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第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末题型大总结
题型01 指数、对数、幂的运算
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【典例1】（23-24 高一上·云南昆明·阶段练习）计算：
(1)
；
(2)
．
【变式1】（24-25 高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿
日兆．”说明了大数之间的关系：1 亿
万1 万，1 兆
万
万
亿．若1 兆
，则m 的值为（ ）
【变式2】（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·全国·随堂练习）
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式4】（23-24 高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 幂指对函数的定义域
【典例2】（23-24 高一上·天津·期末）已知
，求函数
的定义域；
【变式1】（23-24 高一上·安徽阜阳·期末）函数
的定义域为 .
解题锦囊
(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数运算,其次若出现分式则要
注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数
恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
解题锦囊
（1）求幂函数、指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借
助于指数、对数函数的单调性.
（2）涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如
和
的函数，一般要先求
f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解;二是形如
和
的函数,则要根据
和
的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.
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【变式2】（23-24 高一上·北京延庆·期末）函数
的定义域为 .
【变式3】（23-24 高一下·云南玉溪·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 幂指对函数的值域
【典例3】（23-24 高一上·安徽宣城·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)设函数
，若对任意
，存在
，使得
，求实数m 的取
值范围．
【变式1】（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·全国·随堂练习）函数
的值域为 .
【变式3】（23-24 高一下·广西柳州·期中）函数
在
的最小值是 ．
【变式4】（23-24 高一上·全国·期末）如果函数
且
在区间
上的最大值是
，则
的值为（ ）
解题锦囊
1、指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
2、对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，
再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
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A．3
B．
C．
D．3 或
题型04 指对型函数的单调性
【典例4】（24-25 高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)判断函数
的单调性，并用定义加以证明；
(3)若对任意的
，不等式
成立，求实数
的取值范围.
【变式1】（（23-24 高一上·甘肃定西·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数
，则函数
的减
区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·广东河源·期中）设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）若函数
在
上单调递减，则实
数
的取值范围是（ ）
解题锦囊
1、复合函数单调性的规律：“同增异减”
若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；
若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．
2、具体判断步骤
（1）求出原函数的定义域；
（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．
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A．
B．
C．
D．
【变式5】（多选）（23-24 高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的递减区间是
C．
的图象关于
成中心对称
D．函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
题型05 幂指对函数的图象
【典例5】（23-24 高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则
下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于
中的一个是（ ）
解题锦囊
对于图像的判断与选择可利用图像的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用
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A．①
B．②
C．③
D．④
【变式3】（23-24 高一下·广东湛江·开学考试）函数
（
且
）的图象所过的定
点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·广西贵港·开学考试）已知函数
，且
的图象不经过第一
象限，则函数
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型06 比较大小问题
【典例6】（23-24 高一下·安徽滁州·期末）若
，
，
，则
，
，的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·浙江·期中）已知
，
，
，则
，
，的大小关系
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题锦囊
(1)数(式)的大小比较及常用的方法:
比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数、幂函数图
像与性质的应用.常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等.
(2)数的大小比较常用的技巧:
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,
然后利用该函数的单调性比较.
②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0,小于
等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.
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【变式2】（23-24 高一上·云南德宏·期末）已知
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·上海·开学考试）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 幂指对函数中的函数与方程问题
【典例7】（23-24 高一上·湖南株洲·期末）若方程
的实根在区间
上，则
（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．1
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知方程
的解在
内，则
B．函数
的零点是
C．函数
有两个不同的零点
D．用二分法求函数
在区间
内零点近似值的过程中得到
，则零点近似值在区间
上
【变式2】（23-24 高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知
，定义域和值域均为
的函数
和
的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（ ）
A．方程
有且仅有三个解
B．方程
有且仅有二个解
解题锦囊
函数与方程问题，注意利用幂指对函数的图像，将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题处理.
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C．方程
有且仅有五个解
D．方程
有且仅有一个解
【变式3】函数
的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
题型08 幂指对函数模型的应用
【典例8】（23-24 高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指
数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的
以下时就需要更换其中的硫酸
来达到持久续航，则最多使用（ ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据
，
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【变式1】（23-24 高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定
血液中药物含量低于
为
“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为
，若血液中药物含量会以每小时
的速度
减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式2】（23-24 高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14 的含量为
，那么有机体死亡x 年后
体内碳14 的含量满足的关系为
（其中m₀，a 都是非零实数）.若测得死亡5730 年后的古生物样品，
体内碳14 的含量为0.5，又测得死亡11460 年后这类古生物样品.体内碳14 的含量为0.25.如果测得某古生
物样品碳14 的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取
）（ ）
A．10550 年
B．7550 年
C．8550 年
D．9550 年
【变式3】（23-24 高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描
述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间
解题锦囊
(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以
表示为y=N(1+p)x(其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表
格中给定的值对应求解.
(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或
给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.
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（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1 米，经过一年，该植物的高为1.5 米，要让该植物
的高度超过2.8 米，至少需要（ ）年．
A．3
B．4
C．5
D．6
题型09 幂指对函数性质的综合应用问题
【典例9】（23-24 高一下·河南洛阳·期末）已知函数
，
.
(1)求函数
的最大值；
(2)设不等式
的解集为
，若对任意
，存在
，使得
，求实数
的值.
【变式1】（24-25 高一上·上海·期末）已知函数
．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)若函数在
上为严格减函数，求a 的取值范围．
【变式2】（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）已知函数
为奇函数．
(1)求
的值；
(2)若对任意的
，关于
的不等式
恒成立，求正实数
的取值范围．
