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第三章 函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数
，则
（ ）
A．15
B．7
C．4
D．0
【答案】B
【分析】代入运算得解.
【详解】
.
故选：B.
2．下列函数：①
；②
；③
，与函数
是同一个函数的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用定义域相同，对应关系相同，与变量字母无关，判断即可．
【详解】函数
的定义域为
，
函数
，定义域为
，与函数
定义域不同，不是同一个函数；
函数
与函数
定义域不同，不是同一个函数；
函数
定义域为
，与函数
定义域不同，不是同一个函数．
故选：A.
3．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可.
【详解】由题意可得
解得
且
，
故
的定义域为
且
，
故选：C
4．若用二分法求方程
在初始区间
内的近似解，则第三次取区间的中点
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可.
【详解】令
，因为
，
所以
，又
，
，
则
，又因为
，所以
．
故选：B.
5．函数
在
上的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可.
【详解】令
，
的定义域为
，
，
则
是偶函数，其图象关于
轴对称，排除选项
；
又
，则排除选项A.
故选：B.
6．已知函数
的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的单调性和对称性求解.
【详解】二次函数
的对称轴为
，且
，
当
时，解得
，由二次函数的图象与性质得
的取值范围是
.
故选：B.
7．已知函数
的定义域为R，且
，
在
上单调递减，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
的对称轴为
，结合
在
单调递减，可得
，求解
即可.
【详解】由
得
的对称轴为
，
因为
在
单调递减，所以
在
单调递增，
则
等价为
，解得
，不等式解集为
.
故选：D.
8．已知
，设
，
，
，
（
，且
），
令集合
，则集合
为（ ）
A．空集
B．实数集
C．单元素集
D．二元素集
【答案】A
【分析】根据表达式求出
，
，
，
，
，发现规律，进而得出
，即
可求出.
【详解】由题意得
，
，
，
，
所以函数
是以
，
，
，
重复出现的，
因为
，所以
，
得
，
，即
，
故选：A．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，
显然只有B 不满足.
故选：ACD.
10．已知函数
，若函数
存在两个零点，则
的取值可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】BCD
【分析】化简
，作出
图象，由图像即可得到
的取值范围，得出答案.
【详解】
，图象如图
则
在
上共有3 个零点，
即
在
上有3 个根，
，
，
.
又因为函数
在
上存在两个零点，故
.
故选：BCD.
11．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于
对称
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
为奇函数
【答案】BC
【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断.
【详解】选项A，
，即函数
的周
期为4，所以选项A 错误；
选项B，因为
是偶函数，则有
，即函数
的图象关于
对称，所以选
项B 正确；
选项C，因为
，则
，所以函数
的图象关于
对称，
所以选项C 正确；
选项D，因为
，则
，所以函数
为偶函数，所以选项D 错误.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，则
．
【答案】2
【分析】根据偶函数的性质可知
，再利用
时，
的解析式求出
即可．
【详解】∵
为偶函数，
∴
，
∵当
时，
，
∴
，
故
．
故答案为：2．
13．已知函数
的图象过点
，则
在区间
上的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用函数性质求参数，再利用函数单调性求最值.
【详解】由题意得
，解得
，则
，
因为
在
上恒为正值且单调递增，
所以
在
上单调递增，故
．
故答案为：
14．若关于
的不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解法一、令
，转化为
，再分
，
，
讨论即
可；解法二、根据题意，参变分离得
，再分
，
求函数最值即可.
【详解】解法一 、令
，
①当
时，
在
上单调递减，所以
，此时满足条件．
②当
时，
的图象的对称轴方程为
，
若
，则
在
上单调递减，则只需满足
，得
；
若
，则
，且
时已满足条件．
综上，实数
的取值范围为
．
解法二、
时，
，由
得
，
则
在
上有解．
令
，则当
时，
；
当
时，
，
又
在
单调递增，所以
，即
，
故实数
的取值范围为
．
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知函数
．
(1)若
，求
；
(2)若
的定义域为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，求解得
，进而计算可求
.
（2）分
，
和
三种情况，分别计算求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，解得
，则
，
故
．
（2）因为
的定义域为
，所以对于任意
，不等式
恒成立，
①当
时，二次函数
的图象开口向下，
故必然存在
使得
，不符合题意；
②当
时，
的定义域为
，不满足题意；
③当
时，要使
对于任意
恒成立，
只需满足
，解得
．
综上，
的取值范围是
．
16．已知函数
.
(1)函数单调性的定义证明：函数
在
上单调递增；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为
.
【分析】（1）任取
，且
，然后化简变形
，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知
在区间
上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【详解】（1）证明：任取
，且
，
则
因为
，
，所以
，
，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
（2）由（1）知
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
在区间
上的最大值为1，最小值为
.
17．
是
上的奇函数，对任意的
且
时，有
．
(1)比较当
且
时，
与0 的大小；
(2)解不等式：
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质将
变为
，即可判
断；
（2）根据单调性的定义知
在
单调递减，根据奇函数性质得
，然后利
用单调性及一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为
是奇函数，对任意的
且
时，
有
，
所以对任意的
且
时，有
，
所以
．
（2）因为对任意的
且
时，
，
所以
在
单调递减，又
是
上的奇函数，
所以
，即
，
所以
，解得
，
即不等式
的解集为
．
18．已知函数
是定义在
上的奇函数，且
．
(1)求
的值；
(2)判断
的单调性，并用单调性定义给出证明；
(3)设
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，求实数
的取
值范围．
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用
与
求出
的值并验证即可.
（2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性.
（3）求出函数
在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k 的范围.
【详解】（1）由函数
是定义在
上的奇函数，得
，
则
，又
，于是
，解得
，
，
，即
是奇函数，
所以
.
（2）函数
在
上的单调递减，理由如下：
任意
，且
，
则
，
由
，得
，
则
，即
，因此
所以函数
在
上的单调递减.
（3）由对任意的
，总存在
，使得
成立，
得
在
上的最大值不大于
在
上的最大值，
由函数
在
上的单调递减，得
，
当
时，
，
恒成立，因此
；
当
时，
在
上单调递增，
，
则
，解得
，因此
；
当
时，
在
上单调递减，
，
则
，解得
，因此
，
所以实数k 的取值范围是
.
19．已知函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)当方程
恰有两个实根时，求
的值；
(3)若对于一切
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据绝对值的概念去掉绝对值符号，解不等式即可.
（2）数形结合，分
，
讨论方程的解的情况，确定
的值.
（3）分
，
去掉绝对值符号，结合函数的单调性求函数的最值，可确定
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
得
或
解得
或
，所以
．
（2）如图：
由
得
，令
，
，
由函数图象知当两函数图象在
轴右边只有一个交点时满足题意，此时
，
所以当
时，方程
恰有两个实根．
两曲线的交点可能都在双曲线的左支上，此时必有
，
又
.
由函数图象知当
时，两曲线必有一个交点，故只需要当
时有一个交点即可满足题意．
当
时，
在
时有根，即
在
时成立，
由基本不等式知，
，等号当且仅当
时取到，此时有
，满足
．
故当方程
恰有两个实根时，
或
．
（3）题设条件即
，
当
时，
，
，
因为
，当且仅当
时取等号.
所以
，所以
符合题意．
当
时，
①当
时，
，即
．
设
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，即
，
②当
时，
，即
，所以
，
．
综上，
的取值范围是
．
