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重难点专题04 一次函数的应用
模块一、一次函数的实际应用
重难点一、分配方案问题
先设分配数量为自变量，结合总量关系列出一次函数解析式，再根据物资数
量、人数等现实约束，列出自变量取值不等式，求出整数可行方案。结合k 的正负判断函
数增减性，快速筛选最优分配方案，作答时完整列举全部符合条件的分配方案。
1．（25-26 八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器
材供学生使用，经调查，某公司有A，B 两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.8万元，每
套B 型健身器材售价为2 万元，经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.5万元；
每套B 型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进A，B 两种健身器材共100套，若A型健身器材买
x 套，共花费y 万元．
(1)请求出y 与x 的函数关系式；
(2)若A型健身器材的数量不超过55套，学校应如何购买才能使总费用最少？
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2．（24-25 八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种
套餐：
A 套餐：月租0 元，市话通话费每分钟0.49 元；
B 套餐：月租费48 元，免费市话通话时间48 分钟，超出部分每分钟0.25元．
设A 套餐每月市话话费为
1y（元），B 套餐每月市话话费为
2y（元），月市话通话时间为x 分钟(
)
48
x
．
(1)分别写出
1y ，
2y 与x 的函数关系式；
(2)小明爸爸每月市话通话时间为200 分钟，请说明选择哪种套餐更合算．
3．（23-24 八年级下·河北石家庄·期中）A 县和B 县春季分别急需化肥100 吨和60 吨，C 县和D 县分别
储存化肥110 吨和50 吨，全部调配给A 县和B 县．运费如下表所示：
出发地
运费（元/吨）
目的地
C 县
D 县
A 县
40
45
B 县
35
50
(1)设从C 县运到A 县的化肥为x 吨，则从C 县运往B 县的化肥为 吨，从D 县运往A 县的化肥为 吨，从
D 县运往B 县的化肥为 吨；
(2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案．
4．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）综合实践活动《绿动未来——追踪碳排放》
【素材呈现】
素材一：在对A 城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10 辆燃油车与10 辆电
动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600 克，而5 辆燃油车与6 辆电动汽车每公里的总排放量则
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为1374 克．
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年
的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172 千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大
约吸收111 千克的二氧化碳．
【问题解决】
(1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？
(2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100 棵，设购买杨树a 棵，这100 棵树木一年内吸收
的二氧化碳总量为w千克．
①求w与a 的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过20 棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100
棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
5．（25-26 八年级下·广东广州·期末）A 城有肥料200t ，B 城有肥料300t ．现要把这些肥料全部运往C、
D 两乡．从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/t 和25 元/t ；从B 城往C、D 两乡运肥料的费用
分别为15 元/t 和24 元/t ．现C 乡需要肥料240t，D 乡需要肥料260t．若从A 城运往C 乡的肥料为t
x ，
总运费为y 元．
(1)用含x 的代数式表示从A 城运往D 乡的肥料；
(2)写出总运费y 与x 之间的函数关系式；并写出x 的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
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6．（25-26 八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300 吨，乙地有木材400 吨．现将两地木材全部运
往A、B 两木艺加工厂，其中A厂需木材360 吨，B 厂需木材340 吨．设从甲地运x 吨木材到A厂
（0
300
x
），从甲地运往两木艺厂的总运费为
1y 元，从乙地运往两木艺厂的总运费为
2y 元．
运费表
(1)木材运输配送表如下，请你填空（用含x 的式子表示）：
甲地
乙地
A厂
x
②
B 厂
①
③
①______；②______；③______；
(2)请分别求出
1
2
y
y
、
与x 之间的函数关系式；
(3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费
2y 不得超过4800 元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两
木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值．
重难点二、最大利润问题
梳理单件利润、销售数量，总利润 = 单件利润 × 销量，据此构建一次函
数。根据进货量、售价限制确定自变量取值范围，通过k 正负判断增减性：k>0 取区间最
大值，k<0 取区间最小值，代入解析式算出最大利润，最后结合题意规范作答。
1．（25-26 七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器
材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120 元，羽毛球每筒40 元，某体育用品商场抓住机遇推出促
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销活动，提供了两种优惠方案：
方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折．
若该羽毛球俱乐部需采购球拍100 副，羽毛球x 筒(
)
100
x
．方案一、二所需付款金额分别为
1y 元、
2y
元．
(1)求
1y ，
1y 与x 之间的函数表达式；
(2)当
150
x =
时，通过计算比较这两种方案哪种更划算．
2．（25-26 八年级上·安徽滁州·期中）某公司每月销售
,
A B 两种型号的教学设备共20 台，每台的销售成
本和售价如下表．
型号
A
B
成本/（万元/台）
3
5
售价/（万元/台）
4
8
(1)设该公司每月销售A型号设备x 台，则每月销售B 型号设备______台，每月共获得利润_____万
元．（用含x 的代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80 万元，则该公司如何安排购进
,
A B 两种型号教学设
备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
3．（2025·河北唐山·三模）国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文
创店老板打算从批发商处购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种
手办进行试销．其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”
手办贵5 元．
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(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批
手办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价比原
来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低40%，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进a 套“太
乙真人”手办，b 套“哪吒”手办．
①试推算a 与b 应满足的数量关系；
②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130 套时，直接
．．写出销售完第二批手办可获
得利润的最大值．
4．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质
乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销
售A 、B两款牛奶贝，结合材料解决问题
内容
材
料
一
某特产店购进A ，B两款牛奶贝进行销售，A 、B两款牛奶贝的售价分别为32 元
/袋和25 元/袋，A 款牛奶贝的进价为22 元/袋，B款牛奶贝的进货总金额y（单
位：元）与B款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
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材
料
二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000 袋，其中B款
牛奶贝的进货量不低于300 袋，且不高于600 袋．
任务：
(1)求y 关于x 的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完A 、B两款牛奶贝获总利润为w （单位：元），请求出w
关于x 的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
5．（25-26 八年级下·山西大同·期末）某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100 本，这两种笔记本的进
价、售价如表：
类型
进价/（元/本）
售价/（元/本）
甲种
3
4.5
乙种
5
7
受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2 倍，设文具店购进甲种笔记本x
本，销售完这批笔记本的总利润为y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式．
(2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？
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6．（20-21 八年级下·湖北荆州·期末）某农机合作社共有70 台农机，其中在A城有30 台，在B 城有40
台，近期要将其全部运往C
D
，
两乡进行耕作，C 乡需要34 台，D 乡需要36 台，由A B
，两城运往
C
D
，
两乡的运费如下表：
C 乡
D 乡
A城
250 元/台
200 元/台
B 城
150 元/台
240 元/台
设A城运往C 乡x 台，运送全部农机的总运费为W 元．
(1)求W 关于x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)如何安排运送方案，使总运费W 最小？
(3)据悉某部门将对由A城运农机到C 乡的合作社给予补贴，标准为a 元/台，目前只知a 不超过200
a
，的
具体值在研究后公布，该合作社将如何根据a 的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费= 总运费-补
贴）
重难点三、行程问题
梳理路程、速度、时间三者关系，分段分析匀速、停留、折返等运动状态，
分阶段列出一次函数。图像题型先读懂横纵坐标代表含义，拐点对应行程状态变化；利用
解析式计算相遇时间、相距距离，计算时区分相向、同向行驶，避免路程关系混淆。
1．（25-26 八年级下·重庆·期中）问界M6 纯电版汽车于2026 年4 月22 日正式发售，其中续航600km版
本的CLTC 综合续航里程约为665km．为了保护电池性能，厂家建议：当剩余续航里程低于130km（对应
电量约20%）时就需要及时充电，保障电池寿命．假设该车在以平均时速100km/ h 匀速行驶时，剩余续
航里程y（km）与行驶时间x（h）满足一次函数关系，若出发时满电续航为665km．
(1)求y 与x 之间的函数解析式；
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(2)行驶多长时间后，剩余续航达到充电提醒标准（130km）
2．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加
2m / s ．
(1)写出滚动的时间( )
t s 和小球的速度(
)
/
v m s 之间的函数关系式；
(2)当小球滚动了3.5s 时，其速度是多少？
3．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放
在A点和B 点，然后让它们同时出发，沿BA方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离
( )
s m 与它们行走的时间( )
t s 之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的( )
s m 与( )
t s 的部分数据：
行走的时间
( )s
t
0
1
2
3
…
甲、乙两个机
器人的距离
( )
s m
2
3
4
5
…
(1)求两个机器人的距离( )
s m 与它们行走的时间( )
t s 之间的函数表达式；
(2)已知两个机器人已行走3s ，要使它们的距离再增加10m，则两个机器人还应继续向前走多久？
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4．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）春光明媚的周末，班长刘伟骑车到北龙湖湿地公园参加“春日研学”
活动．他早上9:00从家出发，图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y 与时间x 的关系，他9:00离开家，
14:40回到家，请你根据这个折线图回答下列问题：
(1)刘伟家距离北龙湖湿地公园有多少千米？
(2)刘伟在9:00 9:30
−
和10:00 10:30
−
的平均速度各是多少？
(3)回家路上，何时刘伟距家2km？
5．（25-26 七年级下·河南平顶山·期末）图象（折线ABCDE ）描述了一辆汽车在某一笔直公路上的一次
往返行驶过程，如图是汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t （小时）之间的关系图象，请根据图
象解答下列问题：
(1)从图象上看，这辆汽车是从A、B 、C 、D 、E 中的哪个位置出发的？
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(2)在这个问题中，自变量和因变量分别是什么？
(3)出发地与目的地之间的距离为 千米；
(4)在去往目的地的过程中，因故停留了多长时间？
(5)求汽车返回时的速度．
6．（25-26 七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约500千米．小张乘车从成都出发，先以
75km/h 行驶2 小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用9小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发
0.5小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息1小时后按原速原路
返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离(
)
km
s
随行驶时间( )
t h 变化的图象，请回答下列问题：
(1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米/ 时；小李的速度为________千米/ 时；
(2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？
(3)已知小张和小李的汽车均装载AI 智能通讯设备，设备最大通讯距离为10千米．试求小张从出发到停止
行驶期间，两人能保持通讯的总时间．
重难点四、梯度计价问题
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按照收费标准划分自变量区间，每个区间单独建立一次函数。分清起步价、
分段单价，不可直接套用单一解析式。解题先判断数值落在哪一段区间，选用对应式子计
算，作答标注区间适用范围，防止跨段计算失误。
1．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋
的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段
（19:00:00
23:00:00
−
），3 公里以内（含3 公里）的起步价为8.6元；超过3 公里的部分，按1.2元/公
里的标准收取里程费．
(1)当行程超过3 公里时，判断实际打车费用y 元是否是里程x 公里的函数，并用含x 的代数式表示y；
(2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为4.2 公里，那么打车费用是多少元？
2．（25-26 八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过3km 时，均按起步价m 元
收费；当里程超过3km 时，超过部分按n 元/km 收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与
行驶里程之间的关系如下表：
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行驶里程(
)
km
x
3
5
7
车费y （元）
11
17
23
设行驶里程为
(
)
km
3
x
x
，出租车的车费为y 元，y 是x 的一次函数．
(1)m = ________，n =________；
(2)求y 与x 之间的函数表达式；
(3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为16km，求这位乘客需付的车费．
3．（25-26 八年级上·山东青岛·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市城镇居民用水实行
阶梯收费．具体情况如表：
每月用水量
单价
不超过15 立方米
每立方米2.4 元
超过15 立方米不超过30 立方米部分
每立方米3.4 元
超出30 立方米部分
每立方米7.2 元
(1)若设居民每月的用水量为x 立方米，每月所需的水费为y 元．请写出超过15 立方米不超过30 立方米部
分、超出30 立方米部分y 与x 的函数关系式；
(2)若小丽家6 月份水费70 元，那么小丽家用水多少立方米？
4．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下
表是根据户年用水量进行分档计费的标准：
户年用水量（
3
m ）
水费单价（元/
3
m ）
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不超过
3
150 m 的部分
k
超过
3
150 m 的部分
6
已知A 户去年的户年用水量为
3
90 m ，去年整年的水费是360元，设户年用水量为x （
3
m ），整年的水费
为y （元）．
(1) k 的值为________；
(2)求y 关于x 的函数解析式；
(3)已知B 户去年整年的水费是660 元，求B 户去年的户年用水量．
5．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费
标准：
计费档
户月用电量x/
（kW·h）
单价/[元/（kW·h）]
第一档
0
170
x
0.5
第二档
170
260
x
0.6
第三档
260
x
0.8
(1)当170
260
x
时，写出电费y（单位：元）与用电量x 之间的表达式；
(2)某户12 月的电费是127 元，求该户12 月的用电量．
6．（25-26 八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C 三
种年卡套餐的收费标准（如下表）．
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套餐
年卡费用/元
套餐内游泳次数/次
套餐外单次收费/元
A
600
20
a
B
1200
50
40
C
1800
不限次
设年游泳次数为x （单位：次），
0
x
，根据表格回答：
(1)请写出B 种年卡套餐的费用y （单位：元）关于游泳次数x （单位：次）的函数解析式；
(2)若
40
a =
，请给出游泳费用最省方案；
(3)当游泳次数为m 时，A 种年卡套餐和B 种年卡套餐的费用相同，若m 的值存在两个，请直接写出a 的
取值范围_______．
重难点五、其他问题
包含水费、话费、工程施工等分段计费题型，分区间列出对应一次函数。先
划分自变量分界区间，分别写出每段解析式，标注各段取值范围；读取图像关键点坐标，
代入解析式求解收费标准，计算总费用时找准自变量所属区间，避免套用错函数式。
1．（2026·山西长治·三模）数学兴趣小组在探究“桶装水在常温下的最佳饮用时间”时，发现桶装水中菌落
总数(
)
/
y CFU ml 与实验时间x （天）成一次函数关系，该小组的部分实验数据如下表，则y 与x 之间的
函数关系式为（ ）
实验时间x /天
．．．
2
3
4
．．．
菌落总数
(
)
/
y CFU ml
．．．
18
21
24
．．．
A．
3
12
y
x
=
+
B．
3
12
y
x
= −
+
C．
3
18
y
x
=
+
D．
5
12
y
x
=
+
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2．（2026·山西阳泉·三模）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温
度为20 C
时，100g 水中溶解31.6g 的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量y
（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______．
3．（25-26 八年级下·山西吕梁·期末）如图1，有两个完全相同的长方体水槽并排放在水平地面上．水槽
A 下面垫了一块厚度为h 的木板（木板放在地面上），水槽B 直接放在地面上．初始时，水槽A 内水深
12cm（从槽底算起），水槽B 内无水．两个水槽底部用一根U 型管连通，水会从水槽A 流向水槽B，直
到两个水槽的水面到地面的高度相等时停止．用
1y 表示t 时刻水槽A 中从槽底算起的水深（单位：
cm ），
2y 表示水槽B 中从槽底算起的水深（单位：cm ）．
1y 与
2y 随时间t （单位：s）的变化关系如图
所示．已知在
2.5s
t =
时，水流刚好停止，则木板的高度为___________cm ．
4．（25-26 八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13 元的价格购进某商品100 件，售出部分商品后进
行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66 件时，销售
金额为多少？
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5．（2026·陕西榆林·三模）人形机器人马拉松，以创新实践诠释人机共生理念，彰显大国科技创新开放
共享的责任担当．在某次机器人训练中，某台机器人以一固定速度匀速奔跑，电量随时间均匀消耗，剩
余电量y （单位：% ）是奔跑时间x （单位：分钟）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围）
(2)本次训练中，当该台机器人剩余电量为60% 时，它此时奔跑了多少分钟？
6．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始
4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的
进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所
示．
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(1)当0
4
x
时，求y 关于x 的函数解析式；
(2)进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？
(3)多少分钟时该容器内的水恰好为10 升．
7．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，
若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x 天累计生产服装的数量为y 件，y 与x 之间的关
系如图所示．
(1)这批服装一共有________件；
(2)求增加工人后y 与x 的函数表达式；
(3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70 元，从
第6 天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去
成本）
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8．（25-26 八年级下·广西贵港·期末）【综合与实践】
为落实劳动教育，某班在校园一角开辟直角梯形劳动实践基地ABCD，如图，
90
ABC
=
，
45
BCD
=
，
4m
AB =
，
6m
BC =
，
2m
AD =
，AD
BC
．老师计划在基地划出一块临时作业分区，由
班长手持标杆从点A 出发，沿着折线A
B
C
→
→
行走，到达点C 后停止．标杆的位置记为点P，PCD
即为划定的临时作业分区，设班长行走的路程为x（单位：m），作业分区面积为y（单位：
2
m ）．
(1)当班长走到B 点时，划定的作业分区面积y 是多少?
【深入研究】
(2)求班长在行走过程中，作业分区面积y 与行走路程x 的函数关系式；
【问题解决】
(3)若老师要求作业分区面积恰好为
2
8m ，求班长的行走路程x．
9．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）净光合速率P 越大，植物积累的有机物越多，生长越旺盛，在温室
大棚中，可以通过调节温度T 和二氧化碳浓度C 来促进农作物生长．技术人员对某农作物进行了研究，
在标准大气二氧化碳浓度下，净光合速率受温度影响，且在30 C
时达到最大，实验数据如表：
温度T
（C
）
20
22
24
26
28
30
32
34
36
净光合速
率P
13.00
14.00
15.13
16.00
17.00
18.00
16.50
15.00
13.50
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(1)当20
30
T
时，根据表格，求出一个P 关于T 的函数解析式；
(2)为使该作物净光合速率达到中等水平（
16
P
），试求温度T 的调节范围；
(3)研究发现，适度施“气肥”提高二氧化碳浓度，能改变净光合速率对温度的响应．在温度T
m
=
时
（20
30
m
，此时净光合速率为
m
P ）开始施“气肥”，有如下规律：
①施气肥后，最大净光合速率提高至24 ；
②在到达最大净光合速率前，净光合速率'P 随温度T 的增大而增大，且变得更加“敏感”，可近似描述为
(
)
m
P
k T
m
P
=
−
+
，其中敏感因子
1.5
k =
；
③在到达最大净光合速率后，可以认为P随T 的增大而均匀减小，且受作物自身特性限制，当
38 C
T =
时，净光合速率为20 ．
某日温室大棚24小时温度预报如图所示，请你依据上述规律估计：最晚几时施“气肥”，能使该作物净光
合速率处于较高水平（
22
P
）的时间不少于6 小时？
模块二、一次函数与几何综合
重难点一、一次函数与直线综合
两条直线相交，联立两个一次函数解析式，组成二元一次方程组，方程组的
解即为交点坐标。已知平行直线k 值相等，垂直直线k 乘积为 - 1，以此求参数。求直线
解析式多用待定系数法，代入两点坐标构建方程组求解k、b。
1．（25-26 九年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点P 是直线
2
4
y
x
=
+
上一动点，O 为坐
标原点，则PO的最小值为___________．
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2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点
(
)
1,3
A
，
(
)
1,
B
m ，若直线
1
y
x
=
+ 与线段AB
有公共点，则m 的范围为_______．
3．（25-26 八年级上·山东青岛·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数
2
4
3
y
x
= −
+
的图象分别与
x 轴、y 轴交于点A、点B ，点C 是线段OA上的一个动点(不与点O和点A重合)，过C 作CD
y
∥轴交线
段AB 于点E ，使
2
CD
OC
=
，设点C 的横坐标为m ．
(1)求点A、点B 的坐标；
(2)如图2，当DE
CE
=
时，求m 的值；
(3)如图3，连接AD，BD，在点C 运动的过程中，当
AOB
ADB
S
S
=
时，m 的值为___________．
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4．（23-24 七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点
(
)
,0
A a
，
(
)
,2
B b
，
(
)
0,4
C
，且
0
a
．
(1)若(
)
2
2
4
0
a
b
+
+
+
=
，求点A和点B 的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点B 作BD
x
∥轴，交AC 于点D ，求点D 的坐标；
(3)若
4
ABC
S
=
，且
4
0
a
b
+ +
=
，求b 的值．
5．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数
4
4
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于点A，B，
点C 的坐标为(
)
2, 3
−
．
(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________；
(2)过点C 作直线
(
)
:
0
l y
kx
b k
=
+
．
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①用含k 的代数式表示b；
②若直线l 与ABO
有交点，求k 的取值范围．
6．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）为了探究函数
2
1
y
x
=
−
−的图象与性质，甲同学根据学习一次函数
的经验，借助函数
2
1
y
x
=
−
−的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：
第一步：
2
1
y
x
=
−
−的自变量x 的取值范围是全体实数；
第二步：x 与y 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
3
2
1
0
0
2
…
第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(2)观察
2
1
y
x
=
−
−的函数图象，完成以下问题：
①当x =___________时，函数有最小值为___________；当x ___________时，y 随x 的增大而增大．
②写出自变量x 的取值范围和因变量y 的取值范围．
③若直线
3
y
kx
=
+ 与
2
1
y
x
=
−
−的图象有且只有一个交点，求k 的取值范围．
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重难点二、一次函数与三角形综合
先求出一次函数与坐标轴交点、直线间交点，得到三角形顶点坐标。利用坐
标差值计算底、高长度，借助绝对值求线段距离，再用三角形面积公式计算面积。动点题
型设动点坐标，用含参数的式子表示底和高，结合取值范围求解面积最值。
1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数
2
5
3
3
y
x
=
+
的图象经过点(
)
2,
A
m ，
(
)
, 1
−
B n
，则ABO
的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
2,4
A
在正比例函数
2
y
x
=
的图像
上，点
(
)
1,0
B
和点C 都在x 轴上，当ABC
的面积是6 时，点C 的坐标是______________．
3．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数
4
8
y
x
= −
+
的图像与x 轴、y 轴分别交于A、B 两
点，坐标原点为O，则
ABO
S△
为__________．
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4．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图①，在四边形ABCD中，AB
CD
∥
，
90
ADC
=
，点P 从A
点出发，以每秒2 个单位长度的速度按A
B
C
D
→
→
→
的顺序在边上匀速运动，设点P 的运动时间为t
秒，PAD
的面积为S，S关于t 的函数图象如图②所示，（1）CD的长为_______．（2）当点P 运动到
BC 中点时，PAD
的面积为_______．
5．（21-22 八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知ABC
中，
3
AC =
，
4
BC =
，直线AB 的函数解析
式是
4
4
3
y
x
= −
+
．
(1)求证：ABC
BAO
≌
；
(2)求ABC
的面积．
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6．（24-25 八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数
2
4
y
x
= −
−
．
(1)画出函数的图象；
(2)若图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，O 为坐标原点，求AOB
的面积．
7．（23-24 八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线
1
2
2
l
y
x
= −
+
：
与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，在y
轴上有一点
(0,4)
C
，动点M 从A 点以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左移动．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)求
COM
△
的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；
(3)在M 运动过程中，当
COM
AOB
△
≌△
时，直接写出此时M 点的坐标．
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8．（25-26 八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线1 :
2
4
l
y
x
=
−
与x 轴、y 轴分
别交于点B、D，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，若直线2l 经过点
(
)
1,
A
a ，且交y 轴于点C，连接AD交x
轴于点E．
(1)求直线2l 的函数表达式和a 的值；
(2)在坐标轴上是否存在点P，使得
2
PBD
ABD
S
S
=
△
△
？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存
在，请说明理由．
9．（25-26 八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线
3
y
kx
=
+ 分别交x 轴，y
轴于点A，点B，且
4
3
OA
OB =
．
(1)求k 的值；
(2)若点C 为线段OB 上一点，连接AC ，将ABC
沿着AC 折叠，使点B 落在x 轴的点B处，求点C 的坐
标；
(3)如图2，作OD
AB
⊥
，点E 为直线AB 上一动点，点F 为y 轴上一动点，是否存在以O，E，F 为顶点
的三角形与ODE
全等？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
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10．（24-25 八年级上·陕西·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
(
)
:
3
0
AB y
kx
k k
=
+
交y 轴于点
(
)
0,9
A
，交x 轴于点B．
(1)k＝______，B 点坐标为______；
(2)点C 为x 轴正半轴上一点，
1
2
BAO
ACO
=
，请你猜想AC 与BC 的数量关系，并加以证明，再求出
点C 的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M 为线段AC 上一动点（M 不与A、C 重合），设M 的横坐标为a，请用含a 的
代数式表示点M 到x 轴的距离______；
(4)在（3）的条件下，过点M 作MN∥AB 交x 轴于点N，连接BM、AN，当ABM
为等腰三角形时，求出
此时AMN
的面积．
重难点三、一次函数的新定义
解题第一步读懂题干自定义运算法则、新型函数规则，把陌生定义转化为常
规一次函数。根据定义列出对应解析式，再结合增减性、交点、取值范围等常规知识点求
解。计算完成后代回自定义规则验证，防止混淆新定义运算顺序。
1．（25-26 八年级上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点A到x 轴、y 轴的距离和为1，
则称点A为“励志点”．例如：点
(
)
0.2,0.8
B −
到x 轴、y 轴距离和为1，则点B 是“励志点”，点
(
)
0,1
C
，
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(
)
0.5, 0.5
D −
−
也是“励志点”．一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象l 经过点
(
)
2, 2
E
−
，且图象l 上存在“励志
点”，则k 的取值范围为（ ）
A．
1
2
2
k
−
−
B．
3
2
2
k
−
−
C．
1
2
2
k
−
D．
1
2
2
3
k
−
2．（17-18 九年级上·山东济南·期中）定义：点
(
)
,
A x y 为平面直角坐标系内的点，若满足x
y
=
，则把点
A叫做“平衡点”．例如：
(
)
(
)
1,1 ,
2, 2
M
N −
−
都是“平衡点”．当1
3
x
−
时，直线
2
y
x
m
=
+
上有“平衡
点”，则m 的取值范围是（ ）
A．0
1
m
B．3
1
m
−
C．3
3
m
−
D．1
0
m
−
3．（2026·湖南益阳·二模）在平面直角坐标系中，若存在实数t ，使得(
)
2
0
t a
b
+
−
=
，则t 称为点(
)
,a b
的“特定点值”．如图，矩形ABCD三个顶点的坐标分别为(
)
(
)
(
)
2,1 ,
6,1 ,
2,3
A
B
D
．
（1）则点A的“特定点值”t 等于__________．
（2）若点(
)
,a b 是矩形ABCD边上的动点，则下列关于点(
)
,a b 的“特定点值”t 的结论正确的是
__________．（填写序号）
①当点(
)
,a b 在边AD上时，t 随着b 的增大而增大；
②当点(
)
,a b 在边BC 上时，则1
3
8
8
t
；
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③在矩形ABCD边上有且只有一个点的“特定点值”为1
5 ．
4．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）新定义：对于两个实数a ，b ，我们用max{ , }
a b 表示这两个数中最
大的数，即
(
)
max
,
(
)
a a
b
a b
b a
b
=
，对于函数
1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
：
（1）当
3
x
−
=
时，y =_______；
（2）若过定点的直线
1
y
kx
k
−
=
+ 与函数
1
max
,
3
2
y
x
x
=
−
+
的图象有两个交点，则k 的取值范围是
_______．
5．（25-26 八年级下·山东日照·期末）定义：直线y
kx
b
=
+
与直线y
kx
b
=
−
组成一对“b 值线组”．如图，
已知矩形ABCD顶点坐标
(
)
1,0
A
，
(
)
1,2
B
，
(
)
2,2
C −
，
(
)
2,0
D −
．当
3
b =
时，“b 值线组”与矩形ABCD恰
有4 个交点，则k 的取值范围为________．
6．（2026·江苏泰州·模拟预测）在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于
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任意两点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
和
称
1
2
1
2
x
x
y
y
−
+
−
为P、Q 两点间的“折线距离”，记作( ,
)
d P Q ．
(1)已知点
(
)
(
)
2,3 ,
4, 1
A
B
−
−
，则(
)
,
d A B = ；
(2)已知点
(
)
1,0
C
，若点D 在直线
2
3
y
x−
=
上，且(
)
,
5
d C D =
，求点D 的坐标；
(3)已知点
(
)
0,2
M
，点
(
)
5,0
N
，若点P 是线段MN 上的一个动点，求
(
)
,
d O P （O 为坐标原点）的最小值
及此时点P 的坐标．
7．（25-26 八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
(
)
1
1
,
A x y
和点(
)
2
2
,
B x
y
，对于实数
0
k ，定义：点
1
2
1
2
1
1
1
1
,
2
2
2
2
k
k
k
k
M
x
x
y
y
+
−
+
−
+
+
和
1
2
1
2
1
1
1
1
,
2
2
2
2
k
k
k
k
N
x
x
y
y
−
+
−
+
+
+
是线段AB
的两个“k-加权点”，线段MN （含端点）是线段AB 的“k-加权线段”．
已知点
(
)
2,1
A −
，(
)
2,3
B
．
(1)线段AB 的“ 1
2 -加权点”是________；
(2)若线段PQ 是线段AB 的“k-加权线段”，则当线段PQ 与x 轴有交点时，k 的取值范围是________；
(3)记直线y
x
=
和直线y
x
−
=
组成的图形为X．对于点
(
)
3,4
C −
，
(
)
3,0
D
，线段PQ 和RS 分别是线段AB
和CD的“k-加权线段”，满足以线段PQ 和RS 为对角线的四边形与图形X 恰有3 个不同的交点，则k 的值
是________．
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模块三、一次函数与方程综合
重难点一、已知直线与坐标轴交点求方程的解
直线y=kx+b 与 x 轴交点横坐标，就是方程kx+b=0 的解；与 y 轴交点纵坐
标，是x=0 时方程y=b 的解。已知交点坐标可直接写出对应一元一次方程的解，也可反向
代入解求出直线解析式，二者相互转化，紧扣函数与方程的对应关系解题。
1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）直线y
ax
b
=
+
经过点(
)
0,5
A
和点(
)
2,0
B −
，则方程
0
ax
b
+
=
的解
是（ ）
A．
2
x =
B．
2
x = −
C．
5
x =
D．
5
x = −
2．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）如图，直线y
ax
b
=
+
过点
(
)
0,3
A
和(
)
4,0
B −
，则方程
0
ax
b
+
=
的
解是（ ）．
A．
0
x =
B．
3
x =
C．
4
x = −
D．
5
x =
3．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）如图，正比例函数
2
y
x
−
=
的图象向上平移4 个单位，恰好与一次
函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象重合，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解是（ ）
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A．
1
x =
B．
2
x =
C．
1
x = −
D．
2
x = −
4．（2026·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一面朝右的平面镜贴在y 轴上，一束光线
从点
(4,3)
B
处射出，射到平面镜上的点
(0,1)
A
处，被平面镜反射后射到x 轴上的点C 处，则点C 的坐标
为（ ）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3 0)
,
D．(4,0)
5．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）若一次函数y
x
b
=
+
的图象经过点(1,2) ，则方程
2
x
b
+
=
的解是x =
________．
6．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数y
kx
b
=
+
的图象，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为
x =__________．
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7．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）如图，直线
2
8
y
x
=
+ 分别与x 轴、y 轴交于点A、B ，C 是线段
OB 上一点，连接AC ，将ABC
沿着AC 翻折得AB C
，若点B落在第四象限，且
4 2
OB=
，则点C
的坐标为______．
8．（25-26 八年级上·全国·课前预习）已知一次函数y
ax
b
=
+
的图象如图所示．
(1)关于x 的方程
0
ax
b
+
=
的解是________；
(2)关于x 的方程
2
ax
b
+
=
的解是________；
(3)关于x 的方程
1
0
ax
b
+ + =
的解是________．
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重难点二、由一元一次方程的解判断直线与x 轴的交点
一元一次方程kx+b=0 的解x=m，对应直线y=kx+b 与 x 轴交点(m,0)。解题
先求解一元一次方程，得到x 数值，直接写出交点坐标；若给出交点，可快速写出对应方
程的解，利用函数图像与方程的内在转化关系，简化选择、填空题型作答步骤。
1．（25-26 八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于x 的方程3
0
x
b
+
=
的解是
3
x
−
=
，则直线
3
y
x
b
=
+
一定
经过点（ ）
A．(
)
3,0
−
B．(
)
3,0
C．(
)
0, 3
−
D．(
)
0,3
2．（25-26 八年级上·广西崇左·阶段检测）若
2
x =
是关于x 的方程
(
)
0
0
mx
n
m
+
=
的解，则一次函数
y
mx
n
= −
−
的图象与x 轴的交点坐标是( )
A．(
)
3,0
B．(
)
0,3
C．(
)
0,2
D．(
)
2,0
3．（25-26 八年级上·河南郑州·期末）下列关于一次函数
2
y
x
b
= −
+
的判断，正确的是（ ）
A．当
0
b
时，该函数图象经过一、三、四象限
B．若关于x 的方程2
0
x
b
−
=
的解是x
m
=
，则
2
y
x
b
= −
+
的图象恒过点(
)
,0
m
C．若该函数的图象向右平移2 个单位后经过原点，则
2
b = −
D．点
(
)
1
1
,
A x y
，点(
)
2
2
,
B x
y
在该函数的图象上，若
1
2
0
x
x
，则
1
2
0
y
y
4．（21-22 九年级上·辽宁朝阳·期末）已知一次函数
2
5
5
y
kx
x
=
−
−的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围
是______．
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5．（25-26 八年级上·宁夏银川·期中）直线
2
y
x
b
=
−上有一点的坐标是(
)
2,3 ，则关于x 的方程2
3
x
b
−
=
的
解是_______．
6．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某
数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并
完成下面填空与证明．
【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系
【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究：
如图1，已知点
(
)
0,4
A
，
(
)
6,4
B
，在x 轴上找一点C ，使AC
BC
+
的值最小：
(1)作法：作点A关于x 轴的对称点A（ ），连接A B
与x 轴的交点即为C （__________）；（填写坐
标）
(2)求法：由作法知：AC
CB
A C
CB
A B
+
=
+
=
，A B
的长度是__________；
(3)说理：CA
CA
=
的依据是__________，x 轴上的点到A，B 距离之和的最小值等于A B
的依据是
__________；
【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律．
如图，已知光源位于点
(
)
0,4
A
，将x 轴视为平面镜，在x 轴上确定点D ，使光线经过点D 反射后恰好过
点
(
)
9,8
E
；
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(4)应用：运用活动一的作法，可得D （__________）；（填写坐标）
(5)悟理：如图2，过点D 作DF
x
⊥
轴于点D ，证明：
EDF
ADF
=
．
7．（25-26 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A、B、C 的坐标分
别为
(
)
1,1
A
，(
)
4,3
B
,
(
)
3,5
C
．
(1)画出ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A B C
△
；
(2)已知点M 在y 轴上，且MA
MC
=
，则点M 的坐标是______；
(3)有一点P 在x 轴上，若要PAC
的周长最小，则点P 的坐标为______．
8．（25-26 八年级上·安徽宣城·阶段检测）定义新运算：对于任意实数,a b 都有
(
)
*
2
a b
a a
b
=
−
+
，等式右
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边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：
(
)
2*5
2
2
5
2
6
2
4
=
−
+
= −+
= −．
(1)若
(
)
3*
5
x
y
−
=
，且
(
)
2*
6
x
y
+
=
，求,x y的值；
(2)对于变量,x y，满足
(
)
2* 4
y
x
=
+
，求出y 关于x 的函数关系式，并求出该函数图象上与x 轴距离为2
的点的坐标．
重难点三、利用图象法解一元一次方程
图像法解方程核心：方程kx+b=0 的解，是直线y=kx+b 与 x 轴交点的横坐
标。解题步骤：画出一次函数完整图像，找到直线和 x 轴交点，读取交点横坐标数值，
该数值就是一元一次方程的解。画图时精准标记交点，减少读数误差，结合代数计算验证
答案。
1．（25-26 八年级下·山东潍坊·期中）已知点(
)
7,3
−
在直线y
kx
b
=
+
上，则关于x 的方程
3
kx
b
+
= 的解为
（ ）
A．
7
x = −
B．
7
x =
C．
3
x
−
=
D．
3
x =
2．（2026·陕西西安·三模）如图，一次函数
(
)
0
y
ax
b a
=
+
的图象经过点(
)
2,4 ，(
)
4,1 ，则关于x 的方程
1
ax
b
+
= 的解是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（25-26 八年级下·天津北辰·期末）在平面直角坐标系中，一次函数
(
y
mx
b m
=
+
，b 均为常数）与正
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比例函数y
nx
=
（n 为常数）的图象如图所示，则关于x 的方程nx
mx
b
−
=
的解为（ ）．
A．
3
x
−
=
B．
3
x =
C．
1
x = −
D．
1
x =
4．（2022 八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x 的方程
2022
x
ax
=
+
有且只有一个正根，则a 的取值范围是
（ ）
A．
1
a
−
B．
1
a
−
C．1
1
a
−
D．
1
a
E．
1
a
5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数
1y
ax
b
=
+
（a，b 为常数且
0
a
）与正比例函数
2y
kx
=
（k 为常数且
0
k
）的图象交于点P ，则关于x 的方程ax
b
kx
+
=
的解是_____．
6．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象分别与,x y轴交于
,
A B
两点．若(
)
4,0
A −
，
(
)
0,2
B
，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为x =_________．
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7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数
2
y
kx
=
+ （k 为常数且
0
k
）和
3
1
y
x
=
+ 的图象相交于点A，
根据图象可知关于x 的方程
2
3
1
kx
x
+
=
+ 的解是______．
8．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图
象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象和性
质，并解决问题．
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
5
−
m
1
−
1
n
3
−
5
−
…
(1)表中m = ，n = ．
(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
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(3)根据（2）中的图象，探究该函数的性质：
①该函数的最大值为 ；
②若方程2
1
x
k
−
+ =
有两个解，则k 的取值范围是 ；
③请你再写出一条该函数的性质．
9．（25-26 八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数
2
y
x
=
+
展
开探究，过程如下．
(1)根据函数表达式列表如下，则表中m = ___________；
x
．．．
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
．．．
y
．．．
3
m
1
0
1
2
3
．．．
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(3)方程
1
2
2
3
x
x
+
= −
+
的解为___________
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