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重难点专题04 二次根式的计算
模块一、二次根式的乘除法
重难点一、二次根式的乘法
二次根式乘法牢记公式
，先相乘再化简。计算时优
先分解被开方数，拆分完全平方数快速开方；带系数根式分开算系数与根式，避免漏乘，
最后化为最简根式，减少计算失误。
1．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）若
2
a
的计算结果为整数，则a 的值可以是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法
【分析】求出计算结果为
2a ，则
2a 为整数，即2a 是完全平方数，据此解答即可．
【详解】解：由题意得：
0
a
，
2
2
a
a
=
，
∵
2
a
的计算结果为整数，
∴
2a 为整数，即2a 是完全平方数，
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观察四个选项可知，只有当
2
a =
时，
2
2
4
2
a =
=
，符合题意．
2．（22-23 九年级下·河南郑州·开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．2
3
6
a
a
a
+
=
B．
3
3
a a
a
=
C．
a
b
ab
=
D．(
)
c
b
b c
a
a +
=
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】同底数幂相乘、二次根式的乘法、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】分别根据合并同类项、同底数幂乘法、二次根式乘法、幂的乘方运算法则逐一计算四个选项，
判断对错．
【详解】选项A 中，2
3
5
a
a
a
+
=
，故选项A 错误；
选项B 中，
3
4
a a
a
=
，故选项B 错误；
选项C 中，
a
b
ab
=
，故选项C 正确；
选项D 中，(
)
c
b
bc
a
a
=
，故选项D 错误．
3．（21-22 八年级上·河南郑州·阶段检测）2
3
+
与2
3
−
的关系是（ ）
A．互为相反数
B．互为倒数
C．相等
D．不能确定
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】倒数、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法
【分析】根据相反数、倒数的定义，通过计算两数的乘积判断二者关系，用到平方差公式计算．
【详解】解：∵(
)(
)
2
2
2
3
2
3
2
( 3)
4 3
1
+
−
=
−
=
−= ，
∴乘积为1的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系．
4．（25-26 八年级下·云南红河·期末）估计
2
2
3
2
+
的值在（ ）
A．1和2 之间
B．2 和3之间
C．3和4 之间
D．4 和5之间
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法
【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中6 的近似取值范围，从而得到所求式子的
取值范围．
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【详解】解：
2
2
2
3
2
2
3
1
6
2
2
+
=
+
= +
，
4
6
9
，
2
6
3
，
3
1
6
4
+
．
5．（26-27 八年级·全国·暑假作业）化简：(
)(
)
5 1
5 1
−
+
= ________．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法
【详解】解：原式(
)
2
2
5
1
=
−
5 1
= −
4
=
6．（21-22 八年级下·贵州黔西南·期中）计算
3
12
= ______．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式
【分析】利用二次根式乘法公式：
(
)
0,
0
a
b
a b a
b
=
，先将被开方数相乘，再化简二次根式得出
结果．
【详解】解：3
12
3 12
36
6
=
=
=
．
7．（2023·吉林长春·模拟预测）计算：5
2
=________．
【答案】10
【难度】0.95
【知识点】二次根式的乘法
【详解】解：5
2
5 2
10
=
=
8．（25-26 八年级下·天津河西·期末）若一个三角形的三边长分别为5 ，7 ，2 3 ，则此三角形的面积
为______________．
【答案】
35
2
【难度】0.65
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【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、判断三边能否构成直角三角形
【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角
形的面积公式计算即可.
【详解】解：
2
2
( 5)
( 7)
5
7
12
+
=
+
=
，
2
(2 3)
4 3
12
=
=
，
2
2
2
( 5)
( 7)
(2 3)
+
=
，
该三角形是直角三角形，两条直角边为5 和7 ，
此三角形的面积为1
35
5
7
2
2
=
.
9．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）计算：
(1) 8
2
(2)2 20
5
−
【答案】(1)4
(2)3 5
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法
【详解】（1）解：原式
16
4
=
=
；
（2）解：原式
5
4 5
3
5
=
−
=
．
10．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）计算：
(
)
2
5
18
10
2
−
−
．
【答案】7 10
14
−
【难度】0.65
【知识点】二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的
乘法
【分析】先利用二次根式的乘法运算法则、完全平方公式展开，再由二次根式的性质化简，最后合并即
可．
【详解】解：
(
)
2
5
18
10
2
−
−
(
)
2
90
10
4 10
4
=
−
−
+
3 10 10 4 10
4
=
-
+
-
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7 10 14
=
-
．
11．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算：
(1)
0
3
12
2
(π
3)
+ −−
−
(2)(
)(
)
2
3
5
3
5
( 3 1)
+
−
+
−
【答案】(1)7
(2)8
2 3
−
【难度】0.65
【知识点】零指数幂、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、
二次根式的乘法
【分析】（1）分别进行二次根式乘法，绝对值化简，零指数幂的运算再进行合并．
（2）分别利用平方差公式和完全平方公式展开后，合并同类项即可．
【详解】（1）解：
0
3
12
2
(
3)
+ −−
−
3 12
2 1
=
+ −
6 1
=
+
7
=
（2）解：(
)(
) (
)
2
3
5
3
5
3
1
+
−
+
−
2
2
2
2
3
( 5)
( 3)
2 3 1
=
−
+
−
+
9 5
4
2 3
= −+ −
8
2 3
= −
重难点二、二次根式的除法
除法公式
，两种解题思路：一是直接相除再化简，二是
先分母有理化。分母含根式时，分子分母同乘分母根式消去根号，注意分母不为 0，符号
与取值范围同步检验。
1．（24-25 八年级下·广东汕头·期末）计算4 15
2 5
的结果是（ ）
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A．2
B．3
C．2 3
D．2 10
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法
【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果．
【详解】解：4 15
4
15
15
2
2 3
2
5
2 5
5
=
=
=
．
2．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）计算：
20
5
= （ ）
A．4
B．2
C．2
D．10
【答案】B
【难度】0.9
【知识点】二次根式的除法
【详解】解：
20
5
20
5
=
4
2
=
=
．
3．（22-23 九年级上·重庆·开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．(
)
2
2
2
−
= −
B．12
2
6
=
C．2
3
6
=
D．2
3
5
+
=
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法
【详解】选项A ，(
)
2
2
2
2
2
−
=
=
，故选项错误．
选项B，12
2
2 3
2
3
=
=
，故选项错误．
选项C ，
2
3
6
=
，故选项正确．
选项D ，
2 和3 不是同类二次根式，不能合并，故选项错误．
4．（25-26 八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（ ）
A．
3
3
5
5
−
=
−
B．
7
7
6
6
−
−
=
−
−
C．
2
2
9
9
=
−
−
D．
1
1
1
1
4
2
+
=
【答案】A
【难度】0.4
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【知识点】二次根式的除法、二次根式有意义的条件
【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0.
A、
3
3
3
5
5
5
−
=
=
−
，成立，符合题意；
B、
7
7
6
6
−
=
−
，但右边
7
6
−
−
无意义，不成立，不符合题意；
C、
2
9
−
和
2
9
−
无意义，不成立，不符合题意；
D、
1
5
1
1
1
4
4
2
+
=
，不成立，不符合题意；
故选：A.
5．（2022·山东潍坊·模拟预测）化简：（1）32 = _____； （2）
4
5 = _____；
（3）3 8 = _____；（4）
2
9a =_____；
（5）
4
9 = _____；（6）
1
8 2 = _____；
（7）
1
8 =_____；（8）
24
2
=_____．
【答案】 4 2 2 5
5
/ 2
5
5
6 2 3a 2
3 4 2
2
4
/ 1
2
4
2 3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式
【详解】解：（1）32
4 2
=
；
（2）
4
4 5
20
2 5
5
5 5
5
5
=
=
=
；
（3）3 8
3 2 2
6 2
=
=
；
（4）
2
9
3
a
a
=
；
（5）
4
2
9
3
=
；
（6）
1
2
8
8
4 2
2
2
=
=
；
（7）
1
2
2
8
8 2
4
=
=
；
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（8）
24
24
2
12
2 3
2
=
=
=
．
6．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）计算：35
5
= __________．
【答案】7
【难度】0.9
【知识点】二次根式的除法
【详解】解：35
5
7
=
．
7．（2026 八年级下·全国·专题练习）若
2
a −
与
4
b +
互为相反数，则
2
b
a
的值为__________．
【答案】2 2
【难度】0.4
【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为0 ，则每个非负数都为0 是解题的关键．
先根据互为相反数的两个数和为0 列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于a
b
、的方程，求解出
a
b
、的值，最后代入式子计算结果．
【详解】解：∵
2
a −
与
4
b +
互为相反数，
∴
2
4
0
a
b
−
+
+
=
∵二次根式具有非负性
2 0
4 0
a
b
−
+
（
，
），
∴只有当
2
0
a −
=
且
4
0
b+
=
时，和为0 ，
解得：
2
4
a
b
=
= −
，
将
2
4
a
b
=
= −
、
代入
2
b
a
：
(
)
2
4
16
8
2 2
2
2
−
=
=
=
．
故答案为：2 2 ．
8．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）计算：(
)
(
)
2
0
2
3
π
3.14
9
24
3
−
−
−
+
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】零指数幂、求一个数的绝对值、二次根式的除法、求一个数的算术平方根、实数的混合运
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算、利用二次根式的性质化简
【分析】按运算顺序分步化简：利用
2
a
a
=
去根号、依据零次幂性质求值、套用二次根式除法公式化
简，最后合并同类二次根式算出结果．
【详解】解：(
)
(
)
2
0
2
3
π
3.14
9
24
3
−
−
−
+
2
3
1 3
24 3
=
−
−+
3
2
3 2 2
= −
−+
2
=
．
9．（25-26 八年级下·广西玉林·期末）计算
(1)
2026
12
3
2
( 1)
+ −−−
．
(2)( 6
2)( 6
2)
+
−
．
【答案】(1)3
(2)2
【难度】0.75
【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算
【详解】（1）解：原式
4
2 1
=
+ −
2
2
1
=
+
−
3
=
（2）解：原式
2
2
( 6)
2
=
−
6
4
=
−
2
=
10．（25-26 八年级上·北京顺义·期中）我们规定用( , )
a b 表示一对数对，其中
0
a
，
0
b
．给出如下定
义：记
1
m
a
=
，n
b
=
，将( , )
m n 称为数对( , )
a b 的“衍生数对”．例如：(
)
4,1 的“衍生数对”为1 ,1
2
；
(1)数对(
)
9,3 的“衍生数对”是 ；
(2)若数对(
)
3, y 与(
)
,3
y
的“衍生数对”相同，则y 的值为 ；
(3)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
3,3 2 ，求ab 的值；
(4)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
,
m n ，当
1
a 时比较m
n
+
和mn 的大小关系，并说明理由．
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【答案】(1) 1 , 3
3
(2)3
(3)6
(4)m
n
mn
+
，见解析
【难度】0.4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公
式，结合二次根式的计算规则是解题的关键．
（1）直接根据“衍生数对”定义，代入
9
a =
、
3
b =
计算
1
m
a
=
和n
b
=
，
（2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y，
（3）由“衍生数对”反向用m 求a、用n 求b，再计算ab ，
（4）用定义表示出m、n，通过作差法结合
1
a 的条件，判断m
n
+
与mn 的大小．
【详解】（1）解：根据定义：
1
1
3
9
m =
=
，
3
n =
，
故答案为：1 , 3
3
；
（2）解：数对(
)
3, y 的衍生数对：
1
1
3
m =
，
1n
y
=
，
数对(
)
,3
y
的衍生数对：
2
1
m
y
=
，
2
3
n =
，
由衍生数对相同得1
3
1
y
=
且
3
y =
，解得
3
y =
，
故答案为：3；
（3）解：由
1
3
m
a
=
=
，得
1
3
a =
，故
1
3
a =
，
由
3 2
n
b
=
=
，得
2
(3 2)
18
b =
=
，
1 18
6
3
ab
=
=
；
（4）解：由定义得
1
m
a
=
，n
b
=
，作差：
(
)
m
n
mn
m
n
mn
+
−
=
+
−
(
)
1
m
n
n
=
−
+
(
)
1
1
b
b
a
=
−
+
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1
b
b
a
−
=
+
(
)
1
1
b
a
a
+
−
=
1
a
，
1
0
a
−
，且
0
a
，
0
b
，故分子
(
)
1
1
0
b
a
+
−
，
m
n
mn
+
．
重难点三、二次根式的乘除混合计算
乘除混合统一转化为乘法计算，从左至右依次运算；系数、根式分开分组计
算，简化步骤。遇分式根式先统一根号内式子，及时约分，提前消去公因数，降低大数开
方难度，运算结束必须化为最简二次根式。
1．（25-26 八年级下·广东阳江·期末）化简18
2
3
的结果是（ ）
A．10
B．3 3
C．3 6
D．6
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【详解】解：18
2
3
9
3
=
27
=
3 3
=
．
2．（2026·广东佛山·二模）计算：18
2
3
= ______．
【答案】2 3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式
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【详解】解：18
2
18 2
12
2 3
3
3
=
=
=
．
3．（2024·江苏南京·中考真题）计算
6
8
2
的结果是______．
【答案】2 6
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘除混合运算、化为最简二次根式
【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：
6
8
2
6 8
2
=
24
=
2 6
=
．
4．（2026·河北沧州·三模）计算18
2
3
的结果为____________．
【答案】3 3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可．
【详解】解：原式
18 2
3
9
3
3 3
=
=
=
．
5．（2022·天津河西·模拟预测）化简(
)
(
)
2016
2017
7
5 2
7
5 2
−
−−
=______．
【答案】7 5 2
−−
【难度】0.4
【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方的逆用、二次根式的乘除混合运算
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：原式(
)
(
)
(
)
2016
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
−−
−−
(
)
(
)
(
)
2016
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
+
−−
(
)(
)
(
)
2016
7
5 2
7
5 2
7
5 2
=
−
+
−−
(
)
(
)
2016
2
2
7
5 2
7
5 2
=
−
−−
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(
)
(
)
2016
49 50
7
5 2
=
−
−−
(
)
(
)
2016
1
7 5 2
= −
−−
7
5 2
−
=
−
6．（25-26 八年级下·天津河东·阶段检测）计算：
(1)
3
2 12
5 2
4
；
(2)
1
48
3
12
24
2
−
+
．
【答案】(1)
3 2
10
(2)
4
6
+
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算
【详解】（1）解：
3
2 12
5 2
4
3
4 3
5 2
4
=
3 5 2
=
3 2
10
=
；
（2）解：
1
48
3
12
24
2
−
+
1
48 3
12
2 6
2
=
−
+
4
6
2 6
=
−
+
4
6
=
+
．
7．（25-26 八年级下·江苏无锡·期中）已知
(
)
2
2
5
1
0
x
y
−
−
+
=
，x ，y 均为实数，求
2
x
x
x
y
的值．
【答案】5 2
2
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的乘除混合运算、已知字母的值，化简求值
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【分析】根据非负数的性质求得
5
2
x =
，
1
y = ，代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
(
)
2
2
5
1
0
x
y
−
−
+
=
，x ，y 均为实数
∴2
5
0,
1
0
x
y
−
−
=
=
解得：
5
2
x =
，
1
y =
∴
2
x
x
x
y
5
5
5
2
2
2
2
1
=
5
5
5
2
2
=
5
2
5
2
5
=
5 2
2
=
．
8．（25-26 八年级下·广西河池·期中）计算：
(1) 6
3
5
；
(2) 8
2( 2
1)
−
−
．
【答案】(1) 10
(2)3 2
2
−
【难度】0.87
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算
【分析】（1）因为二次根式的乘除属于同级运算，所以按照从左到右的顺序计算，可利用二次根式的乘
除法则
a
b
a
b
=
、
a
b
a b
=
进行化简．
（2）因为式子包含二次根式的减法和乘法，所以先利用乘法分配律展开
2( 2
1)
−
，再将8 化为最简二
次根式，最后进行合并同类二次根式的运算．
【详解】（1）解：原式
6
3
5
=
2
5
=
10.
=
（2）解：原式
2 2
2
2 1
2
=
−
+
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2 2
2
2
=
−+
3 2
2.
=
−
9．（25-26 八年级下·重庆开州·期末）计算：
(1)(
)
(
)(
)
2
7
2
4
7
4
7
−
−
+
−
；
(2)
1
4
6
15
5
3
2
−
+
．
【答案】(1) 2 14
−
(2) 4 3
【难度】0.67
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根
式的混合运算
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果；
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：(
)
(
)(
)
2
7
2
4
7
4
7
−
−
+
−
(
)
7
2 14
2
16
7
=
−
+ −
−
7
2 14
2 16
7
=
−
+ −
+
2 14
= −
；
（2）解：
1
4
6
15
5
3
2
−
+
4 3
3
3
=
−
+
4 3
=
．
10．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算：
(1)
3
2 12
5 2
4
(2)(
)(
)
2 3
6
2 3
6
−
+
【答案】(1) 3 2
10
(2)6
【难度】0.65
【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算
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【分析】（1）利用二次根式乘除混合运算的方法计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
3
1
2 2 3
4
5 2
=
，
3
5 2
=
，
3 2
10
=
；
（2）解：原式
2
2
(2 3)
( 6)
=
−
，
12 6
=
−，
6
=
．
11．（23-24 八年级上·上海·期中）先化简，再求值：
ab
ab
a
ab
a
b
a
ab
−
−
−
+
，其中：
1
2
a =
，
1
3
b =
．
【答案】
ab
−
，
6
6
−
【难度】0.4
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值
【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入a 、b 的值计算即
可．
【详解】解：原式
(
)
ab a
ab
ab
ab
a
a
b
a
ab
a
ab
−
−
+
=
−
+
+
a ab
ab
ab
a
b
a
ab
ab
a
−
−
−
+
=
+
(
)
(
)(
)
a ab a
b
a
ab
ab
a
−
−
=
+
(
)
(
)
2
2
a ab a
b
ab
a
−
=
−
(
)
2
a ab a
b
ab
a
−
=
−
(
)
ab a
b
b
a
−
=
−
(
)
ab a
b
a
b
−
= −
−
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ab
= −
；
当
1
2
a =
，
1
3
b =
代入得： 原式
1
1
1
6
2
3
6
6
−
−
−
=
=
=
．
模块二、最简二次根式
重难点一、最简二次根式的判断
判断最简根式抓两大标准：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数 /
因式；分母不能带根号。快速排查技巧：分解数字看是否有平方数，分式根式直接判定非
最简，含小数先化分数再判断。
1．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．3
B．
4
C．8
D．0.16
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数
或因式；
∵选项A 中，3 的被开方数3 不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件；
选项B 中，4
2
=
，被开方数4 是能开得尽方的数，不满足条件；
选项C 中，8
4
2
2 2
=
=
，被开方数8 含能开得尽方的因数4，不满足条件；
选项D 中，0.16
0.4
=
，被开方数是小数，即含分母，且能开得尽方，不满足条件．
2．（25-26 八年级下·广东汕尾·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．12
B．
1
3
C．7
D．0.3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：对选项A：12
4 3
=
，被开方数含能开得尽方的因数4 ，不是最简二次根式；
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对选项B：
1
3
被开方数含分母，不是最简二次根式；
对选项C：7 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
对选项D：
3
0.3
10
=
被开方数含分母，不是最简二次根式．
3．（25-26 八年级下·山东德州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8
B．11
C．
2
5
D．
2x
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：对选项A：8
4 2
=
，被开方数含能开得尽方的因数4 ，不是最简二次根式，故A 错误．
对选项B：11 的被开方数11不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故B 正
确．
对选项C：
2
5
的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式，故C 错误．
对选项D：
2x 的被开方数含能开得尽方的因式
2
x ，不是最简二次根式，故D 错误．
4．（25-26 八年级下·福建福州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．10
B．12
C．
1
3
D．0.04
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此判断即可．
【详解】解：A、10 是最简二次根式，符合题意；
B、12
2 3
=
，不是最简二次根式，不符合题意；
C、
1
3 的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、
1
0.04
25
=
的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意．
5．（25-26 八年级下·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．1.5a
B．
3
3a
C．
2
4
a +
D．3 5a
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【答案】C
【难度】0.85
【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：选项A ，1.5a 中
3
1.5
2
=
，被开方数含分母，不符合定义，不是最简二次根式；
选项B，
3
3a 中
2
3
a
a
a
=
，被开方数含能开得尽方的因式
2
a ，不符合定义，不是最简二次根式；
选项C ，
2
4
a +
根指数为2 ，被开方数
2
4
a +
是整式，且不含能开得尽方的因式，符合所有条件，是最
简二次根式；
选项D ，3 5a 是三次根式，不是二次根式，不符合要求．
6．（21-22 八年级下·山东日照·开学考试）在
3
16x 、
2
3
−
、
0.5
−
、
a
x
、3 25 中，最简二次根式的个
数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【难度】0.7
【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：
3
16
4
x
x x
=
，可化简，不是最简二次根式；
2
3
−
不可以化简，是最简二次根式；
2
0.5
2
−
= −
，可化简，不是最简二次根式；
a
ax
x
x
=
，可化简，不是最简二次根式；
3 25 根指数是 3 ，不是最简二次根式；
所以最简二次根式只有 1 个．
7．（25-26 八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4 个代数式2 3
3
，
1
2
，
2
a ，
3
3 中，最简二次根式的
个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【难度】0.65
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【知识点】最简二次根式的判断
【详解】解：2 3
3
，
1
2
，
2
a ，
3
3 中，
2 3
3
，
3
3 是最简二次根式，
1
2
的被开方数含有分母，
2
a 的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式，
故最简二次根式的个数是2.
8．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：8x ，
x
y
x
−
，
2
3a b ，
2
4
b ，
2
1
a + ，
2
1
x + ，
0.1y ，其中最简二次根式的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，
据此逐个分析即可．
【详解】解：
2
8
2
2
x
x
=
，含能开得尽方的因数
2
2 ，不是最简二次根式；
x
y
x
−
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
2
3a b ，含能开得尽方的因式
2
a ，不是最简二次根式；
2
4
b ，满足两个条件，是最简二次根式；
2
1
a + ，满足两个条件，是最简二次根式；
2
1
x + ，满足两个条件，是最简二次根式；
0.1
10
y
y =
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
综上可知，最简二次根式共有3个．
9．（25-26 八年级下·湖北·期末）下列二次根式：5 ，
1
3 ，0.5a ，
2
2 a b
−
，
2
2
x
y
+
中，是最简二
次根式的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
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【难度】0.75
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】根据最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或
因式，进行判断，即可求解．
【详解】解：5 是最简二次根式；
1
3
的被开方数含有分母，不是最简二次根式；
0.5a 的被开方数含有小数，不是最简二次根式；
2
2 a b
−
的被开方数含能开得尽方的因式
2
a ，不是最简二次根式；
2
2
x
y
+
是最简二次根式，
故最简二次根式为5 ，
2
2
x
y
+
，一共有2 个最简二次根式．
10．（25-26 八年级下·湖北恩施·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．a （
0
a
）是二次根式
B．当
0
a
时，
2
a
a
= −
C．
2
a
b
+
（
0
b
）是最简二次根式
D．(
)
2
3
3
x
x
+
=
+ 成立的条件是
3
x −
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可.
【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如
(
)
0
a a
的式子是二次根式，
∴A 选项说法正确，不符合题意；
∵当
0
a
时，
2
a
a
a
=
= −
∴B 选项说法正确，不符合题意；
∵当
1,
3
a
b
=
=
时，
2
4
a
b
+
=
不是最简二次根式，
∴C 选项说法不正确，符合题意；
∵等式(
)
2
3
3
x
x
+
=
+
，当
3
0
x + 即
3
x −时，(
)
2
3
3
x
x
+
=
+ ，
∴D 选项说法正确，不符合题意；
故选：C.
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重难点二、化为最简二次根式
化简分整数、分式两类：整数根式分解质因数，提取平方因数开方；分式根
式分子分母同乘分母消去根号，再约分。有系数时单独计算系数，化简后核对两大判定条
件，确保无开方因数、无分母根号。
1．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若12 能与最简二次根式
2
x−
合并，则x 的值为________．
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式
【分析】先化简12 ，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式
2
x −
的被开方数与化简
后12 的被开方数相等，列方程求解即可．
【详解】解：∵12
2 3
=
，12 能与最简二次根式
2
x −
合并，
∴
2
x −
与2 3 是同类二次根式，被开方数相等，
∴
2
3
x−
=
，
5
x
=
．
2．（25-26 八年级下·天津南开·期末）化简
1
7
的结果为________．
【答案】
7
7
/ 1
7
7
【难度】0.9
【知识点】分母有理化、化为最简二次根式
【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答．
【详解】解：
1
1
7
7
7
7
7
7
7
=
=
=
．
3．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）已知一个正方形的面积为18，则其边长为________．
【答案】3 2
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【难度】0.9
【知识点】算术平方根的实际应用、化为最简二次根式
【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求出正方形的
边长．
【详解】解：∵一个正方形的面积为18，
∴其边长为18
3 2
=
．
4．（25-26 八年级下·广西钦州·期末）化简
4a 的结果为_________．
【答案】2 a
【难度】0.9
【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式
【详解】解：
4
2
a
a
=
．
重难点三、已知最简二次根式求参数
解题核心：最简根式两大限制条件列不等式组。1. 被开方数无平方因式，
字母指数小于 2；2. 不含分母，被开方数为整式；同时保证被开方数≥0。联立方程与不
等式求解参数，求出后代回根式验证是否符合最简要求。
1．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若a 是最简二次根式，则a 的值可以是（ ）
A．0.1
B．12
C．15
D．1
2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知最简二次根式求参数
【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数
或因式；
对选项逐一判断：
A、
1
0.1
10
a =
=
，被开方数含分母，不满足条件，错误；
B、
12
4 3
a =
= ，4 是能开得尽方的因数，不满足条件，错误；
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C、
15
3 5
a =
= ，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确；
D、
1
2
a =
，被开方数含分母，不满足条件，错误．
2．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式3
8
a −
与17
2a
−
能够合并，那么a 的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开
方数相等，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式3
8
a −
与17
2a
−
能够合并
∴3
8
17
2
a
a
−=
−
，
解得
5
a =
．
3．（2021 九年级上·甘肃天水·竞赛）最简二次根式2 4
1
m−和
2
3
+
m
可以合并，那么m = （ ）
A．2
B．2
−
C．3
D．3
−
【答案】A
【难度】0.75
【知识点】二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数
【详解】∵最简二次根式2 4
1
m−和
2
3
+
m
可以合并，
∴4
1
2
3
m
m
−=
+ ，
解得：
2
m =
.
4．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）若式子2
7
x −
是最简二次根式，请写出一个符合条件的实数x 的
值________．
【答案】5（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】已知最简二次根式求参数
【分析】根据最简二次根式的概念，找到满足被开方数2
7
x −
为非负数且不含能开得尽方的因数的x 即可.
【详解】解：令2
7
3
x −
= ， 解得
5
x = ，
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此时
2
7
3
x −
=
是最简二次根式，符合要求.
5．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若
2a 是最简二次根式，则整数a 的值可以是__________．（写出
一个符合题意的数即可）
【答案】
1（答案不唯一，任意符合条件的整数均可）
【难度】0.85
【知识点】已知最简二次根式求参数
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开
方数非负，据此找出符合要求的整数a 即可．
【详解】解：∵
2a 是最简二次根式，a 为整数，
∴2
0
a
，且2a 不含能开得尽方的因数，
当
1
a = 时，2
2
a =
，满足条件，因此
1
a = 符合题意．
6．（25-26 八年级下·新疆吐鲁番·期末）若最简二次根式2
3
a −
与2 5 可以合并，则a 的值为________．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数
【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可．
【详解】解：最简二次根式
2
3
a −
与2 5 可以合并，
二者为同类二次根式，被开方数相等，即2
3
5
a−= ，
移项得2
5 3
a = + ，
2
8
a =
，
系数化为1得
4
a =
．
7．（2026·河北石家庄·模拟预测）若最简二次根式a 与
75 能合并，则a 的值为__________．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数
【详解】先化简
75 得：75
25 3
5 3
=
=
，
最简二次根式a 与
75 能合并，
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a 与5 3 是同类二次根式，
根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同，
3
a
=
．
8．（25-26 八年级下·宁夏吴忠·期中）若5 2 与最简二次根式
1
m + 能合并，则m 的值为__________．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，5 2 已是最简二次根式，能合并的最简二
次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可．
【详解】解：
5 2
是最简二次根式，且5 2 与最简二次根式
1
m + 能合并，
1
m
+ 与5 2 是同类二次根式，可得
1
2
m+ =
，
解得
1
m = ．
9．（25-26 八年级下·重庆长寿·期中）若2 2 与最简二次根式m 能合并，则m = ___________．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数
相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中m 已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出
m ．
【详解】解：
2 2
与最简二次根式m 能合并，
2 2
与
m 是同类二次根式，
根据同类二次根式的定义，可得
2
m =
．
10．（2026·山东潍坊·模拟预测）若二次根式
1
k −与8 能合并，则整数k 的值除9 之外还可能是
__________．
【答案】
3（答案不唯一）
【难度】0.65
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【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、化为最简二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简8 ，再结合k 为整数，
求出除9外符合条件的k 的值．
【详解】解：8
2 2
=
，
∵二次根式
1
k −与8 能合并，
∴
1
k −化简后被开方数为2 ，
∴
2
1
2
k
m
−=
，其中m 为正整数，且
1
0
k −
，
当
2
m =
时，
2
1
2 2
8
k −=
=
，解得：
9
k =
，为题目给出的已知值；
当
1
m = 时，
2
1
2 1
2
k −=
=
，解得
3
k = ，符合整数要求．
11．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）
20 与最简二次根式5
1
m+ 能合并，则m = __________．
【答案】4
【难度】0.75
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数
【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化
简
20 后列方程求解即可．
【详解】解：化简
20 得
20
2 5
=
，
20
与最简二次根式5
1
m+ 能合并，
1
5
m
+ =
，
解得：
4
m =
，
12．（25-26 七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式
2
9
m−
与
5
m+
可以合并，则3
6
m+
的
值是______．
【答案】4 3
【难度】0.65
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、利用二次根式的性质化简
【分析】由最简二次根式
2
9
m−
与
5
m+
可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出m
的值，再代入3
6
m+
化简即可得到结果．
【详解】解：最简二次根式
2
9
m−
与
5
m+
可以合并，
2
9
m−
与
5
m+
是同类二次根式，
∴2
9
5
m
m
−=
+ ，
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解得：
14
m =
，
将
14
m =
代入3
6
m+
得：
3
6
3 14
6
48
4 3
m+
=
+
=
=
．
13．（21-22 八年级下·内蒙古赤峰·阶段检测）若最简二次根式3
8
a −
与17
2a
−
是可以合并的二次根
式，则a 的值是_____．
【答案】5
【难度】0.79
【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、已知最简二次根式求参数、解一元一次方程（一）——
合并同类项与移项
【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解
即可．
【详解】解：∵最简二次根式3
8
a −
与17
2a
−
可以合并，
∴3
8
17
2
a
a
−
=
−
．
移项得3
2
17 8
a
a
+
=
+ ．
合并同类项得5
25
a =
．
系数化为1得
5
a =
．
模块三、二次根式的加减法
重难点一、同类二次根式
同类根式判定步骤：先全部化为最简二次根式，再看被开方数完全相同，仅
系数不同即为同类根式。易错点：不化简直接判断，如
，化简后被开方数一致，
属于同类根式，化简是判断前提。
1．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，能与2 合并的是（ ）
A．3
B．
1
2
C．12
D．9
【答案】B
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【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】能与2 合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与
2 的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可．
【详解】解：选项A 中3 是最简二次根式，被开方数为3，与2 被开方数不同，故不能合并；
选项B 中
1
2
2
2
=
，化简后被开方数为2 ，与2 被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
选项C 中12
2 3
=
，化简后被开方数为3，与2 被开方数不同，故不能合并；
选项D 中9
3
=
，不含被开方数为2 的二次根式，故不能合并．
2．（25-26 八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式
1
a + 与12 是可以合并的二次根式，则a 是
（ ）
A．7
B．5
C．2
D．1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、化为最简二次根式
【分析】先将12 化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解a 即可．
【详解】解：
12
2 3
=
，
1
a + 是最简二次根式，且与2 3 可以合并，
两个最简二次根式的被开方数相等，即
1
3
a+ =
，解得
2
a =
．
3．（2022·河北石家庄·模拟预测）如果最简二次根式
2
a +
能与12 合并，那么a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．6
D．10
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、最简二次根式的判断
【分析】先将12 化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解．
【详解】解：∵12
2 3
=
，
且最简二次根式
2
a +
能与12 合并，
∴
2
3
a +
= ，
解得
1
a = ．
4．（25-26 八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与3 是同类二次根式的是（ ）
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A．
1
3
B．
1
6
C．2
D．18
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式
【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与3 相同的即为同类二
次根式．
【详解】解：选项A：
1
3
3
3
=
，化为最简后被开方数为3，与3 是同类二次根式；
选项B：
1
6
6
6
=
，化为最简后被开方数为6 ，与3 不是同类二次根式；
选项C：2 是最简二次根式，被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式；
选项D：18
3 2
=
，化为最简后被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式．
5．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，与3 是同类二次根式的是（ ）
A．
3
2
B．8
C．0.3
D．
27
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与3 的被开方数
相同即可得到答案.
【详解】解：∵ 选项A，
3
6
2
2
=
，被开方数为6 ，与3 的被开方数不同，不是同类二次根式；
选项B，8
2 2
=
，被开方数为2 ，与3 的被开方数不同，不是同类二次根式；
选项C，
3
30
0.3
10
10
=
=
，被开方数为30，与3 的被开方数不同，不是同类二次根式；
选项D，
27
3 3
=
，被开方数为3，与3 的被开方数相同，是同类二次根式.
6．（25-26 八年级下·广西河池·期末）如果最简二次根式2 与
3
a −
能够合并，那么a 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式
【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程
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即可求解a 的值．
【详解】解：最简二次根式
2 与
3
a −
能够合并
2 与
3
a −
是同类二次根式，
3
2
a
−=
解得：
5
a =
．
7．（21-22 九年级下·江苏连云港·阶段检测）下列式子中和5 是同类二次根式的是（ ）
A．15
B．25
C．35
D．
45
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的
即为同类二次根式；
【详解】解：5 是最简二次根式，被开方数为5；
A 选项：15 是最简二次根式，被开方数为15，15
5
，不符合要求；
B 选项：25
5
=
，化简后为整数，不符合要求；
C 选项：35 是最简二次根式，被开方数为35，35
5
，不符合要求；
D 选项：
45
9 5
3 5
=
=
，最简二次根式的被开方数为5，与5 的被开方数相同，
45
和
5 是同类二次根式；
8．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（ ）
A．3 20 ，
50 B．
28 ，2 7
3
C．2ab ，3 ab
D．
2m
n
，
2m
n
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方
数是否相同，即可求解．
【详解】解：A、
3 20
3 2 5
6 5
=
=
，50
5 2
=
，3 20 和
50 不是同类二次根式，故选项A 不
符合题意；
B、
28
2 7
=
，2 7
2
7
3
3
=
，
28 和2 7
3
是同类二次根式，故选项B 符合题意；
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C、
2ab
的被开方数为2ab，3 ab 的被开方数为ab ，不相同，
2ab 和3 ab 不是同类二次根式，故
选项C 不符合题意；
D、
2m
n
的被开方数为2m ，
2
2
m
mn
n
n
=
，被开方数为2mn ，
2m
n
和
2m
n
不是同类二次根式，故
选项D 不符合题意．
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（ ）
①
2
2
2
3
3
−
=
；②
1
1
27
27
3
3
3
=
=
；③
3
1
3
1
3
2
18
2 18
6
=
=
；④2 7
6 7
4 7
−
= −
．
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】利用二次根式的性质和混合运算法则计算即可．
【详解】解：①
2
2
2
2
3
3
3
−
= −
=
，计算正确；
②
1
1
27
27
9
3
3
3
=
=
= ，计算正确；
③
6
3
1
3
1
3 18
27
3 3
2
18
2
18
2
3
=
=
=
=
，计算错误；
④
(
)
2 7
6 7
2
6
7
4 7
−
=
−
= −
，计算正确．
10．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式
2
1
a −与5 是同类二次根式，则a =__________．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】解：最简二次根式
2
1
a −与5 是同类二次根式，
2
1
5
a
−=
，
解得：
3
a = ．
11．（26-27 九年级·全国·暑假作业）在二次根式：
1
3 ，
3
4
，24 ，18 中，与3 是同类二次根式的
个数有_________个．
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【答案】2
【难度】0.7
【知识点】同类二次根式
【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式：
1
3
3
3
=
，化简后被开方数为3，与3 是同类二次根式；
3
3
4
2
=
，化简后被开方数为3，与3 是同类二次根式；
24
2 6
=
，化简后被开方数为6 ，与3 不是同类二次根式；
18
3 2
=
，化简后被开方数为2 ，与3 不是同类二次根式；
因此与3 是同类二次根式的共有2 个.
12．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式
2
x +
与3 2
1
x −是同类二次根式，则x 的值为
______．
【答案】3
【难度】0.75
【知识点】同类二次根式
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得
2
2
1
x
x
+
=
−，解方程即可．
【详解】解：∵最简二次根式
2
x +
与3 2
1
x −是同类二次根式，
∴
2
2
1
x
x
+
=
−，且
2
0
2
1
0
x
x
+
−
解得：
3
x = ，且
1
2
x
．
∴x 的值为3．
重难点二、二次根式的加减法
加减运算口诀：先化简，再合并。第一步把所有根式化为最简；第二步找出
同类二次根式，合并同类项，根式部分不变，仅系数相加减；非同类根式无法合并，直接
保留原式，运算结束统一整理书写。
1．（21-22 八年级下·广西河池·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
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A．2
5
7
+
=
B．2
2
2 2
+
=
C．3 2
2
3
−
=
D．2
2 2
2
−
= −
【答案】D
【难度】0.95
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不
变，据此判断各选项即可
【详解】解：A 选项：2 与5 不是同类二次根式，不能合并，A 错误；
B 选项：2 是整数，2 是无理数，不是同类项，不能合并，B 错误；
C 选项：
(
)
3 2
2
3 1
2
2 2
3
−
=
−
=
，C 错误；
D 选项：
(
)
2
2 2
1 2
2
2
−
=
−
= −
，计算正确，D 正确
2．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）5
2 5
+
= ________；
【答案】3 5
【难度】0.95
【知识点】二次根式的加减运算
【详解】解：5
2 5
3 5
+
=
．
3．（21-22 八年级下·江苏泰州·期末）计算：
4
8
2
−
= ________．
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化
【详解】解：原式
4 2
2 2
2 2
2 2
0
2
=
−
=
−
=
．
4．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）计算80
45
−
的结果是_______
【答案】5
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算
【详解】解：80
45
4 5
3 5
5
−
=
−
=
．
5．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算2 18
32
−
的结果是________．
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【答案】2 2
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：2 18
32
2 3 2
4 2
6 2
4 2
2 2
−
=
−
=
−
=
．
6．（23-24 八年级下·广西柳州·期中）计算：8
1
2
+ −
．
【答案】3 2
1
−
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】先化简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式．
【详解】解：8
1
2
+ −
(
)
2 2
2 1
=
+
−
2 2
2 1
=
+
−
3 2 1
=
−．
7．（25-26 八年级下·吉林·期末）计算：18
2
8
2
+
−
+
．
【答案】3 2
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、化为最简二次根式
【详解】解：原式
3 2
2
2 2
2
3 2
=
+
−
+
=
．
8．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）计算：
(
)
8
2 3
27
2
+
−
−
．
【答案】3 2
3
−
【难度】0.7
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的混合运算，性质解答即可；
【详解】解：原式
2 2
2 3
3 3
2
3 2
3
=
+
−
+
=
−
；
9．（25-26 八年级下·福建·期末）计算：
1
1
5
2
20
2
−
−
+
−
；
【答案】
5
−
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【难度】0.7
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂
【分析】先化简绝对值和二次根式，计算负整数指数幂运算，再进行加减运算即可求解．
【详解】解：
1
1
5
2
20
2
−
−
+
−
5
2
2
2 5
=
−
+
−
5
= −
．
10．（25-26 八年级下·青海西宁·期末）计算：
1
48
6
2 27
3
−
+
【答案】8 3
【难度】0.65
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【详解】解：原式
3
4 3
6
2 3 3
3
=
−
+
4 3
2 3
6 3
=
-
+
8 3
=
．
重难点三、二次根式的混合运算
混合运算遵循整式运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号
内。乘法分配律、平方差、完全平方公式均可套用简化计算；每一步及时化简根式，合并
同类根式，减少后续计算量，最后化为最简形式。
1．（25-26 八年级下·北京·期末）计算：(
)
(
)
0
2
2026
2
8
2
−
−
−
+
+
．
【答案】3
2
−
【难度】0.85
【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算
【详解】解：(
)
(
)
0
2
2026
2
8
2
−
−
−
+
+
1
2
2 2
2
= +
−
+
3
2
= −
．
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2．（25-26 八年级下·安徽亳州·期末）计算：6
2
6
2
−
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的混合运算
【详解】解：6
2
6
2
−
2 3
3
=
−
3
=
．
3．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）计算：
(
)
2
6
3
18
4
+
−
−
【答案】4 2
4
−
【难度】0.85
【知识点】二次根式的混合运算
【详解】解：
(
)
2
6
3
18
4
+
−
−
2
3 2
4
=
+
−
4 2
4
=
−．
4．（25-26 八年级下·广东珠海·期末）计算：
(1) 18
32
2
−
+
；
(2)(
)(
)
3
2 2
3 2 2
+
−
【答案】(1)0
(2)1
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算
【详解】（1）解：原式
3 2
4 2
2
=
−
+
0
=
（2）解：原式
9 8
= −
1
=
5．（25-26 八年级下·河北保定·期末）计算：
(1)
1
12
18
3
8
3
−
+
+
(2)
(
)
2
1
24
3
18
2
1
2
−
+
+
【答案】(1)3 3
2
−
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(2)4 2
【难度】0.85
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算
【详解】（1）解：
1
12
18
3
8
3
−
+
+
2 3
3 2
3
2 2
=
−
+
+
3 3
2
=
−
；
（2）解：
(
)
2
1
24
3
18
2
1
2
−
+
+
8
9
2
2 2
1
=
−
+
+
+
2 2
3 2
2 2 1
=
−+ +
+
4 2
=
．
6．（2022·陕西商洛·模拟预测）计算：
1
3
1
1
3
2
12
−
−−−
+
．
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、求一个数的立方根
【分析】先计算立方根、绝对值、负整数指数幂、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出结
果．
【详解】解：
1
3
1
1
3
2
12
−
−−−
+
1
1
3 1
2 3
2
= −−
+ +
1
3 1
3
= −−
+ +
0
=
．
7．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）计算：
(1)
1
27
48
8
+
−
；
(2)(
)
(
) (
)
2
5
2
7
3
7
3
+
−
+
−
．
【答案】(1)
2
3
4 −
(2)11 4 5
+
【难度】0.65
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【知识点】二次根式的加减运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的
混合运算
【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可；
（2）根据完全平方公式及平方差公式将原式展开，再进行加减运算．
【详解】（1）解：
1
27
48
8
+
−
2
3 3
4 3
4
=
+
−
2
3
4
=
−
；
（2）解：(
)
(
) (
)
2
5
2
7
3
7
3
+
−
+
−
(
)
2
2
5
4 5
4
7
3
=
+
+
−
−
9
4 5
7
9
=
+
−+
11
4 5
=
+
．
重难点四、分母有理化
分母有理化分两种题型：分母为单项根式，分子分母同乘分母根式；分母为
根式加减式，利用平方差公式，分子分母同乘共轭根式消去根号。计算后约分，保证分母
为整数，全程留意被开方数非负的取值限制。
1．（22-23 八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：0.5 = ________．
【答案】
2
2
【难度】0.83
【知识点】分母有理化、利用二次根式的性质化简
【详解】解：
1
2
0.5
2
2
=
=
．
2．（25-26 八年级下·江苏南京·期末）计算
4
2 的结果是______．
【答案】2 2
【难度】0.85
【知识点】分母有理化
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【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果．
【详解】解：4
4
2
4 2
2 2
2
2
2
2
=
=
=
．
3．（2022·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）1
3 分母有理化后的结果是______
【答案】
3
3
【难度】0.85
【知识点】分母有理化、化为最简二次根式
【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可．
【详解】解：给1
3 的分子分母同时乘以3 ，
可得1
3
3
3
3
3
=
．
4．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知
3
2
x =
−
，则1
x =________．
【答案】
3
2
+
【难度】0.85
【知识点】分母有理化
【详解】解：∵
3
2
x =
−
，
∴
(
) (
)
1
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
x
+
+
=
=
=
=
+
−
−
−
+
．
5．（22-23 八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）分母有理化：（1）1
2
= ______；（2）
1
2
1
=
−
_______
【答案】
2
2
2
1
+
【难度】0.85
【知识点】分母有理化
【详解】解：（1）1
2
2
2
2
2
2
=
=
；
（2）
(
) (
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+
+
=
=
=
+
−
−
+
−
．
6．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）计算：1
2
= _______．
【答案】
2
2
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【难度】0.95
【知识点】分母有理化
【分析】利用分母有理化，解答即可；
【详解】解：1
1
2
2
2
2
2
2
=
=
；
7．（25-26 八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他们是这样解答的：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
(
)
2
2
3
a
−
=
即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)
1
3
2
=
+
____________．
(2)化简：
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
120
119
121
120
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
．
(3)若
1
10
3
a =
−
，求
2
6
11
a
a
−
+
的值．
【答案】(1) 3
2
−
(2)10
(3)12
【难度】0.51
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、已知字母的值，化简求值
【分析】（1）进行分母有理化即可；
（2）分母有理化后求和即可；
（3）把a 分母有理化，变形后代入计算即可．
【详解】（1）解：
(
)(
)
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
（2）解：原式
2
1
3
2
4
3
121
120
=
−+
−
+
−
+
+
−
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121 1
=
−
11 1
=
−
10
=
（3）解：
1
10
3
10
3
a =
=
+
−
，
0
3
1
a
−=
，
(
)
2
3
10
a
−
=
，
2
6
11
a
a
−
+
(
)
2
3
2
a
=
−
+
10
2
=
+
12
=
．
8．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方．如：
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
2 2
2 1
2 2 1
2
2
2
1
1
2
1
+
=
+
+
=
+
+
=
+
，
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
5
2 6
3
2
2 3 2
3
2
3
2
2
3
2
−
=
+
−
=
−
+
=
−
．
(1)类比归纳：①将含根号的式子5
2 6
+
直接写成另一个式子的平方的形式： ；
②7
2 10
+
的算术平方根是： ；
(2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子
2
a
b
的化简，如果我们找到两个正数m ，
(
)
n m
n
，使a
m
n
=
+
，b
mn
=
，即
(
)
(
)
2
2
a
m
n
=
+
，b
m
n
=
，那么便有：
2
a
b
= ；（用
含m ，n 的式子直接写出结果）
(3)迁移应用：如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DEFG ，BMFN ，若这两个小正方形的
面积分别为
(
)
2
19
4 21 cm
DEFG
S
=
−
正方形
，
2
7 cm
BMFN
S
=
正方形
，求剩余部分的面积（矩形AEFN 与矩形
CGFM 的面积和）．
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【答案】(1)①(
)
2
3
2
+
；②
2
5
+
(2)
m
n
(3)剩余部分的面积为(
)
2
4 21 14 cm
−
【难度】0.48
【知识点】求一个数的算术平方根、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、复合二次根式
的化简
【分析】（1）利用完全平方公式
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方
数之和与二倍积的形式．
（2）将第(1)题的方法一般化：若a
m
n
=
+
，b
mn
=
，则
2
2
(
)
a
b
m
n
=
．
（3）先利用第（2）题的结论化简正方形DEFG 的边长，再由两个小正方形共用顶点F 且恰好拼满大正
方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积．
【详解】（1）解：① 5
2 6
3
2
2 3 2
+
= + +
，
2
2
( 3)
2
3
2
( 2)
=
+
+
，
2
( 3
2)
=
+
．
解：② 7
2 10
5
2
2 5 2
+
= + +
，
2
2
( 5)
2
5
2
( 2)
=
+
+
，
2
( 5
2)
=
+
，
5
2
0
+
，
7
2 10
+
的算术平方根为5
2
+
．
（2）解： a
m
n
=
+
，b
mn
=
，
2
2
a
b
m
n
mn
=
+
，
2
2
(
)
2
(
)
m
m
n
n
=
+
，
2
(
)
m
n
=
，
2
a
b
m
n
=
．
（3）解：设正方形DEFG 的边长为p ，正方形BMFN 的边长为q ．
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19
4 21
DEFG
S
=
−
正方形
，
2
19
4 21
p =
−
．
化简
19
4 21
p =
−
：
19
4 21
12
7
2 12 7
−
=
+ −
，
2
2
( 12)
2 12
7
( 7)
=
−
+
，
2
( 12
7)
=
−
，
2
(2 3
7)
=
−
，
2 3
12
7
=
，即2 3
7
0
−
，
2 3
7
p =
−
．
7
BMFN
S
=
正方形
，
7
q =
．
由图形可知，两个小正方形共用顶点F ，分别位于大正方形的两个对角处，
大正方形ABCD的边长
2 3
7
7
2 3
s
p
q
=
+
=
−
+
=
，
2
2
(2 3)
12
ABCD
S
s
=
=
=
正方形
．
矩形AEFN 和矩形CGFM 的面积之和：
ABCD
DEFG
BMFN
S
S
S
S
=
−
−
正方形
正方形
正方形
，
12
(19
4 21)
7
=
−
−
−
，
12 19
4 21 7
=
−
+
−
，
4 21 14
=
−
．
剩余部分（矩形AEFN 和矩形CGFM ）的面积之和为
2
(4 21 14)cm
−
．
9．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分
母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：
3
3
5
15
5
5
5
5
=
=
，
(
)
(
)(
)
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
=
−
+
+
−
，
其中5 、
2 1
−叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，
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即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：
(
)(
)
3
2
3
2
1
3
2
3
2
3
2
−
+
−
=
=
+
+
．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．
例如：比较2
3
−
和3
2
−
的大小．
解：
1
2
3
2
3
−
=
+
，
1
3
2
3
2
−
=
+
，
2
3
3
2
+
+
，
2
3
3
2
−
−
．
(1)将二次根式5
3
−
进行“分子有理化”；
(2)比较14
13
−
和13
2 3
−
的大小．
【答案】(1)
2
5
3
+
(2) 14
13
13
2 3
−
−
【难度】0.52
【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化
【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可；
（2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论．
【详解】（1）解：
(
)(
)
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
−
+
−
=
=
+
+
；
（2）解：由题意得，
1
14
13
14
13
−
=
+
，
1
13
2 3
13
2 3
−
=
+
，
14
12, 12
2 3
=
，
14
13
13
2 3
+
+
，
14
13
13
2 3
−
−
．
10．（25-26 七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
3
5 ，
2
3
1
+ ，这样一
类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3
3
5
3 5
5
5
5
5
=
=
，
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(
)
(
) (
)
(
)
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3 1
3
1
3
1
3
1
−
−
=
=
=
−
−
+
+
−
，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)仿照上面的解题过程，化简：2
3
=__________，
1
7
6
=
−
__________；
(2)已知
1
5
2
a =
+
，
1
5
2
b =
−
，求
2
2
a
b
+
的值；
(3)解关于x 的方程：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+
．
【答案】(1) 2 3
3
，7
6
+
(2)18
(3)
101 1
100
x
+
=
【难度】0.59
【知识点】分母有理化、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可；
（2）先对a 、b 分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可；
（3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可．
【详解】（1）解：2
2
3
2 3
3
3
3
3
=
=
；
(
)(
)
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
+
+
=
=
=
+
−
−
−
+
；
（2）解：
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
(
)
(
) (
)
1
5
2
1
5
2
5
2
5
2
5
2
b
+
=
=
=
+
−
−
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
5
2
5
4 5
4
5
4 5
4
18
a
b
+
=
−
+
+
=
−
+
+ +
+
=
；
（3）解：
2
2
2
2
1
1
3
3
5
5
7
99
101
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
+
，
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
2
3
1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
1
3
3
1
3
5
5
3
5
7
7
5
99
101
101
99
x
x
x
x
−
−
−
−
+
+
+
+
=
+
−
+
−
+
−
+
−
，
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 1
2
5
3
2
7
5
2
101
99
1
3 1
5
3
7
5
101 99
x
x
x
x
−
−
−
−
+
+
+
+
=
−
−
−
−
，
(
)
(
)
(
)
(
)
3 1
5
3
7
5
101
99
1
x
x
x
x
−
+
−
+
−
+
+
−
=
，
(
)
101 1
1
x
−
= ，
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解得：
(
)(
)
1
101 1
101 1
100
101 1
101 1
101 1
x
+
+
=
=
=
−
−
+
．
11．（25-26 八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将(
)
a
b
+
与(
)
a
b
−
称为一对“对偶式”．因为
(
)(
) (
)
(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
−
=
−
=
−，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知18
11
1
x
x
−
−
−
= ，求18
11
x
x
−
+
−
的值，可以这样解答：
因为
(
)(
) (
)
(
)
2
2
18
11
18
11
18
11
18
11
7
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
=
+
=
，
所以18
11
7
x
x
−
+
−
=
．
请你根据上面材料提供的方法解决下列问题：
(1)已知：
20
4
8
x
x
−
+
−
= ，求
20
4
x
x
−
−
−
的值；
(2)计算：
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
98
99
99
100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
．
【答案】(1)2
(2)9
【难度】0.52
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即
可求出结果；
（2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果．
【详解】（1）解：设
20
4
A
x
x
=
−
+
−
，
20
4
B
x
x
=
−
−
−
，
则
( 20
4
)( 20
4
)
A B
x
x
x
x
=
−
+
−
−
−
−
即
(
)
2
2)
2
6
(
)
0
4
20
1
( 4
x
x
A B
x
x
=
−−
=
−
−
=
−
−
，
已知
8
A = ，
所以
16
16
2
8
B
A
=
=
=
，
即
20
4
2
x
x
−
−
−
=
；
（2）解：原式
( 2
1)
( 3
2)
( 4
3)
( 99
98)
( 100
99)
=
−
+
−
+
−
+
+
−
+
−
1
100
= −+
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1 10
= −+
9
=
．
12．（24-25 八年级上·山东青岛·阶段检测）观察下列计算：
(
)
(
)(
)
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
=
−
+
+
−
，
(
)
(
)(
)
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
，
(
)
(
)(
)
4
3
1
4
3
2
3
4
3
4
3
4
3
−
=
=
−
=
−
+
+
−
，…
(1)
1
11
10
=
+
______；
1
101
100
=
+
______．
(2)用含n 的代数式表示你所发现的规律；
(3)利用这一规律计算：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2023
2022
+
+
+
+
+
+
+
+
…
．
【答案】(1)
11
10
−
；101 10
−
(2)
当n 为正整数时，
1
1
1
n
n
n
n
=
+ −
+ +
(3)
2023 1
−
【难度】0.47
【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可；
（2）根据题干中提供的信息进行解答即可；
（3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
1
11
10
+
(
)(
)
11
10
11
10
11
10
−
=
+
−
11
10
=
−
；
1
101
100
+
(
)(
)
101
100
101
100
101
100
−
=
+
−
101
100
=
−
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101 10
=
−
；
（2）解：
(
)
(
)(
)
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
=
−
+
+
−
，
(
)
(
)(
)
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
−
=
=
−
+
+
−
，
(
)
(
)(
)
4
3
1
4
3
2
3
4
3
4
3
4
3
−
=
=
−
=
−
+
+
−
，
…
1
1
1
n
n
n
n
=
+ −
+ +
．
（3）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
2023
2022
+
+
++
+
+
+
+
2
1
3
2
4
3
2023
2022
=
−+
−
+
−
++
−
2023 1
=
−．
