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重难点专题01 认识实数
模块一、无理数
重难点一、无理数
区分核心定义：无限不循环小数叫做无理数。常见三类：开方开不尽的数、
含 π 的式子、特定无限不循环小数。注意有限小数、无限循环小数属于有理数，不要误
认为带根号就是无理数。判断题优先化简，化简后再判断类别。
1．（2026·浙江绍兴·二模）科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．“常压下水的沸点是100 C
”中的100
B．“氧气在空气中的占比约为1
5 ”中的1
5
C．“月球公转周期27 天”中的27
D．“圆周率π”中的π
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】无理数
【详解】解：选项A 的100是整数，属于有理数；
选项B 的1
5 是分数，属于有理数；
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选项C 的27 是整数，属于有理数；
选项D 的是无限不循环小数，是无理数．
2．（25-26 七年级下·全国·课后作业）以下说法错误的是（ ）
A．无理数是无限小数
B．0.202202220…（相邻两个0 之间依次多一个2）是无理数
C．无理数是带根号的数
D．无理数不可能是分数
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的定义与性质，解题关键是准确理解无理数“无限不循环”的本质，避免将“带
根号”作为无理数的判定标准．
逐一分析每个选项，根据无理数的定义（无限不循环小数）来判断其正确性．
【详解】解：A、无理数是无限不循环小数，属于无限小数，该说法正确，不符合题意；
B、0.202202220...（相邻两个0 之间依次多一个2 ）是无限不循环小数，属于无理数，该说法正确，不符
合题意；
C、无理数不一定是带根号的数，例如是无理数但不带根号；而像4
2
=
这样带根号的数却是有理数，
该说法错误，符合题意；
D、分数是有理数，无理数不属于有理数，因此无理数不可能是分数，该说法正确，不符合题意．
故选：C．
3．（25-26 八年级上·山西太原·期中）无理数和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映．下列
四个数中，是无理数的是（ ）
A．0.618
B．
1
11
−
C．0.7
D．3
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】无理数
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无理数是无限不循环小
数，不能表示为两个整数之比．通过判断每个选项是否可写为分数或是否为无限不循环小数来确定．
【详解】解：A．0.618 是有限小数，是有理数；
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B．
1
11
−
是分数，属于有理数；
C．0.7是循环小数，属于有理数；
D．3 是无理数．
故选：D．
4．（25-26 七年级下·河北沧州·期末）关于8 的叙述，下列不正确
．．．的是（ ）
A．8 是无理数
B．在数轴上可以找到表示8 的点
C．2
8
3
D．周长为8 的正方形的边长是8
【答案】D
【难度】0.75
【知识点】无理数、实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】先化简8 ，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选
项，找出错误叙述即可．
【详解】∵8 是无限不循环小数，属于无理数，∴A 叙述正确；
∵所有实数都能在数轴上找到对应点，8 是实数，∴B 叙述正确；
∵
2
2
4
=
，
2
3
9
=
，且 4
8
9
，∴ 2
8
3
，C 叙述正确；
∵周长为8 的正方形，边长为 8
4
2
8
=
，∴D 叙述不正确．
5．（25-26 七年级下·北京·期末）有下面四个推断：
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数．
上述推断中，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算、无理数、实数的分类、两个有理数的乘法运算
【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果．
【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数2 和
2
−
，
(
)
2
2
0
+ −
=
，0 是有理数，
因此①错误；
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② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数2 和2 ，2
2
2
=
，2 是有理数，因此②错
误；
③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设a 是有理数，b 是无理数，假设a
b
c
+
=
为有
理数，可得b
c
a
= −
，
∵ 两个有理数的差仍为有理数，
∴ b 为有理数，与b 是无理数矛盾，因此③正确；
④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数0 和无理数2 ，0
2
0
=
，0 是有理
数，因此④错误；
综上，正确的推断只有1个．
6．（25-26 七年级下·广东茂名·期末）如图，以1 个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一
周，圆上的一点由原点O 到达点O．点O对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________．
【答案】
3
−
【难度】0.65
【知识点】无理数、圆的周长和面积问题
【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点O表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数
减去整数部分）进行计算即可．
【详解】 解： 圆的直径为1 ，
圆的周长为
1
=
，
圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，
点O对应的数为 ，
3
4
，
的整数部分为3，
这个无理数的小数部分为
3
−．
7．（24-25 八年级上·山西临汾·期中）综合与实践
如图1，把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，所得的4 个直角三角形拼成一个面积为2 的大正方
形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
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(1)图2 中A、B 两点表示的数分别为______，_____．
(2)请你参照上面的方法：
①把图3 中5 1
的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3 中画出
．．裁剪线，并在图4 的正方形网
格中画出
．．拼成的大正方形，该正方形的边长a =_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空
隙）
②在①的基础上，参照图2 的画法，在数轴上用点M 表示数1 a
+
．（要求：尺规作图并保留作图痕
迹，不写作法．）
【答案】(1)
2
−
，
2
(2)
①如图所示，
正方形的面积为5，所以边长
5
a =
；
故答案为：5 ；
②如图所示，点M 即为所求作．
【难度】0.85
【知识点】无理数、实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数，
对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案；
对于（2）①，将图3 分成4 个直角三角形和1 个小正方形，再图4 中拼成正方形，进而得出正方形的边
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长；
②以数1 为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作.
【详解】（1）解：对角线的长为
2
2
1
1
2
+
=
，
所以点A，点B 表示的数是
2, 2
−
；
故答案为：
2, 2
−
；
（2）略
8．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）图1、图2、图3 均为4 4
网格，每个小正方形的边长为
1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求．
(1)在图1 中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数；
(2)在图2 中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数；
(3)在图3 中，画出的直角三角形三边长都是无理数．
【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求；
（答案不唯一）；
(2)解：如图所示，图中三角形即为所求；
（答案不唯一）；
(3)解：如图所示，图中三角形即为所求；
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（答案不唯一）．
【难度】0.51
【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、无理数
【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可；
（2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可；
（3）根据无理数的定义进行作图即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
2,
1,
1
2
5
AB
BC
AC
=
=
=
+
=
，
∴
,
AB BC 为有理数，AC 为无理数，且
2
2
2
5
AB
BC
AC
+
=
=
，
∴ABC
是直角三角形，符合题意；
（2）解：∵
2
2
1
1
2,
2
DE
DF
EF
=
=
+
=
=
，
∴
,
DE DF 为无理数，EF 为有理数，且
2
2
2
4
DE
DF
EF
+
=
=
，
∴DEF
是直角三角形，符合题意；
（3）解：∵
2
2
2
2
1
2
5,
1
3
10
GH
GI
HI
=
=
+
=
=
+
=
，
∴
,
,
GH GI HI 都为无理数，且
2
2
2
10
GH
GI
HI
+
=
=
，
∴GHI 是直角三角形，符合题意．
重难点二、无理数的大小估算
采用 “夹逼法” 估算无理数，先找到相邻两个整数平方，锁定被开方数区
间，确定无理数整数部分；求小数部分用原无理数减去整数部分。比较同类根式可比较被
开方数，估算后能完成取值、整数部分相关题型。
1．（2026·北京·模拟预测）下列整数中与13 最接近的是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【难度】0.85
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【知识点】无理数的大小估算
【分析】通过比较平方数确定13 的取值范围即可．
【详解】解：∵
23
9
=
，
2
4
16
=
，9
13 16
，
∴3
13
4
，
因此下列整数中与13 最接近的是4 ．
2．（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点N 表示的数可能是（ ）
A．15
B．5
C．7
D．10
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】根据数轴可得点N 表示的数大于3 且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的
取值范围即可得到答案．
【详解】解：设点N 所代表的数为x ，
由数轴可知：3
3.5
x
，即9
12.25
x
，故B、C 错误，
∵9
10
12.25
15
16
，
∴数轴上点N 表示的数可能是10 ．
3．（21-22 七年级下·广西南宁·期中）无理数6 位于（ ）之间．
A．1和2
B．2 和3
C．3和4
D．4 和5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题使用夹逼法，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，确定无理数6 的范围．
【详解】∵
2
2
4
=
，
2
3
9
=
，
又∵ 4
6
9
，
∴
4
6
9
，
即 2
6
3
，
因此6 位于2 和3之间．
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4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示5 的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】根据
4< 5< 9 ，结合数轴求解即可；
【详解】解：
4< 5< 9
，
2< 5<3
，
根据数轴的意义，得落在段②；
5．（25-26 七年级下·云南红河·阶段检测）正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足
5
1
2
MN
BN
BM
NB
BM
BE
−
=
=
=
．人们把
5
1
2
−这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计
5
1
2
−的值应在
（ ）
A．0.1 和0.5 之间 B．0.5 和1 之间
C．1 和2 之间
D．2 和3 之间
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查无理数的估算. 先确定
5 的取值范围，再利用不等式的性质求出
5
1
2
− 的范围即
可．
【详解】解：
4
5
9
2
5
3
2 1
5 1
3 1
−
−− 即 1
5 1
2
−
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1
5
1
2
2
2
2
−
即
5
1
0.5
1
2
−
该数值在 0.5 和 1 之间．
6．（2026·云南昆明·二模）中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金
比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为
5
1
2
−，估计
5
1
2
−的值应该在（ ）
A．0 和0.3之间
B．0.3和0.6 之间
C．0.6 和0.9 之间
D．0.9 和1.2之间
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算
【详解】解：因为
2
2
2.2
4.84,2.8
7.84,4.84
5
7.84
=
=
，
所以2.2
5
2.8
，
则1.2
5 1 1.8
−
，
所以
5
1
0.6
0.9
2
−
．
7．（25-26 七年级下·湖北鄂州·期末）人教版七年级下册数学课本第58 页的“阅读与思考”：为什么说2
不是有理数．
(1)【阅读与思考】假设2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p 和q ，使得
2
p
q
=
，两边平方得
2
2
p
q
=
，即
2
p = ①；
故
2
p 是偶数，因为只有偶数，其平方才是偶数，所以p 也是偶数．
设
2
p
s
=
（s是正整数），代入①得，
2
q =________
所以q 也是偶数，则p 和q 都是偶数，不互质．这与假设p 和q 互质矛盾，
这个矛盾说明，2 不能写成分数的形式，即2 不是有理数．
(2)【运用并解决】类比上述的阅读与思考，推理说明3 不是有理数；
(3)【迁移与应用】长方形画纸的面积为
2
520cm ，长与宽的比为5: 4，小明同学想从中裁出半径为12.5cm
的圆形画纸，他的想法可行吗？请说明理由．
【答案】(1)
2
2
2
2
q
s
，
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(2)解：假设3 是有理数，那么存在两个互质的正整数p 和q ，使得
3
p
q
=
，则
2
2
3
p
q
=
，
故
2
p 是3 的倍数，
因为只有3 的倍数，其平方才是3 的倍数，
所以p 是3 的倍数，
设
3
p
s
=
，得
2
2
3
q
s
=
，
故q 也是3 的倍数，
所以p 和q 都是3 的倍数，不互质，这与假设p 和q 互质矛盾，
这个矛盾说明，3 不能写成分数的形式，即3 不是有理数．
(3)解：不可行，
理由：设长宽分别为5 4
k k
，，则
2
20
520
k =
解得
26
k =
（负值舍去），
∴长方形纸片的宽为4 26cm ，
∵25
26
26.01
，
∴5
26
5.1
，
∴20
4 26
20.4
，
∵圆的半径为12.5cm，
∴圆的直径为25cm，
∵20.4
25
，
∴不能裁出半径为12.5cm的圆形画纸．
【难度】0.65
【知识点】无理数、无理数的大小估算
【分析】（1）假设2 是有理数，那么存在两个互质的正整数p 和q ，使得
2
p
q
=
，两边平方得
2
2
2
p
q
=
，推出矛盾即可；
（2）假设3 是有理数，那么存在两个互质的正整数p 和q ，使得
3
p
q
=
，则
2
2
3
p
q
=
，推出矛盾即可；
（3）设长宽分别为5 4
k k
，，求出长方形纸片的宽为4 26cm ，然后与圆的直径比较大小即可．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）略．
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8．（2022 七年级·湖南长沙·竞赛）设
ax
b
y
cx
d
+
=
+
，a ，b ，c ，d 都是有理数，x 是无理数． 求证：
(1)当bc
ad
=
时，y 是有理数；
(2)当bc
ad
时，y 是无理数．
【答案】(1)解：
ax
b
y
cx
d
+
=
+
有意义，
0
cx
d
+
．
已知bc
ad
=
，分两种情况讨论：
① 当
0
c
时，
(
)
(
)
(
)
c ax
b
ax
b
acx
bc
y
cx
d
c cx
d
c cx
d
+
+
+
=
=
=
+
+
+
．
bc
ad
=
，
分子
(
)
acx
bc
acx
ad
a cx
d
+
=
+
=
+
，
(
)
(
)
a cx
d
a
y
c cx
d
c
+
=
=
+
，
,a c
为有理数，
0
c
，
a
c
是有理数，即y 是有理数．
② 当
0
c =
时，
bc
ad
=
，
0
ad
=
，
0
cx
d
d
+
=
，
0
a
=
，
b
y
d
=
，
,b d
为有理数，
0
d
，
b
d
是有理数，即y 是有理数．
综上所述，当bc
ad
=
时，y 是有理数．
(2)解：假设y 是有理数，
ax
b
y
cx
d
+
=
+
，
0
cx
d
+
，
(
)
y cx
d
ax
b
+
=
+
，
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整理得(
)
cy
a x
b
dy
−
=
−
，
, , , ,
y a b c d
均为有理数，
cy
a
−
和b
dy
−
都是有理数，
若
0
cy
a
−
，
则
b
dy
x
cy
a
−
=
−
是有理数，与x 是无理数矛盾，
0
cy
a
−
=
，
0
b
dy
−
=
，即b
dy
=
，
(
)
bc
dy c
d cy
=
=
，
cy
a
=
，
bc
ad
=
，与已知bc
ad
矛盾，
假设不成立，即当bc
ad
时，y 是无理数．
【难度】0.4
【知识点】无理数、实数的分类
【分析】（1）把
ax
b
y
cx
d
+
=
+
变形，再由bc
ad
=
，根据分式有意义的条件，分
0
c =
和
0
c
两种情况进行讨
论，从而得出y 是有理数；
（2）假设y 是有理数，把
ax
b
y
cx
d
+
=
+
变形，再由bc
ad
，以及a ，b ，c ，d 都是有理数，推出x 是有理
数，与已知矛盾，进而得出y 为无理数．
【详解】（1）略
（2）略
9．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究39 的近似值，过程如
下：
∵面积为39的正方形的边长是
39 ，且6
39
7
，
∴
39 可以设为以下两种形式：
①
(
)
39
6
0
1
a
a
=
+
；②
(
)
39
7
0
1
b
b
=
−
．
小谢展示了利用②探究近似值的过程．
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图．
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(
)
2
2
39
2 7
7
S
b b
b
=
+
−
+
=
正方形
，
整理得
2
39
14
49
b
b
+
−
=
，
∵0
1
b
，
∴
2
b 较小，可忽略不计．
∴14
49
39
b
−
，
49
39
5
14
7
b
−
=
，
∴
5
39
7
6.29
7
−
．
【方法运用】
(1)请写出
27 在哪两个连续整数之间：
27
；
(2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究
27 的近似值．
【答案】(1)5；6
(2)方法一：如图，
2
25
5
5
27
S
a
a
a
=
+
+
+
=
正方形
，
整理得
2
25
10
27
a
a
+
+
=
，
∵0
1
a
，
∴
2
a 较小，可忽略不计，
∴10
27
25
a
−
，
27
25
1
10
5
a
−
=
，
∴
2
1
27
5
5
5.
+
=
．
方法二：如图，
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(
)
2
2
27
2 6
6
S
b b
b
=
+
−
+
=
正方形
，
整理得
2
27
12
36
b
b
+
−
=
，
∵0
1
b
，
∴
2
b 较小，可忽略不计．
∴12
36
27
b
−
，
4
36
27
2
3
1
b
−
=
，
∴
5
3
2
4
6
.
7
5 2
−
=
．
【难度】0.62
【知识点】无理数的大小估算
【分析】（1）根据25
27
36
即可得出5
27
6
；
（2）根据题干提供的方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵25
27
36
，
∴
25
27
36
，
即5
27
6
；
（2）略
10．（25-26 七年级下·江西南昌·期末）若
0
a
b
−
，则a
b
；若
0
a
b
−
=
，则a
b
=
；若
0
a
b
−
，则
a
b
，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小．
例如：比较15
2
−
与2 的大小．
9
15
16
，
3
15
4
．
15
2
2
15
4
0
−
−
=
−
．
15
2
2
−
．
请根据上述方法解答下列问题：
(1)比较2
35
−
与4
−的大小；
(2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为
2
5m ，第二块面积为
2
3m ，小智想知道第一块玻璃的边长比2m多
出的长度，与第二块玻璃的边长比2m少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：
2
1.7
2.89
=
，
2
1.75
3.0625
=
，
2
2.2
4.84
=
，
2
2.25
5.0625
=
）
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【答案】(1) 2
35
4
−
−；
(2)第一块玻璃的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度．
【难度】0.62
【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较
【分析】（1）利用5
35
6
结合作差法比较2
35
−
与4
−的大小即可；
（2）求解第一块的边长为5m ，第二块的边长为3m ，设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a，第
二块玻璃的边长比2m少的长度为b，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵25
35
36
，
∴5
35
6
，
∴
(
)
2
35
4
6
35
0
−
−−
=
−
，
∴2
35
4
−
−．
（2）解：∵第一块面积为
2
5m ，第二块面积为
2
3m ，
∴第一块的边长为5m ，第二块的边长为3m ，
设第一块玻璃的边长比2m多出的长度为a，第二块玻璃的边长比2m少的长度为b，
∴
5
2
a =
−
，
2
3
b =
−
，
∴
(
)
5
2
2
3
5
3
4
a
b
−
=
−−
−
=
+
−，
∵
2
1.75
3.0625
=
，
2
2.25
5.0625
=
，
∴5
2.25
，3
1.75
．
∴
5
3
4
+
，即
0
a
b
−
．
∴第一块玻璃的边长比2m多出的长度小于第二块玻璃的边长比2m少的长度．
11．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
同学们，我们来学习用平方差公式：(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
+
=
−
近似计算算术平方根的方法．
例如求
40 的近似值．
因为
2
2
2
6
( 40)
7
，所以6
40
7
．
则有以下两种估算方式：
方式一：
方式二：
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因为
2
40
6
4
=
+
，
所以
2
40
6
4
−
=
，
即(
)(
)
40
6
40
6
4
+
−
=
，
得
4
40
6
40
6
−
=
+
，
故
4
40
6
40
6
=
+
+
4
19
6
6.33
6
6
3
+
=
+
．
因为
2
40
7
9
=
−
，
所以
2
7
40
9
−
=
，
即(
)(
)
7
40
7
40
9
+
−
=
，
得
9
7
40
7
40
−
=
+
，
故
9
40
7
7
40
=
−
+
9
89
7
6.36
7
7
14
−
=
+
．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的
40 的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算
66 的近似值（结果保留2 位小数）．
【答案】(1)
方式一得出的
40 近似值精确度更高
(2)
选择方式一：66
8.13
，选择方式二：66
8.17
【难度】0.55
【知识点】无理数的大小估算
【分析】（1）比较
40 与6、7 的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解；
（2）先确定66 的取值范围，再根据材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
2
2
6
36,
40
40,7
49
=
=
=
，40
36
4,49
40
9
−
=
−
=
，
∴
40 更接近6，
∴在方式一中用6 代替
40 所产生的误差更小，
∴方式一得出的
40 近似值精确度更高；
（2）解：∵
(
)
2
2
2
8
64,
66
66,9
81
=
=
=
，
∴8
66
9
，
方式一：∵
2
66
8
2
=
+
，
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∴
2
66
8
2
−
=
，即(
)(
)
66
8
66
8
2
+
−
=
，
∴
2
2
66
8
8
8.125
8.13
8
8
66
8
=
+
+
=
+
+
；
方式二：∵
2
66
9
15
=
−
，
∴
2
9
66
15
−
=
，即(
)(
)
9
66
9
66
15
+
−
=
，
∴
15
15
66
9
9
8.17
9
9
9
66
=
−
−
+
+
；
∴选择方式一：66
8.13
，选择方式二：66
8.17
．
12．（20-21 七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a 的最大整数；用{a}表示a 减去[a]所得的差．
例如：[ 3 ]＝1，[2.2]＝2，{ 3 }＝3 ﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[ 7 ]＝ {5﹣7 }＝ ；
（2）若[
x ]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．
（3）已知y0是一个不大于280 的非负数，且满足{
0
y }＝0．我们规定：y1＝[
0
y ]，y2＝[
1y ]，y3＝
[
2
y ]，…，以此类推，直到yn 第一次等于1 时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时
y0＝ ，n＝ ．
【答案】（1）2；3﹣7 ；（2）1、2、3；（3）256，4
【难度】0.4
【知识点】无理数的大小估算
【分析】（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，0
4
x
，则可得满足题意的整数的x 的值为1、2、3；
（3）由
0
{
}
0
y
=
，可知，
0y 是某个整数的平方，又
0y 是符合条件的所有数中最大的数，则
0
256
y =
，再
依次进行计算．
【详解】解：（1）由定义可得，[ 7]
2
= ，[5
7]
2
−
=
，
{5
7}
3
7
−
=
−
．
故答案为：2；3
7
−
．
（2）
[
]
1
x =
，
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[
]
2
x
，即0
4
x
，
整数x 的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3）
0
{
}
0
y
=
，即
0
0
0
{
}
[
]
0
y
y
y
=
−
= ，
可设
2
0y
t
=
，且t 是自然数，
0y
是符合条件的所有数中的最大数，
0
256
y
=
，
1
0
[
]
[16]
16
y
y
=
=
=
，
2
1
[
]
[4]
4
y
y
=
=
=
，
3
2
[
]
[2]
2
y
y
=
=
= ，
4
3
[
]
[ 2]
1
y
y
=
=
= ，
即
4
n =
．
故答案为：256，4．
【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义
内容是解题关键．
模块二、实数
重难点一、实数概念理解
有理数与无理数统称为实数。有理数能够写成两个整数之比，无理数不能。
所有实数都可以写成小数形式；做题警惕误区，例如带根号的数不一定是无理数。实数延
续有理数的运算规则，可进行加、减、乘、除、乘方运算。
1．（25-26 八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7 位数
字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（ ）
A．它是一个有理数
B．数轴上没有能表示它的点
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C．它是一个实数
D．它可以表示成分数形式
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】实数概念理解、实数与数轴
【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点
进行解答即可得出答案．
【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点，
∴关于圆周率说法正确的是C 选项，
故选：C．
2．（25-26 九年级上·陕西西安·阶段检测）设实数, , , ,
a b c d e 满足a
b
c
d
e
，且任意两数之和共10
个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则e =______．
【答案】27.5
【难度】0.85
【知识点】实数概念理解、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得
32,
36
a
b
a
c
+
=
+
=
，
48,
51
c
e
d
e
+
=
+
=
，从而得到
39
37
a
d
+
=
，
68 2
37
b
c
a
+ =
−
=
，可求出a 的值，即可求解．
【详解】解：∵a
b
c
d
e
，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、
51，
∴
32,
36
a
b
a
c
+
=
+
=
，
48,
51
c
e
d
e
+
=
+
=
，
∴
32
,
36
b
a c
a
=
−
=
−
，
∴
48
12
,
51
39
e
c
a d
e
a
=
−
=
+
=
−
=
−
，
∴
39
37
a
d
+
=
，
∴
68 2
37
b
c
a
+ =
−
=
，
解得
15.5
a =
，
∴
12 15.5
27.5
e =
+
=
．
故答案为：27.5
3．（第十二章实数【专项训练】-2020-2021 学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））判断正
误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．
(1)无理数都是开方开不尽的数．( )
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(2)无理数都是无限小数．( )
(3)无限小数都是无理数．( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( )
(5)不带根号的数都是有理数．( )
(6)带根号的数都是无理数．( )
(7)有理数都是有限小数．( )
(8)实数包括有限小数和无限小数．( )
【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确
【难度】0.85
【知识点】有理数的定义、实数概念理解、无理数
【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可
【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答
案为：错误．
(2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确．
(3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答
案为：错误．
(4)( 错误)0 是有理数；故答案为：错误．
(5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误．
(6)( 错误)如81 ，虽然带根号，但81 ＝9，这是有理数；故答案为：错误．
(7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误．
(8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有
限小数和无限小数表示；故答案为：正确．
【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键．
4．（25-26 八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n 是有理数，且(
)
5
2
2 5
7
0
m
n
+
−
+
=
，mn 的值为
_______．
【答案】49
8
【难度】0.4
【知识点】实数概念理解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别
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在(
)
5
2
2 5
7
0
m
n
+
−
+
=
中，等式的左边是含有5 这个无理数部分的，等式的右边为0 是有理数，可
知在等式的左边5 的系数部分应为0．
【详解】解：原式可化为5(
2 )
(2
7)
0
m
n
m
−
+
+
=
，
∵m，n 是有理数，
∴
2
0
2
7
0
m
n
m
−
=
+
=
，解得
7
2
7
4
m
n
= −
= −
，
∴
7
7
49
(
) (
)
2
4
8
mn = −
−
=
．
故答案为49
8 ．
5．（23-24 八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各
自把这个数按照下面的程序进行计算．
(1)当输入的实数x 为1
−时，求输出的值是多少．
(2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确
吗？请判断并说明理由．
【答案】(1) 7
−
(2)小康的说法正确，见解析
【难度】0.85
【知识点】多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、实数概念理解、运用平方差公式进行运算
【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，根据流程图代入求解即可得到答案；
（2）本题考查整式的四则混合运算，根据化简结果判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由流程图可得，
(
)
(
)(
)
2
4
4
4
2
x
x
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
1
1 4
4 1
4 1
1
2
1
= −+ −−
−
−
+
−
−−
(
)
9
1
2
9
2
=
−
+
= −+
7
= −；
（2）解：小康的说法正确，理由如下：
输出
2
2
(
8
16 16
)
2
x
x
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
−
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2
(2
7 )
2
x
x
x
x
=
−
−
2
7
2
x
x
=
−−
7
= −，
∴小康的说法正确．
6．（25-26 七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B 两点分别表示实数a 和b，且满足
(
)
2
3
5
0
a
b
+
+
−
=
．
(1)a =______；b = ______；
(2)点P 以每秒1 个单位长度的速度从点A 向右匀速运动，多长时间它与点B 相距2 个单位长度？
【答案】(1) 3
−，
5
(2)5
5
+
或1
5
+
【难度】0.65
【知识点】实数概念理解、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性
【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识，解题的关键
是：
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可；
（2）设经过t 秒，根据
2
PB =
列出关于t 的方程，然后解方程即可；
【详解】（1）解：∵
(
)
2
3
5
0
a
b
+
+
−
=
，
∴
3
0
a + =
，
5
0
b−
=
，
∴
3
a = −，
5
b =
，
故答案为：3
−，5 ；
（2）解：设经过t 秒，则点P 表示的数为3 t
−+ ，
根据题意，得
3
5
2
t
−+ −
=
，
解得
5
5
t =
+
或
1
5
t = +
，
∴经过5
5
+
或1
5
+
秒，点P 与点B 相距2 个单位长度
7．（21-22 八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：
2,
2,2 2,3 2,5 2,8 2 ，___，
_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
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(2)第11、12 个实数分别是_____．
【答案】(1)13 2 ；21 2
(2)89 2 ；144 2
【难度】0.65
【知识点】数字类规律探索、实数概念理解
【分析】（1）观察实数发现
2 的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面
两个数的和，据此即可求解；
（2）按照（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）观察实数发现
2 的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面
两个数的和，
∴横线上的实数，2 的系数为5+8=13，8+13=21，
所以横线上的实数分别为13 2 21 2
，
，
（2）由（1）可知第8 个数为21 2 ，
∴第9 个数为34 2 ，
第10 个数为55 2 ，
第11 个数为89 2 ，
第12 个数为144 2 ，
故答案为：89 2 ，144 2 ．
【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中2 的系数，找到规律是解题的关键．
重难点二、实数的分类
实数有两种分类方式：按定义分为有理数、无理数；按正负分为正实数、
0、负实数。分类前务必先化简数字，再归类。0 是特殊实数，既不是正数也不是负数。
整理数集题目，逐一化简筛选，避免重复、漏写数字。
1．（25-26 八年级上·安徽宿州·阶段检测）毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事．在
4
5
−
，6 ，0，16 ，1.732
−
，
8
−，2 2 ，0.33
，0.505005000鬃?这些数中，无理数的个数有______
个．
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【答案】3
【难度】0.85
【知识点】无理数、实数的分类
【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时
理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环
小数是无理数．由此即可得到答案．
【详解】解：∵16
4
=
，
8
−没有意义，
∴在
4
5
−
，6 ，0，16 ，1.732
−
，
8
−，2 2 ，0.33
，0.505005000鬃?这些数中，无理数有：6 ，
2 2 ，0.505005000鬃?，共3个．
故答案为：3．
2．（2022·河南郑州·模拟预测）数
4 ，，22
7 ，－1
3 ，3 2 ，
¨
0.31，0.301300130001…（3 和1 之间依次
多一个0）中，无理数的个数为______．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】无理数、实数的分类
【分析】根据无理数的定义，逐个判断各数即可得到无理数的个数．
【详解】解：
4
2
=
，2 是整数，属于有理数；
22
7 是分数，属于有理数；
1
3
−
是分数，属于有理数；
¨
0.31是无限循环小数，属于有理数；
故无理数有：，3 2 ，0.301300130001（3 和1 之间依次多一个0），共3个．
3．（25-26 七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内：
3 2 ，
3
2
−
，3
8
−，0.5，2π，3.14159265，
25
−−
，1.3030030003…（两个3 之间依次增加一个0）．
有理数：｛ ｝；
无理数：｛ ｝；
整数：｛ ｝；
负实数：｛ ｝．
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【答案】有理数：
3
3
8 0.5 3.14159265
25
2
−
−
−−
，
，，
，
；
无理数：
3 2,2 ,1.3030030003...
；
整数：
3
8
25
−
−−
，
负实数：
3
3
8
25
2
−
−
−−
，
，
．
【难度】0.85
【知识点】无理数、有理数的分类、实数的分类
【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实
数包括负有理数和负无理数解答．
【详解】解：有理数：
3
3
8 0.5 3.14159265
25
2
−
−
−−
，
，，
，
；
无理数：
3 2,2 ,1.3030030003...
；
整数：
3
8
25
−
−−
，
负实数：
3
3
8
25
2
−
−
−−
，
，
．
4．（25-26 七年级下·全国·课后作业）把下列各数填在相应的括号里：25 ，
7
−
，22
7 ，0，π ，
3.14
−
，2.9，1.3030030003…（相邻两个3 之间依次多一个0）．
（1）整数：{ …}；
（2）分数：{ …}；
（3）无理数：{ …}．
【答案】（1）整数：
25,0 ；
（2）分数：22 , 3.14,2.9
7
−
；
（3）无理数：{
7
−
，π ，1.3030030003（相邻两个3 之间依次多一个0）}．
【难度】0.85
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键；
根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内．
【详解】解：25
5
=
是整数；
7
−
无法化简也不能化为分数形式，是无理数；22
7 是分数；0 是整数，
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是无理数；3.14
−
是有限小数，是分数；2.9 是有限小数，是分数；1.3030030003（相邻两个3 之间依
次多一个0）是无限不循环小数，是无理数；
∴整数：
25,0,；
分数：22 , 3.14,2.9,
7
−
；
无理数：{
7
−
，π ，1.3030030003（相邻两个3 之间依次多一个0，…} ．
5．（25-26 八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①1
2 ，②5.2，③0，④
π
3.14
−
，⑤22
7 ，⑥
22
−
，⑦
5
3
−
，⑧2005，⑨0.030030003
−
（每两个3 之间的0 依次多一个）
(1)整数集合：{____________…}；
(2)分数集合：{____________…}；
(3)负有理数集合：{____________…}；
(4)无理数集合：{____________…}．
【答案】(1)③⑥⑧
(2)①②⑤⑦
(3)⑥⑦
(4)④⑨
【难度】0.85
【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无
理数的定义进行解答即可．
（1）根据整数的概念求解即可；
（2）根据分数的概念求解即可；
（3）根据负有理数的概念求解即可；
（4）根据无理数的概念求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
−
= −，
整数集合：{ ③⑥⑧}；
（2）解：分数集合：{ ①②⑤⑦}；
（3）解：负有理数集合：{ ⑥⑦}；
（4）解：无理数集合：{ ④⑨}．
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6．（25-26 七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排
合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下：
3
7 ,0,0.3,π, 8,2026,
27,0.101001
3
−
−
（每两个“1”之间依次多一个“0”）．
(1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位；
(2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内．
“整数”席：（ ）；
“分数”席：（ ）．
【答案】(1)3
(2)
3
0,2026,
27
−
；
7 ,0.3
3
−
【难度】0.75
【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类
【分析】（1）根据无理数的定义解答；
（2）根据有理数分类解答即可.
【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有：π, 8,0.101001
则共有无理数3 个．
（2）解：由题可知：“整数”席为：
3
0,2026,
27
−
；
“分数”席为：
7 ,0.3
3
−
．
7．（25-26 七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
7
8
−
，3 16 ，π
3 ，3.14，
3 8
−
，0，0.64 ，
3
7
−
，5.123
−
（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)
3
7 ,3.14,
8,0, 0.64
8
−
−
(2) 3 16 ，π
3 ，5.123
−
…（小数部分由相继的正整数组成），
3
7
−
(3) 3
π
16,
,3.14, 0.64
3
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(4) 5.123
−
（小数部分由相继的正整数组成），
7
8
−
，
3 8
−
，
3
7
−
【难度】0.65
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【详解】（1）解：有理数集合：
3
7 3.14
8 0
0.64
8
−
−
，
，
，，
；
（2）解：无理数集合：{ 3 16 ，π
3 ，5.123
−
…（小数部分由相继的正整数组成），
3
7
−
，}；
（3）解：正实数集合：
3
π
16
3.14
0.64
3
，，
，
；
（4）解：负实数集合：{ 5.123
−
（小数部分由相继的正整数组成），
7
8
−
，
3 8
−
，
3
7
−
，}．
8．（25-26 八年级上·福建漳州·期末）已知代数式
2
3
n +
（n 为正整数）．
(1)当
1
n = 时，
2
3
n +
= _____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当
2
n =
时，
2
3
n +
=
_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；
(2)
2
3
n +
可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？
【答案】(1) 5 ，无理数，7 ，无理数
(2)
2
3
n +
不可能是偶数，也不可能是奇数，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】奇数和偶数，奇偶性分析、无理数、实数的分类
【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用．
（1）分别代入
1
n = 和
2
n =
计算
2
3
n +
的值，再分别判断5 和7 的数的类型即可；
（2）先假设
2
3
n +
是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当
1
n = 时，
2
3
5
n +
=
，此时，
2
3
n +
不是奇数，当
1
n 时，假设
2
3
n +
是奇数，不妨设
2
3
2
1
n
k
+
=
+ （
0
k 且k 为整数），通过计
算推导可证得
2
3
n +
不是奇数．
【详解】（1）解：当
1
n = 时，
2
3
2
3
5
n +
=
+
=
，
∵5 不是完全平方数，
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∴5 是无理数，
当
2
n =
时，
2
2
3
2
3
7
n +
=
+
=
，
∵7 不是完全平方数，
∴7 是无理数，
故答案为：5 ，无理数，7 ，无理数．
（2）解：
2
3
n +
不可能是偶数，也不可能是奇数，
理由：假设
2
3
n +
是偶数，则(
)
2
2
3
n +
是偶数，
即2
3
n +
是偶数①，
∵n 是正整数，
∴2n 是偶数，
∵3 是奇数，
∴2
3
n +
是奇数②，
∴①和②矛盾，
∴
2
3
n +
不是偶数，
当
1
n = 时，
2
3
5
n +
=
，此时，
2
3
n +
不是奇数，
当
1
n 时，假设
2
3
n +
是奇数，不妨设
2
3
2
1
n
k
+
=
+ （
0
k 且k 为整数），
∴
(
)
2
2
3
2
1
n
k
+
=
+
，
整理得
(
)
1
2
2
1
2
n
k
k
−+ =
+
，
∵
1
2n−为偶数且1 为奇数，
∴
1
2
1
n−+ 为奇数，
∵(
)
2
2 k
k
+
是偶数，
∴
(
)
1
2
2
1
2
n
k
k
−+ =
+
不成立，
∴
2
3
n +
不是奇数，
综上所述，
2
3
n +
不可能是偶数，也不可能是奇数．
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重难点三、实数的性质
实数范围内相反数、倒数、绝对值规则和有理数一致。实数a 相反数为\(-
a\)；非 0 实数才有倒数；正数绝对值是自身，负数绝对值是相反数。化简含根号绝对值
式子，先判断根号内式子正负，再去掉绝对值符号完成化简。
1．（25-26 七年级下·重庆·期中）对实数a 进行如下操作：先将其乘以2，再将所得的结果加上5，称为
第一次操作，记结果为
1a ，将第一次操作的结果
1a 按相同规则再操作一次，得到第二次操作的结果，记
为
2a ，以此类推，重复操作．记
1
2
3
n
n
M
a
a
a
a
=
+
+
+
+
，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当
1
a = 时，
3
43
a =
，
5
347
M =
；
②若
5
6
10a
M
=
，则
475
97
a
−
=
；
③若a 为整数，则
2026
M
是偶数．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】实数的性质、整式加减的应用、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】当
1
a = 时，分别计算
1a 、
2a 、
3a 、
4
a 、
5a 的值，进而得到
5
M 的值，可判断①；根据操作的结
果用a 表示出
5a 和
6
M ，再根据
5
6
10a
M
=
列出方程，可判断②；若a 为整数，则
1
2
5
a
a
=
+ 是奇数，
2
1
2
5
a
a
=
+ 是奇数……依此类推，
(
)
1
2026
na
n
都是奇数，进而得到
2026
M
的奇偶性，可判断③，即可
得出结论．
【详解】解：当
1
a = 时，
1
2
5
2 1 5
7
a
a
=
+
= +
=
，
2
1
2
5
2 7
5
19
a
a
=
+
= +
=
，
3
2
2
5
2 19
5
43
a
a
=
+
=
+
=
，
4
3
2
5
2 43 5
91
a
a
=
+
=
+
=
，
5
4
2
5
2 91 5
187
a
a
=
+
=
+
=
，
∴
5
7 19
43 91 187
347
M =
+
+
+
+
=
，
∴
3
43
a =
，
5
347
M =
，故①正确；
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1
2
5
a
a
=
+ ，
(
)
2
1
2
5
2 2
5
5
4
15
a
a
a
a
=
+
=
+
+
=
+
，
(
)
3
2
2
5
2 4
15
5
8
35
a
a
a
a
=
+
=
+
+
=
+
，
(
)
4
3
2
5
2 8
35
5
16
75
a
a
a
a
=
+
=
+
+
=
+
，
(
)
5
4
2
5
2 16
75
5
32
155
a
a
a
a
=
+
=
+
+
=
+
，
(
)
6
5
2
5
2 32
155
5
64
315
a
a
a
a
=
+
=
+
+
=
+
，
∴
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
6
2
5
4
15
8
35
16
75
32
155
64
315
126
600
M
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
，
∵
5
6
10a
M
=
∴
(
)
10 32
155
126
600
a
a
+
=
+
，
解得
475
97
a
−
=
，故②正确；
∵a 为整数，
∴
1
2
5
a
a
=
+ 是奇数，
∴
2
1
2
5
a
a
=
+ 是奇数……
依此类推，
(
)
1
2026
na
n
都是奇数，
∵
2
202
2026
1
3
6
M
a
a
a
a
=
+
+
+
+
，
∴
2026
M
是2026 个奇数的和，
∴
2026
M
是偶数，故③正确；
综上，正确的个数是3 个．
2．（25-26 七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数和绝对值：
(1) 3
27
−
．
(2) 5
2
−
．
【答案】(1) 3
27
−
的相反数为3，
3|
27 | 3
−
=
(2) 5
2
−
的相反数为2
5
−
，|
5
2 |
5
2
−
=
−
【难度】0.85
【知识点】相反数的定义、实数的性质、求一个数的绝对值
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【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根
据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键．
（1）先化简立方根得到3
−，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算3
−的相反数和绝对值；
（2）先判断5
2
−
的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果．
【详解】（1）解：∵3
27
3
−
= −，(
)
3
3
−−
=
，
∴3
27
−
的相反数为3．
由绝对值的意义，得
3|
27 | | 3| 3
−
= −= ．
（2）解：∵5
4
2
=
，
∴5
2
0
−
，
∵( 5
2)
2
5
−
−
=
−
，
∴5
2
−
的相反数为2
5
−
．
由绝对值的意义，得|
5
2 |
5
2
−
=
−．
．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）已知实数a 、b 互为倒数，实数c 、d 互为相反数，实数x 的绝对值
为
2 ，求
2
1
2
5
c
d
ab
x
+
+
+
的值．
【答案】5
2
【难度】0.85
【知识点】相反数的定义、实数的性质、已知式子的值，求代数式的值、倒数
【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关
键．
根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出
2
,
1
0
,
ab
c
d
x
=
=
=
+
，然后代入计算即可解答．
【详解】解：∵实数a 、b 互为倒数，实数c 、d 互为相反数，实数x 的绝对值为2 ，
∴
2
,
1
0
,
ab
c
d
x
=
=
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
2
x =
=
，
∴
2
1
1
5
1 0
2
2
5
2
2
c
d
ab
x
+
+
+
=
+ +
=
．
4．（第02 讲实数（知识梳理 3 课本习题典例 8 题型 过关检测）-【暑假自学课】2025 年新八年级数学
暑假提升精品讲义（华东师大版2024））判断下列说法是否正确：
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(1)无理数的平方一定是正数；
(2)两个无理数的积仍为无理数；
(3)分数一定可化为有限小数或无限循环小数．
【答案】(1)正确；
(2)错误 ；
(3)正确
【难度】0.85
【知识点】无理数、实数的性质
【分析】本题主要考查了实数的性质，对于每个说法，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或
推理来判断．
（1）设无理数为a，（a 不等于0），根据平方的性质，
2
0
a
即可判断．
（2）举例说明即可．
（3）举例说明即可．
【详解】（1）解：无理数是无限不循环小数，不为0，设无理数为a，（a 不等于0），根据平方的性
质，
2
0
a
，所以无理数的平方一定是正数，该说法正确．
（2）解：例如2
2
2
=
，
2 是无理数，但它们的积2 是有理数，所以 “两个无理数的积仍为无理数”
说法错误．
（3）解：分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如
1
0.5
2 =
）或无限循环小数（如1
0.3
3 =
），所以该说法正确．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数：
(1)小于37 的所有正整数；
(2)大于
10
−
且小于10 的所有整数；
(3)绝对值小于6 的所有整数．
【答案】(1)1 2 3 4,5,6
，，，
(2) 3
2
1,01 2 3
−
−
−
，，
，，，
(3) 2
1012
−
−
，，，，
【难度】0.85
【知识点】实数的性质、无理数的大小估算
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【详解】（1）解：∵36
37
49
，即6
37
7
，
正整数是大于0 的整数
∴小于37 的所有正整数：1 2 3 4,5,6
，，，
；
（2）解：∵9
10
16
，
∴3
10
4
，
∵
16
10
9
−
−
−
，
∴4
10
3
−−
−，
∴大于
10
−
且小于10 的所有整数3
2
1,01 2 3
−
−
−
，，
，，，；
（3）解：∵绝对值小于6 的整数a 满足
6
6
a
−
，
而
9
6
4, 4
6
9
−
−
−
，
∴3
3
a
−
，
∴绝对值小于6 的所有整数有：2
1012
−
−
，，，，．
6．（24-25 八年级下·浙江台州·期中）如图是三个4 5
的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段
AB 的两个端点就是格点．
(1)线段AB 的长度为________；
(2)请在图中找到所有满足条件的格点C ，连接BC ，使得
13
BC =
；
(3)在（2）的基础上，连接AC ，计算
ABC
S
的面积．
【答案】(1) 17
(2)解：如图，
1
2
,
C C 即为所求
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(3)
1
11
2
ABC
S
=
或
2
5
2
ABC
S
=
【难度】0.64
【知识点】勾股定理与网格问题、实数的性质、利用网格求三角形面积
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取格点
1
2
,
C C ，结合勾股定理满足
1
2
13
BC
BC
=
=
即可；
（3）连接
1
2
,
AC AC ，再利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
1
17
AB =
+
=
．
（2）略
（3）解：如图，连接
1
2
,
AC AC ，
∴
1
1
1
1
3
11
3 4
1 3
1 4
2 3
12
2 3
2
2
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
=
−
−−=
；
2
1
1
1
1
5
2 4
1 1
2 3
1 4
8
3
2
2
2
2
2
2
ABC
S
= −
−
−
= −
−−
=
．
7．（25-26 八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
+
+
及
2
2
2
a
ab
b
−
+
叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关
键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数
式值的最小（或最大）问题．
例如：
(
)
2
2
2
2
3
2
1
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
x +
，
∴(
)
2
1
2
2
x +
+
．
则这个代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是_____，这时相应的x 的值是_______．
【尝试应用】
(2)求代数式
2
16
20
x
x
−
+
+
的最小（或最大）值，并写出相应的x 的值，
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【拓展提高】
(3)已知a，b，c 是ABC
的三边长，满足
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，且c 是ABC
中最长的边，求c 的取值范
围．
【答案】(1)2，
1
x = −
(2)最大值为84，
8
x =
(3)5
9
c
【难度】0.52
【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的性质、三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据实数的非负性，解答即可；
（2）根据文中提供的解题方法解答即可；
（3）根据
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，根据配方法，非负性，三角形三边关系，解答即可．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
2
3
2
1
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
x +
，
∴(
)
2
1
2
2
x +
+
．
且
1
0
x + = 时即
1
x = −，取得最小值，
故这个代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
−．
（2）解：
(
)
2
2
16
20
16
20
x
x
x
x
−
−
+
+
=
−
+
(
)
2
16
64
20
64
x
x
−
=
−
+
+
+
(
)
2
8
84
x
−
−
=
+
，
∵(
)
2
8
0
x −
，
∴(
)
2
8
0
x−
−
，
∴(
)
2
8
84
84
x−
−
+
，
∴
2
16
20
x
x
−
+
+
的最大值为84，且
8
0
x −= 时取得最大值，此时
8
x = ；
（3）解：
2
2
10
8
41
a
b
a
b
+
=
+
−
，
2
2
10
8
41
0
a
b
a
b
−
+
−
+
=
，
(
) (
)
2
2
10
25
8
16
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
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(
)
(
)
2
2
5
4
0
a
b
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
5
0,
4
0
a
b
−
−
，
5
0,
4
0
a
b
−
=
−
=
，
解得
5,
4
a
b
=
=
，
由c 是ABC
中最长的边，
故c 的取值范围为5
5
4
<
c
+
即5
9
<
c
．
8．（25-26 八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例
说明．
(1)已知两个实数a，b，则a
b
a
+
．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
【答案】(1)不正确；举例见详解
(2)不正确；举例见详解
【难度】0.65
【知识点】无理数、实数的性质、实数的大小比较
【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性．
（1）考虑b 的符号并举例即可判断．
（2）考虑互为相反数的无理数即可求解．
【详解】（1）解：不正确，理由如下：
当
0
b
时，a
b
a
+
，例如
5
3
a
b
=
= −
，
，则
2
5
a
b
+
=
，因此说法不正确．
（2）解：不正确，理由如下：
两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数2 和
2
−
，
它们的和为0（有理数），因此说法不正确．
9．（23-24 七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，
(
0)
0(
0)
(
0)
x x
x
x
x x
−
=
=
．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
时，可令
1
0
x + = 和
2
0
x−
=
，分别求得= 1
x −，
2
x =
（称1 2
−，分别为|
1|
x +
与
|
2 |
x −
的零点值）．在实数范围内，零点值= 1
x −和
2
x =
可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情
况：
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①
1
x
−
；
②
1
2
x
−
；
③
2
x
．
从而化简代数式|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
可分以下3种情况：
①当
1
x
−
时，原式
(
1)
(
2)
2
1
x
x
x
−
−
−
=
+
−
=
+ ；
②当1
2
x
−
时，原式
1 (
2)
3
x
x−
=
+ −
=
；
③当
2
x
时，原式
1
2
2
1
x
x
x
−
−
=
+ +
=
．
综上讨论，|
1|
|
2|
x
x
+
+
−
2
1(
1)
3( 1
2)
2
1(
2)
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
−
.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出|
2 |
x +
和|
3|
x −
的零点值；
(2)化简|
2|
|
3|
x
x
+
+
−
．
【答案】(1) |
2 |
x +
和|
3|
x −
的零点值分别为2
−、3；
(2)
(
)
2
1(
2)
2
3
5( 2
3)
2
1
3
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+
−
=
−
−
．
【难度】0.65
【知识点】实数的性质
【分析】（1）令
2
0
x +
=
和
3
0
x −= ，求出x 的值即可求解；
（2 ）根据零点值分<
2
x −
、2
3
x
−
和
3
x
三种情况解答即可求解；
本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：令
2
0
x +
=
和
3
0
x −= ，
解得
2
x = −，
3
x = ，
|
2 |
x
+
和|
3|
x −
的零点值分别为2
−、3；
（2）解：在实数范围内，零点值
2
x = −和
3
x = 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
<
2
x −
、2
3
x
−
和
3
x
，
当<
2
x −
时，
2
3
x
x
+
+
−
2 3
2
1
x
x
x
= −−+ −
= −
+ ；
当2
3
x
−
时，
2
3
x
x
+
+
−
2
3
5
x
x
=
+ + −
= ；
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当
3
x
时，|
2|
|
3|
x
x
+
+
−
2
3
2
1
x
x
x
=
+ + −=
−；
综上，
(
)
2
1(
2)
2
3
5( 2
3)
2
1
3
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+
−
=
−
−
．
重难点四、实数与数轴
核心结论：实数和数轴上的点一一对应。任意实数都能在数轴找到对应点，数轴任意
一点对应唯一实数。可借助勾股定理在数轴上画出无理数对应的线段；利用数轴位置直观
判断实数大小，右边数字恒大于左边数字。
1．（2026·江苏南京·三模）实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，若
1
a
b
，则下列四个点中，表示
原点的可能是（ ）
A．P
B．Q
C．R
D．S
【答案】D
【难度】0.81
【知识点】实数与数轴、数轴上找原点
【详解】解：由
1
a
b
可知：实数,a b 在原点的同侧，
由数轴可知：当
0
b
a
时，不满足
1
a
b
，故舍去；
∴
0
a
b
，即表示原点的可能是S．
2．（25-26 八年级下·天津宝坻·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，过点A 作直线l
OA
⊥
，在l 上
取点B，使
2
AB =
，以点O 为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C 表示的数是（ ）
A．13
B．
13
−
C．13
3
−
D．
13
3
-
-
【答案】B
【难度】0.85
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【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形
【详解】解：∵直线l
OA
⊥
，
2
AB =
，
3
OA =
∴
2
2
13
OC
OB
OA
AB
=
=
+
=
∴点C 表示的数是
13
−
．
3．（24-25 八年级下·四川南充·阶段检测）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B ，C ，D 是4 4
的正
方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M ，N 两点，则N 点所表示的数为
（ ）
A．1
10
−
B．1
10
+
C．10
D．10
1
−
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】利用勾股定理求出AD的长，再根据数轴上点的位置关系求解．
【详解】解：由图可知，点A表示的数为1，
在网格中构造以AD为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1 和3，
∴
2
2
1
3
10
AD =
+
=
，
∵以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M ，N 两点，
∴
10
AN
AD
=
=
，
∵点N 在点A的右侧，
∴点N 表示的数为1
10
+
．
4．（21-22 八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A 表示的实数是______．
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【答案】1
5
−+
/ 5
1
−
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】由图可知直角三角形的斜边长为
2
2
2
1
5
+
=
，则点A 表示的数可确定．
【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为
2
2
2
1
5
+
=
，
∴点A 表示的数为1
5
−+
．
5．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在Rt OAB
中，
90
OAB
=
，
2
OA =
，
1
AB = ，以点
O为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的数是________．
【答案】
5
−
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】由勾股定理求出OB 的长度，进而得OC 的长度，则可求得点C 表示的数．
【详解】解：由勾股定理得
2
2
2
2
2
1
5
OB
OA
AB
=
+
=
+
=
，
由作图知
5
OC
OB
=
=
，
则点C 表示的数为0
5
5
−
= −
．
6．（25-26 七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为1的小正方形分别沿
对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的
对角线长为______；
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(2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2 ，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1
所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于A、B 两点，那么A点表示的数为_______；
(3)请你参照上面的方法：把图3中5 1
的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3 中画出裁剪线，
并在图4 的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为2 宽为1的长方形的对
角线长为a =________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
(4)参照图2 的画法，在（3）的基础上，画出数轴上表示数a 以及
3
a −的点M 、N ．（图中保留必要的
作图痕迹）．
【答案】(1)2 ；2
(2)1
2
−
(3)5；5
(4)图形见解析
【难度】0.43
【知识点】无理数、实数与数轴
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
（1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线；
（2）由（1）可得边长为1的正方形的对角线为2 ，再根据数轴，即可得到点A表示的数；
（3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（4）从原点开始画一个长是2 ，高是1的长方形，对角线长即是a ，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于
点M ，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N ．
【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为2 ，
∴边长为：2
∴小正方形对角线为：2 ．
（2）解：由题意可得，小正方形的边长为1，
∴对角线为2 ，
∴点A表示的数为：1
2
−
．
（3）解：如图所示：
∵长方形的面积为5
∴拼成的正方形的面积也为5；
∴正方形的边长为：5
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∴长为2 宽为1的长方形的对角线长为
5
a =
．
（4）解：如图，即为所求．
7．（25-26 七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如
何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索：
探索“如何在数轴上表示无理数”
工具准备：两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等．
操作一：如图1，把两张边长为1 个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为2 的大
正方形．
(1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______．
操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1 个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正
方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点A，点B ．
(2)点A表示的数为______；点B 表示的数为______．
操作三：在上面数轴上用记号笔标出点A的位置，表示数2 的点记为M ，原点记为点O，然后将数轴的
正半轴剪下，得到如图3 的“纸条”．
(3)OA =______；MA=______；
(4)如图4，将“纸条”沿着点M 对折，则点A的对应点
1A 表示的数为______．
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【答案】(1)2，2 ；
(2)
2 ，
2
−
；
(3)
2 ，2
2
−
；
(4)4
2
−
．
【难度】0.62
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】（1）两个边长为1 的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线；
（2）圆半径为2 ，原点右侧A 为正数、左侧B 为负数；
（3）OA是圆的半径；MA用OM
OA
−
计算；
（4）折叠后M 是A、
1A 中点，利用中点公式求
1A 对应的数．
【详解】（1）解：小正方形面积：1 1 1
= ，两个小正方形总面积1 1
2
+ =
，因此拼成的大正方形面积为
2 ．
小正方形边长为1，由勾股定理，对角线长
2
2
1
1
2
=
+
=
．
（2）解：圆半径等于小正方形对角线长2 ．
点A在原点右侧，故表示的数为2 ；
点B 在原点左侧，故表示的数为
2
−
．
（3）解：OA是圆的半径，因此
2
OA =
；
M 表示数字2 ，即
2
OM =
，
2
2
MA
OM
OA
=
−
=
−
．
（4）解：纸条沿M 对折，说明M 是线段
1
AA 的中点．
1
2
2
MA
AM
=
=
−
，
则点
1A 表示的数为2
2
2
4
2
+ −
=
−
．
8．（25-26 七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为1 个单位长度的圆片上有一点Q 与数轴上的原
点重合．（所有结果均保留π ）
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(1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q 到达点Q，设点Q表示的数为a ．求
a 的值：
(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
2
+ ，1
−，3
+ ，4
−，3
−．
①第几次滚动后，点Q 距离原点最近？第几次滚动后，点Q 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q 运动的路程共有多少？此时点Q 所表示的数是多少？
【答案】(1) 2π
−
(2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远；
②Q 点运动的路程共有26π，此时点Q 所表示的数是6π
−
【难度】0.57
【知识点】正负数的实际应用、有理数的加减混合运算、实数与数轴
【分析】（1）将a 的值代入，计算算术平方根即可得；
（2）①分别求出第1
5
次滚动后，点Q 距离原点的距离，由此即可得；
②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以2π即可得点Q 运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，
再乘以2π即可得此时点Q 所表示的数．
【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为2π 1
2π
=
，
∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q 到达点Q，
∴点Q表示的数
0 2π
2π
a = −
= −
；
（2）解：①第1 次滚动后，
2
2
+
=
，点Q 距离原点2 周，
第2 次滚动后，
(
)
2
1
1
+ −
= ，点Q 距离原点1 周，
第3 次滚动后，
(
)
2
1
3
4
+ −
+
=
，点Q 距离原点4 周，
第4 次滚动后，
(
)
(
)
2
1
3
4
0
+ −
+ + −
=
，点Q 在原点处，
第5 次滚动后，
(
)
(
) (
)
2
1
3
4
3
3
+ −
+ + −
+ −
=
，点Q 距离原点3 周，
由此可知，第4 次滚动后，点Q 距离原点最近；第3 次滚动后，点Q 距离原点最远；
②∵
2
1
3
4
3
2 1 3
4
3
13
+
+ −+ + + −
+ −
=
+ + +
+
=
，
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∴当圆片结束运动时，点Q 运动的路程共有13 2π
26π
=
；
∵
(
)
(
) (
)
2
1
3
4
3
2 1 3
4
3
3
+ + −
+ + −
+ −
=
−+ −
−
= −，
∴当圆片结束运动时，此时点Q 所表示的数是3 2π
6π
−
= −
．
9．（25-26 八年级下·全国·周测）解答下列问题：
(1)在图①所示的数轴上作出表示
29 的点，并写出作法．
(2)如图②，在ABC
中，
90
C
=
．若D 是BC 的中点，DE
AB
⊥
于点E ，求证：
2
2
2
AE
AC
BE
=
+
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系
【分析】本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）作直角三角形OAB ，使
5
OA =
，
2
AB =
，利用勾股定理可计算出
29
OB =
，然后以O为圆心，
OB 为半径画弧交数轴的正半轴于点C ，则点C 表示的数为
29
（2）连接AD，根据勾股定理可知
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AE
AD
DE
AC
CD
BD
BE
AC
BE
=
−
=
+
−
−
=
+
，由此得
证．
【详解】（1）解：如图①，点O在表示0 的位置上，点A在表示5的位置上，即
5
OA =
．
过点A向上（垂直于数轴的方向）取
2
AB =
，连接OB ，则
2
2
5
2
29
OB =
+
=
．
以点O为圆心，OB 的长为半径画弧，该弧与数轴的交点C 即为表示
29 的点．
（2）证明：如图②，连接AD．
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D
是BC 的中点，
BD
CD
=
．
又
90
C
=
，DE
AB
⊥
，
∴
90
C
DEA
DEB
=
=
=
，
在Rt ACD
中，
2
2
2
AD
AC
CD
=
+
，
在Rt ADE
中，
2
2
2
AD
AE
DE
=
+
，
在Rt BDE
中，
2
2
2
BD
DE
BE
=
+
，
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AE
AD
DE
AC
CD
BD
BE
AC
BE
=
−
=
+
−
−
=
+
．
10．（25-26 八年级上·广东清远·阶段检测）如图，正方形ABCD的面积为7 ，顶点A在数轴上且表示的
数为1，点E 在数轴上，且DE
AE
⊥
，
3
DE =
，点F 是数轴上的一个动点．
(1)线段AE 的长为___________，点E 所表示的数为___________；
(2)当点F 表示的数为多少时，
ABF
△
和DAE
全等？请说明理由；
(3)若
ABF
△
是等腰三角形，则点F 表示的数为多少？直接写出所有符合条件的答案．
【答案】(1)2 ，1
−；
(2)当点F 所表示的数为1
3
+
时，
ABF
△
和DAE
全等，理由见解析；
(3)点F 表示的数为1
7
−
或1
7
+
或1
2 3
+
或
7 3
1
6
+
．
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、等腰三角形的定义、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由正方形ABCD的面积为7 ，得
7
AD
AB
=
=
，根据勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
7
3
2
AE
AD
DE
=
−
=
−
=
，从而可得点E 所表示的数为1 2
1
−= −；
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（2 ）由四边形ABCD是正方形，则
7
AD
AB
=
=
，
90
DAB
=
，由
ABF
△
和DAE
全等，判断只有
ABF
DAE
△
≌△
时，所以
3
AF
DE
=
=
，从而可得当点F 所表示的数为1
3
+
时，
ABF
△
和DAE
全
等；
（3）分①当
1
7
AB
AF
=
=
或
2
7
AB
AF
=
=
时，②当
3
7
AB
BF
=
=
时，③当
4
4
AF
BF
=
时进行分析求
解即可．
【详解】（1）解：∵正方形ABCD的面积为7 ，
∴
7
AD
AB
=
=
，
∵DE
AE
⊥
，
∴
90
AED
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
7
3
2
AE
AD
DE
=
−
=
−
=
，
∵顶点A在数轴上且表示的数为1，
∴点E 所表示的数为1 2
1
−= −，
故答案为：2 ，1
−；
（2）解：当点F 所表示的数为1
3
+
时，
ABF
△
和DAE
全等，理由如下，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
7
AD
AB
=
=
，
90
DAB
=
，
∴
90
DAE
FAB
+
=
，
∵DE
AE
⊥
，
∴
90
AED
=
，
∴
90
DAE
ADE
+
=
，
∴
ADE
BAF
=
，
∵
ABF
△
和DAE
全等，
∴只有
ABF
DAE
△
≌△
，
∴
3
AF
DE
=
=
，
∵顶点A在数轴上且表示的数为1，
∴点F 所表示的数为1
3
+
，
∴当点F 所表示的数为1
3
+
时，
ABF
△
和DAE
全等；
（3）解：①如图，当
1
7
AB
AF
=
=
或
2
7
AB
AF
=
=
时，
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∴点
1F 所表示的数为1
7
−
或点
2
F 所表示的数为1
7
+
；
②如图，当
3
7
AB
BF
=
=
时，过B 作
3
BN
EF
⊥
，
∴
3
AN
NF
=
，
同（2 ）得
3
AN
DE
=
=
，
∴
3
3
AN
NF
=
=
，
∴点
3
F 所表示的数为1
2 3
+
；
③如图，当
4
4
AF
BF
=
时，过B 作
4
BH
EF
⊥
，
同（2 ）得
3
AH
DE
=
=
，
=
= 2
BH
AE
，
设
4
4
AF
BF
x
=
=
，则
4
3
HF
x
=
−
，
∴
2
2
2
4
4
HF
BH
BF
+
=
，
∴(
)
2
2
2
3
2
x
x
−
+
=
，解得：
3
6
7
x =
，
∴点
4
F 所表示的数为
7 3
1
6
+
；
综上可得：点F 表示的数为1
7
−
或1
7
+
或1
2 3
+
或
7 3
1
6
+
．
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【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，实数
与数轴等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
11．（25-26 八年级上·上海·阶段检测）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2 个单位长度到达点B，
点A 表示
3
−
，设点B 所表示的数为m．
(1)实数m 的值是____________
(2)求
1
1
m
m
+ −
−
的值
(3)在数轴上还有C、D 两点分别表示实数c、d，且实数c 满足
2
2
(
2)
(3
2 )
1
c
c
−
+
−
= ，实数d 表示面积
为27 的正方形的边长，小蚂蚁从点C 出发，爬到点D 后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每
秒3 个单位长度，请判断第2 秒结束时，小蚂蚁在点B 的左侧还是右侧？并写出判断过程．
【答案】(1)2
3
−
(2) 4
2 3
−
(3)在点B 的右侧，过程见解析
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、实数的大小比较
【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，
解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义．
（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可；
（2）将m 的值代入，判断
1
m+ 、
1
m−的正负，然后化简绝对值计算即可；
（3）先根据
2
2
(
2)
(3
2 )
1
c
c
−
+
−
= 求出
2
c =
，再求出
27
3 3
d =
=
，再根据题意求出小蚂蚁最后的位
置表示的数，进一步判断出在点B 的左侧还是右侧即可．
【详解】（1）解：
3
2
2
3
m = −
+
=
−
，
故答案为：2
3
−
；
（2）解：∵
2
3
m =
−
，
则
0
3
1
2
1
3
3
m+ =
−
+ = −
，
1
2
3 1 1
3
0
m−=
−
−= −
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
1
1 1
2
2 2
3
4
2 3
m
m
m
m
m
m
m
+ −
−
=
+ −
−
=
+ −+
=
=
−
=
−
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（3）在点B 的右侧，
理由：∵(
)
(
)
2
2
2
3
2
1
c
c
−
+
−
= ，
∴
2
0
c −
，
解得
2
c
，
∴3 2
1
0
c
−
−
，
∴
2
(3
2 )
3
2
2
3
c
c
c
−
=
−
=
−，
2
(
2)
2
c
c
−
=
−
，
∴
2
2
3
1
c
c
−+
−= ，
解得
2
c =
，
∵实数d 表示面积为27 的正方形的边长，
∴
27
3 3
d =
=
，
∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3 个单位长度，爬行时间为2 秒，
∴小蚂蚁爬行的路程为3 2
6
=
个单位长度，
∵点C 表示的数为2 ，点D 表示的数为3 3 ，
∴
3 3
2
CD =
−
，
∴此时小蚂蚁的位置表示的数为
(
)
3 3
6
3 3
2
6 3
8
−
−
−
=
−
，
∵6 3
108
64
8
=
=
，
，且108
64
，
∴6 3
8
0
−
，
∴小蚂蚁在原点右侧，
则(
) (
)
6 3
8
2
3
7 3 10
−
−
−
=
−
，
∵7 3
14710
100
=
=
，
，147
100
，
∴(
) (
)
6 3
8
2
3
7 3 10
0
−
−
−
=
−
∴在点B 的右侧．
重难点五、实数的大小比较
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常用方法：数轴比较法、平方比较法、作差法。正数大于 0，负数小于 0；
两个负实数，绝对值大的数值更小。对于带根号实数，可同时平方去掉根号比较；多个实
数排序，先区分正负，再对同类数字估算大小。
1．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）下列各数中，最小的数是（ ）
A．0
B．4
−
C．5
D．3.14
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】实数的大小比较
【详解】∵负数小于0 ，0 小于正数，在四个选项的数中，只有4
−是负数，
∴4
0
5
3.14
−
，
∴最小的数是4
−．
2．（2022·浙江台州·模拟预测）大于2 3
−
且小于3 2 的整数的个数有（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较
【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数．
【详解】解：
2
( 2 3)
4 3
12
−
=
=
，
又
9
12
16
，
3
2 3
4
，
4
2 3
3
−−
−，
2
(3 2)
9 2
18
=
=
，16
18
25
，
4
3 2
5
满足条件的整数有3
−、2
−、1
−、0、1、2、3、4，共8 个．
3．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部A处，它想到
箱体顶部B 点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（ ）．
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A．10
B．2 29
C．2 37
D．14
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、实数的大小比较
【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出AB 的长，比较大小即可．
【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接AB ，
由勾股定理得，
图（1）中
(
)
2
2
4
8
2
116
AB =
+
+
=
，
图（2）中
(
)
2
28
4
2
10
AB =
+
+
=
，
图（3）中
(
)
2
2
2
8
4
148
AB =
+
+
=
，
10
116
148
，
它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10．
4．（25-26 七年级下·安徽马鞍山·期末）在
3
−
，2 ，1
−，0 中，最小的数是____________．
【答案】
3
−
【难度】0.9
【知识点】实数的大小比较
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【详解】解：
3
3
−
=
，
1
1
−
= ，3
1
，
3
1
0
2
−
−
，
最小的数是
3
−
．
5．（25-26 七年级下·吉林四平·期末）比较大小：67 ________8．（填“”“”或“= ”）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较
【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方
结果更大的原数更大．
【详解】解：对两个数分别平方，可得
2
( 67)
67
=
，
2
8
64
=
，
∵67
64
，
∴67
8
．
6．（2022·陕西·模拟预测）比较大小：
401
5
4
−
_____3.75(填，= ，)
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实数的大小比较
【详解】解：∵
400
5
15
3.75
4
4
−
=
=
，
401
400
，
∴
401
5
3.75
4
−
．
故答案为：．
7．（25-26 七年级上·河南鹤壁·期中）已知a
b
c
d
，，，四个数满足
1
1
1
1
2023
2024
2025
2026
a
b
c
d
=
=
=
−
+
−
+
，则a
b
c
d
，，，之间的大小关系是____________．（用“”连
接）
【答案】c
a
b
d
【难度】0.4
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设
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1
1
1
1
2023
2024
2025
2026
k
a
b
c
d
=
=
=
=
−
+
−
+
，得a
b
c
d
，，，的表达式，通过比较常数项与的关系即可确
定大小．
【详解】解：设
1
1
1
1
2023
2024
2025
2026
k
a
b
c
d
=
=
=
=
−
+
−
+
，则
1
2023
a
k
=
+
，
1
2024
b
k
=
−
，
1
2025
c
k
=
+
，
1
2026
d
k
=
−
。
比较差值：
1
1
2025
2023
2
0
c
a
k
k
−
=
+
−
+
=
，故 c
a
；
1
1
2023
2024
4047
0
a
b
k
k
−
=
+
−
−
=
，故 a
b
；
1
1
2024
2026
2
0
b
d
k
k
−
=
−
−
−
=
，故 b
d
。
因此，大小关系为 c
a
b
d
；
故答案为： c
a
b
d
．
8．（25-26 七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为
2
1dm
的小正方形沿着虚线剪开，将所
得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为
2
2 dm
的大正方形，因此，可得大正方形的边长为
2 dm
．启发：把两个长为3、宽为2 的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2 所示
的一个正方形．
(1)求k 的值；
(2)比较
1
2
k −和3
2 的大小．
【答案】(1)
13
k =
；
(2)
1
3
2
2
k −
.
【难度】0.62
【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算、实数的大小比较
【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4 个直角三角形的面积，通过计算得出k 的值；
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（2）由（1）可确定k 的取值范围，再确定
1
2
k −的取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：大正方形面积为(
)
2
2
3
25
+
=
，空白部分面积为
2
k ，
根据题意，得
2
1
25
4
2 3
2
k
=
+
，
即
2
13
k =
，解得
13
k =
或
13
−
（舍去）．
因此k 的值为13 .
（2）解：
9
13
16
∵
，即3
4
k
，
1
3
k
−．
1
3
2
2
k −
．
9．（25-26 八年级下·江苏盐城·期末）明回看自己的《学习笔记》：
学习笔记
问题1：
已知ABC
的三边长分别为
2 ，2 2 ，10 ，求ABC
的面积．
思考1：
问题2：
在实数范围内因式分解：
(
)
2
0,
0
x
y
xy x
y
+
−
．
思考2：
2
x
y
xy
+
−
(
)
(
)
2
2
2
x
y
x
y
=
+
−
(
)
2
x
y
=
−
．
思考3：
x
y
+
与2 xy 的大小关系是确定的．
请与小明一起思考，完成下列问题：
(1)写出“问题1”的解答过程；
(2)①“思考3”中x
y
+
与2 xy 的大小关系是________；
②当
0
x
，
0
y
时，xy与
2
2
x
y
+
的大小关系是________，说明理由；
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(3)根据上面的活动经验，完成问题：
已知DEF
的三边长分别为
2
2
m
n
+
，
2
2
9m
n
+
，
(
)
2
2
2
0,
0
m
n
m
n
+
，且
10
m
n
+
=
．求DEF
面
积的最大值．
【答案】(1)解：ABC
的三边长分别为2 ，2 2 ，10 ，
且
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2 2
10,
10
10
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
=
，
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
90
ABC
=
，
故
1
1
2
2 2
2
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
．
(2)①解：
2
x
y
xy
+
−
(
)
(
)
2
2
2
x
y
x
y
=
+
−
(
)
2
0
x
y
=
−
，
故
2
0
x
y
xy
+
−
即
2
x
y
xy
+
；
②解：
2
2
x
y
xy
+
，理由是：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
x
y
x
y
+
−
=
+
−
=
−
．
(
)
2
0
x
y
−
，
2
0
x
y
xy
+
−
．
2
x
y
xy
+
．
0,
0
x
y
，
0
x
y
+
，2
0
xy
．
(
)
(
)
2
2
2
x
y
xy
+
．
即(
)
2
4
x
y
xy
+
．
2
2
x
y
xy
+
．
(3)50
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【难度】0.42
【知识点】勾股定理与网格问题、运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形、实数的
大小比较
【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可；
（2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可；
②利用非负性求解即可；
（3）表示出DEF
面积，利用前面的不等式结论，结合
10
m
n
+
=
，求得DEF
面积的最大值即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：
(
)
2
2
2
2
9
3
m
n
m
n
+
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
m
n
m
n
+
=
+
．
如图，
在两邻边长分别为3 ,2
m
n 的矩形中，构造DEF
，其中
2
2
DE
m
n
=
+
，
2
2
9
DF
m
n
=
+
，
2
2
2
EF
m
n
=
+
．
2
1
1
1
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
DEF
m
n
S
m
n
m n
m
n
m n
mn
+
=
−
−
−
=
．
10
m
n
+
=
，
2
10
2
2
DEF
S
．
50
DEF
S
△
．即DEF
面积的最大值为50．
重难点六、勾股定理与无理数
利用勾股定理构造长度为无理数的线段，在网格或者数轴作图题高频使用。
以整数长度为直角边，斜边常为无理数；作图时借助方格画出直角三角形，再用圆规平移
线段到数轴上，实现无理数的数轴定位。
1．（25-26 八年级下·山西大同·期末）如图．点A 在数轴上表示的数是1
−，点C 在数轴上表示的数是1，
小学
初中
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线段BC 与数轴垂直，且
1
BC = ．以A 为圆心，AB 长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D 表示的数是
（ ）
A．5
B．3
C．5
1
−
D．5
2
−
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、用勾股定理解三角形
【分析】首先利用勾股定理求出
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，然后得到
5
1
OD =
−，即可得到点D 表示的
数．
【详解】解：∵
1
BC = ，
2
AC =
，
90
ACB
=
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
由作图得，
5
AD
AB
=
=
，
∴
5
1
OD =
−，
∴点D 表示的数是5
1
−．
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，若边长为1 的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴
上点A所表示的数为x ，则x 为（ ）
A．2
B．
2
−
C．1.5
D．1.5
−
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】通过图形可知OB
OA
=
，利用勾股定理求出
2
OB =
，可以求出OA，即可解答．
【详解】解：由图可知，
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由图形可知OB
OA
=
，
根据勾股定理得：
2
2
1
1
2
OB =
+
=
，
∴
2
OA =
，
∴A 表示的数为2 ，则
2
x =
．
3．（25-26 八年级下·湖北黄石·期中）某班级的四个数学小组在制作直角三角形模型，分别以下列各组数
为边，其中不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5
B．5 ，12 ，13
C．6，8，10
D．7，24，25
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】勾股定理与无理数、判断三边能否构成直角三角形
【详解】解：A．
2
2
2
3
4
25
5
+
=
=
，
∴3，4，5 能组成直角三角形，该选项不符合题意；
B．(
)
(
)
2
2
5
12
5 12
17
+
=
+
=
，(
)
2
13
13
=
，17
13
，
∴5 ，12 ，13 不能组成直角三角形，该选项符合题意；
C．
2
2
2
6
8
100
10
+
=
=
，
∴6，8，10 能组成直角三角形，该选项不符合题意；
D．
2
2
2
7
24
49
576
625
25
+
=
+
=
=
，
∴7，24，25 能组成直角三角形，该选项不符合题意；
4．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上，点A、B 表示的数分别为0、2，BC
AB
⊥
于点B，且
1
BC = ．连接AC ，在AC 上截取CD
BC
=
，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧，交线段
AB 于点E，则点E 表示的实数是（ ）
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A．3
1
−
B．1
C．5
3
−
D．5
1
−
【答案】D
【难度】0.6
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、用勾股定理解三角形
【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再结合CD
BC
=
求出AD的长，最后根据圆的半径相等得出AE
的长，从而确定点E 表示的数．
【详解】解：由题意可知，点A表示0 ，点B 表示2 ，
∴
2
AB =
，
∵BC
AB
⊥
，
1
BC = ，
∴在Rt ABC
中，
2
2
2
2
2
1
5
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵
1
CD
BC
=
= ，
∴
5 1
AD
AC
CD
=
−
=
−，
∵以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB 于点E ，
∴
5
1
AE
AD
=
=
−，
∵点A表示的数为0 ，且点E 在点A的右侧，
∴点E 表示的实数是5
1
−．
5．（23-24 八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点A表示的数为1，点B ，C ，D 在4 4
的正方形网格
的格点（网格线的交点）上．以点A为圆心，AD的长为半径画圆，交数轴于M ，N 两点，则点N 表示
的数为____________．
【答案】1
10
+
【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
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直接利用勾股定理得出AD的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：
OD
AM
⊥
，
90
AOD
=
，
AOD
是直角三角形，
1
OA =
，
3
OD = ，
2
2
1
3
10
AD
=
+
=
，
10
AN
AD
=
=
，
∴N 点所表示的数为：1
10
+
．
故答案为：1
10
+
．
6．（25-26 七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把2 表示在数轴上点
1A 处，记
1A 右侧最近的整数点为
1
B ，以点
1
B 为圆心，
1
1
A B 为半径画半圆，交数轴于点
2
A ，记
2
A 右侧最近
的整数点为
2
B ，以点
2
B 为圆心，
2
2
A B 为半径画半圆，交数轴于点
3A ，则点
3A 表示的实数为_____．（结
果保留根号）
【答案】2
2
+
【难度】0.4
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据勾
股定理可得
2
2
1
1
1
2
OA =
+
=
，经过逐步推理计算即可．
【详解】解：由题意可得，
2
2
1
1
1
2
OA =
+
=
，
1
2
2
且
1A 右侧最近的整数点为
1
B ，
1
B 表示的数是2 ，
1
1
2
2
B
A
=
−
，
2
A 表示的数是2
2
2
4
2
+ −
=
−
．
2
4
2
3
−
且
2
A 右侧最近的整数点为
2
B ，
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2
B 表示的数是3，
2
3
2
2
3
(4
2)
2
1
B A
B A
=
=
−
−
=
−，
3A 表示的数是3
2 1
2
2
+
−=
+
．
故答案为：2
2
+
．
7．（21-22 八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题：
(1)写出两个无理数，使它们的差为5
−，并写出具体算式；
(2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1 的点为圆心，正方形对角线长为半径画
弧，交数轴于点A，则点A 表示的数是 ；
(3)有理数a、b、c 在数轴上的位置如图1 所示，试化简：
(
)
2
a
c
a
b
c
a
b
b
a
+
−
+
+
−
−
−
−
．
【答案】(1)两个无理数分别是3 和3
5
+ ，
(
)
3
5
3
5
−
+
= −
(2)1
2
−
(3)0
【难度】0.52
【知识点】整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、无理数、实数与数轴、勾股定理与无理数、根据
点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】（1）根据无理数的定义写出一个无理数，然后写出另一个无理数等于其加5 的和即可；
（2）先利用勾股定理求出正方形对角线长，再根据数轴上两点之间的距离求解即可．
（3）根据数轴上各点的位置，可以判断出
0
c
b
a
，c
b
a
，即
0
a
c
+
，
0
a
b
c
+ + ，
0
a
b
−
，由此进行化简即可；
【详解】（1）解：两个无理数分别是3 和3
5
+ ，
∴
(
)
3
3
5
3
3
5
5
−
+
=
−
−= −．
（2）解：正方形的对角线长
2
2
1
1
2
+
=
，
∵以表示数1 的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，
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且点A 在原点的左侧，
∴点A 表示的数为：1
2
−
．
（3）解：根据数轴可知∶
0
c
b
a
，c
b
a
，
∴
0
a
c
+
，
0
a
b
c
+ + ，
0
a
b
−
，
∴
(
)
2
a
c
a
b
c
a
b
b
a
+
−
+
+
−
−
−
−
(
) (
)
2
a
c
a
b
c
a
b
b
a
= −−+
+
+
−
−
−
+
2
a
c
a
b
c
a
b
b
a
= −−+ + + −+ −
+
0
=
8．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）图1，图2 均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小
正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形．
(1)在图1 中画一条长度等于10 的线段．
(2)只用无刻度的直尺在图2 中，画一格点E ，使得
45
ABE
=
．
【答案】(1)如图，线段AB 即为所求；
(2)如图，点E 即为所求．
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【难度】0.7
【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、格点作图题、勾股定理与无理数
【分析】（1）根据
2
2
1
3
10
AB =
+
=
作图即可；
（2）根据网格和勾股定理构造等腰直角三角形即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
2
2
2
1
2
5
AB =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
AE =
+
=
，
2
2
2
1
3
10
BE =
+
=
∴AB
AE
=
，
2
2
2
AB
AE
BE
+
=
∴ABE
是等腰直角三角形
∴
45
ABE
=
．
9．（23-24 七年级下·广东韶关·期中）阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1 所示将两个边长为1 的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠
的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数2 ；按照图2 和图3 所示的两种剪拼方法将一个边长为1
的正方形和一个边长为2 的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示
2
的点，关键是在数轴上构造线段
2
OA
OA
=
=
．如图4，正方形的边长为1 个单位长度，以原点O 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴
上分别交于点A，A，则点A 对应的数为2 ，点A对应的数为
2
−
．类似的，我们可以在数轴上找到
表示任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4 中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段OB 与OB，其
中O 仍在原点，点B，B分别在原点的右侧、左侧，可由线段OB 与OB的长得到点B，B所表示的无理
数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
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任务：
(1)材料1 中，无理数m 是________，画图确定表示m 的点M；
(2)如图5，点B 表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)数轴上分别标出表示数-0.5 以及3
m
−+
的点，并比较它们的大小．
(4)若
3
a
m
= −+
，
2
b
m
=
−
，求代数式
0.5
2
a
b
+
−
−
的值，并在数轴上表示对应的点．
【答案】(1)
解：由勾股定理得：
2
2
2
1
5
m =
+
=
，如图，M 点表示的数为5 ；
(2)
2
1
+ ，1
2
−
(3)
点A 表示0.5
−
，点B 表示3
5
−+
，表示数0.5
−
和3
5
−+
的点如图所示：
0.5
3
5
−
−+
．
(4)
由（1），得
3
5
a = −+
，
5
2
b =
−
，
原式
3
5
0.5
2
5
2
= −
−
−+
−
1
2
2
=
−
．
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【难度】0.4
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，掌握数轴上确定表示无理数所在点的位置的方法，
是解题的关键．
（1）根据图形，利用勾股定理求出大正方形的边长，即可，根据数轴构造无理数的方法，作图即可；
（2）由图可知，点,
B B到1 的距离为2 ，根据两点间的距离即可得出结果；
（3）以3
−为圆心，5 为半径化弧，与数轴的交点到3
−的距离即为5 ，确定B 点位置，进行比较即
可；
（4）将m 的值代入，化简绝对值，然后在数轴上表示出结果即可．
【详解】（1）略
（2）由图可知，点,
B B到1 的距离为2 ，
∴点B 表示的数为1
2
+
，点B表示的数为：1
2
−
；
故答案为：2
1
+ ，1
2
−
；
（3）略
（4）略
