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重难点专题05 综合运用
模块一、二次根式的运用
重难点一、已知字母的值，化简求值
解题先化简后代入，切勿直接代值硬算。先依据根式性质、乘法公式化简代
数式，消去同类根式、完成分母有理化；再代入字母数值计算，计算时优先开方约分，时
刻留意被开方数非负，避免出现无意义根式，大幅降低计算出错率。
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知
5
2
x =
−，则代数式
2
2
x
x
+
的值为（ ）
A．5
2 5
−
B．5
2 5
+
C．5
10
−
D．5
10
+
2．（25-26 八年级下·广东汕尾·期末）已知
1
5
x = +
，则代数式
2
2
6
x
x
−
−的值是（ ）
A．2
−
B．10
−
C．2 5
−
D．2 5
3．（22-23 八年级下·云南昭通·阶段检测）若
2023 1
x =
+ ，则代数式
2
2
1
x
x
−
+ 的值是（ ）
A．2022
B．-2022
C．2023
D．-2023
4．（25-26 八年级下·北京大兴·期末）计算：已知
5
2
x =
+ ，求
2
4
5
x
x
−
+ 的值．
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5．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）已知
2
3
a =
+
，求
2
4
4
a
a
−
+
的值．
6．（22-23 八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）已知：
3
1
x =
+ ，
3
1
y =
−，求代数式2xy 的值．
7．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知：a ，b 满足3
2
6
0
a
b
−
+
−
=
，先化简，再求值
3
1
1
27ab
a
b
a
b
+
−
．
8．（25-26 八年级下·山东德州·期末）已知
5
7
m = +
，
5
7
n = −
．
(1)求
2
2
m
mn
n
−
+
的值；
(2)若m 的整数部分是a ，n 的小数部分是b ，求a
b
+
的值．
9．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）化简求值：(
)(
) (
)(
)
6
6
5
5
x
x
x
x
+
−
+
+
−
，其中
2026
2025
x =
−
．
10．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）若
5
2
x =
+ ，
5
2
y =
−
，求
2
2
3
x
xy
y
+
+
的值．
11．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，A，B 两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面
上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号并乘以2 后与未抽中卡片上的整式相加，并将结
果化简得到整式C．
(1)若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当
1
2
2
x =
−
时，求整式C 的值．
(2)若无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
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12．（25-26 八年级下·辽宁大连·期中）在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题：
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值，他是这样解答的：
∵
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
∴
2
3
a −
= −
，
∴(
)
2
2
2
3,
4
4
3
a
a
a
−
=
−
+
=
，
∴
2
4
1
a
a
−
= −，
∴
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
−
+ =
−
+ =
−
+ =
．
请你根据小宇的解题过程，解决如下问题：
(1)
1
3
2
=
+
；
(2)化简：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
196
195
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
10
3
a =
−
，求
4
3
6
6
5
a
a
a
−
−
+
的值．
13．（25-26 八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料：
问题：已知
5
2
x =
+
，求代数式
2
4
7
x
x
−
−
的值．
小明根据二次根式的性质：(
)
2
a
a
＝，联想到了以下的解题方法：
由
5
2
x =
+ 得
2
5
x −
=
，则(
)
2
2
5
x −
=
，即
2
4
4
5
x
x
−
+
=
，∴
2
4
1
x
x
−
= ，把
2
4
x
x
−
作为整体，得：
2
4
7
1 7
6
x
x
−
−
= −
= −
请回答下列问题：
(1)已知
6
2
x =
−，求代数式
2
4
4
x
x
+
+
的值．
(2)已知
3 2 2
x = +
，求代数式
2
6
25
x
x
−
+
的值．
(3)已知
5
1
2
x
−
=
，求代数式
4
3
2
2
2025
x
x
x
+
+
+
的值．
重难点二、已知条件式，化简求值
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这类题核心是整体代换。先整理已知等式，变形得出含字母的整体代数式，
再化简所求式子，拆分出该整体；无需单独求解字母，直接整体代入计算。全程化简根
式，合并同类二次根式，注意隐藏取值范围，防止开方符号出错。
1．（25-26 八年级下·广东汕头·期中）已知
2
(
2)
1
0
a
b
−
+
−=
，则a
b = ______．
2．（25-26 八年级下·四川广元·期中）已知
1
1
1
5
2
y
x
x
=
−+
−
+
，则
x
y−的值为______．
3．（25-26 八年级下·全国·课后作业）已知
1
4
x
x
+
= ，则
1
x
x
+
= _________．
4．（25-26 八年级上·江西九江·阶段检测）已知
3
m
n
+
= ，
2
mn =
，则
n
m
m
n
+
的值为______．
5．（25-26 八年级下·河南开封·阶段检测）若x 表示10 的整数部分，y 表示它的小数部分，求
(
)
10
x y
+
的值．
6．（25-26 八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N 满足
·
M N
t
= ，其中t 是有理
数，则称M 与N 是互为“t 相关代数式”．
(1)若M 与3 是互为“6 相关代数式”，则M = ；
(2)若其中
5
M
a
=
−
（a 是有理数），
8
2 5
N = +
，且M 与N 是互为“t 相关代数式”，求a 和t 的值．
7．（25-26 八年级下·全国·单元测试）已知
5
x
y
+
= −，
4
xy =
，求
y
x
x
y
+
的值．
8．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，
我们将“ a
b
+
”和“
a
b
−
”称为一对“对偶式”，如(
)(
)
3
2
3
2
1
+
−
= ，像这样构造“对偶式”可以将
根号去掉，从而进行根式的化简．
(1) 5
2
−
的“对偶式”为__________；
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(2)化简：
2
7
5
−
；
(3)已知15
8
1
x
x
−
−
−
= ，求15
8
x
x
−
+
−
的值．
9．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知5
2
1
x
x
−
−
−
= ，求5
2
x
x
−
+
−
的值．
小明同学是这样解答的：
(
)(
) (
)
(
)
2
2
5
2
5
2
5
2
5
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
+
=
，
又
5
2
1
x
x
−
−
−
=
，
5
2
3
x
x
−
+
−
=
．
这种方法称为“构造对偶式”．
已知6
3
1
x
x
−
−
−
= ，解答问题：
(1)求6
3
x
x
−
+
−
的值；
(2)求x 的值．
10．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知
1
2
1
a
，求
2
2
4
1
a
a
−
+ 的值．他是这样
分析与解的：
(
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a
+
=
=
=
+
−
−
+
∴
1
2
a−=
，
∴(
)
2
1
2
a −
=
，
∴
2
2
1
2
a
a
−
+ =
，
∴
2
2
1
a
a
−
= ，
∴
(
)
2
2
2
4
1
2
2
1
2 1 1
3
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
+ = ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：
1
1
1
.....
3
1
5
3
99
97
+
+
+
+
+
+
(2)若
1
5
2
a =
+
．
①求
2
3
12
5
a
a
+
−
的值．
②直接写出代数式的值
3
2
2
9
1
a
a
a
+
−
−= ；
2
1
3
13
2026
a
a
a
+
−
+
= ．
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11．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）定义：因为(
)(
)
a
b
a
b
c
+
−
=
，c 是有理数，所以称
a
b
+
与
a
b
−
是关于c 的“美好数”．
例如：(
)(
) (
)
(
)
2
2
5
3
5
3
5
3
2
+
−
=
−
=
，则称5
3
+
与5
3
−
是关于2 的“美好数”．当已知
5
3
+
与m 是关于2 的“美好数”，求m 的值时，可用
(
)
(
)(
)
(
)
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
5
3
5
3
m
−
−
=
=
=
=
−
+
+
−
来得到．
(1)
2
1
+ 关于1 的“美好数”是__________；
(2)若y 是5
1
+ 关于4 的“美好数”，求
2
2
2026
y
y
+
+
的值；
(3)化简：
1
1
1
3
1
5
3
81
79
+
+
+
+
+
+
．
12．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）小明在解决问题：已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他是这样
分析与解的：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
2
(
2)
3
a
−
= ，
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出
1
1
n
n
=
+ +
________；
(2)化简
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
37
6
a =
−
，请按照小明的方法求出
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
13．（25-26 八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用
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的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较4 与
3的大小：解：
4
与3都为正数，且 1
1
4
3
，
4
3
（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我
们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较4 与3的大小：
解：
4
与3都为正数，且
2
2
4
3
，
4
3
（两个正数比较大小，平方大的数就大）
【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式
时：
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
1
5
3
1
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
5
3
−
−
−
=
=
=
+
+
−
−
；这里运用了平方差公式，使得这些无理数
通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题：
(1)化简∶
1
7
3
=
+
；
(2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小．
11
7
−
①
与9
5
−
；
23
2
+
②
与
22
3
+
；
(3)已知
2
2
2
2
1
2
1
6
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
−
−
=
+
+
−
，求a 、b 的值．
重难点三、比较二次根式的大小
常用三种简便方法：平方法，正数根式分别平方，平方值大则原式大；移因
数入根号法，把根号外系数平方移入根号，直接对比被开方数；作差法，两式相减，根据
差值正负判断大小。负根式比较需反向判断，做题优先选平方、移项法，步骤更简洁。
1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： 2 3 3 2
，其中所填的符号是（ ）
A．
B．=
C．
D．无法确定
2．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）比较大小： 2 7 _______5 2 (填“”“”或“= ”)
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3．（25-26 八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1 小于3 的最简二次根式________．
4．（25-26 八年级下·广东广州·期中）比较大小：2 _______ 5 ，3 _______2，
17
−
_______ 3 2
−
．
5．（25-26 八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：
1
3 3 ________
1
4 4
（选填“＞”或“＜”）
55．（2026·河北唐山·一模）已知
(
)
23
10
2
p =
+ −
，
12
q =
．
(1)求p，并化简q；
(2)比较p 和q 的大小，并说明理由．
6．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式：
(
)(
)
2 1
2
1
1
−
+
= ；(
)(
)
3
2
3
2
1
−
+
= ；(
)(
)
2
3
2
3
1
−
+
= ．
【发现问题】
(1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n 个等式，并证明该等式成立；
【理解应用】
(2)任务二：比较
1
10
3
+
与10
3.1
−
的大小．
7．（25-26 八年级下·山东德州·期末）已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．小明是这样解答的：
解：因为
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，所以
2
3
a −
= −
所以(
)
2
2
3
a −
=
，即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，所以
2
4
1
a
a
−
= −
所以
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：
1
2
1
=
+
_______________；
(2)比较大小：100
99
−
_______________ 99
98
−
（填“”，“”或“ = ”）
(3)若
1
3
2 3
a =
+
，求
2
3
18
1
a
a
−
+ 的值．
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8．（25-26 八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践
小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果0
a
b
，那么
a
b
”．
【直观感受】如图1，面积为
2
1cm ，
2
2cm ，，
2
5cm 的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点
均与原点O重合，数轴上标有它们的边长1，
2 ，，5 ．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的
数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小．
(1)【画图探究】请你类比图1，在图2 中画图探究“如果0
a
b
，那么
a
b
”．（★注：这里画图探
究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图）
(2)【应用推理】当
1
n 时，请你用探究得到的结论，求证：
2
2
1
n
n
+ ．
(3)【拓展提升】记
1
2
3
n
S
n
=
+
+
+
+
（n 为正整数，且
2
n
），请你也用探究得到的结论，求
证：
3
1
n
S
n
+ ．
9．（25-26 八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简
2
a
b
，我们尝试找到两个数
m 、n ，使
2
2
m
n
a
+
=
且mn
b
=
，则可将
2
a
b
化为
2
2
2
m
n
mn
+
，即
2
(
)
m
n
，从而使得
2
a
b
化
简．
例如，
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
( 3
2)
+
=
+
+
=
+
+
=
+
（
）（
）
，
所以
2
5
2 6
( 3
2)
3
2
+
=
+
=
+
．
请仿照上例化简下列根式．
(1)
4
2 3
+
=______；
(2) 19
4 15
−
=_______；
(3)计算：
1
1
1
1
1
3
2 2
5
2 6
7
2 12
9
2 20
4051 2 2025 2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
．
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(4)比较(
)
2023
2022
−
与(
)
2024
2023
−
的大小，并说明理由．
重难点四、二次根式的应用
解题分三步：审题提取等量关系，用含二次根式的式子表示数量；结合几
何、行程、面积公式列式；完整化简计算，结果化为最简根式。几何类题型常结合勾股定
理，计算长度时注意线段为正数，最后结合题意检验结果是否符合现实场景。
1．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．在ABC
中，
A
，
B
，
C
所对的边
分别为a ，b ，c ，若
12
a =
，
6
b =
，
10
c =
，则ABC
的面积为（ ）
A．8 14
B．8 15
C．28
D．32
2．（25-26 八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知
1
2
OA A
是等腰直角三角形，
1
90
A
=
，依次以点
(
)
2,3,4,5,
n
A
n =
为直角顶点作等腰
1
Rt
n
n
OA A +
△
，若
1
1
OA = ，则
8
9
OA A
△
的周长为（ ）
A．8 8 2
+
B．16 8 2
+
C．16 16 2
+
D．20
16 2
+
3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出
了已知三角形三边a，b，c 求面积的公式
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
+
−
=
−
．如图，在ABC
中，
AD
BC
⊥
，若
5
AB
c
=
=
，
6
BC
a
=
=
，
7
AC
b
=
=
，则AD的长为（ ）
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A．
37
3
B．
38
3
C．
39
3
D．2 10
3
4．（25-26 八年级下·江苏常州·期末）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦
高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度
m
h
与所需的时间
s
t 满足关系式
5
h
t =
，如果1 个鸡蛋从离地面60 m 的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是
_________s ．
5．（25-26 八年级下·广东广州·期末）正方形的边长为a ，它的面积与一个长为12、宽为4 的长方形的面
积相等，则a 的值为________．
6．（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用
三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三
边长分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．若ABC
的三边
长分别为5，6，7，则ABC
的面积为______．
7．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（米）
与其起跳速度v（米/秒）之间满足
2
2
v
h
g
=
（其中
10
g =
米/秒2 ）．若某运动员在训练中要使起跳后身体
重心提高4 米，则其起跳时的速度应为________米/秒．（结果化为最简）
8．（25-26 八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式：①
1
2
1
3
3
3
+
=
；②
1
3
2
4
4
4
+
=
；③
1
4
3
5
5
5
+
=
，…请用含(
)
1
n n
的式子写出你猜想的规律：_________．
9．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收
到电视节目信号的区域就越广．已知广播电视塔的高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单
位：km）之间存在近似关系
2
r
Rh
=
，其中R 是地球半径，
6400km
R
．已知某地电视塔的高约为
600m，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径．（结果保留最简二次根式）
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10．（25-26 八年级下·河北廊坊·期中）已知边长分别为(
)
5
3 m
+
，(
)
5
3 m
−
的两个正方形的面积分
别为
1S ，
2
S ．
(1)求
1
2
S
S
+
的值；
(2)求这两个正方形的周长之和．
11．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）我们规定用(
)
,a b 表示一对数对，其中
0
a
，
0
b
．给出如下定
义：记
1
m
a
=
，n
b
=
，将(
)
,
m n 称为数对(
)
,a b 的“衍生数对”．
例如：(
)
4,1 的“衍生数对”为1 ,1
2
；
(1)数对(
)
9,3 的“衍生数对”是______；
(2)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
3,3 2 ，求ab 的值；
(3)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
,
m n ，当
1
a 时，比较m
n
+
和mn 的大小关系，并说明理由．
12．（25-26 八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践．
【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘．
【探究过程】
活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根
都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”．
活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1 的整数．
(1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”．
①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________；
(2)1，4，9 是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”．
(3)结论：若a，b，c 是“漂亮数”，则ka，kb ，kc （
1
k ，且k 是整数）________（填“是”或“不是”）“漂
亮数”，并说明理由．
13．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如
果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：m ）与它的入水速度v（单位：m/s）满足：
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2
20
v
h =
．实验中，测试物体从距离海平面40m的桥面下落．
(1)求该物体的入水速度；（结果保留根号）
(2)若物体的入水速度超过30 m/s会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理
由．（参考数据：2
1.414
）
14．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式
材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50 年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角
形三边长求其面积的海伦公式
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，
2
a
b
c
p
+ +
=
，S为三角形的面积）；
材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
，其中三角形边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积为S．
【解决问题】
(1)已知如图在ABC
中，
10
AB =
，
7
AC =
，
9
BC =
．ABC
的面积______；
(2)当ABC
的三边长分别为
3
a = ，
7
b =
，
10
c =
时，这个三角形的面积为________；
(3)在（1）基础上，设AB 边上的高为
1h ，BC 边上的高为
2h ，AC 边上的高为
3h ，求
1
2
3
h
h
h
+
+
的值．
15．（22-23 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，一条河流的BD段长为12km，在B 点的正北方4km处
有一村庄A，在D 点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C 到A 村和E 村的距
离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥C 建在何处时，可以使得桥C 到A 村和E 村的距离和最小？请在图中画出此时C 点的位置；
(2)小明发现：设BC
x
=
，则
12
CD
x
=
−，则
(
)
2
2
2
2
4
12
2
AC
CE
x
x
+
=
+
+
−
+
，根据（1）中的结论可以
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求
(
)
2
2
2
2
4
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值，并求出最小值．
16．（25-26 八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】
小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：1
1
1
1 2
2
= −
，
1
1
1
2 3
2
3
=
−
，1
1
1
3 4
3
4
=
−
，在学
习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规
律，请将探究过程补充完整：
特例1：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
2
+
+
= +
= + −
，
特例2：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
2
3
+
+
= +
= +
−
，
特例3：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3 4
3
4
+
+
= +
= +
−
．
【发现规律】
(1)
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
+
+
=
+
________（
1
n ，且n 为整数）．
【应用规律】
(2)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2025
2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
_______
(3)如果
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
6
1
n
n−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
（
5
n
，且n 为整数）的小数部分是0.125，求出
它的整数部分．
模块二、实数的运用
重难点一、实数的混合运算
实数混合运算遵循 “先乘方开方，再乘除，最后加减，括号优先”。根
式、整式、分数统一规范计算，能套用平方差、完全平方公式优先简化；每一步及时化简
二次根式，合并同类根式，分母有理化同步完成，分步演算减少跳步，规避符号与计算失
误。
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1．（21-22 九年级下·云南曲靖·期中）计算：(
)
1
0
1
π
3
2
−
−
+
=
______．
2．（25-26 七年级下·安徽安庆·期末）计算：(
)
2026
3
1
4
8
2
2
−
+
−
+
+
．
3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）计算：
(
)
2
0
1
36
2026
π
3
−
−
−
+
．
4．（25-26 七年级下·云南文山·期末）计算：
2026
3
1
8
2
16
−
+
−−−+
．
5．（25-26 七年级下·吉林·期末）计算：(
)
(
)
2
2
3
1
2
27
2
9
−
+
−
−
+
−
6．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）计算：
(1)
4
0
2
1
( 1)
(3.14
π)
(
)
3
−
−
−
−
+ −
(2)
2 3
2
4
12
6
(2
)
7
a
a
a
a
a
−
+
(3)学校理化实验中心有一块长方形场地如图所示，长为
5
a
b
+
，宽为a
b
+
，准备在场地中划出两个边长
为a
b
−
的正方形区域存放备用实验器材，剩下的阴影区域作为实操实验区．
①用含a 、b 的代数式表示实操实验区的面积；
②若
15
a =
米，
5
b =
米，求实操实验区的面积．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：
(
)
2
2
0
2
1
1
2
2026
5
2
3
−
−
+ −
+
−
．
8．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）计算
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(1)(
)
(
)
1
0
2
1
π
2026
2
3
−
−
+
−
−
；
(2)(
)(
)
2
1
2
1
12
3
+
−
+
重难点二、新定义实数的混合运算下的实数运算
解题关键是读懂题干自定义运算法则，把陌生符号转化为熟悉的实数运算
式。先拆解运算顺序，区分前后数字对应关系，再代入根式、整数列式；按实数运算法则
逐步化简，合并同类二次根式，计算完成后代回定义验证，防止混淆自定义运算的前后项
顺序。
1．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）规定新运算：*
2
a b
a
b
=
+
，则(
)
3 *5
−
等于（ ）
A．1
B．3
C．1
−
D．3
−
2．（25-26 七年级下·广西玉林·期末）十六世纪的数学家试图求解方程
2
1
0
x + =
时，陷入了困境．在实数
范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家
们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：2i
1
= −，其中i 是虚数单位，如
2
2i i
2i
2
=
= −．虚数与实
数结合形成复数，复数的形式为
i
a
b
+
，其中a 叫实部，b 叫虚部，如复数2
3i
+
中，2 是实部，3 是虚
部，那么(
)
1 6i
i
+
的实部为（ ）
A．6
−
B．1
−
C．1
D．6
3．（25-26 七年级下·广东汕头·期末）已知
x 表示不超过x 的最大整数，例如
1.5
1
= ，
0.8
1
−
= −．则
5
3.4
−
＋
的结果为________．
4．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数a 、b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，则4 6
※
的结果的立方根为______．
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5．（25-26 七年级下·宁夏吴忠·期末）定义新运算：对于任意实数a，b，都有
2
2
a
b
a
ab
=
−
，其中等号
右边是通常的减法及乘法运算．如
2
1
1=1
2 1 1=
1
−
−
．请计算
(
)
2
1
−
= ______．
6．（2026·河南周口·二模）进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二
进一就是二进制，为了区分不同基数的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数），例
如：十进制数
3
2
1
2026
2 10
0 10
2 10
6 1
=
+
+
+ ；又如：二进制数(
)2
101
，其中
(
)
2
1
2
101
1 2
0 2
1 1
=
+
+
4
0 1
5
=
+ + = ，把二进制数(
)2
1111
转换成十进制等于_____．
7．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在正实数范围内定义一种新运算“★”：
3
2
m
n
m
n
=
−
★
，
如：
3
2 1
2 2
1
1
=
−
=
★
．请你运用这种计算方式计算式子：18
27 =
★
________．
8．（24-25 七年级下·河北唐山·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆
2
2
b
ab
ab
a
=
+
+ ．
如：1☆
2
3
1 3
2 1 3 1
16
=
+ + =
．
(1)求(
)
2
−
☆3的值；
(2)若
1
2
a +
☆3☆
−
=
1
8
2
，求a 的值；
(3)若2 ☆x
m
=
，1
4 x
☆3
n
=
（其中x 为有理数），试比较m ，n 的大小．
9．（重庆市秀山县2026 年春期期末考试八年级数学试题）对于一个四位自然数M ，如果M 满足各个数
位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，那么称这
个数M 为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记
(
)
11
M
F M =
．例如：
1573
M =
，因为1 7
5 3
8
+
= + =
，所以
1573是一个“吉利数”，
(
)
1573
1573
143
11
F
=
=
．若N 是“吉利数”，请写出一个满足条件的N _____；若一
个四位自然数Q 是“吉利数”，且
( )
8
F Q 为整数，则满足条件的四位自然数Q 的最大值与最小值之差为
______．
10．（25-26 七年级下·湖南湘潭·期末）阅读下面的文字，解答问题．
18 / 26
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新定义：若无理数T 的被开方数T （T 为正整数）满足
(
)
2
2
1
n
T
n
+
（其中n 为正整数），则称无理
数T 的“阳光区间”为(
)
,
1
n n +
；同理规定无理数
T
−
的“阳光区间”为(
)
1,
n
n
−−
−
．例如：因为
2
2
1
2
2
，所以1
2
2
，所以2 的“阳光区间”为(
)
1,2 ，
2
−
的“阳光区间”为(
)
2, 1
−
−
．
请解答下列问题：
(1) 15 的“阳光区间”是_______；
23
−
的“阳光区间”是_______；
(2)若无理数
a
−
（a 为正整数）的“阳光区间”为(
)
3, 2
−
−
，
3
a +
的“阳光区间”为(
)
3,4 ，求a 的值；
(3)实数x ，y ，m 满足关系式：
2
3
3
4
2
2026
2026
x
y
m
x
y
m
x
y
x
y
+
−
+
+
−
=
+
−
+
−
−
，求m 的算术
平方根的“阳光区间”．
11．（26-27 七年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把
m 个物品放入k 个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1；如
果恰好整除，则结果等于商．我们将这个结果记作新运算(
)
,
R m k ．例如：7 3
2
1
=
，因此
(
)
7,3
3
R
=
；6 3
2
=
，因此
(
)
6,3
2
R
=
．
规定：当抽屉数k 固定不变时，
若
(
)
(
)
(
)
,
,
,
R a
b k
R a k
R b k
+
=
+
，则称a 与b 为分配不变数组；
若
(
)
(
)
(
)
,
,
,
R a
b k
R a k
R b k
+
+
，则称a 与b 为分配缩减数组．
(1)直接写出结果：
(
)
23,2
R
= ________，并计算(
)
(
)
18,5
21,5
R
R
+
；
(2)若
4
k =
，请完成下列问题：
①判断19和17 是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程；
②自然数x 满足12
38
x
，若x 和17 构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有_____个．
12．（25-26 七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即
a 表示不超过a 的最大整
数；同时对任意实数a 定义“
a ”为：
a
a
a
=
−
．例如：
1.5
1, 1.5
1.5 1
0.5
=
=
−=
；
(
)
5.1
6,
5.1
5.1
6
0.9
−
−
−
=
−
=
−−
=
．
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(1)计算：
5
=
_____，
3.14
−
= _____；对任意实数x ，直接写出
x 的取值范围_____
(2)对于任意实数x ，定义如下运算：计算
0a
x
=
，当
x 不等于0 时，令
1
1
x
x
=
；之后计算
1
1
a
x
=
，
当
1x
不等于0 时，令
2
1
1
x
x
=
；最后计算
2
2
a
x
=
．我们称“
0
1
2
1
1
a
a
a
+
+
”为实数x 的连分数近似．例如
当
12
7
x =
时，
5
1,
7
x
x
=
=
，因此
0
1
7
1,
5
a
x
=
=
；继续计算得
1
1
2
1,
5
x
x
=
=
，因此
1
2
5
1,
2
a
x
=
=
；最后算
出
2
2
2
a
x
=
=
，从而12
7 的连分数近似为：
1
5
1
1
3
1
2
+
=
+
．
①按上述运算规则，写出当
39
16
x = −
时，它的连分数近似为_____．
②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当
2
x =
时，它的连
分数近似为_____．
（在计算过程中可能会用到下列等式：
1
2
1
2
1
=
+
−
）
重难点三、实数运算的实际应用
先梳理题干实际场景中的数量关系，将长度、面积、造价等现实数值转化为
实数算式，包含开方、根式运算。列式后严格按照实数运算规则化简计算，根式结果化为
最简形式；结合实际意义取舍答案，如长度、数量不能为负数，最终作答贴合题目实际问
题。
1．（25-26 七年级下·福建福州·期中）如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合2 :1；其
中，
0
A 纸的面积为
2
1m ；将
0
A 纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张
1A 纸；再将
1A 纸沿两条长边中点
的连线裁切得两张
2
A 纸…依此类推，得
3
4
5
,
,
A A
A 等等的纸张（如图所示）．若设
4A 纸张的宽为m
x
，则下
列列式正确的是（ ）
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A．2
1
x =
B．
2
2
1
x =
C．
2
1
2
8
x =
D．
2
1
2
16
x =
2．（24-25 八年级上·河南周口·阶段检测）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝
藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的
位置由实数x 决定，且满足方程
3
5
x −
=
．
小明兴奋地说：“我觉得x 的值应该是3
5
+
；”
小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．”
那么小美所说的另一个值是（ ）
A．3
5
−
B．3
5
−+
C．3
5
−−
D．以上都不对
3．（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为
2
8cm ，用这两个小正方
形剪拼成如图2 所示的一个大正方形．
(1)图2 中拼成的大正方形纸片的边长为______cm；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为
3:1且面积为
2
12cm ？请通过计算说明理由．
4．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，
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其下落的时间(s)
t
和高度(
)
m
h
近似满足公式
5
h
t =
（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从80m的高空落到地面的时间；
(2)小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2 倍，她的说法正确吗？请说明理
由；
(3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J ）
10
=
物体质量(
)
kg 高度(m) ．某质量为0.2kg 的小球经
过3s 落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只
需要65J 的能量）
5．（17-18 七年级下·贵州黔西南·阶段检测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设,a b 是有理数，且满足
2
3 2 2
+
= −
a
b
，求
a
b 的值．
解：由题意，得(
)
(
)
3
2
2
0
a
b
−
+
+
=
．
因为,a b 都是有理数，
所以
3,
2
a
b
−
+
也是有理数．
因为2 是无理数，
所以
2
0,
3
0
b
a
+
=
−
=
，即
3,
2
a
b
=
= −，
所以
(
)
3
2
8
a
b = −
= −．
根据阅读材料，解决问题：
设,x y都是有理数，且满足
2
2
5
10
3 5
x
y
y
−
+
=
+
，求x
y
+
的值．
6．（21-22 七年级下·河南濮阳·期中）计算下列各题：
(1)已知2
1
a−的平方根是3
± ，4 是3
1
a
b
+
−的算术平方根，求5a
b
+ 的立方根；
(2)如果(
)
(
)
2
2
1
2
5
a
b
+
−
−
= ，其中a，b 为有理数，求3a 的平方根．
7．（25-26 七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼
在一起，得到的大正方形面积为
2
2 1
，其边长2 就是原边长为1 的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪
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开，便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将
A3 纸沿长边对折、剪开，便成A4 纸，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁
开得到的．
将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长:宽= __________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5 纸的面积是__________平方米．
(2)A4 纸的长:宽= __________．
(3)按照图2 的A 系列纸生成过程，经过探究发现，A 系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比
都相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，
2
1.414, 0.7072
0.841
）
重难点四、与实数运算相关的规律
先观察给出的实数、根式算式，拆分等式左右两边的数字、根号结构，横向
纵向对比，提炼通用规律代数式。用含 n 的式子总结规律后，代入数值验证规律是否成
立；利用推导出的规律快速求解后续算式，运算时同步化简二次根式，简化规律代入后的
计算步骤。
1．（25-26 七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，2 ，3 3 ，－2，5 ，3 6 ，
7
−
，8 ，3 9 ，
10
−
，…．按此规律可推得这一列数中的第2026 个数应是（ ）
A．
2026
B．
2026
−
C．3 2026
D．2026
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2．（24-25 七年级下·山东德州·阶段检测）规律探究设
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1 2
S
= +
+
=
+
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2 3
S
= +
+
=
+
，
2
3
2
2
1
1
1
1
1
3
4
3 4
S
= +
+
=
+
，…，则
1
2
3
24
S
S
S
S
+
+
+
+
的值为
（ ）
A．24
25
B．
24
5
C．
24
24 25
D．
23
2324
3．（25-26 八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：
2
3
4
5
6
7
,
,
,
,
,
,
2
4
8
16
32
64 则第
2026 个数是（ ）
A．
2025
2025
2
B．
2025
2026
2
C．
2026
2026
2
D．
2026
2027
2
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干
和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、
巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙
寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天
干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戊
亥
如果1949年为己丑年，依据上述规律推断，2026年应为（ ）
A．癸亥年
B．丙午年
C．癸酉年
D．甲子年
5．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如4
2
=
；而非完
全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如5
2.236
．除此之外，我
们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表：
a
…
0.2
2
20
200
…
小学
初中
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a
…
0.4472
1.414
4.472
？
…
利用这一规律，计算
200 ________．
6．（25-26 七年级上·北京·期中）对于一个有理数a ，定义其伙伴为
( )
2
1
f a
a
=
−，如：3的伙伴为
( )
3
2 3 1
5
f
=
−=
，即3的伙伴是5；5的伙伴为
( )
5
2 5 1
9
f
=
−=
，即5的伙伴是9；9的伙伴为
( )
9
2 9 1
17
f
=
−=
，……，如此继续下去，一个数的伙伴的伙伴……，构成这个数的伙伴群落．
(1)已知b 是a 的伙伴，则b = ___________；（用含a 的式子表示）
(2)如果一个数的伙伴群落只有一个数，则这个数是___________；
(3)若a ，b ，c 是伙伴群落中连续的三个数（即b 是a 的伙伴，c 是b 的伙伴），用含a 的代数式表示c ；
(4)在（3）的条件下，你认为(
)
(
)
1
2
1
c
b
−
−
−
是一个常数吗？如果是，请你求出这个常数，如果不是，请
说明理由．
7．（18-19 七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式：
等式1：
1
1
1
2
4
2
−
=
；等式2：
1
1
2
3
9
3
−
=
；等式3：
1
1
3
4
16
4
−
=
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4 个等式为 ，第10 个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含n 的式子表示第n 个等式所反映的运算规律为 ．
8．（20-21 八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
+
+
= + −
=
；
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
6
+
+
= +
−
=
；
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
12
+
+
= +
−
=
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)
2
2
1
1
1
4
5
+
+
= __________________；
50
1
49
64
+
= __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：
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2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2020
2021
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
9．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①
31
1
= ；②
3
3
1
2
3
+
=
；③
3
3
3
1
2
3
6
+
+
=
；④
3
3
3
3
1
2
3
4
+
+
+
= __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①
(
)
1
2
2
1
2
2
+
+
=
，②
(
)
1 3
3
1
2
3
2
+
+
+
=
；③
(
)
1 4
4
1 2
3
4
2
+
+
+ +
=
；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
(
)
1
2
3
1
n
n
+
+ +
+
+
+
=
___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①
3
3
3
3
3
1
2
3
99
100
+
+
+
+
+
；
②
3
3
3
3
3
11
12
13
19
20
+
+
+
+
+
．
10．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式：
第1个等式：
1
1
1
2
3
3
+
=
；第2 个等式：
1
1
2
3
4
4
+
=
；第3个等式：
1
1
3
4
5
5
+
=
；第4 个等式：
1
4
6
+
= ________；…
按照上述规律，完成下列问题：
(1)补全第4 个等式：
1
4
6
+
= ________，写出第5个等式：___________________；
(2)写出第n 个等式，并证明．
11．（25-26 七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下列等式：
第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
+
+
= + −
；
第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
+
+
= +
−
；
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
+
+
= +
−
；
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
+
+
= +
−
；
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按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6 个等式： ；
(2)写出第n 个等式： ；（用含n 的等式表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式：
第①式：
2
1
1
1 2
3
1
6
=
=
，
第②式：
2
2
1
1
2
2
3 5
5
6
+
=
=
，
第③式：
2
2
2
1
1
2
3
3 4 7
14
6
+
+
=
=
，
第④式：
2
2
2
2
1
1
2
3
4
4 5 9
30
6
+
+
+
=
=
，
请你思考后解答下列问题：
(3)
2
2
2
2
1
2
3
20
+
+
++
= ；
(4)
2
2
2
2
1
2
3
n
+
+
++
= （用含n 的式子表示）；
(5)计算：
2
2
2
2
2
21
22
23
39
40
+
+
++
+
；
【拓展应用】：
(6)计算：
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
100
1
1
1
1
+
1
2
2
3
3
4
99
100
1
2
0
0
0
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
．
