专题07
函数的单调性和最值压轴题
1.单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2 时，都有
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
，那么就称函数f(x)
在区间I 上单调递增，当函数f(x)在它的定义域上单
调递增时，称它是增函数
当x1<x2 时，都有
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
，
那么就称函数f(x)在区间I 上单调递
减，当函数f(x)在它的定义域上单调
递减时，称它是减函数
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上
单调递增
或
单调递减
，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间I 叫做y＝f(x)的单调区间．
3.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈D，都有
M
x
f
)
(
；
(2)∃x0∈D，使得
M
x
f
)
(
0
(1)∀x∈D，都有
M
x
f
)
(
；
(2)∃x0∈D, 使得
M
x
f
)
(
0
结论
M 为最大值
M 为最小值
4.与单调性有关的结论
(1)∀x1，x2∈D 且x1≠x2，有f（x1）－f（x2）
x1－x2
>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D 上单调递增(减)．
(2)在函数f(x)，g(x)的公共定义域上，有如下结论：
①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数；
②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数．
(3)若函数f(x)在区间D 上具有单调性，则f(x)在区间D 上具有以下性质：
①当a>0 时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0 时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；
②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与
1
f（x）
有相反的单调性；
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③若f(x)≥0，则f(x)与f（x）具有相同的单调性．
(4)“对勾函数”f(x)＝x＋p
x(p>0)的单调递增区间是(－∞，－p)，( p，＋∞)；单调递减区间是(－p，0)，(0，
p)．
题型一求函数的单调区间
例1.（1）函数
2
( )
6
8
f x
x
x
的单调递增区间为（
）
A．(
,3]
B．
3,4
C．
2,3
D．[3,
)
【答案】C
【分析】先求
2
( )
6
8
f x
x
x
定义域即
2
|
6
8
0
x
x
x
.令
2
6
8
t
x
x
是二次函数,根据二次函数
图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得
( )
f x 单调递增区间.
【详解】
2
( )
6
8
f x
x
x
，
2
6
8
0
x
x
即:
2
6
8
0
x
x
，
(
2)(
4)
0
x
x
得: 2
4
x
，
2
( )
6
8
f x
x
x
定义域为:
4
|
}
2
{x
x
，
又
2
6
8,2
4
t
x
x
x
单调递增区间为
2,3 ，
函数
2
( )
6
8
f x
x
x
的单调递增区间
2,3
故选：C.
【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调
区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集.
(2).若定义在R 上的函数
f
x 满足
2
3
2
f
x
f
x
x
x
，则
f
x 的单调递增区间为（
）
A．
, 10
和
0,1
B．
, 5
和
0,1
C．
10,0
和
1,
D．
5,0
和
1,
【答案】B
【分析】当
0
x
可求得
2
1
2
f x
x
x
；当
0
x
时，
0
x
，由已知关系式可得
2
3
2
f
x
f
x
x
x
，
进而得到
2
1
5
2
f x
x
x
；由二次函数性质可得单调递增区间.
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【详解】当
0
x
时，
2
3
2
f
x
f
x
x
x
，则
2
1
2
f x
x
x
，
( )
f
x
\
在
0,1 上单调递增；
当
0
x
时，
0
x
，
2
1
2
f
x
x
x
，
2
2
2
2
3
1
3
2
3
2
5
2
2
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
( )
f
x
\
在
, 5
上单调递增；
综上所述：
f
x 的单调递增区间为
, 5
和
0,1 .
故选：B.
(3)．如果函数
y
f x
在区间I 上是增函数，而函数
f
x
y
x
在区间I 上是减函数，那么称函数
f
x 在区
间I 上为“缓增函数”，区间I 为
f
x 的“缓增区间”.若函数
2
2
4
f x
x
x
是区间I 上的“缓增函数”，则
f
x 的“缓增区间” I 为（
）
A．
1,
B．
2,
C．
0,1
D．
1,2
【答案】D
【分析】求得
4
2
f
x
x
x
x
，利用双勾函数的单调性可求出函数
f
x
x
的单调递减区间，并求出函数
f
x
的单调递增区间，取交集可得出
f
x 的“缓增区间”.
【详解】由二次函数的基本性质可知，函数
2
2
4
f x
x
x
的单调递增区间为
1,.
设
4
2
f x
g x
x
x
x
，则函数
g x 在区间
0,2 上为减函数，在区间
2,
上为增函数，下面来证明
这一结论.
任取
1
x 、
2
2,
x
且
1
2
x
x
，即
1
2
2
x
x
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
2
2
g x
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
，
1
2
2
x
x
，则
1
2
0
x
x
，
1
2
4
x x
，所以，
1
2
g x
g x
，
所以，函数
g x 在区间
2,
上为增函数，同理可证函数
g x 在区间
0,2 上为减函数.
因此，
f
x 的“缓增区间”为
1,
0,2
1,2
I
.
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故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数
和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.
(4).已知函数
1
f x
x
a x
．（其中
0
a
）
(1)求函数
f
x 的单调增区间；
(2)若对任意
1
2
,
1,
1
x x
a
，使得
1
2
2
f
x
f
x
a
恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
,0
和
,
2
a
(2)
0,8
a
【分析】（1）由题意得：
2
2
1,
0
1
1,
0
x
ax
x
f x
x
a x
x
ax
x
，由分段函数的性质以及二次函数的单调性
即可求解；
（2）由（1）可以对参数进行分类讨论0
1
a
，当
1
a 时，需要讨论
1
a 与2
a 大小关系，结合二次函数的
图像和性质，分别求出函数的最值，列出关于a 的不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）
2
2
1,
0
1
1,
0
x
ax
x
f x
x
a x
x
ax
x
因为
0
a
所以函数
f
x 为
,0
上为增函数，在0, 2
a
上为减函数，在
,
2
a
上为增函数，即其单调增区间为
,0
和
,
2
a
．
（2）因为
2
2
1,
0
1
1,
0
x
ax
x
f x
x
a x
x
ax
x
，
①当0
1
a
时，
1
0
a
，由（1）可知
2
1
f
x
x
ax
在
1,
1
a
上为增函数，所以
1
2
1
1
2
0,1
f
x
f
x
f a
f
a
a
满足题设，
②当
1
a 时，由（1）可知，需要讨论
1
a 与2
a 大小关系，
（ⅰ）当1
2
a
时，函数
f
x 为
1,0
上为增函数，在
0,
1
a
上为减函数，
所以
f
x 最大值为
0
1
f
，最小值在两端点取，
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所以
0
1
2
1
2
1
0
1
2
1
2
f
f
a
a
a
a
f
f a
a
a
a
又1
2
a
，
所以
1,2
a
，
（ⅱ）当
2
a
时，函数
f
x 为
1,0
上为增函数，在0, 2
a
上为减函数，
在
,
1
2
a a
上为增函数，
又
1
1
0
a
a
f a
f a
f
，
所以
f
x 最大值为
0
1
f
，最小值在1
或2
a 处取，
所以
2
0
1
2
1
2
1
8
0
2
2
2
4
f
f
a
a
a
a
a
a
f
f
a
a
，
又
2
a
，所以
2,8
a
，
综上所述，
0,8
a
．
练习题
(1).函数
2
5
4
y
x
x
的递增区间是(
)
A．
, 2
B．
5, 2
C．
2,1
D．
1,
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，结合函数图象特征及复合函数的单调性得到函数
2
5
4
y
x
x
的单调区间．
【详解】解：由
2
5
4
0
x
x
，得函数的定义域为
| 5
1
x
x
．
令
2
5
4
t x
x
x
2
2
2
5
4
(
4
4)
9
(
2)
9
t x
x
x
x
x
x
，
对称轴方程为
2
x ，拋物线开口向下，
函数
t x 的递增区间为
5, 2
，
又函数y
t
在定义域上单调递增，根据复合函数的单调性，可知函数
2
5
4
y
x
x
的增区间为
5, 2
.
故选：B ．
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(2).设函数
y
f x
在
,
上有定义，对于给定的正数K，定义函数
( ),
( )
( )
( )
k
f x
f x
K
f
x
K
f x
K
，
，取函数
| |
( )
1
x
f x
a
a
，当
1
K
a
时，函数
( )
kf
x 在下列区间上单调递减的是（
）
A．
,0
B．
,a
C．
, 1
D．
1,
【答案】D
【解析】作出函数
( )
y
f x
与
1
y
a
的图象，数形结合可得
( )
kf
x ，即可得解.
【详解】令
| |
1
( )
x
f x
a
a
，解得
1
x ，
在同一直角坐标系中作出
( )
y
f x
与
1
y
a
的图象，如图，
所以
,
1
1
( )
1
1
,
1
x
k
x
a
x
f
x
x
a
a
x
，
，所以函数
( )
kf
x 的单调减区间为
1,.
故选：D.
(3)．如果函数
y
f x
在区间I 上是减函数，且函数
f
x
y
x
在区间I 上是增函数，那么称函数
y
f x
是
区间I 上的“可变函数”，区间I 叫做“可变区间”.若函数
2
4
2
f x
x
x
是区间I 上的“可变函数”，则“可变
区间” I 为（
）
A．
,
2
和
2,2
B．
2,2
C．0,
2
D．1, 3
【答案】A
【分析】根据题意,分析函数y=f (x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得答案.
【详解】因为
2
4
2
f
x
x
x
的单调递减区间为(
,2]
，
2
4
f x
y
x
x
x
在[ 2,
)
和(
,
2]
上为增函数，
所以
2
4
2
f
x
x
x
的“可变区间” I 为
2,2
和(
,
2]
，
故选：A
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题型二函数单调性的判断和证明
例2（1）.已知
2
( )
3
2 |
|, ( )
2
f x
x
g x
x
x
，构造函数
( ),( ( )
( ))
( )
( ),
( )
( )
g x
f x
g x
F x
f x
f x
g x
，关于
( )
F x 有以下结论：
①有最大值3，最小值1
②有最大值7
2 7
，无最小值
③递增区间为(
,2
7),(1, 3)
④最小值为1
其中正确结论的序号是：
.
【答案】②③
【分析】将函数
( )
f x 化简，去掉绝对值后，分别解不等式
( )
( )
f x
g x
和
( )
( )
f x
g x
，得到相应x 的范围，
得到
( )
F x 在三个不同区间内的解析式，画出函数的简图，即得解.
【详解】在同一坐标系中先画出
( )
f x 和( )
g x 的图像.
然后根据定义画出
( )
F x ，容易看出
( )
F x 有最大值，无最小值.
由图像可知，当
0
x
时，
( )
y
F x
取得最大值，所以
2
3
2 |
|
2
x
x
x
得：
2
7
x
或
2
7
x
（舍）
此时
max
( )
(2
7)
7
2 7
F x
F
由图像可得：递增区间为(
,2
7),(1, 3)
故答案为：②③
【点睛】本题是函数综合问题，考查了分段函数的单调性和最值，考查了学生综合分析，数形结合，数学
运算能力，属于较难题.
(2).设函数
2
2
1
( )
, ,
R
a
f x
x
ax
b a b
x
x
.
(1)当
0
a
时，判断
( )
f x 在
0 1，上的单调性，并用定义法证明；
(2)对
4,
a
及
R
b
，总存在
0
1,2
x
，使得
0
(
)
f x
t
成立，求实数t 的取值范围.
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【答案】(1)
f
x 在
0,1 上单调递减，证明见解析
(2)
1
8
t t
.
【分析】（1）定义法证明函数单调性的步骤为:设值，作差，变形，定号，写结论;要注意变形要变为可以判
断正负的几个因式乘积的形式;
（2）令
1
5
2, 2
m
x
x
，原问题可转化为对于任意的实数b ，总存在
0
5
2, 2
m
，使得
0
g m
t
成立，
利用二次函数的性质和分段函数的单调性求出
max
min
g m
即可求出答案
【详解】（1）当
0
a
时，
f
x 在
0,1 上单调递减，下面用定义法证明：
设
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，则
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
f x
f x
x
x
x
x
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
x x
x
x
x
x
x x
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
0
1,
0,
0,
0
x x
x
x
x
x
x
x
x x
，故
1
2
0
f x
f x
，
可知
f
x 在
0,1 上单调递减；
（2）因为对勾函数
1
y
x
x
在
1,上单调递增，所以当
1,2
x
时，
1
5
2, 2
y
x
x
，
令
1
5
2, 2
m
x
x
，原函数转化为
2
2
g m
m
am
b
，
问题即：当
4
a 时，若对于任意的实数b ，总存在
0
5
2, 2
m
，使得
0
g m
t
成立，
故只需要求出
max
min
g m
即可，先求
max
|
|
g m
.
4
a
，对称轴
2
2
a
m
，故
g m 在
5
2, 2
单调递增，此时
max
min
5
5
17
( )
, ( )
2
2
2.
2
2
4
g m
g
a
b
g m
g
a
b
①当5
17
2
2
0
2
4
a
b
a
b
即
9
25
4
8
b
a
时，
max
|
|
2
2
2
g m
g
a
b
：
②当5
17
2
2
0
2
4
a
b
a
b
即
9
25
4
8
b
a
时，
max
5
5
17
|
|
2
2
4
g m
g
a
b
，
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再求
max
max
min
|
|
,|
|
g m
g m
可看成关于b 的函数
9
25
2
2,
4
8
( )
5
17
9
25
,
2
4
4
8
a
b
b
a
h b
a
b
b
a
，
故
h b 在
9
25
4
8
b
a
单调递减，在
9
25
4
8
b
a
单调递增，
min
9
25
9
( )
4
8
4
8
a
h b
h
a
，又
4
a
，故
9
1
4
8
8
a
.
即
max
min
1
|
|
8
g m
，故
1
8
t
，
所以实数t 的取值范围是
1
8
t t
【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，
并注意把握下述结论：
①
( )
( )
f x
g a
存在解
min( )
( )
f
x
g a
；
( )
( )
f x
g a
恒成立
max( )
( )
f
x
g a
；
②
( )
( )
f x
g a
存在解
min( )
( )
f
x
g a
；
( )
( )
f x
g a
恒成立
max( )
( )
f
x
g a
；
③
( )
( )
f x
g a
存在解
max( )
( )
f
x
g a
；
( )
( )
f x
g a
恒成立
min( )
( )
f
x
g a
；
④
( )
( )
f x
g a
存在解
max( )
( )
f
x
g a
；
( )
( )
f x
g a
恒成立
min( )
( )
f
x
g a
练习题
（1）.已知定义在R 上的函数
f
x 对任意,
R
x y
都有
1
f x
y
f x
f
y
，且当
0
x
时，
1
f x ．
(1)求证：
f
x 在R 上是增函数；
(2)若
3
4
f
，关于x 的不等式
2
2
3
f
x
t
f
x
有解，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
1 2 2,
【分析】（1）先设两个变量
1
2
,
x x R 并给定大小关系，通过将
2
f x
变形为
1
2
1
f x
x
x
，再根据已知条
件得到
1
2
,
f x
f x
的大小关系，从而判断出
f
x 为单调增函数；
（2）利用已知条件将原不等式变形为
2
2
3
f
x
t
f
x
有解，然后根据
f
x 的单调性得
2
2
1
x
x
t
有解，构造函数
2
2
y
x
x
（
2,2
x
），再求最值即得.
【详解】（1）任取
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，
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则
2
1
0
x
x
，所以
2
1
1
f x
x
．
又
2
1
2
1
1
f x
f x
f x
x
，
所以
2
1
2
1
1
0
f x
f x
f x
x
，即
2
1
f x
f x
，
故
f
x 在R 上是增函数．
（2）因为
3
1
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
4
f
f
f
f
f
f
f
，所以
1
2
f
．
因为
2
2
2
2
1
f
x
t
f
x
f
x
x
t
，
所以
2
2
3
f
x
t
f
x
有解，
即
2
2
2
1
f
x
x
t
f
有解，
故
2
2
1
x
x
t
有解，
即
2
2
1
x
x
t
有解．
令
2
2
y
x
x
（
2,2
x
），则
2
2
4
2 4
y
x
．
因为
2
4
2 4
g x
x
在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
所以max
4
2 4
8
g x
，又
0
y
，所以
max
2 2
y
，
因此1
2 2
t
，所以
1 2 2
t
，
故实数t 的取值范围为
1 2 2,
．
（2).已知
f
x 的定义域为R ，对任意
R
x
y
，
都有
1
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，1
f x ，
1
0
f
.
(1)求
0 ,
1
f
f
；
(2)证明：
f
x 在R 上是减函数；
(3)解不等式：
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
.
【答案】(1)
0
1
f
，
1
2
f
(2)证明见解析
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(3)
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1
2
x
x
【分析】（1）赋值法求解出
0
1
f
，
1
2
f
；
（2）令
1
2
1
,
x
x y
x
x
，且
1
2
x
x
，结合当
0
x
时，1
f x ，从而得到
2
1
2
1
1
0
f x
f x
f x
x
，
故
2
1
f x
f x
，所以
f
x 在R 上是减函数；
（3）赋值法得到
4
3
f
，
4
5
f
，对
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
变形得到
2
2
3
3
4
f
x
x
f
，
结合第二问中证明的函数的单调性，得到
2
2
3
4
x
x
，解不等式求出解集.
【详解】（1）
1
f x
y
f x
f
y
，令
0
x
y
，则
0
2
0
1
f
f
，
解得：
0
1
f
，
令
1,
1
x
y
，则
0
1
1
1
f
f
f
，
因为
1
0
f
，故
1
0
1
1
f
，解得：
1
2
f
；
（2）证明：令
1
2
1
,
x
x y
x
x
，且
1
2
x
x
，
则
1
1
1
2
2
1
1
f
x
x
x
x
x
f
f
x
，
因为当
0
x
时，1
f x ，
所以
2
1
2
1
1
0
f x
f x
f x
x
，
故
2
1
f x
f x
，所以
f
x 在R 上是减函数；
（3）令
1
x
y
，则
1
2
1
2
1
f
f
，
令
1,
2
x
y
得：
2
1
1 1
2
3
1
f
f
f
，
令
2
x
y
得：
2
2
1
3
4
f
f
，
令
2,
3
x
y
，则
1
5
2
1 2 1
4
3
f
f
f
，
故
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
变形为
2
2
3
2
4
4
5
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
f
x
，
故
2
2
3
2
1
5
1
5
1
f
x
x
x
f
x
f
x
，
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整理得：
2
2
3
2
5
2
f
x
x
x
f
x
所以
2
2
3
2
5
1
2
f
x
x
x
x
，
即
2
2
3
3
4
f
x
x
f
，
由（2）得：
f
x 在R 上是减函数，
所以
2
2
3
4
x
x
，解得：
1
1
2
x
，
不等式的解集为
1
1
2
x
x
.
题型三已知单调性求参数
例3.（1）若函数
2
1
( )
2
8
f x
kx
x
在[1,2] 上单调递减，则正数k 的取值范围为（
）
A．[1,3)
(10,
)
B．[1,
)
C．[2,
)
D．[2,3)
(10,
)
【答案】A
【分析】要使函数
2
1
( )
2
8
f x
kx
x
在[1,2] 上单调递减，则需
2
2
8
g x
kx
x
在
1,2 上单调递增且同号，
结合
0
k
列不等式组，解不等式组求得正数k 的取值范围.
【详解】要使函数
2
1
( )
2
8
f x
kx
x
在[1,2] 上单调递减，则需
2
2
8
g x
kx
x
在
1,2 上单调递增且同号，
所以
0
2
1
2
1
2
10
4
12
0
k
k
g
g
k
k
，解得1
3
k
或
10
k
.所以正数k 的取值范围是[1,3)
(10,
)
.
故选：A
(2).定义“函数
y
f x
是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数
,
D
y
f x
x
，对于给定的非零常数a ，总
存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有
af x
f x
T
恒成立，此时T 为
f
x 的周期. 若
y
f x
是
1,上的a 级类周期函数，且
1
T ，当
1,2
x
时，
2
2
1
x
f x
x
,且
y
f x
是
1,上
的单调递增函数，则实数a 的取值范围为
A．5 ,
6
B．
2,
C．10 ,
3
D．
10,
【答案】C
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【详解】∵
1,2
x
时,
2
2
1
x
f x
x
，
∴当
2,3
x
时,
1
(
)
(2
1)
1
2x
f
x
af x
a
x
；
当
,
1
x
n n
时,
2
1
1
1
(
)
(
)
(
1
2
1)
2
2
2
(
)
3
n
n
x n
f
x
af x
a f x
a
f x
n
a
x
n
，
即
,
1
x
n n
时,
1
1(
2
2
2
3),
n
x n
f
x
a
x
n
n
N
，
∵
( )
f x 在
1,上单调递增，
∴
0
a
且
1
1
2
2
(
)
2
2
2
3
2
2
(
)
(
2
)
5
n
n n
n
n
n
a
n
n
a
n
n
，
解得
10
3
a
，
∴实数a 的取值范围是10 ,
3
.
故选：C.
(3).设函数
( )
y
f x
和
(
)
y
f
x
，若两函数在区间
,
m n 上的单调性相同，则把区间
,
m n 叫做
( )
y
f x
的“稳
定区间”.已知区间[1,2021]为函数
1
2
x
y
a
的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（
）
A．[ 2, 1]
B．1 ,2
2
C．
1
2,
2
D．[1,2]
【答案】C
【分析】依题意可知函数
1
2
x
y
a
与函数
2x
y
a
在区间[1,2021]上同增或者同减，则根据同增或同减分
两种情况讨论即可.
【详解】函数
1
2
x
y
在R 上单调递减，函数
2x
y
在R 上单调递增,
若区间[1,2021]为函数
1
2
x
y
a
的“稳定区间”，
则函数
1
( )
2
x
y
f x
a
与函数
(
)
2 x
y
f
x
a
在区间[1,2021]上同增或者同减，
①若两函数在区间[1,2021]上单调递增，
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则
1
0
2
2
0
x
x
a
a
在区间[1,2021]上恒成立，即
1
1
1
0
2
2
0
a
a
，
所以
1
2
2
a
;
②若两函数在区间[1,2021]上单调递减，
则
1
0
2
2
0
x
x
a
a
在区间[1,2021]上恒成立，即
2021
2021
1
0
2
2
0
a
a
，不等式组无解.
综上所述；
1
2,
2
a
.
故选；C.
题型四
函数的单调性与最值及值域
例4(1).定义：
min
,a b 表示a ，b 两数中较小的数．例如
min 2,4
2
.已知
2
( )
min
,
2
f x
x
x
，
( )
2
(
)
x
g x
x
m m
R ，若对任意
1
[ 2,0]
x
，存在
2
[1,2]
x
，都有
1
2
f x
g x
成立，则m 的取值范围为
（
）
A．[ 4,
)
B．[ 6,
)
C．[ 7,
)
D．[ 10,
)
【答案】C
【分析】由题意求出函数
f
x 的解析式,作出函数
f
x 的图象,结合图像求出函数
f
x 在区间
2,0
上的最
大值,利用函数单调性求出函数
g x 在区间
1,2 上的最大值,根据题意
1
2
max
max
f x
g x
,解关于m 的不等
式即可.
【详解】由题意可得,函数
2
2
2
2
2
2
x
x
x
f x
x
x
x
,
即函数
2
2
1
2
1
2
x
x
x
f x
x
x
或
，
作出函数
f
x 的图象如图所示：
由图象可得,当
1
[ 2,0]
x
时，
1
max
( 1)
1
f
f x
；
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因为函数( )
2
(
)
x
g x
x
m m
R 为定义在R 上的增函数,
所以当
2
[1,2]
x
时，
2
max
(2)
6
g x
g
m
.
由题意知
1
2
max
max
f x
g x
，即1
6
m
，
解得
7
m ,所以实数m 的取值范围为[ 7,
)
，
故选: C
(2).已知函数
3
3
f x
bx
b
x
在
1,1
上的最小值为3
，则实数b 的取值范围是（
）
A．
, 4
B．
9,
C．
4,9
D．
9 ,9
2
【答案】D
【分析】由已知可得当1
<1
x
时，可得
2
1
3
1
bx
x
x
x
恒成立，通过分离变量，结合函数性质可
求b 的取值范围
【详解】因为
1
3
f
，函数
3
3
f x
bx
b
x
在
1,1
上的最小值为3
，
所以对
1,1
x
，
3
f x 恒成立，
所以
3
3
3
bx
b
x
恒成立，即
2
3
1
3 1
bx
x
x
恒成立，
当
1
x 时，
R
b
，
当1
<1
x
时，可得
2
1
3
1
bx
x
x
x
恒成立.
当
0
x
或= 1
x 时，不等式显然成立；
当0
1
x
时，
2
2
3
1
1
3 1
1
x
x
b
x
x
x
x
，
因为
2
0,2
x
x
，所以
2
1
1 ,
2
x
x
，
2
1
3
1
,
2
x
x
，
2
1
9
3 1
,
2
x
x
，
所以
9
2
b
；
当1
0
x
时，
2
1
3 1
b
x
x
，
因为
2
1 ,0
4
x
x
，所以
2
1
, 4
x
x
，
2
1
1
, 3
x
x
，
2
1
3 1
9,
x
x
，
所以
9
b
.
综上可得，实数b 的取值范围是
9 ,9
2
.
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故选：D.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)
a
f
x
恒成立⇔
max
a
f
x
；
(2)
a
f
x
恒成立⇔
min
a
f
x
.
(3).已知函数
2
f
x
x
ax
b
，当
2,2
x
时设
f
x 的最大值为
,
M a b ，则当
,
M a b 取到最小值时
a
（
）
A．0
B．1
C．2
D．
1
2
【答案】A
【解析】由二次函数的性质，求出
2
,
max{4
2
, 4
2
,
}
4
a
M a b
a
b
a
b
b ，结合选项a 取不同值时
,
M a b 的不同情况，进而求出结果.
【详解】
2
2
2
= (
)
2
4
a
a
f x
x
ax
b
x
b ，
当
2,2
x
时设
f
x 的最大值，在端点处或最低点处取得
2
,
max{4
2
, 4
2
,
}
4
a
M a b
a
b
a
b
b
,
2
0,
max 4
, 4
,
4
,
2
b
b
M
b
b
b b
b b
，最小值为2
1
7
,
2
1
4
8
1,
max
6
, 2
,
=
4
7
6
,
2 8
b b
M
b
b
b
b
b b
，最小值为1
38
1
,
3.5
2,
max 8
,
, 1
8
,
3.5
b b
M
b
b
b
b
b b
，最小值为4.5
1
15
,
2
1
1
16
32
,
max
5
, 3
,
2
16
15
5
,
232
b b
M
b
b
b
b
b b
，最小值17
2 32
综上可得，
,
M a b 取到最小值时
a
0.
故选：A
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练习题
（1）设函数
( )
3
f x
m
x
，若存在实数, (
)
a b a
b
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域为[ , ]
a b ，则实数m 的取值范
围是（
）
A．
9 , 2
4
B．
5
2,
4
C．
9
3,
4
D．
9
5
,
4
4
【答案】A
【分析】由题设可知该复合函数在区间[ , ]
a b 上单调递减，则可得
( )
3
f a
m
a
b
，( )
3
f b
m
b
a
.
由这两式联立可转化得
3
3
1
a
b
，以及2
1
m
a
b
，记
3
p
a
，
3
q
b
，代入整理后可得
2
2
1
9
2
(
)
2
4
m
p
p
p
，最后根据二次函数值域的求法，再结合题中对,a b 的限制条件（a
b
），即可
求出最终结果.
【详解】由
3
0
x
得
3
x ，且由复合函数的单调性可知函数
( )
f x 为减函数，
故有
( )
3
f a
m
a
b
，
( )
3
f b
m
b
a
，
两式相减可得
3
3
a
b
a
b
，
即
3
3
(
3)
(
3)
a
b
a
b
，
则
3
3
1
a
b
，
两式相加可得2
3
3
1
m
a
b
a
b
a
b
，
记
3
p
a
，
3
q
b
，
故有
1
p
q
，
2
3
a
p
，
2
2
3
(1
)
3
b
q
p
，
代入可得
2
2
1
1
9
2
(
)
2
2
4
a
b
m
p
p
p
，
又因为
1
p
q
，且
,p q 均为非负数，故
1
0
2
p
，
则由二次函数的值域可得：
当
0
p
时，m 取到最大值2
，
但当
1
2
p
时，
1
2
q
，与a
b
矛盾，则m 取不到最小值
9
4
，
所以m 的取值范围是
9
(
, 2]
4
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用换元法，将m 表示成关于p 的二次函数，进而求出m 的取值范围.
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(2).设
2
( )
min 2 ,16
,
8
16 (
0)
x
f x
x x
x
x
，其中
min
, ,
a b c 表示a，b，c 三个数中的最小值,则
( )
f x 的最
大值为
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据
min
, ,
a b c 的意义,画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.
【详解】
画出
2
2 ,
16
,
8
16
x
y
y
x y
x
x
的图象,
观察图象可知,当
2
x
时,
( )
2x
f x
,
当2
7
x
时,
2
( )
8
16
f x
x
x
,
当
7
x
时,
16
f x
x
,
f
x 的最大值在
7
x
时取得为9,
故选D.
(3).已知函数
4
( )
,
[ ,
)
a
f x
x
b x
b
x
，其中
0,
b
a
R
，记M 为
( )
f x 的最小值，则当
2
M
时，a 的取
值范围为（
）
A．
1
3
a
B．
1
3
a
C．
1
4
a
D．
1
4
a
【答案】D
【分析】根据a 讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定a 的取值范围.
【详解】①当
0
a
时，
( )
f x 在[ ,
)
b
上单调递增，
所以
min
4
1
1
8
( )
( )
2
2
0
2
a
a
f x
f b
b
b
b
b
，因此
0
a
满足题意；
②当
0
a
时，
( )
f x 在[2
,
)
a 上单调递增，在(0,2
)
a 上单调递减
因此⑴当2 a
b
时，
( )
f x 在[ ,
)
b
上单调递增，所以
2
min
4
1
1
8
( )
( )
2
2
2
0
1
8
0,
2
2
a
a
f x
f b
b
b
b
a
a
b
a
b
，
2
2
2
1
2
1
1 8
2
0
4
2
4
3
2
b
b
a
a
b
a
b
b
b
b
b
1
1 8
2
1 8
4
1
2
a
a
a
a
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1
0
16
a
或
1
1
16
0
16
1 8
16
8
1
a
a
a
a
a
或1
1
1
0
16
9
9
a
a
⑵当2 a
b
时，
( )
f x 在[2
,
)
a 上单调递增，在[ ,2
)
b
a 上单调递减，
所以
min
1
1
( )
(2
)
4
2
0
2
2
2
4
0
9
4
f x
f
a
a
b
b
a
a
a
a
；
综上，a 的取值范围为
1
4
a
，
故选：D
(4).若函数
f
x 在区间
,a b 上的值域为
,
2 2
a b
，则称函数
f
x 为“和谐函数”.已知
2
f
x
x
m
是区间
,a b 上的“和谐函数”（其中
2
b
a
），则实数m 的取值范围（
）
A．
0,1
B．1 ,1
2
C．
1
0, 2
D．1 2
,
2 3
【答案】B
【分析】根据题意
2
f
x
x
m
为增函数，可求
f
x 在区间
,a b 上的最大值与最小值，
分别与
,
2 2
b a 相等，通过方程有根可求参数范围.
【详解】由题意函数
2
f
x
x
m
为增函数.
则在区间
,a b 上
min
2
2
a
f x
f a
a
m
max
2
2
b
f
x
f b
b
m
则,a b 是方程
2
2
x
x
m
的两个不相等实根
令
2
x
t
则
2
2
x
t
代入方程
2
2
2
t
t
m
2
2
2
2
0
t
t
m
有两个不相等实根且两根非负
2
2
0
4
4
2
2
0
m
m
解得1
1
2
m
，即m 范围是1 ,1
2
故选：B
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题型五
创新提升能力题
1.已知函数
3
1
2
f x
x
x
，若关于x 的不等式
1
f x
x
恒成立，则实数的最大值为（
）．
A．
1
2
B．3
4
C．1
D．5
4
【答案】D
【分析】当
1
x 时，
5
1
0
2
f
恒成立；当
1
x 时，令
3
1
2
1
x
x
g x
x
，分
1
x ，1
1
x
，
3
1
2
x
和
3
2
x
四种情况求解
g x 的范围即可求解
【详解】由题意可得
3
1
1
2
f x
x
x
x
，
当
1
x 时，
5
1
0
2
f
恒成立；
当
1
x 时，可得
3
1
2
1
x
x
x
，令
3
1
2
1
x
x
g x
x
，
①当
1
x 时，
3
1
3
2
2
1
2
1
x
x
g x
x
x
，
因为
, 1
x
，所以
2
1
, 4
x
，所以
3
3 ,0
2
1
4
x
，
所以
5 ,2 ;
4
g x
②当1
1
x
时，
3
1
5
2
1
2
1
x
x
g x
x
x
，
因为
1,1
x
，所以
2
1
4,0
x
，所以
5 ,
4
g x
；
③当
3
1
2
x
时，
3
1
5
2
1
2
1
x
x
g x
x
x
，
因为
3
1, 2
x
，所以
2
1
0,1
x
，所以
5,
g x
；
④当
3
2
x
时，
3
1
3
2
2
1
2
1
x
x
g x
x
x
，
因为
3 ,
2
x
，所以
2
1
1,
x
，所以
3
0,3
2
1
x
,所以
2,5
g x
；
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综上所述，min
5
4
g x
，所以
5
4
，故的最大值为5
4 ，
故选：D
2.已知函数
18 ,2
12
2
15
12
,12
18
2
x
x
x
f x
ax
a
x
，若对于任意的实数
1
x 、2
x 、
3
2,18
x
，均存在以
1
f x
、
2
f x
、
3
f x
为三边边长的三角形，则a 的取值范围是（
）
A．
3
5
4
12
a
B．
5
3
12
4
a
C．
3
0
4
a
D．
3
0
4
a
【答案】B
【分析】对实数a 分a<0、
0
a
、
0
a
三种情况讨论，求出函数
y
f x
的最大值
max
f x
和最小值
min
f x
，
由题意得出
max
min
2
f x
f x
，由此可求出实数a 的取值范围.
【详解】当2
12
x
时，
18
18
2
6
2
2
x
x
f x
x
x
，当且仅当
6
x
时，等号成立，且
2
10
f
，
15
12
2
f
，
此时，
6
10
f x
；
①若a<0 时，函数
15
12
2
f
x
ax
a
在区间
12,18 上单调递减，则
15
18
2
f
f
x
，即
15
15
6
2
2
a
f
x
，
那么，当
2,18
x
时，
min
15
min 6,6
2
f
x
a
，
max
10
f x
，
由题意可得
max
min
2
f x
f x
，则有
10
2 6
15
10
2
6
2
a
，解得
5
12
a
，此时，
5
0
12
a
；
②当
0
a
时，且当12
18
x
时，
15
2
f
x
，则
min
6
f x
，
max
10
f x
，
max
min
2
f x
f x
成立，此
时
0
a
；
③当
0
a
时，函数
15
12
2
f x
ax
a
在区间
12,18 上单调递增，则
5
18
12
f
x
f
，即
15
15
6
2
2
f x
a
，则
min
6
f x
，
max
15
max 10,6
2
f
x
a
，
由题意可得
max
min
2
f x
f x
，则有
10
6 2
15
6
6 2
2
a
，解得
3
4
a
，此时
3
0
4
a
.
综上所述，
5
3
12
4
a
.
故选B.
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3.对于函数
( )
y
f x
，若存在定义域D 内某个区间[ , ]
a b ，使得
( )
y
f x
在[ , ]
a b 上的值域也是[ , ]
a b ，则称函
数
( )
y
f x
在定义域D 上封闭.如果函数
( )
(
0)
1 |
|
kx
f x
k
x
在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是
.
【答案】
, 1
1,
【分析】先用定义证明函数
1 |
|
x
y
x
在[0,
)
上递增,再根据奇偶性可得函数
1 |
|
x
y
x
在R 上为增函数,然
后讨论
0
k
和
0
k
可得
( )
f x 的单调性,当
0
k
时,依题意可得,a b 是1 |
|
kx
x
x
的两个不同的实数解,由此可
解得
1
k .当
0
k
时,依题意可得
( )
( )
f a
b
f b
a
,由此可推出
1
k .
【详解】.设
1
2
0
x
x
,则
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
(1
)
(1
)
1
1
(1
)(1
)
x
x
x
x
x
x
y
y
x
x
x
x
1
2
1
2
(1
)(1
)
x
x
x
x
,
因为
1
2
0
x
x
,所以
1
2
y
y
,
所以函数
1 |
|
x
y
x
在[0,
)
上递增,
又函数
1 |
|
x
y
x
为奇函数,所以函数
1 |
|
x
y
x
在R 上为增函数,
当
0
k
时,函数
( )
1 |
|
kx
f x
x
为增函数, 因为
( )
y
f x
在[ , ]
a b 上的值域也是[ , ]
a b ,所以
( )
( )
f a
a
f b
b
,即
1
1
ka
a
a
kb
b
b
,
即,a b 是1 |
|
kx
x
x
的两个不同的实数解,解得
0
x
或|
|
1
x
k
,
由|
|
1
0
x
k
得
1
k ,
当
0
k
时,
( )
1 |
|
kx
f x
x
为递减函数, 因为
( )
y
f x
在[ , ]
a b 上的值域也是[ , ]
a b ,所以
( )
( )
f a
b
f b
a
,即
1
1
ka
b
a
kb
a
b
,
因为
0,
k
a
b
,所以
0
a
b
,
所以
ka
b
ab
kb
a
ab
,所以(
)
k a
b
a
b
,因为
0
k
,所以
0
a
b
,即
b
a ,
所以
(
)
ka
a
a
a
,所以
1
0 1
1
k
a
,即
1
k .
综上所述:
1
k 或
1
k .
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故答案为:
, 1
1,
.
4.已知函数
2
2
2
( )
2 4
2
, ( )
1 (
) , ,
R
f x
ax
b
b x g x
x
a
a b
.
(1)当
0
b
时，若
( )
f x 在(
,2]
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)求满足下列条件的所有整数对( , )
a b ，存在
0x ，使得
0
f
x
是
( )
f x 的最大值，
0
g x
是( )
g x 的最小值；
(3)对满足（2）中的条件的整数对( , )
a b ，函数( ) |
( )
2 ( )
|
h x
f x
g x
t
在定义域上的最大值为2，求t 的值.
【答案】(1)
0,1 ；
(2) ( 1, 1)
，( 1,3)
；
(3)
1
t 或
2
t .
【分析】（1）当
0
b
时，若
( )
f x 在(
,2]
上单调递减，则此区间必是函数定义上单调递减区间的子集，由
此可以求出a 的取值范围
（2）研究两个函数的最值，由于
2
( )
1
(
)
g x
x
a
在x
a
时取到最小值，故求出
2
( )
2 4
2
f x
b
b x
取
最大值的
0x ，令其等于a ．
（3）由题可得
2
2
( ) |
2
2
|
2
x
x
h
x
x
x
t
，令
2
2
2
2
2
x
x
m
x
x
利用二次函数的性质可得
0,1
m
，
分类讨论求函数
|
|
y
m
t
的最值即得．
【详解】（1）当
0
b
时，
2
( )
4
f x
ax
x
，
若
0
a
，
( )
4
f x
x
，则
( )
f x 在(
,2]
上单调递减，成立，
故
0
a
，要使
( )
f x 在(
,2]
上单调递减，必须满
0
4
2
2
a
a
，
解之得0
1
a
，
综上，实数a 的取值范围是
0,1 ；
（2）若
0
a
，
2
( )
2 4
2
f x
b
b x
，可得
( )
f x 无最大值，故
0
a
，
( )
f x
为二次函数，
要使
( )
f x 有最大值，必须满足
2
0
4
2
0
a
b
b
，即a<0 ，1
5
1
5
b
，
此时，
2
0
4
2b
b
x
x
a
时，
( )
f x 有最大值．
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又
( )
g x
取最小值时，
0
x
x
a
，
依题意有
2
4
2
Z
b
b
a
a
，可得
2
2
5
(
1)
a
b
，
0
a
且，1
5
1
5
b
，
2
0
5
a
，结合a 为整数得
1
a ，此时
1
b = - 或
3
b
．
综上所述，满足条件的整数对( , )
a b 是：( 1, 1)
，( 1,3)
．
（3）当( , )
a b 是( 1, 1)
，( 1,3)
时，
2
( )
2
f x
x
x
，
2
2
( )
1 (
1)
2
g x
x
x
x
，
∴
2
2
2
2
( ) |
( )
2 ( )
| |
2
2
| |
2
2
2
2
|
h x
f x
g x
t
x
x
t
x
x
x
x
x
t
x
，
由
2
2
0
x
x
得，
2,0
x
，此时
2
2
2
1
1
0,1
x
x
x
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0,
2
1
x
x
x
x
x
x
，
令
2
2
2
2
2
x
x
m
x
x
，则
0,1
m
，
则函数
|
|
y
m
t
，在
0,1
m
上的最大值为2，
当
1
2
t
，即
1
2
t
时，当
1
m 时
max
|1
|
y
t
，
∴
max
|1
| 2
y
t
，解得
1
t 或
3
t （舍去），
当
1
2
t
，即
2
1
t
时，当
0
m
时
max
| 0
|
y
t
，
∴
max
| | 2
y
t
，解得
2
t 或
2
t
（舍去），
综上，
1
t 或
2
t .
5.已知函数
2
f
x
x
a
.
(1)若
4
a
，记函数
f
x
h x
x
.当
0
x
时，写出
h x 的增区间.（不需要证明）；
(2)记函数
4
3
m x
x
f
x
.若
m x 在区间
1,1
上最大值是2，求a 的值；
(3)记函数
f x
g x
x
，对
0,1
x
，有
1
1
g x g
x
成立，求实数a 取值范围.
【答案】(1)
2,
(2) 3
或1
或5
4 或5
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(3)
1
,
1,
4
【分析】（1）去绝对值符号，从而可求出函数的单调增区间；
（2）令
2
0,1
x
t
，则有
2
2
1
5
t
t
a
t
，故问题转化为：当
0,1
t
时，函数y
t
a
在函数
2
2
1
,
5
y
t
y
t
图像之间，再分
0
a
和a<0两种情况讨论，从而可得出答案；
（3）
1
1
g x g
x
，即
2
2
(1
)
1
x
a
x
a
x
x
，令
1
1
0, 4
x
x
n
，则
2
2
(1
)
1 2
x
x
n
，
即
2
2
2
1
0
n
a
n
n
n
，令
2
2
2
1
h n
n
a
n
a
a
，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）解：
4
2
4
4
,0
2
x
x
f
x
x
h x
x
x
x
x
x
x
，
，
h x 的单调递增区间是
2,；
（2）解：
4
2
4
2
4
3
2
1
5
x
x
a
x
x
a
x
，令
2
0,1
x
t
，
2
2
1
5
t
t
a
t
，
故问题转化为：当
0,1
t
时，函数y
t
a
在函数
2
2
1
,
5
y
t
y
t
图像之间，
①那么当a<0 时，函数y
t
a
顶点坐标
,0
a
在x 轴的负半轴上，
当y
t
a
t
a
过点
0,1 或
1,4 时，满足题意，故
1,
3
a
a
，
②那么当
0
a
时，函数y
t
a
顶点坐标
,0
a
在x 轴的正半轴上，
当y
t
a
a
t
过点
0,5 或
1,4 ，或者与
2
1
y
t
相切时，满足题意，
故
5
5,
4
a
a
，
综上所述：a 的值为3
或1
或5
4 或5；
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（3）解：
2
f x
x
a
g x
x
x
，
2
2
2
2
(1
)
1
1
1
(1
)
1
1
x
a
x
a
g x g
x
x
a
x
a
x
x
x
x
，
不妨令
2
1
1
1
1
1
3
2
4
4
4
2
4
x
a
a
a
或
1
4
a
≤
，
令
2
2
2
1
1
0,
1
[
1
]
(1
)
1 2
4
x
x
n
x
x
x
x
n
，
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
1
(1
)
(1
)
1
x
a
x
a
x
x
x
x
a x
x
a
x
x
，
换元可得：
2
2
2
1
0
n
a
n
n
n
，
令
2
2
2
1
h n
n
a
n
a
a
，
对称轴
1
2
n
a
，
①当
3
1
0
4
2
a
n
a
，对称轴为负数，只需满足
0
0
1
h
a
，
②当
1
1
3
1
4
2
4
4
a
n
a
，只需满足
1
0
4
h
即可，
2
1
1
1
0
4
4
4
h
a
恒成立，故
1
4
a
≤
成立，
综上所述：实数a 取值范围为
1
,
1,
4
.
1.关于函数
( )
2
3|
2|
f x
x
x
的单调递增区间为（
）
A．(
,2]
-
B．(
,4]
-
C．[2,
)
D．[4,
)
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【答案】C
【分析】去绝对值化简
( )
2
3|
2|
f x
x
x
，求解单调区间即可
【详解】
5
6,
2
( )
2
3
2 = 6
,
2
x
x
f x
x
x
x x
，易得函数的增区间为[2,
)
故选：C
【点睛】本题考查分段函数的性质，涉及函数的图象与单调性，由绝对值的几何意义得到函数的解析式是
解题的关键．
2.已知函数
f x
x x
，若对任意的
,
2
x
t t
，不等式
3
f x
t
f x
恒成立，则实数t 的取值范围是
（）
A．
2 3
2,
B．
2 3
2,
C．0,2 3
2
D．2 3
2,2 3
2
【答案】A
【解析】显然函数
f
x 在R 上单调递增，又
3
3
f x
f
x
，由
3
f x
t
f x
结合函数的单调性可知
3 1
t
x
，构造函数
( )
3 1
g x
x
，即
max
( )
3 1
2
t
g x
t
恒成立，解不等式即可得解.
【详解】
2
2
,
0
,
0
x
x
f x
x x
x
x
，函数
f
x 在R 上单调递增，
又
3
3
3
3
3
x x
x
f x
f
x
x
3
3
3
3 1
f x
t
f x
f x
t
f
x
x
t
x
t
x
所以对
,
2
x
t t
，不等式
3
f x
t
f x
恒成立，即不等式
3 1
t
x
恒成立，
令
( )
3 1
g x
x
，
,
2
x
t t
，即
max
( )
t
g x
又
( )
3 1
g x
x
在
,
2
t t
上单调递增，
max
( )
(
2)
3 1
2
g x
g t
t
2
3
1
3
1
2
2
3
2
3
1
2 3
2
2
3
t
t
t
t
所以实数t 的取值范围是
2 3
2,
故选：A.
3.已知函数
( ) |
2|
| 2
1| (
)
f x
x
a
x
a
R
.若存在x
R
，使得不等式
f x
a
成立，则实数a 的取值范围是
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（
）
A．
5
, 2
B．
5
0,2
C．
0,
D．1 5
,
2 2
【答案】A
【分析】因为
( ) |
2|
| 2
1| (
)
f x
x
a
x
a
R
,故
f x
a
化简为
2
1
2
1
x
a
x
,令
2
1
2
1
x
g x
x
.若存在
x
R
,使得不等式
f x
a
成立,即a 小于
2
1
2
1
x
x
最大值,求解
2
1
2
1
x
g x
x
最大值即可得实数a 的取
值范围.
【详解】
( ) |
2|
| 2
1| (
)
f x
x
a
x
a
R
f x
a
即:
2
2
1
x
a
x
a
可化为:
2
+ 2
1
x
a a
x
即
2
1
2
1
x
a
x
若存在x
R
，使得不等式
f x
a
成立即a 小于
2
1
2
1
x
x
最大值.
令
2
1
2
1
x
g x
x
①当
1
2
x
时,
2
2
2
1
1
=
1
2
1
1 2
1
2
2
x
x
x
g x
x
x
x
x
此时max
1
5
2
2
g x
g
②当
1
2
2
x
时
2
2
1
2
1
1 3
=
1
2
1
1
2
1
2
+1
2
1
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
1
3
1
1
3
1
2
1
2
2
1
x
x
1
5
<
2
2
g x
g
③当
2
x
时
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2
2
1
2
1
1 3
1
3
=
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
1
1
3
2
2
1
x
1
< 2
g x
综上所述, max
5
2
g x
,故
5
2
a
,即a 的取值范围是:
5
, 2
.
故选:A.
4.已知函数
f x
x
,
2
g x
ax
x
,其中
0
a
,若
1
1,2
x
,
2
1,2
x
,使得
1
2
1
2
f x
f x
g x
g x
成立,
则
a
A．1
B．1
2
C．2
3
D．3
2
【答案】D
【解析】由题可得
2
2
1
2
1
1
2
2
x x
ax
x
ax
x
，通过推理可得到
1
2
1
1
1 ,1
2
a
M
x
x
，
1
1
1
1,
2
a
a
a
N
x
，由题意可知，N
M
，列出不等式计算即可.
【详解】由题可得
2
2
1
2
1
1
2
2
x x
ax
x
ax
x
，则
1
2
1
2
1
2
0
ax x
ax x
x
x
，故
1
2
1
2
ax x
x
x
，
则
1
2
1
2
1
2
1
1
x
x
a
x x
x
x
，故
1
2
1
1
1 ,1
2
a
M
x
x
，
1
1
1
1,
2
a
a
a
N
x
，
因为
1
[1,2]
x
，
2
[1,2]
x
，使得
1
2
1
2
f x
f x
g x
g x
成立，即N
M
，
故
1
1
2
1
1
2
a
a
，解得
3
2
a
，
故选：D.
5.若函数
y
f x
在区间I 上是增函数，且函数
f
x
y
x
在区间I 上是减函数，则称函数
f
x 是区间I 上的
“H 函数”．对于命题：①函数
2
f x
x
x
是
0,1 上的“H 函数”；②函数
2
2
1
x
g x
x
是
0,1 上的“H
函数”．下列判断正确的是（）
A．①和②均为真命题
B．①和②均为假命题
C．①为假命题, ②为真命题
D．①为真命题, ②为假命题
【答案】D
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【详解】对于命题①：令t
x
,函数
( )
2
f x
x
x
可换元为
2
2
y
t
t
∵t
x
在(0,1)上是增函数，函数y=-t2+2t 在(0,1)上是增函数，∴在(0,1)上
( )
f x 是增函数；
2
( )
1
G x
x
在(0,1)上是减函数，∴函数
( )
2
f x
x
x
是(0,1)上的“H 函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数
2
2
2
( )
1
1
x
g x
x
x
x
是（0，1）上的增函数，
2
( )
1
( )
1
g x
H x
x
x
是(0,1)上的增函数，故命题②是假命题；故选D．
6.已知函数
3
2,
0
( )
3,
0
x
x
f x
x
x
，( )
5
2 (
0)
g x
kx
k k
，若对任意的
1
[ 1
x ，1]，总存在
2
[ 1
x ，1]使得
1
2
(
)
(
)
f x
g x
成立，则实数k 的取值范围为（
）
A．(0,2]
B．
2
(0,
]
3
C．(0,3]
D．(1,2]
【答案】A
【解析】计算得到
max
1
0
3
f x
f
f
，
max
1
5
g x
g
k
根据题意得到5
3
k
，解得答案.
【详解】
3
2,
0
( )
3,
0
x
x
f x
x
x
，当
1,1
x
时，
max
1
0
3
f x
f
f
( )
5
2 (
0)
g x
kx
k k
，当
1,1
x
时，
max
1
5
g x
g
k
根据题意知：5
3
2
k
k
，故
(0,2]
k
故选：A
7.对于定义域为I 的函数，如果存在区间
,
m n
I
，同时满足下列两个条件：
①
( )
f x 在区间
,
m n 上是单调的；
②当定义域是
,
m n 时，
( )
f x 的值域也是
,
m n ，则称
,
m n 是函数
( )
y
f x
的一个“黄金区间”.
如果
,
m n 可是函数
2
2
1
(
0)
a
a x
y
a
a x
的一个“黄金区间“，则n
m
的最大值为（
）
A．
3
3
B．1
C．2 3
3
D．2
【答案】C
【分析】根据题意得到
f
x 在[ , ]
m n 上单调，从而得到
,
m n 为方程
2
1
1
a
x
a
a x
的两个同号实数根，然后
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化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意，
2
2
2
1
1
1
a
a x
a
y
a x
a
a x
在
,0
和
0,
上均是增函数，而函数
f
x 在“黄金区
间” [ , ]
m n 上单调，所以
[ , ]
,0
m n
或
[ , ]
0,
m n
，且
f
x 在[ , ]
m n 上单调递增，故
f m
m
f n
n
，即
,
m n 为方程
2
1
1
a
x
a
a x
的两个同号实数根，
即方程
2
2
2
1
0
a x
a
a x
有两个同号的实数根，因为
2
1
0
mn
a
，所以只需要
2
2
2
4
0
3
a
a
a
a
或
1
a ，
又
2
2
2
1
1
a
a
a
m
n
a
a
mn
a
，所以
2
2
2
2
2
2
4
1
1
4
4
3
3
3
a
a
n
m
m
n
mn
a
a
a
，则当
3
a
时，
n
m
有最大值2 3
3
.
8.已知函数
f x
x x
a
．
(1)当
2
a
时，求
f
x 的增区间；
(2)若
1
2
,
[0,2]
x x
，都有
1
2
2
f
x
f
x
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)(
,1]
和[2,
)
(2)1
2 2
a
【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出
f
x 的单调增区间；（2）根据
已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a 的取值范围．
【详解】（1）
2
a
时，
2
2
2 ,
2
2
2 ,
2
x
x x
f x
x x
x
x x
，
2
x
时，
2
2
f x
x
x
在(
,1]
上单调递增，在[1,2) 上单调递减
2
x
时，
2
2
f x
x
x
单调递增
综上，
f
x 的增区间是(
,1]
和[2,
)
（2）因为对
1
2
,
[0,2]
x x
，都有
1
2
2
f
x
f
x
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所以
1
2
max
2
f
x
f
x
，所以
max
min
2
f x
f x
又
[0,2]
x
时，
0
(0)
f x
x x
a
f
所以
min
(0)
0
f x
f
所以
[0,2]
x
时，
max
2
f x
，
又
[0,2]
x
时，
| (
) |
f
x
x x
a
x x
a
，
所以问题转化为：2
(
)
2
x x
a
对
2
(
]
0,
x
恒成立，
整理得：
2
2
x
a
x
x
x
对
2
(
]
0,
x
恒成立，
所以
max
min
2
2
(
)
(
)
,
(0,2]
x
a
x
x
x
x
，
因为
2
y
x
x
在(0,2] 上单调递增，所以
2
x
时，
max
2
(
)
1
x
x
，
因为
2
(
]
0,
x
时，
2
2
2
2 2
x
x
x
x
，
当且仅当
2
x
x
即
2
x
时取等号，
所以
min
2
(
)
2 2
x
x
，
所以1
2 2
a
9.已知
f
x 定义域为R ，对任意,
R
x y
都有
1
f x
y
f x
f
y
，当
0
x
时，1
f x ，
1
2
f
．
(1)试判断
f
x 在R 上的单调性，并证明
(2)解不等式：
2
2
3
2
2
4
f
x
x
f
x
【答案】(1)函数
f
x 在R 上单调递减，证明见解析
(2)
1
1
2
x
x
【分析】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可
（2）结合条件将所求不等式化为
2
2
2
1
f
x
x
f
，由函数的单调性解出不等式即可.
【详解】（1）函数
f
x 在R 上单调递减，证明如下：
任取,
R
x y
，且
1
2
x
x
，
可得
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
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2
1
1
f x
x
，
因为
2
1
0
x
x
，且
0
x
时，1
f x ，
所以
2
1
1
f x
x
，
所以
1
2
0
f x
f x
即
1
2
f x
f x
，
所以
f
x 在R 上单调递减．
（2）令y
x
，得
2
1
f
x
f
x
f
x
，
∴
2
2
1
f x
f
x
∴
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
1
2
3
2
2
2
4
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
∴
2
2
2
2
f
x
x
，
又
f
x 在R 上的单调递减且
1
2
f
∴
2
2
2
1
f
x
x
f
，
∴
2
2
2
1
x
x
．
∴
1
1
2
x
，
即不等式解集为
1
1
2
x
x
10．设函数
2
( )
(
1) |
| 3(
)
f x
x
x
x
a
a
R ．
（1）当
0
a
时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数
f
x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；
（3）若对
x
R ，不等式
2
f x
x
≥
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）
1
0, 4
；（2）
1
3
a
；（3）3
1
a
.
【解析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间.
（2）去掉绝对值符号可得
2
2
1
3
,
( )
1
3
,
x
a
x
a x
a
f x
a
x
a x
a
，根据函数
f
x 在R 上单调递增可得关于a 的
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不等式组，从而可得其取值范围.
（3）
2
f x
x
≥
等价于
2
2
3
3
0
x
a
x
a
x
a
且
1
3
0
x
a
a
x
a
恒成立，前者可分类讨论，后者可结
合一次函数的图象和性质，两者结合可得a 的取值范围.
【详解】（1）
0
a
时，
2
2
2
3,
0
( )
(
1)
3
3,
0
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
，
故
f
x 在
,0
上为增函数，在
1
0, 4
上为减函数，在1 ,+
4
为增函数，
故函数的单调递减区间为
1
0, 4
.
（2）
2
2
2
1
3
,
( )
(
1)
3
1
3
,
x
a
x
a x
a
f x
x
x
x
a
x
a
x
a x
a
，
因为函数
f
x 在R 上单调递增，故
2
1
4
1
0
2
1
3
1
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，
解得
1
3
a
.
（3）
2
f x
x
≥
等价于
2
2
3
3
0
x
a
x
a
x
a
且
1
3
0
x
a
a
x
a
恒成立，
先考虑
1
3
0
x
a
a
x
a
恒成立，则
2
1
0
2
3
0
a
a
a
，故
1
a .
再考虑
2
2
3
3
0
x
a
x
a
x
a
恒成立，
又
3
3
3
4
4
a
a
a
，故
3
4
a
a
，
故
2
3
8
3
0
1
a
a
a
，解得3
1
a
，
综上，a 的取值范围为3
1
a
.
11.已知函数
( )
(
0)
a
f x
x
a
x
具有如下性质:在(0,
]
a 上是减函数,在[
,
)
a 上是增函数.
（1）若函数
2 (
0)
b
y
x
x
x
的值域为[6,
)
,求b 的值;
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（2）已知函数
2
4
12
3
( )
2
1
x
x
f x
x
,
[0,1]
x
,求函数
( )
f x 的单调区间和值域;
（3）对于（2）中的函数
( )
f x 和函数( )
2
g x
x
c
,若对任意
1
[0,1]
x
,总存在
2
[0,1]
x
,使得
2
1
g x
f
x
成
立,求实数c 的值.
【答案】（1）
2
log 9
b
（2）
f
x 在
1
0, 2
上递减,在1 ,1
2
上递增;值域为[ 4, 3]
（3）
3
2
c
【解析】（1）由所给函数
( )
(
0)
a
f x
x
a
x
知,即可得出对于函数
2 (
0)
b
y
x
x
x
,当
2b
x
时取得最小值
2 2
6
b
,解出即可.
（2）设
2
1
t
x
,
[1,3]
t
,
2
(
1)
6(
1)
3
4
( )
8
t
t
f t
t
t
t
.由所给函数
( )
(
0)
a
f x
x
a
x
性质知:
( )
f t 在
[0,1] 单调递减,在[2,3]单调递增.进而取得最值.
（3）
g x 在[0,1] 单调递减,可得
1 2 , 2
c
g x
c
.对任意
1
[0,1]
x
,总存在
2
[0,1]
x
,使得
2
1
g x
f
x
成
立,[ 4, 3]
[ 1
2 , 2 ]
c
c
-
-
Í - -
-
,解出即可.
【详解】解:（1）由条件知
2b
y
x
x
在(0,
2 ]
b 上单调递减,在[ 2 ,
)
b 上单调递增,
所以当
2b
x
时,则
min
2 2
6
b
y
,所以
2
log 9
b
.
（2）令
2
1
t
x
,则
[1,3]
t
,
所以
2
(
1)
6(
1)
3
4
( )
8
t
t
f t
t
t
t
,
由条件知
4
8
y
t
t
在
[1,2]
t
上递减,在
[2,3]
t
上递增,
而
2
1
t
x
在[0,1] 上递增,
根据复合函数单调性知
f
x 在
[1,2]
t
即
1
0, 2
x
上递减,
在
[2,3]
t
即
1 ,1
2
x
上递增,
所以
f
x 在
1
0, 2
上递减,在1 ,1
2
上递增;
根据
4
8
y
t
t
的单调性知,
当
2
t
时,
min
( )
4
f x
,
当
1
t 时,
max
( )
3
f x
,所以值域为[ 4, 3]
.
（3）
g x 的值域为
1 2 , 2
c
c
,
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对任意
1
[0,1]
x
,总存在
2
[0,1]
x
,使得
2
1
g x
f
x
成立
由题意知
f
x 的值域为
g x 的值域的子集,
所以[ 4, 3]
[ 1
2 , 2 ]
c
c
-
-
Í - -
-
所以
1 2
4
3
3
2
3
2
3
2
c
c
c
c
.
12.已知函数
0
1
ax
g x
a
x
在区间1 ,1
5
上的最大值为1．
(1)求实数a 的值；
(2)若函数
2
1
0
x
b
f x
b
b
g x
，是否存在正实数b ，对区间1 ,1
5
上任意三个实数r、s、t，都存
在以
f g r
、
f g s
、
f g t
为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
2
a
(2)存在，1
5
15
3
b
【分析】（1）由题意
1
a
g x
a
x
，
1 ,1
5
x
，然后分a<0 ，
0
a
两种情况讨论函数
g x 的单调性，即
可得出结果；
（2）由题意
0
b
f x
x
b
x
，可证得
f
x 在
0, b 为减函数，在
,
b 为增函数，设
u
g x
，
1 ,1
3
u
，则
0
b
f g x
f u
u
b
u
，从而把问题转化为：
1 ,1
3
u
，
min
max
2 f u
f u
时，求实
数b 的取值范围．结合
b
f u
u
u
的单调性，分
1
0
9
b
，1
1
9
3
b
，1
1
3
b
，
1
b 四种情况讨论即可
求得答案.
【详解】（1）由题意
1
1
ax
a
g x
a
x
x
，
1 ,1
5
x
①当a<0 时，函数
g x 在区间1 ,1
5
上递减，
所以max
1
5
1
5
6
6
a
a
g x
g
a
，得
6
a
（舍去）．
②当
0
a
时，函数
g x 在区间1 ,1
5
上递增，
所以
max
1
1
2
2
a
a
g x
g
a
，得
2
a
．
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综上所述，
2
a
．
（2）由题意
2
2
2
1
1
x
g x
x
x
，又1
1
5
x
，
由（1）知函数
g x 在区间1 ,1
5
上递增，
∴
1
1
5
g
g x
g
，即
1
1
3
g x
，
所以函数
g x 在区间1 ,1
5
上的值域为1 ,1
3
．
又因为
2
2
1
1
1
1
1
x
b
x
x
b
x
b
x
b
f x
b
b
b
g x
x
x
，
∴
2
0
x
b
b
f x
x
b
x
x
，
令
1
2
0
x
x
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
b
b
b
f x
f x
x
x
x
x
x
x
x x
，
当
1
x ，
2
0,
x
b
时，
1
2
1
2
1
0
b
x
x
x x
，所以
1
2
f x
f x
，
f
x 为减函数；
当
1
x ，
2
,
x
b
时，
1
2
1
2
1
0
b
x
x
x x
，所以
1
2
f
x
f
x
，
f
x 为增函数；
∴
f
x 在
0, b 为减函数，在
,
b 为增函数，
设
u
g x
，由（1）知
1 ,1
3
u
，∴
0
b
f g x
f u
u
b
u
；
所以，在区间1 ,1
5
上任意三个实数r、s、t，都存在
f g r
、
f g s
、
f g t
为边长的三角形，等价
于
1 ,1
3
u
，
min
max
2 f u
f u
．
①当
1
0
9
b
时，
b
f u
u
u
在1 ,1
3
上单调递增，
∴
min
1
3
3
f u
b
，
max
1
f u
b
，
由
min
max
2 f u
f u
，得
1
15
b
，从而1
1
15
9
b
．
②当1
1
9
3
b
时，
b
f u
u
u
在1 ,
3
b
上单调递减，在
,1
b
上单调递增，
∴
min
2
f u
b
，
max
1
f u
b
，
由
min
max
2 f u
f u
得7
4 3
7
4 3
b
，从而1
1
9
3
b
．
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③当1
1
3
b
时，
b
f u
u
u
在1 ,
3
b
上单调递减，在
,1
b
上单调递增，
∴
min
2
f u
b
b
，
max
1
3
3
f u
b
，
由
min
max
2 f u
f u
得7
4 3
7
4 3
9
9
b
，从而1
1
3
b
．
④当
1
b 时，
b
f u
u
u
在1 ,1
3
上单调递减，∴
min
1
f u
b
，
max
1
3
3
f u
b
，
由
min
max
2 f u
f u
得
5
3
b
，从而
5
1
3
b
．
综上，1
5
15
3
b
．
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