专题03
空间向量的应用压轴题
（学生版）
1.空间两点间的距离公式
设
1
1
1
1
2
2
2
2
,
,
,
,
,
P x y z
P x
y z
，则
1
2
PP
.
2.平面的法向量：直线l
，取直线l 的方向向量a
，称a
为平面的法向量.
3.空间中直线、平面的平行
（1）线线平行:若
1
2
,
u u
分别为直线1
2
,
l l 的方向向量,则1
2
1
2
/ /
/ /
,
l
l
u
u
R
使得
1
2
u
u
.
（2）线面平行:设u
直线l
的方向向量,n
是平面的法向量,l
，则/ /
0
l
u
n
u n
.
法2:在平面内取一个非零向量a
,若存在实数x ,使得u
xa
,且l
，则/ /
l
.
法3:在平面内取两个不共线向量,a b
,若存在实数,x y ，使得u
xa
yb
,且l
,则/ /
l
（3）面面平行:设
1
2
,
n n
分别是平面
,
的法向量，则
1
2
/ /
/ /
n
n
R
，使得
1
2
n
n
.
4. 空间中直线、平面的垂直
（1）线线垂直:若
1
2
,
u u
分别为直线1
2
,
l l 的方向向量,则1
2
1
2
1
2
0
l
l
u
u
u u
.
（2）线面垂直: 设u
直线l 的方向向量, n
是平面的法向量,则
/ /
l
u
n
R
，使得u
n
.
法2: 在平面内取两个不共线向量,a b
,若
0
a u
b u
.则l
.
（3）面面垂直: 设
1
2
,
n n
分别是平面
,
的法向量，则
1
2
1
2
0
n
n
n n
.
5.用空间向量研究距离、夹角问题
（1）点到直线的距离：已知
,
A B 是直线l 上任意两点, P 是l 外一点，PQ
l
，则点P 到直线l 的距离为
2
2
2
2
AP AB
PQ
AP
AQ
AP
AB
.
(2)求点到平面的距离
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已知平面的法向量为n
, A 是平面内的任一点，P 是平面外一点,过点P 作则平面的垂线l ，交
平面于点Q ,则点P 到平面的距离为
AP n
PQ
n
.
（3）直线与直线的夹角
若
1
2
,
n n
分别为直线1
2
,
l l 的方向向量，为直线1
2
,
l l 的夹角，则
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n n
n n
n n
.
(4)直线与平面的夹角
设
1n
是直线l 的方向向量,
2n
是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则
1
2
1
2
1
2
sin
cos
,
n n
n n
n n
.
（5）平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为这两个
平面的夹角.
若
1
2
,
n n
分别为平面
,
的法向量，为平面
,
的夹角，则
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n n
n n
n n
题型一异面直线所成的角
例1．(1)．在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，底面ABCD是边长为2 的正方形，
1
4
AA
，
1
1
60
A AD
A AB
，则异面直线AC 与
1
DC 所成角的余弦值为（
）
A．
14
7
B．
70
14
C．3 14
14
D．11 14
14
(2).三棱锥O
ABC
中，
,
,
OA OB OC 两两垂直且相等，点,
P Q 分别是线段BC 和OA 上移动，且满足
1
2
BP
BC
，
1
2
AQ
AO
，则PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是（
）
A．
3 2 5
[
,
]
3
5
B．
3
2
[
,
]
3
2
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C．
6 2 5
[
,
]
6
5
D．
6
2
,
6
2
(3).在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均
为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，
1
AA ，
1
BB ，
1
CC ，
1
DD
均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线
1
AB
与
1
CD 所成角的余弦值为（
）
A．4
5
B．3
5
C．3
4
D．2
3
(4).如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 底面ABCD，底面ABCD为矩形，
3,
4,
PD
DC
AD
M
是线段PA
的中点，N 是线段PC 上一点（不与
,
P C 两点重合），且PN
PC
．若直线MN 与BD 所成角的余弦值是
2 21
21
，则（
）
A．
1
2
B．1
3
C．1
4
D．1
5
练习题
(1).已知四面体ABCD满足AB
BC
，BC
CD
，
2 3
AB
BC
CD
，且该四面体的体积为6，则异面直
线AD 与BC 所成角的大小为（
）
A．45
B．60
C．45或60
D．60或30
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(2)．四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，侧棱
1
AA 底面ABCD，AB
CD
，2AB
BC
CD
，BC
CD
，侧面
1
1
A ABB
为正方形，设点O 为四棱锥
1
1
A
CC DD
外接球的球心，E 为
1
DD 上的动点，则直线AE 与OB 所成的最小角
的正弦值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．2 6
5
D．1
5
(3).如图，在棱长为3 3的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 是平面
1
1
A BC 内一个动点，且满足
1
5
2 13
DP
PB
，则直线
1
B P 与直线
1
AD 所成角的取值范围为（
）(参考数据：
4
3
sin 53
,sin 37
5
5
)
A．37 ,143
B．37 ,90
C．53 ,143
D．37 ,127
(4).已知正方体ABCD
A B C D
的棱长为2 ，点E 在线段BC上，若直线A E
与C D
所成角的余弦值为
3
6
，
则A E
（
）
A．
6
B．3 2
2
C．3
D．2 2
(5).在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P（异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与
1
AC ，所成的角为45°的点P
的个数为
A．0
B．3
C．4
D．6
题型二直线与平面所成的角
例2.(1)在正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点M ，N 分别是
1AC ，BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线
MN 与平面
1
AD N 所成角的正弦值为（
）
A．
7
3
B．
2
3
C．
6
6
D．
30
6
(2).如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
90
BAD
，
1
1
2
PA
AB
BC
AD
，
/ /
BC
AD ，
已知Q 是棱PD 上靠近点P 的四等分点，则CQ 与平面PAB 所成角的正弦值为（
）．
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A．
5
5
B．2 5
5
C．2 29
29
D．1
6
(3).在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
2
AB
AD
，
1
1
AA ，O 是AC 的中点，点P 在线段
1
1
AC 上，若直线
OP 与平面
1
ACD 所成的角为，则cos的取值范围是（
）
A．
2
3
,
3
3
B．
2
6
,
3
3
C．
3
3
,
4
3
D．
3
7
,
3
3
(4).如图，平面OAB 平面，OA
，OA
AB
，
120
OAB
．平面内一点P 满足PA
PB
，记直
线OP 与平面OAB 所成角为，则tan的最大值是（
）
A．
6
12
B．1
5
C．
2
4
D．1
3
(5).图1 是中国古代建筑中的斗拱结构，OB ，OC 是互相垂直横梁，OD是与横梁垂直的立柱，从柱顶O上
加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱OA .在某古代建筑中OB
OC
OD
（图2），记
1
cos
,
OA OB
k
，
2
cos
,
OA OC
k
，
3
cos
,
OA OD
k
，OA 与平面BCD所成角的余弦值为1
7 ，则
1
2
3
k
k
k
（
）
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A．3
7
B．3 3
7
C．12
7
D．12 3
7
练习题
(1).在三棱锥
P
ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，
2
PA
AC
，
3
AB .当BD 与
平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（
）
A．
11
11
B．2 11
11
C．3 11
11
D．4 11
11
(2).如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面边长为2，直线
1
CC 与平面
1
ACD 所成角的正弦值为1
3 ，则正
四棱柱的高为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
(3).如图，矩形ABCD 中，
2
2 2
AB
AD
，E 为边AB 的中点，将
ADE
沿直线DE 翻折成
1A DE
△
.在翻
折过程中，直线
1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（
）
A．
10
2
4
B．
6
6
C．
5
1
4
D．
5
5
(4). ABC
中，
90
ACB
，
2
2
AB
BC
，将ABC
绕BC 旋转得PBC
，当直线PC 与平面PAB 所成角正
弦值为
6
6
时，P、A 两点间的距离为（
）
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A．
2
B．2 2
C．4 2
D．4
题型三平面与平面所成的角
例3.(1)在三棱锥
P
ABC 中，平面PAC 平面
,
90 ,
1,
ABC
PAC
ABC
PA
BC
E
是AB 的中
点.
2
PB
AC
，则二面角B
PC
E
的余弦值为（
）
A．
15
4
B．
10
8
C．
10
4
D．
15
8
(2).如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD是边长为2 的菱形，PA 底面ABCD，ED
PA
∥
，且
2
2
PA
ED
.若直线PC 与平面ABCD所成的角为45，则二面角P
CE
D
的余弦值为（
）
A．
6
4
B．
6
4
C．
6
6
D．
6
6
(3).如图，在正方体ABCD-EFGH 中，P 在棱BC 上，BP=x，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E
到直线l 的距离记为d，记二面角为A-l-P 为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（
）
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A．当x 增大时，θ先增大后减小
B．当x 增大时，θ先减小后增大
C．当d 增大时，θ先增大后减小
D．当d 增大时，θ先减小后增大
(4).如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
3
AB ，
5
AD ，
1
4
AA
，点F 是
1
AA 的中点，点E 为棱BC 上的
动点，则平面
1
C EF 与平面
1
1
ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（
）
A．5
13
B．5 13
13
C．
13
5
D．13
5
练习题
(1).如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，AB
CD
，
2
ABC
，
1
1
2
AB
PA
CD
，
2 2
BC
，
M 为PD 的中点，则二面角M
BC
A
的余弦值为（
）
A．3 10
10
B．
10
10
C．
5
5
D．2 5
5
(2).已知平面与平面的法向量分别为
1n
与
2n
，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个
二面角中不大于90的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且
1
2
1
2
1
2
cos
cos
,
n
n
n n
n
n
，
如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点E 为棱
1
AA 的中点，F 为棱CD 的中点，则平面BEF 与
平面BCF 的夹角的余弦值为（
）
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A．
6
3
B．4 21
21
C．
6
3
D．
4 21
21
(3).在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB
PA
.若BC 边上有且只有一个点Q ，
使得PQ
QD
，此时二面角A PD Q
的余弦值为（
）
A．
3
3
B．
30
6
C．
6
6
D．
2
6
(4).直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，若
2
2
BC
AB
，
1
3
AA
AC
，M 是
1
1
B C 中点，过AM 作这个三棱柱的截
面，当截面与平面ABC 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（
）
A．2
B．
15
2
C．5 3
6
D．
3
题型四空间中的距离
例4.（1）设点M 是棱长为4 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱AD 的中点，点P 在面
1
1
BCC B 所在的平面内，
若平面
1
D PM 分别与平面ABCD和平面
1
1
BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点
1
C 的最短距离是
A．2 2
2
B．4 5
5
C．2
D．2 6
3
(2).120°的二面角的棱上有A，B 两点，直线AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.
已知
2
AB
，
3
AC
，
4
BD
，则CD 的长为(
)
A．17
B．
41
C．
29 12 3
D．
29
12 3
(3)．在三棱锥
P
ABC 中，PC 底面
,
90 ,
4,
45
ABC
BAC
AB
AC
PBC
，则点C 到平面PAB 的距
离是（
）
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A．4 6
3
B．2 6
3
C．4 3
3
D．4 2
3
(4).如图是一棱长为1的正方体，则异面直线
1A B 与
1
1
B D 之间的距离为（
）
A．
3
B．
3
3
C．
1
2
D．
2
2
(5).如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M，N 分别是线段
1
,
BD B C 上的动点（不含端点），则下列各项中会随
着M，N 的运动而变化的是（
）
A．异面直线
1
NC 与直线MC 所成的角的大小B．平面
1
1
MD B 与平面
1
NA D 所成的角的大小
C．直线
1
ND 到平面
1A BD 距离的大小
D．异面直线
1
MA ，
1
ND 之间的距离的大小
练习题
(1).在单位正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 为
1
1
C D 的中点，则点M 到平面
1A BD 的距离为（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．
3
2
D．2 3
3
(2).如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O的直径，
4
SO
AB
，AC
BC
，D 为SO 的中点，N 为AD 的中
点，则点N 到平面SBC 的距离为（
）
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A．4
3
B．5
3
C．1
D．2
(3).如图，在直角ABC
中，
1
AB ，
2
BC
，D 为斜边AC 上异于A 、C 的动点，若将
ABD
△
沿折痕BD 翻
折，使点A 折至
1A 处，且二面角
1A
BD
C
的大小为π
3 ，则线段
1AC 长度的最小值为
．
题型五能力提升创新题
1.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮
中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，
1
AA 平面
1
,
3,
2
2 π,
ABCD AA
AB
CD
E
为
1
1
A B 的中点，则直线CE 与平面
1
DEB 所成角的正弦值为
.
2.四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
=90
BAD
，
1
1
2
PA
AB
BC
AD
，
//
BC AD ，已知Q 是四
边形ABCD内部一点，且二面角Q
PD
A
的平面角大小为π
6 ，则动点Q 的轨迹的长度为
.
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3.四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
90
BAD
，
1
1
2
PA
AB
BC
AD
，
/ /
BC
AD ，已知Q 是
四边形ABCD内部一点，且二面角Q
PD
A
的平面角大小为4
，若动点Q 的轨迹将ABCD分成面积为
1
2
1
2
,
(
)
S S S
S
的两部分，则
1
2
:
S
S
.
4.已知空间直角坐标系xOy 中，过点
0
0
0
,
,
P x
y z
且一个法向量为
, ,
m
a b c
的平面的方程为
0
0
0
0
a x
x
b y
y
c z
z
，过点
0
0
0
,
,
P x
y z
且方向向量为
, ,
0
n
u v w
uvw
的直线l 的方程为
0
0
0
x
x
y
y
z
z
u
v
w
用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为
2
3
3
0
x
y
z
，直线l 是两个平面
2
2
0
x
y
与
2
1
0
x
z
的交线，则直线l 与平面所成角的正弦值为
.
5.在正六棱柱
1
1
1
1
1
1
ABCDEF
A B C D E F
中，底面棱长为2 ，高为2 3 ，,
P Q 分别为
1
FF ，CD 的中点，连接
1
1
1
,
,
,
PQ A B AC F D.
(1)求
1
,
PQ A B 所成角的余弦值；
(2)过点B 作直线/ /
l
PQ ，设点R 是直线l 上一点，记平面
1
1
ACDF 与平面EFR所成角为，求cos 的取值范
围.
1.如图，一个结晶体的形状为平行六面体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且
它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（
）
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A．
1
6
AC
B．
1
AC
BD
C．向量
1
B C
与
1
AA
的夹角是60
D．
1
BD 与AC 所成角的余弦值为
6
3
2.如图，在三棱锥
P
ABC 中，
5
AB
AC
PB
PC
，
4
PA
，
6
BC
，点M 在平面PBC 内，且
15
AM
，
设异面直线AM 与BC 所成的角为，则cos的最大值为（
）
A．
2
5
B．
3
5
C．2
5
D．
5
5
3.如图，在菱形ABCD中，
60
BAD
，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ，现将
ABD
△
沿对角线BD 翻
折，则异面直线BE 与CF 所成的角的取值范围是
A．
,
6 3
B．
,
6 2
C．
,
3 2
D．
2
,
3
3
4.如图所示，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为棱BC 的中点，则直线
1
AC 与平面
1
1
A EC 所成角的正弦值为
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（
）
A．
3
2
B．
3
3
C．
3
6
D．
3
9
5.已知二面角
l
的大小为120，点B、C 在棱l 上，
,
,
,
A
D
AB
l CD
l
，
2
AB
，
1
BC ，
3
CD
，
则AD 的长为（
）
A．14
B．13
C．2 2
D．2 5
6.设
,
,
为平面，且
,
l
．若与所成的二面角为45，l 与所成角为30，则与所成
的锐二面角为（
）
A．60
B．45
C．30
D．15
7.如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，
90
BAD
，
1
1
2
PA
AB
BC
AD
，
//
BC AD ，已
知Q 是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角Q
PD
A
的平面角大小为30°，则
ADQ
△
面积的取
值范围是（
）
A．
2 15
0, 15
B．
2 5
0,
5
C．
2 10
0, 15
D．
3 10
0,
5
8.如图，在四棱锥P
ABCD
中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
π
2
ABC
BAD
，
3
PA
AD
，
1
AB
BC
.点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，则线段BQ 的长
为
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9.在正四棱锥V
ABCD
中，底面边长为2 ，侧棱
5
VB
，E 为BC 的中点，F 为直线VA上一点，且F 与V 、
A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60，则三棱锥B
AFC
的体积为
．
10.如图，已知四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是菱形，且
60
ABC
，侧面
1
1
ABB A 是等腰梯形，
1
1
1
1
3
6,
2 2,
4
AB
A B
BB
CC
，E 为棱
1
DD 上一点，且
1
1
1
4
D E
D D
.
(1)求证：平面
1
1
ABB A 平面ABCD；
(2)若过点
,
C E 的平面与BD 平行，且交直线
1
AA 于点F ，求二面角F
CB
D
的余弦值.
11.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的正三角形，
1
1
45
A AB
A AC
，平行于
1
AA 和
1
BC
的平面分别与
1
1
1
1
,
,
,
A
C
A
A
A
B
B
C
交于
,
,
,
D E F G 四点．
(1)试判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；
(2)若
1
3,
AA
D
是AB 的中点，求直线DF 与平面ABC 所成角的正弦值．
12.如图，P 为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，
ABD
△
为底面圆O的内接正三角形，
且
ABD
△
的边长为
3 ，点E 在母线PC 上，且
3
AE
，
1
CE ．
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(1)求证：直线
//
PO
平面BDE ，并求三棱锥P
BDE
的体积：
(2)若点M 为线段PO上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE的
距离．
13.如图，四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，
1
1
2
4
AB
A B
，
E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线
1
OO 垂直于上下底面，且
1
OO 与侧棱所在直线所成的
角为45°.
(1)求证：
1
BD ∥平面
1
C EF ；
(2)线段BF 上是否存在点M ，使得直线
1A M 与平面
1
C EF 所成的角的正弦值为3 22
22
，若存在，求出线段BM
的长；若不存在，请说明理由.
14.如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面是边长为2 的等边三角形，
1
2,
,
CC
D E
分别是线段
1
,
AC CC 的中
点，
1
C 在平面ABC 内的射影为D .
(1)求证：
1AC 平面BDE ；
(2)若点F 为棱
1
1
B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；
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(3)若点F 为线段
1
1
B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F
BD
E
的余弦值的取值范围.
15.如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF
AB
∥
，
90
ABF
，
60
∠BAE
，C、D 分别为BF、AE 的中点，
5
AB
，
1
EF ，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F
DC
B
的大小为60°，如图2 所示，设N
为BC 的中点.
(1)证明：FN
AD
；
(2)若M 为AE 上一点，且AM
AE
，则当为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5 7
14
.
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