：∵
(
)(
)
61 69
60 1 70 1
−
= −
+
−
，
(
)(
)
62 68
60
2
70
2
−
= −
+
−
，，
∴设这两个数的积为y ，第一个数个位上的数为x （1
9
x
的整数），则y 与x 的关系式为
(
)(
)
2
60
70
10
4200
y
x
x
x
x
= −
+
−
=
−
−
（1
9
x
的整数）．
59．（25-26 八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过18t ）为每吨2.91 元，在这个范围内，水费y（元）是用
水吨数x 的函数；
(2)已知等腰三角形的面积为
2
20cm ，设它的底边长为xcm ，底边上的高为ycm，y 是x 的函数；
(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为rcm的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为
2
cm
S
，S 是r 的函数．
【答案】(1)
函数关系式为
2.91
y
x
=
，自变量取值范围为0
18
x
(2)
函数关系式为
40
y
x
=
，自变量取值范围为
0
x
(3)
函数关系式为
2
100π
π
S
r
=
−
，自变量取值范围为0
10
r
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围
【分析】 本题需要根据实际问题中的等量关系推导函数关系式，再结合实际意义和题目给定的限制条件
确定自变量的取值范围，用到总价单价数量关系、三角形面积公式、圆面积公式等初中基础知识．
【详解】（1）解：由题意得，水费等于每吨水费乘以用水吨数
因此
2.91
y
x
=
用水吨数不能为负数，且题目要求每月每户用水不超过18t ，
因此自变量取值范围为0
18
x
；
（2）解：由三角形面积公式可得1
20
2 xy =
整理得
40
y
x
=
三角形的底边长为正数，因此自变量取值范围为
0
x
；
（3）解：由题意得，圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，而大圆半径为10cm，面积为
2
10
100
=
，小圆面积为
2r
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因此
2
100π
π
S
r
−
=
小圆半径r 为正数，且小于大圆半径10cm，
因此自变量取值范围为0
10
r
．
9．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）书法是我国特有的一种传统艺术．小明暑假在家练习毛笔书法，他
计划每天练习60 个字，若小明平均每分钟可以练习x 个字，则每天需要练习y 分钟，y 随x 的变化而变
化．
(1) y 是否是关于x 的函数？若是，请写出y 关于x 的函数解析式（无需写出自变量x 的取值范围）；若不
是，请说明理由；
(2)若小明平均每分钟可以练习2 个字，则他每天需要练习多少分钟？
【答案】(1) y 是关于x 的函数，函数解析式为
60
y
x
=
(2)他每天需要练习30分钟
【难度】0.65
【知识点】函数的概念、函数解析式、求自变量的值或函数值
【分析】（1）根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中存在两个变量x，y，对于x 的每一个值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么x 是自变量，y 是x 的函数．进行判断即可；
（2）把
2
x =
代入（1）中的解析式即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，当小明平均每分钟可以练习x 个字时，练习的时间y 随x 的变化而变
化，且对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，因此y 是关于x 的函数．
由
60
xy =
得
60
y
x
=
，
所以y 关于x 的函数解析式为
60
y
x
=
．
（2）解：当
2
x =
时，
60
30
2
y =
=
，
答：他每天需要练习30 分钟．
模块三、函数的图像
重难点一、函数图象识别
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用竖线判定法区分函数与非函数图像，垂直横轴直线仅能交图像一次。动态
图像识别重点观察分段走势：上升代表 y 随 x 增大而变大，下降则相反，水平线段说明
y 值恒定。结合题干场景匹配图像变化节奏，排除不符合增减趋势、取值范围的错误图
像。
1．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，小明出去散步，从家走了20 分钟到一个离家900
米的报亭，他在报亭看报10 分钟，然后用18 分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与
时间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】将小明的行程分为三个阶段：①0
20
分钟，②20
30
分钟，③30
48
分钟，据此解答即
可．
【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段：
第一阶段：从家走到报亭，
∵从家走了20 分钟到一个离家900 米的报亭，
∴在0
20
分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900 的一条线段；
第二阶段：在报亭看报，
∵在报亭看报10 分钟，此时离家的距离不变，且20 10
30
+
=
（分钟），
∴在20
30
分钟内，图象应为平行于x 轴的一条水平线段；
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第三阶段：返回家，
∵用18 分钟返回家，且30 18
48
+
=
（分钟），
∴在30
48
分钟内，图象应为从纵坐标900下降至0 的一条线段，且终点横坐标为48；
观察各选项图象，只有D 选项符合．
2．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ）
①圆的周长C 是半径r 的函数； ②表达式y
x
=
中，y 是x 的函数；
③下表中，n 是m 的函数； ④下图中，曲线表示y 是x 的函数．
m
3
−
2
−
1
−
1
2
3
n
2
−
3
−
6
−
8
9
2
A．①④
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、函数图象识别
【详解】解：①根据圆的周长公式
2π
C
r
=
可知：对应r 的值都有唯一一个C 与之对应，所以圆的周长C
是半径r 的函数，说法正确；
②表达式y
x
=
中，对应x 的每一个值，都有一个y 与之对应，所以y 是x 的函数，说法正确；
③由表格信息可得：对应m 的每一个值，n 都有唯一的值与之对应，所以n 是m 的函数，说法正确；
④由图象可知：对应x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，曲线表示y 是x 的函数，说法正确；
综上所述：正确的有①②③④．
3．（25-26 八年级下·天津西青·期末）汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的
长度l 与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间t 之间的关系可以用下图近似的刻画的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别、用图象表示变量间的关系
【详解】解：当汽车进入时l 逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内l 不变，当汽车出来时l 逐渐变小，
因此l 与t 之间的关系可以用下图近似的刻画：
4．（25-26 八年级下·山东菏泽·阶段检测）潜艇潜行，全仗浮力托举；然水压如山，深潜受限，过深则艇
体难承，二者制衡，方保深海安稳．已知液面下深度为h 处液体压强p
gh
=
，其中ρ 取
3
3
1.0 10 kg/m
，
g 取10N / kg ．如图，某型号潜艇准备下潜到水下某深处（未达到最大潜水深度）作业，这一过程中潜艇
受到的水的压强p 与深度h 的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数解析式、函数图象识别
【分析】将ρ 取
3
3
1.0 10 kg/m
，g 取10N / kg ，代入p
gh
=
，得到
4
10
p
h
=
，此函数为正比例函数，由此
得到函数图象．
【详解】解：∵p
gh
=
，其中ρ 取
3
3
1.0 10 kg/m
，g 取10N / kg ．
∴
3
4
1.0 10
10
10
p
h
h
=
=
，
∴压强p 与深度h 的函数关系为正比例函数，
根据图象，只有选项A 符合．
5．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）为了解科普知识，晓霖同学星期天从家里跑步到书房，查看了一会
儿科普资料书，然后沿原路走回家．下面能反映当天晓霖同学走的路程y （单位：m ）与时间x （单位：
min ）之间关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.82
【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息
【分析】根据场景以及函数关系得出函数图象．
【详解】解：从家里跑步到书房，y 随x 的增大而增大；
在书房查看了一会儿科普资料书，y 的值不变；
然后沿原路走回家，y 随x 的增大而增大；
且跑步的图象比走路的图象陡，
∴图象为
6．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）一名外地游客从营口东（甲地）出发，自驾去往40km外的鲅鱼圈
山海广场（乙地），车辆匀速行驶了20min ，到达西海服务区（丙地），司机停车休息10min 后继续行
驶，又经过了15min ，到达鲅鱼圈山海广场．下列图象中，能大致描述游客在行驶过程中，距离终点乙地
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（鲅鱼圈山海广场）的路程s（单位：km）与所用时间t （单位：min ）之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数图象识别
【分析】车辆匀速行驶20 分钟，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，客车离乙地距离不变；继续行驶，
客车离乙地距离逐渐变短最后为0 ，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知，图象分三段：
第一段：行驶20min ，t 由0 到20，客车离乙地距离变短，s随t 的增大而减少；
第二段：停留10min ，t 由20 到30，客车离乙地距离不变，s随t 的增大而不变；
第三段：再行驶15min ，t 由30 到45，客车离乙地距离变短，s随t 的增大而减少，最后为0 ；
综上可知，符合题意的只有选项C．
7．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h 随时间t 的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【难度】0.76
【知识点】函数图象识别
【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水
面上升越快，容器越细，据此分析判断即可．
【详解】解：由图像可知，水面高度h 随时间t 的变化分为两段，
第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗），
第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细），
∴容器的形状应为下部较粗，上部较细，
观察各选项，A、C 上下粗细相同，D 下部细上部粗，B 下部粗上部细，
故选项B 符合题意．
8．（26-27 七年级上·浙江杭州·开学考试）甲工程队铺设一条光缆，施工一段时间后，遇暴雪天气停工了
一段时间．复工后为了提高工作效率，乙工程队加入了光缆铺设工作．下面能够正确反映此次光缆铺设
工作情况的是图（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数图象识别
【详解】解：由题意得：刚开始施工的速度慢，暴雪停工几天，后来施工速度加快，
故选项D 符合题意.
9．（25-26 七年级下·全国·课后作业）一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多
了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪
一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？
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【答案】
图（3）
【难度】0.85
【知识点】函数图象识别
【分析】根据题意将体温变化过程分为四个阶段，分析每个阶段体温的增减趋势及关键时间点的体温数
值，结合图象的特征进行判断即可.
【详解】解：根据题意可知，患者的体温变化过程如下：早晨烧得很厉害，说明早晨时段体温较高；
中午时体温基本正常，说明从早晨到中午体温呈下降趋势，且12时左右体温接近37℃；
下午体温又开始上升，说明从中午到下午体温呈上升趋势；
直到夜里他才感觉体温基本正常了，说明从下午到夜里体温呈下降趋势，且24 时左右体温接近37℃；
观察四个图象：
图（1）体温随时间推移一直下降，不符合题意；
图（2）体温先上升后下降，仅有一个变化转折点，不符合题意；
图（4）在12时至18时体温呈下降趋势，不符合“下午体温又开始上升”的描述；
图（3）体温在6 时左右较高，12时左右降至最低，18时左右又升高，24 时左右降至最低，符合“高→低
→高→低”的变化特征，符合题意.
重难点二、从函数的图象获取信息
先看清横、纵坐标代表的实际含义，再分区间读取关键点：起点、终点、拐
点、交点坐标。拐点代表数量关系发生变化，交点代表两个变量数值相等；结合坐标计算
线段长度、变化速率，提取最值、取值范围，答题结合图像分段描述变化规律，信息提取
完整不遗漏。
1．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人
驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返
回公司，往返过程中行驶速度保持不变．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个
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快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间(
)
min
t
的函数关系如图所示，根据图象可
知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（ ）min
A．4
B．8
C．10
D．16
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】先求出快递车的行驶速度，再求出快递车的行驶总时间，由此即可．
【详解】解：由函数图象可知，快递车的行驶速度为
(
)
5
m/min
40
30
2
a
a
=
−
，
∴往返过程中，快递车的行驶总时间为
(
)
8
8
32 min
2
a
a
a
+
=
，
∵在每个快递点卸包裹的时间相同，
∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为(
)
(
)
40
32
2
4 min
−
=
．
2．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：李华从家跑步去体育场，在体
育场锻炼后，去早餐店吃米粉，最后散步走回家．其中x 表示时间，y 表示李华离家的距离．根据图像提
供的信息，以下说法错误的是（ ）
A．早餐店离家的距离为1.5 千米
B．从出门开始，李华到达早餐店共花了45 分钟
C．体育场离早餐店1 千米
D．李华从家到体育场的平均速度是8 千米/小时
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【答案】D
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】根据函数图像横纵坐标表示的意义，结合图像各段的变化情况，分别计算路程、时间及速度进
行判断即可求解．
【详解】解：由图像可知：y 轴表示离家的距离，x 轴表示时间.A.早餐店对应的时间段是45至65分钟，
此时
1.5
y =
，即早餐店离家1.5千米，故A 说法正确；
B.李华到达早餐店的时刻是
45
x =
，即从出门开始共花了45分钟，故B 说法正确；
C.体育场离家2.5 千米，早餐店离家1.5千米，两地距离为2.5 1.5 1
−
= （千米），故C 说法正确；
D.李华从家到体育场用了15分钟，路程为2.5 千米，15分钟
15
60
=
小时
0.25
=
小时，平均速度为2.5
10
0.25 =
（千米/小时），故D 说法错误.故选D．
3．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，
它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速(
)
km / h
v
之间的函数关系如图所
示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0
60
v
时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数大于0.75，车速应大于25km / h
D．若车速从0km/ h 增大到60km / h ，则这款轮胎的摩擦系数减小0.19
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】根据函数图象获得信息，并灵活处理应用信息解答即可.
【详解】解：A、根据图象得，汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 ，正确，不符合要求；
B、当0
60
v
时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，正确，不符合要求；
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C、要使这款轮胎的摩擦系数大于0.75，车速应小于25km / h ，原说法错误，符合要求；
D、若车速从0km/ h 增大到60km / h ，则这款轮胎的摩擦系数减小0.9 0.71
0.19
−
=
，正确，不符合要求.
4．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，
白昼时长不足11 小时的节气是（ ）
A．惊蛰
B．立夏
C．秋分
D．冬至
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】观察函数图象，找出纵坐标小于11的点对应的节气．
【详解】解：由图象可知，惊蛰、立夏、秋分对应的白昼时长均大于11小时，冬至对应的白昼时长小于
10小时，
白昼时长不足11小时的节气是冬至 ．
5．（25-26 八年级下·湖南株洲·期末）爸爸和孩子周末骑行，孩子先从家出发，爸爸晚12 分钟骑车从家
出发追赶孩子．两人的骑行路程s（单位：千米）关于孩子出发时间t （单位：分钟）的函数图像如图所
示，在
32
t =
分钟时，两人都骑行了4.8 千米．则爸爸出发后________分钟追上孩子．
【答案】20
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【详解】由函数图像可知，爸爸晚 12 分钟从家出发，
所以爸爸出发后追上孩子所用的时间为 32 12
20
−
=
（分钟）．
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6．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天
气温最高的时刻是______时．
【答案】14
【难度】0.9
【知识点】从函数的图象获取信息
【详解】根据函数图象可知，最高温度16对应的时刻为14 时，
即这一天气温最高的时刻是14 时．
7．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人
驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返
回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递
车离公司的路程( )
s m 与时间(
)
min
t
的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的
时间为__________min ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】由图象可知，快递车行驶5a 米所需时间为10分钟，据此可得快递车行驶的总时间为32（分
钟），进而得出答案．
【详解】解：由题意可知，快递车行驶5a 米所需的时间为40 30
10
−
=
（min ）．
所以快递车行驶的总时间为
10
2
8
32
5
a
a
=
（min ）．
所以快递车在每个快递点卸包裹的时间为(
)
40
32
2
4
−
=
（min ）．
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8．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）周末，小明骑车从家里出发去体育馆，途中突然发现钥匙不见
了，于是原路折返，在之前等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往体育馆，设小明从家里出发所用的
时间为x （分钟），离家的距离为y （米），y 与x 的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答
下列问题：
(1)在这个过程中，自变量是什么？因变量是什么？
(2)小明等待红绿灯花了多长分钟？
(3)小明的家距离体育馆多少米．
(4)求小明在等红绿灯前的速度．
【答案】(1)自变量是时间x ，因变量是离家距离y
(2)2 分钟
(3)小明的家距离体育馆1500 米
(4)小明在等红绿灯前的速度为120 米/分
【难度】0.85
【知识点】函数的概念、从函数的图象获取信息
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，小明等待红绿灯花了10 8
2
−=
（分钟）；
（3）略
（4）解：960 8
120
=
（米/分），
答：小明在等红绿灯前的速度为120 米/分．
9．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持
每天适当运动．某次运动中，小林的心率P （次／分）与运动时间t （分）之间的变化关系如图所示，根
据图象回答下列问题：
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(1)图中点M 表示的实际意义是______；
(2)在运动开始的前10 分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？
(3)小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120 次／分～175 次／分之间能达到最佳运动效
果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？
【答案】(1)小林的运动时间在第40 分钟时，心率为160 次／分
(2)在运动开始的前10 分钟内，小林的心率增加得较快，这一阶段可能在快跑（说法合理即可）
(3)本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40 分钟
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】（1）根据横坐标和纵坐标的意义，即可求解．
（2）根据函数图象，即可求解．
（3）找出纵坐标在120～175 之间对应的横坐标范围，即可求解．
【详解】（1）解：小林的运动时间在第40 分钟时，心率为160 次／分．
（2）略
（3）50 10
40
−
=
（分钟），
答：本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40 分钟．
10．（25-26 七年级下·甘肃兰州·期末）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要
去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送
点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
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(1)图中自变量是______；
(2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟；
(3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟．
【答案】(1)时间
(2)1500；4
(3)450
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象进行回答即可；
（3）利用速度等于路程除以时间，计算出各个区段的速度即可作答．
【详解】（1）解：图中自变量是时间；
（2）解：出发地到派送点的距离是1500米，小李在便利店停留了12 8
4
−=
（分钟）；
（3）解：在0
6
−分钟之间，小李花了6 分钟走了1200米，
即此时速度为1200 6
200
=
（米/分钟）；
在6 8
−分钟之间，小李花了2 分钟走了：1200 600
600
−
=
（米），
即此时速度为600 2
300
=
（米/分钟）；
在8 12
−
分钟之间，小李花了4 分钟做了停留，即此时速度为0 （米/分钟）；
在12 14
−
分钟之间，小李花了2 分钟走了1500 600
900
−
=
（米），
即此时速度为900
2
450
=
（米/分钟）；
即小李的最快速度为450 米/分钟．
11．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终
点），补给站C 三处打卡点，补给站C 位于驿站A 和观景台B 之间．甲从驿站A 出发前往观景台B，全
程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15 分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速
前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3 倍，最终两人同时到达观景台B．
甲、乙两人各自离驿站A 的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
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(1)出发时，甲和乙之间的距离是_____米；
(2)乙在补给站休息了多少分钟？
(3)甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400 米．
【答案】(1)600；
(2)10 分钟；
(3)10 或22 或
1
27 7 分钟.
【难度】0.48
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】（1）观察图象即可求解；
（2）求出乙步行和骑车的速度，再计算时间即可；
（3）求出甲乙的速度，再按甲追上乙前后分类讨论计算即可．
【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0 分时，距离是600 米，
即出发时甲和乙之间的距离为600 米.
（2）解：乙步行速度为1800
600
80
15
−
=
（米/分钟），
骑车速度为3 80
240
=
（米/分钟）.
骑行时间为3000 1800
5
240
−
=
（分钟）.
∴乙休息时间为30 15 5 10
−
−=
（分钟）．
答：乙在补给站休息10 分钟.
（3）解：甲速度为3000
100
30 =
（米/分钟），
甲追上乙的时间为1800
18
100 =
（分钟）
由（2）可知：
15 10
25
b =
+
=
.
设甲步行t 分钟，甲、乙两人之间的距离为400 米，
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①甲追上乙前即0
18
t
时，
列方程得600 80
100
400
t
t
+
=
+
解得：
10
t =
，符合题意；
②甲追上乙后，乙骑行前即18
25
t
时，
则100
1800
400
t −
=
，
解得
22
t =
，符合题意；
③乙骑行后即25
30
t
时，则
(
)
100
400
1800
240
25
t
t
−
=
+
−
解得
1
27 7
t =
，符合题意；
答：甲步行10 或22 或
1
27 7 分钟时，甲、乙两人之间的距离为400 米．
重难点三、动点问题的函数图象
解题分三步分析：先梳理动点运动路径，拆分匀速、静止、折返等运动阶
段；再分析每个阶段横纵坐标的变化规律，判断图像上升、下降、水平分段；结合线段长
度计算每段图像对应自变量取值区间，排除运动速度、距离不符的干扰图像，精准匹配分
段函数图像。
1．（2026·甘肃白银·一模）如图，在矩形ABCD中，
3cm
AB =
，
4cm
BC =
，对角线
5cm
AC =
，动点P
从点C 出发，沿C
A D C
−
−
−
运动．设点P 的运动路程为x（单位：cm），BCP
的面积为y（单位：
2
cm ）．若y 与x 的对应关系如图所示，则图中a，b 的值分别为（ ）
A．12，9
B．6，6
C．6，3
D．12，3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】根据题意，先求出当点P 在AD上运动时BCP
的面积即a 的值，再根据点沿C
A D C
−
−
−
运动
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到D 时的路程来求b 的值即可．
【详解】解：当点P 在AD上运动时
1
1
4 3
6
2
2
BCP
S
BC AB
=
=
=
，
∴
6
a =
，
由图知，点P 沿C
A D C
−
−
−
运动到D 时，路程为
5
4
9
AC
AD
+
= +
=
．
∴2
3
9
b+ =
，
∴
3
b =
．
2．（2026·河南商丘·一模）如图1，ABC
中，动点P 从B 点出发向点C 运动，连接AP ，设BP的长为
x，AP 的长为y，则y 关于x 的函数图象如图2 所示，该图象的最低点为M，则ABC
的周长为（ ）
A．2
3
3
+
+
B．
6
4
+
C．2 3
2
+
D．
2
2 3
+
【答案】A
【难度】0.81
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】作AP
BC
⊥
先根据图像判断
1
AP
BP
=
= ，
2
AC =
，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即
可．
【详解】解：∵当AP
BC
⊥
时，AP 取最小值，即
1
AP
BP
=
= ，
当点P 与点C 重合时AP 取最大值，即
2
AC =
，
作AP
BC
⊥
如图
∵
2
2
3
PC
AC
AP
=
−
=
，
2
2
2
AB
AP
BP
=
+
=
，
∴
2
3
3
ABC
C
AB
BP
PC
AC
=
+
+
+
=
+
+
．
3．（25-26 八年级上·安徽·阶段检测）某人骑车沿直线旅行，先前进了km
a
，休息了一段时间，又原路返
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回
(
)
km
b
b
a
，再前进km
c
，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图应是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了函数图像的判断，理解题意是解决本题的关键．
根据题意判断函数图像的起伏进行判断即可．
【详解】解：某人骑车沿直线匀速行驶，先前进了km
a
，这一过程反映在图象上应是自原点出发的一段
上升线；
休息了一段时间，时间增加，但距离没有变化，故应是一段水平线；
按原路返回
(
)
km
b
b
a
，这一段反映在图象上应是一段下降线；
再前进了km
c
，这一过程反映在图象上应是一段上升线，由于行驶中一直保持匀速，故第一段和最后一
段上升线的倾斜度相同．
故选：C．
4．（24-25 八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形ABCD中，
2
AB =
，
4
BC =
，点P 沿
A
B
C
D
A
→
→
→
→
路线运动，设点P 的运动路程为x，ABP
的面积为y，则能大致刻画y 与x 之间的
关系图象的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析在不同边上ABP
的面积变化情况即可求
解．
【详解】解：由题得：当点P 在AB 上时，ABP
不存在，
当点P 在BC 上时，ABP
的面积随x 的增大而增大，
当点P 在CD上时，ABP
的面积等于矩形的一半，固定不变，
当点P 在AD上时，ABP
的面积随x 的增大而减小，
综上所述，只有D 符合题意，
故选：D．
5．（24-25 八年级下·河南开封·阶段检测）如图，在如图1 矩形ABCD中，动点P 从B 点出发，沿
,
,
BC CD DA 运动至点A 停止，设P 点运动的路程为x，ABP
的面积y，且x 与y 的关系如图2 所示，则
矩形ABCD的面积是（ ）
A．25
B．36
C．16
D．20
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中ABP
的面积和函数图象，求出BC 和CD的
长，再用矩形面积公式求出矩形的面积，点P 从点B 运动到点C 的过程中，y 与x 的关系是一个一次函
数，运动路程为4 时，面积发生了变化，说明BC 的长为4，当点P 在CD上运动时，
ABP
的面积保持
不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路程由4 到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
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【详解】解：结合图形可以知道，P 点在BC 上，ABP
的面积为y 随x 的增大而增大，当P 点在CD上运
动时，ABP
的面积不变，
得出
4,
9
4
5
BC
CD
=
=
−
=
，
所以矩形ABCD的面积为：4 5
20
=
．
故选：D．
6．（24-25 八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点P 在边CD上．设DP
x
=
，
APD
△
的面积为y ，下列图象中表示y 与x 之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象关键是发现y 随x 的变化而变化的趋
势．
根据
APD
△
的面积
1
2 AD DP
=
可得答案．
【详解】解：∵
APD
△
的面积
1
2 AD DP
=
，
1
4
2 (0
4)
2
y
DP
x
x
=
=
，
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故选：A．
7．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P 从点B 出发，沿折线BCDA
匀速运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x，PAB
的面积为y，y 与x 之间的关系如图②所示，则长
方形ABCD的面积为__________．
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【详解】解：根据题意得，当点P 在BC 上时，y 随x 的增大而增大；当点P 在DC 上时，y 为定值；当点
P 在AD上时，y 随x 的增大而减小，
∴由图像可得，
3
BC = ，
7
3
4
CD =
−=
，
∴长方形ABCD的面积为3 4
12
=
．
8．（25-26 八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形ABCD的边AB 的长为5cm，动点H 以1cm / s
的速度从点A 出发沿折线ABCD匀速运动到终点D，设点H 的运动时间为( )s
t
，
HAD
△
的面积为S
2
cm ，S 与t 之间的关系如图②所示．
(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________．
(2) BC = _________cm， a =_________；
(3)点H 的运动时间为5 9s
−
时，求
HAD
△
的面积b．
【答案】(1)H 的运动时间为t ，
HAD
△
的面积为S
(2)4，14
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(3)
10
b =
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意及函数的定义即可作答；
（2）根据三角形的面积及图象即可得出答案；
（3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积．
【详解】（1）解：由图象可知，
HAD
△
的面积S 随着时间t 的改变而改变．
所以自变量为：H 的运动时间t；因变量为：
HAD
△
的面积S．
故答案为：H 的运动时间t；
HAD
△
的面积S；
（2）解：
5
AB =
，
9 5
4
BC = −=
，则
5
CD = ，
9
5
14
a
=
+
=
，
故答案为：4，14；
（3）解：∵动点H 按从A
B
C
D
−
−
−
的路径匀速运动，
由题意可知，点H 在BC 上运动时
HAD
△
的面积不变，
1
1
4 5
10
2
2
b
AD AB
=
=
=
，
9．（24-25 七年级下·广东佛山·期中）如图1 是一个相邻两边都互相垂直的平面图形，且
AB
BC
DE
=
=
，CD
EF
=
，动点P 从点A出发，沿着图形的边以1cm / s 的速度按A
B
C
D
E
→
→
→
→
的方向运动，到点E 处停止运动．图2 是
PFE
△
的面积(
)
2
S cm
与点P 的运动时间(s)
t
的关系，请回答以
下问题：
(1) AB = cm，CD = cm，题2 图中a = ．
(2)当点P 在DE 边运动时，求S与t 的关系式．
【答案】(1)3；6；18
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(2)
(
)
45
3 12
15
S
t
t
=
−
【难度】0.85
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是
本题的解题关键．
（1）由函数图象知
3
AB =
，由三角形面积求得
6
CD
EF
=
= ，据此求解即可；
（2）先求得
15
PE
t
=
−，再利用三角形面积公式列式即可．
【详解】（1）解：当0
3
t
时点P 从点A运动到点B ，
1 3
3
AB = =
，
∴
3
AB
BC
DE
=
=
=
，
点P 从点B 运动到点C ，
PFE
△
面积从a 变化到9，
∴
1
9
2
PFE
S
EF DE
=
=
，
∴
6
CD
EF
=
= ，
∴
(
)
1
18
2
a
EF
DE
BC
=
+
=
；
故答案为：3；6；18；
（2）解：
3 3 6
3
15
PE
t
t
= + + + −=
−，
∴
(
)
(
)
1
1
6 15
45
3 12
15
2
2
S
EF PE
t
t
t
=
=
−
=
−
．
