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专题07 均值不等式
题型一：对均值不等式的理解
题型二：由均值不等式比较大小
题型三：由均值不等式证明不等关系
题型四：利用均值不等式求积的最大值
题型五：利用均值不等式求和的最小值
题型六：利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值
题型七：利用均值不等式求条件等式求最值
题型八：均值不等式中的恒成立问题
题型九：均值不等式的应用
题型一：对均值不等式的理解
1．已知
，那么以下关于式子
的分析判断正确的选项是（ ）
（1）
；
（2）上式当且仅当
即
时，等号成立；
（3）所以当
时，
取得最小值
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
【答案】D
【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解.
【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则，
求和的最小值，需要乘积为定值，而
不为定值，所以（3）错，
故选：D.
2．设
，
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
①
②
③
④
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可
【详解】对于①，因为
，
，所以
，当且仅当
时等号成立，故①错误；
对于②，因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
又
，所以
，则
成立，故②正确；
对于③，
，
当且仅当
即
时等号成立，
因为
，所以
成立，故③正确；
对于④，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故④正确.
故选：C
3．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项.
【详解】对于A，由基本不等式知
，当且仅当
时取得等号，
所以
时，
，故当
时，
为真命题，即A 正确；
对于B，显然
时，有
，故B 错误；
对于C，易知
，当且仅当
时取得等号，
所以当
时，
，命题
时，
为真命题，
故C 正确；
对于D，易知
，当且仅当
时取得等号，
所以当
时，
，命题
时，
为真命题，
故D 正确.
故选：ACD
4．（多选）以下说法正确的有（ ）
A．实数
是
成立的充要条件
B．
对
恒成立
C．命题“
，使得
”的否定是“
，使得
”
D．若
，则
的最小值是8
【答案】BC
【分析】举出反例可得A、D，比较大小可得B，根据否定的定义可得C.
【详解】对A：
，当
，
时符合要求，但此时
，故A 错误；
对B：
，故B 正确；
对C：命题“
，使得
”的否定是“
，使得
”，
故C 正确；
对D：
，若
、
符合要求，但此时
，
故D 错误.
故选：BC.
5．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断ABC 选项，利用特殊值法可判断D 选项.
【详解】对于A 选项， 若
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，A 对；
对于B 选项，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，B 对；
对于C 选项，若
且
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，C 对；
对于D 选项，若
，取
，则
，D 错.
故选：ABC.
题型二：由均值不等式比较大小
6．已知
，
，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立．
故选：A.
7．下列不等式恒成立的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
【答案】D
【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明.
【详解】对于A：取
，
，则
，
，此时
.
故A 错误；
对于B：取
，
，则
，
，此时
.
故B 错误；
对于C：取
，
，则
，
，此时
.
故C 错误；
对于D：因为
，所以
.
故D 正确.
故选：D
8．设
（
、
为互不相等的正实数），
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由基本不等式求得
的范围，由二次函数性质求得
的最大值后可得结论．
【详解】
、
为互不相等的正实数，则
，
所以
，
，
时，
，
所以
．
故选：A．
9．已知P＝a2＋
(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q 的大小关系为（ ）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P≤Q
【答案】C
【分析】由基本不等式可得
，通过配方结合
可得
即可选得答案.
【详解】
，当且仅当
时等号成立，
，当
时等号成立，
所以
.
故选：C
10．若
且
，则
，
，
，
中的最大值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式和作差比较法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，实数
且
，可得
，
，
又由
，
因为
，可得
，所以
，
所以
，所以最大值为
.
故选：C.
11．已知a>1，b>1，记M＝
，N＝
，则M 与N 的大小关系为（ ）
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．不确定
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为
，所以
，当且仅当
取等号，
而
，
故选：A．
题型三：由均值不等式证明不等关系
12．（1）已知
，求函数
的最小值；
（2）若
，
， 证明:
.
【答案】（1）4；（2）证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式计算可得；
（2）利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）
，
，
则
．
当且仅当
，即
时等号成立．
所以函数
的最小值为
．
（2）
，
，
，
即
，当且仅当
时等号成立．
13．（1）已知
，且
，求证，
．
（2）若
，求证：
；
【答案】证明过程见解析
【分析】（1）作差法比较大小；
（2）变形后利用基本不等式证明出结论.
【详解】（1）证明：
，
因为
，且
，所以
，
，
所以
，
故
；
（2）证明：因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
.
14．（1）求函数
的最大值；
（2）已知
，求证：
．
【答案】（1）
；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可；
（2）运用基本不等式进行证明即可.
【详解】（1）令
，
由
，
因为
，所以由
，
当且仅当
时取等号，即
时，函数有最大值
；
（2）因为
，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号.
15．已知
，且
．
(1)若
恒成立，求x 的取值范围；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式求得
的最小值，进而求得
的取值范围.
（2）利用基本不等式证得不等式成立.
【详解】（1）由
，
，
得
．
当且仅当
时，即
时，取等号.
所以
，则
，即
的取值范围是
.
（2）
．
当且仅当
时，即
时，取等号.
16．已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)设函数
的最小值为
，正实数
，
满足
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据绝对值分段讨论
（2）分段讨论后求出
的值，然后利用基本不等式求出
的范围
【详解】（1）由条件可知原不等式可化为
①
，②
，③
，
解①得
；解②得
；解③得
，
所以原不等式的解集为
.
（2）因
，
所以当
时，函数
的最小值为
，于是
，∵a>0，b>0
而
，于是
.
∵
∴
，原不等式得证
题型四：利用均值不等式求积的最大值
17．已知
，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式求最值即可.
【详解】因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
故选：D
18．已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【答案】A
【分析】根据基本不等式，可得答案.
【详解】由于
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时取等号，
即
的最小值为
.
故选：A.
19．已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设可得
，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最大值为
.
故选：B
20．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案.
【详解】由题意可得
，当且仅当
时，等号成立，则
.
故答案为：
.
21．已知
，
，且
，则
的最大值为 .
【答案】8
【分析】应用基本不等式求积的最大值即可.
【详解】因为
，
，且
，所以
，故
，
当且仅当
等号成立，所以
的最大值为8.
故答案为：8
22．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】1
【分析】利用基本不等式可得.
【详解】由
，则
，
当且仅当
时取等号．
故答案为：1
题型五：利用均值不等式求和的最小值
23．
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由题意得
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为
．
故选：D.
24．已知正数m，n 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
．
25．已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．4
D．
【答案】D
【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，则
，所以
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：D
26．已知正数
，
，满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先由基本不等式得到
，再令
，结合对勾函数的单调性可得.
【详解】
，当且仅当
时等号成立，
令
，又
在
上单调递增，所以
.
故答案为：
.
27．已知当
时，代数式
取得最小值，则
．
【答案】36
【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为
，则
，当且仅当
时取等号，
由题有
，
故答案为：
.
28．已知
，
，且
，求
的最小值．
【答案】16
【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可.
【详解】∵
，
，
，
∴
，
当且仅当
，又
，即
，
时，上式取等号．
故当
，
时，
．
题型六：利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值
29．已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求
，当且仅当
时等号成立，化简已知即可求解.
【详解】解：因为
，
又因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
，
即y 的最大值是
.
故选：D.
30．若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因
，则
，
于是得
，当且仅当
，即
时取
“=”，
所以当
时，
有最大值
.
故选：A
31．若
，则
的最小值是 .
【答案】
/
【分析】依题意利用基本不等式计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
故答案为：
32．已知
，且
，则
最大值为 ．
【答案】
【分析】由
且
，可得
，可得
，再将
化为
后
利用基本不等式求解即可．
【详解】解：由
且
，可得
，代入
，
又
，
当且仅当
，即
，
又
，可得
，
时，不等式取等，
即
的最大值为
，
故答案为：
．
33．已知
，则
的最大值是
【答案】
【分析】将函数解析式变形为
，利用基本不等式可求得原函数的最大值.
【详解】
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，因为
，即当
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
34．求解下列各题：
（1）求
的最大值；
（2）求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）8.
【分析】（1）因为
，所以利用均值不等式即可求解；
（2）因为
，所以利用均值不等式即可求解.
【详解】解：（1）因为
，又
，
所以
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
故y 的最大值为
；
（2）由题意，
，
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
故y 的最小值为8.
35．求下列函数的最小值
（1）
；
（2）
.
【答案】（1）3；（2）10.
【分析】（1）化简整理可得
，利用基本不等式，即可求得最小值.
（2）令
，整理可得
，利用基本不等式，即可求得最小值.
【详解】（1）
∵
（当且仅当
，即x=1 时取等号）
的最小值为3；
（2）令
，则
，
当且仅当
即t=3 时取等号
y 的最小值为10
题型七：利用均值不等式求条件等式求最值
36．若
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到
，即可求出
的取值范围，从而求出
的取值范围.
【详解】因为
，
，且
，所以
，
即
，即
，解得
或
（舍去），
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的取值范围为
.
故选：C
37．已知
，
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，由基本不等式，得
，
又
，所以
，
即
，得
，解得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
则
的最小值是
.
故选：C.
38．已知
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，则
，当且仅当
，即
时，取等号．
39．若两个正实数
，
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得
，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数
，
满足
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号.
故答案为：
40．已知x，y 为正实数，
，求
的最大值．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为
，
为正实数，且
，
所以
，
当且仅当
，
，即
，
时，等号成立．
所以
，
故
的最大值为：
.
题型八：均值不等式中的恒成立问题
41．已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数
,
满足
，所以
，
则：
，
当且仅当
时取等号，因为不等式
恒成立，所以
．
故选：B．
42．已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故选：C.
43．已知
，且
，若
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得
的最小值，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】已知
，则
，
因为
4，
当且仅当
时等号成立，由
，解得
.
故
的最小值为4.
因为
恒成立，所以
，解得
，即
.
故选：B
44．若对任意
，
恒成立，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
，换元令
，
．则原问题转化为任意
，
恒成立.变
形，结合基本不等式求最值可解.
【详解】由于
，则令
，
．
则原问题转化为任意
，
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立.
由于
，当且仅当
，即
取最值.
故
，
.
由于
恒成立，
，故a 的最小值为
.
故选：C.
45．（多选）若对于任意
，
恒成立，则实数
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出
的最大值，结合选项可得
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
由任意
，
恒成立， 所以
，
符合条件有
，
，
，故A、C、D 对；
，故B 错；
故选：ACD
46．若对任意正实数a，b；不等式
恒成立，则实数k 的取值范围为 .
【答案】
【分析】变形得
，利用基本不等式求
的最小值，进而解决恒成立问题.
【详解】因为
，
，所以由
，得
，即
恒成立；
由基本不等式得
，当且仅当
，即
时，等号成立；
因此
的最小值为4，则
，解得
或
；
故答案为：
47．若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式
恒成立，则
,
因为
,所以
，当且仅当
取等号，
所以
.
故答案为：
.
题型九：均值不等式的应用
48．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左
盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将
的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾
客，则商店在销售后（ ）
A．黄金少给了
B．黄金刚好
C．黄金多给了
D．与砝码放置顺序有关
【答案】C
【详解】设天平左、右两臂长分别为
，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理
有
，则
．由于
，且
，故
．因此
，即顾客实际所
得黄金大于10 克．
49．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度
（单
位：
）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数
刻画．由此可以判
断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）
A．1h
B．2h
C．3h
D．4h
【答案】C
【分析】利用基本不等式求解最值可得．
【详解】依题意，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h．
故选：C
50．甲、乙两地相距1000 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）
由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度
（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为
720 元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时.
【答案】60
【分析】设汽车速度为
千米/时，依题列出运输成本的表达式，整理后利用基本不等式即可求得全程运输
成本最小时汽车的速度.
【详解】设汽车速度为
千米/时，则运输成本为：
，
由
，
当且仅当
，即
时，运输成本最小.
故答案为：60.
51．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的
关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100 吨时，总成本为6000 万元．平均成本=
．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)若企业每吨产品的出厂价为90 万元，当年利润不少于3000 万元时，则该生产线年产量的最小值应为多
少吨？（利润=销售额-成本）
【答案】(1)100 吨， 60 万元
(2)100 吨
【分析】（1）由题意可知，当x=100 时，y=6000，由此可求出a 的值，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知，年利润
，令
，求出x 的取值范围即可．
【详解】（1）当年产量是100 吨时，总成本为6000 万元，
所以
，解得
，
所以
，
所以生产每吨产品的平均成本为
，
当且仅当
，即x=100，
所以当年产量为100 吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60 万元；
（2）由题意可知，年利润
，
令
，得
，
解得：
，
所以该生产线年产量的最小值应为100 吨．
52．某工厂生产一批产品，在生产过程中会产生一些次品，其合格率
与日产量
（万件）之间满足如下
函数关系：
已知每生产1 万件合格的产品该厂可以盈利15 万元，但每生产1 万件次
品将亏损5 万元．故厂方希望定出合适的日产量使得每天的利润最大（注：合格率
）．
(1)将生产这批产品每天的利润
（万元）表示为日产量
（万件）的函数（利润
盈利-亏损）；
(2)当日产量为多少万件时，该厂每天的利润达到最大？
【答案】(1)
(2)4 万件
【分析】（1）分段讨论，利用“利润
合格品
次品
”列式即可.
（2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上所述
.
（2）当
时，
；
当
，令
，
则
，
此时取等条件为
，即
．
因为
，所以当日产量为4 万件时，该厂每天的利润最大．
