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重难点专题05 综合运用
模块一、二次根式的运用
重难点一、已知字母的值，化简求值
解题先化简后代入，切勿直接代值硬算。先依据根式性质、乘法公式化简代
数式，消去同类根式、完成分母有理化；再代入字母数值计算，计算时优先开方约分，时
刻留意被开方数非负，避免出现无意义根式，大幅降低计算出错率。
1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知
5
2
x =
−，则代数式
2
2
x
x
+
的值为（ ）
A．5
2 5
−
B．5
2 5
+
C．5
10
−
D．5
10
+
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】把原式变形为(
)
2
x x +
，再把
5
2
x =
−代入计算即可．
【详解】解：∵
5
2
x =
−，
∴
2
2
x
x
+
(
)
2
x x
=
+
(
)(
)
5
2
5
2
2
=
−
−+
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(
)
5
5
2
=
−
5
2 5
=
−
．
2．（25-26 八年级下·广东汕尾·期末）已知
1
5
x = +
，则代数式
2
2
6
x
x
−
−的值是（ ）
A．2
−
B．10
−
C．2 5
−
D．2 5
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算
【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出
2
2
x
x
−
的值，再代入所求代数式计算，简化运算
过程．
【详解】解：
1
5
x = +
，
1
5
x
−=
，
两边同时平方得：
2
2
(
1)
( 5)
x −
=
展开得：
2
2
1
5
x
x
−
+ =
整理得：
2
2
4
x
x
−
=
将
2
2
4
x
x
−
=
代入
2
2
6
x
x
−
−得
原式
4 6
2
=
−
= −．
3．（22-23 八年级下·云南昭通·阶段检测）若
2023 1
x =
+ ，则代数式
2
2
1
x
x
−
+ 的值是（ ）
A．2022
B．-2022
C．2023
D．-2023
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题可先利用完全平方公式化简所求代数式，再代入x 的值计算，简化运算过程．
【详解】解：∵
2
2
2
1
(
1)
x
x
x
−
+ =
−
，
又∵
2023 1
x =
+ ，
∴
1
2023
x −=
，
∴ 原式(
)
2
2023
2023
=
=
．
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4．（25-26 八年级下·北京大兴·期末）计算：已知
5
2
x =
+ ，求
2
4
5
x
x
−
+ 的值．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】将代数式化为(
)
2
2
1
x −
+ ，再代入数值计算即可.
【详解】解：∵
5
2
x =
+ ，
∴
2
2
4
5
4
4 1
x
x
x
x
−
+
=
−
+
+
(
)
2
2
1
x
=
−
+
(
)
2
5
2
2
1
=
+
−
+
5 1
6
= + =
.
5．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）已知
2
3
a =
+
，求
2
4
4
a
a
−
+
的值．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】先整理
(
)
2
2
4
4
2
a
a
a
−
+
=
−
，再把
2
3
a =
+
代入计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
(
)
2
2
4
4
2
a
a
a
−
+
=
−
，
把
2
3
a =
+
代入，得(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3
3
a −
=
+
−
=
=
．
6．（22-23 八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）已知：
3
1
x =
+ ，
3
1
y =
−，求代数式2xy 的值．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值，化简求值
【分析】利用平方差公式计算出xy的值. 再计算得到2xy 的值．
【详解】解：
3
1
x =
+ ，
3
1
y =
−，
(
)(
) (
)
2
2
3
1
3
1
3
1
2
xy
=
+
−
=
−
=
，
2
4
xy
=
．
7．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知：a ，b 满足3
2
6
0
a
b
−
+
−
=
，先化简，再求值
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3
1
1
27ab
a
b
a
b
+
−
．
【答案】3 3ab
a
b
+
−
，
2 6
6 3
3
−
【难度】0.86
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值，化简求值、绝对值非负性
【详解】解：
3
2
6
0
a
b
−
+
−
=
，3
2
0, 6
0
a
b
−
−
3
2
0
a
−
=
，6
0
b
−
=
2
3
a
=
，
6
b =
3
1
1
27ab
a
b
a
b
+
−
1
3 3
a
ab
a
b
b
a
b
=
+
−
3 3ab
a
b
=
+
−
当
2
3
a =
，
6
b =
时，原式
2
2
3 3
6
6
3
3
=
+
−
6
6 3
6
3
=
+
−
2 6
6 3
3
=
−
．
8．（25-26 八年级下·山东德州·期末）已知
5
7
m = +
，
5
7
n = −
．
(1)求
2
2
m
mn
n
−
+
的值；
(2)若m 的整数部分是a ，n 的小数部分是b ，求a
b
+
的值．
【答案】(1)46
(2)10
7
−
【难度】0.64
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、无理数的大小估算、无理数整数部分的有
关计算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）代入字母的值进行计算即可；
（2）估算得到7
5
7
8
+
，2
5
7
3
−
，求出
7
a =
，
3
7
b = −
，即可求出a
b
+
的值．
【详解】（1）解：原式＝(
)
(
)(
) (
)
2
2
5
7
5
7
5
7
5
7
+
−
+
−
+
−
=
(
)
25 10 7
7
25 7
25 10 7
7
+
+ −
−
+
−
+
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=
；
（2）解：∵4
7
9
∴2
7
3
∴7
5
7
8
+
∵3
7
2
−−
−
∴2
5
7
3
−
∴
7
a =
，
5
7
2
3
7
b =
−
−
=
−
∴
7
3
7
10
7
a
b
+
=
+ −
=
−
9．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）化简求值：(
)(
) (
)(
)
6
6
5
5
x
x
x
x
+
−
+
+
−
，其中
2026
2025
x =
−
．
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】运用平方差公式进行运算、已知字母的值，化简求值
【分析】利用平方差公式计算乘法运算，再合并即可．
【详解】解：(
)(
) (
)(
)
6
6
5
5
x
x
x
x
+
−
+
+
−
(
)
(
)
2
2
2
2
6
5
x
x
=
−
+
−
2
2
6
5
x
x
=
−
+
−
1
= ．
10．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）若
5
2
x =
+ ，
5
2
y =
−
，求
2
2
3
x
xy
y
+
+
的值．
【答案】21
【难度】0.65
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算
【详解】解：∵
5
2
x =
+ ，
5
2
y =
−
，
∴
5
2
5
2
2 5
x
y
+
=
+
+
−
=
，
(
)(
)
5
2
5
2
5
4
1
xy =
+
−
= −
= ，
∴
2
2
3
x
xy
y
+
+
2
2
2
x
xy
y
xy
=
+
+
+
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(
)
2
x
y
xy
=
+
+
(
)
2
2 5
1
=
+
21
=
．
11．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，A，B 两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面
上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号并乘以2 后与未抽中卡片上的整式相加，并将结
果化简得到整式C．
(1)若抽中的卡片是A．
①求整式C；
②当
1
2
2
x =
−
时，求整式C 的值．
(2)若无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
【答案】(1)①
2
3
3
5
x
x
+
+
；②41
4
(2)当抽中的卡片是A 时，
由②得
2
2
1
17
C
3
3
5
3
0
2
4
x
x
x
=
+
+
=
+
+
∴无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，符合题意；
当抽中的卡片是B 时，
∵
2
B
5
3
x
x
=
−
+ ，
2
A
2
1
x
x
=
−
−，
∴
(
)
2
2
2
2
2
5
3
C
2
10
2
6
2
1
9
7
0
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−= −
−
−
−
−
= −
+
+
+
=
−
，
∵无论x 取何值，整式C 的值都是非正数，
∴不符合题意，
综上所述，抽中的卡片是A．
【难度】0.52
【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算、整式的加减运算、整式的加减中的
化简求值
【分析】（1）①根据题意并结合整式的混合运算法则，计算即可得出结果；②将①中的C 进行变形，
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再代入
1
2
2
x =
−
计算即可得出结果；
（2）分两种情况，根据整式的混合运算法则计算即可得出结果．
【详解】（1）解：①∵
2
A
2
1
x
x
=
−
−，
2
B
5
3
x
x
=
−
+ ，
∴
(
)
2
2
2
2
2
C
2
2
1
5
3
2
4
2
5
3
3
3
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= −
−
−
+
−
+
= −
+
+
+
−
+
=
+
+
；
②
2
2
1
17
C
3
3
5
3
2
4
x
x
x
=
+
+
=
+
+
，
当
1
2
2
x =
−
时，
2
1
1
17
41
3
2
2
2
4
4
=
−
+
+
=
原式
；
（2）略．
12．（25-26 八年级下·辽宁大连·期中）在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题：
已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值，他是这样解答的：
∵
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
∴
2
3
a −
= −
，
∴(
)
2
2
2
3,
4
4
3
a
a
a
−
=
−
+
=
，
∴
2
4
1
a
a
−
= −，
∴
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
−
+ =
−
+ =
−
+ =
．
请你根据小宇的解题过程，解决如下问题：
(1)
1
3
2
=
+
；
(2)化简：
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
196
195
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
10
3
a =
−
，求
4
3
6
6
5
a
a
a
−
−
+
的值．
【答案】(1) 3
2
−
(2)13
(3)6
【难度】0.47
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的加减运算、分母有理化
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【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）可证明
1
1
1
n
n
n
n
=
+ −
+ +
（n 为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算
即可得到答案；
（3）分母有理化得到
10
3
a =
+ ，则可证明
2
6
1
a
a
−
= ，把所求式子变形为
(
)
2
2
6
6
5
a
a
a
a
−
−
+ ，进一步
可变形为
2
6
5
a
a
−
+ ，据此可得答案．
【详解】（1）解：
1
3
2
+
(
)(
)
3
2
3
2
3
2
−
=
+
−
3
2
3
2
−
=
−
3
2
=
−
；
（2）设n 为正整数，
则
1
1
n
n
+ +
(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+ −
=
+ +
+ −
1
1
n
n
n
n
−
+ −
=
+
1
n
n
=
+ −
，
∴
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
196
195
+
+
+
+
+
+
+
+
(
) (
) (
)
(
)
2 1
3
2
4
3
196
195
=
−
+
−
+
−
+
+
−
2
1
3
2
4
3
196
195
=
−+
−
+
−
+
+
−
196
1
=
−
14 1
=
−
13
=
；
（3）解：∵
1
10
3
a =
−
(
)(
)
10
3
10
3
10
3
+
=
−
+
10
3
10
9
+
=
−
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10
3
=
+ ，
∴
3
10
a −=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
10
a−
=
，
∴
2
6
9
10
a
a
−
+
=
，
∴
2
6
1
a
a
−
= ，
∴
4
3
6
6
5
a
a
a
−
−
+
(
)
2
2
6
6
5
a
a
a
a
=
−
−
+
2
6
5
a
a
=
−
+
1 5
= +
6
=
．
13．（25-26 八年级下·湖南长沙·期中）请阅读下列材料：
问题：已知
5
2
x =
+
，求代数式
2
4
7
x
x
−
−
的值．
小明根据二次根式的性质：(
)
2
a
a
＝，联想到了以下的解题方法：
由
5
2
x =
+ 得
2
5
x −
=
，则(
)
2
2
5
x −
=
，即
2
4
4
5
x
x
−
+
=
，∴
2
4
1
x
x
−
= ，把
2
4
x
x
−
作为整体，得：
2
4
7
1 7
6
x
x
−
−
= −
= −
请回答下列问题：
(1)已知
6
2
x =
−，求代数式
2
4
4
x
x
+
+
的值．
(2)已知
3 2 2
x = +
，求代数式
2
6
25
x
x
−
+
的值．
(3)已知
5
1
2
x
−
=
，求代数式
4
3
2
2
2025
x
x
x
+
+
+
的值．
【答案】(1)6
(2) 2 6
(3)2026
【难度】0.5
【知识点】已知字母的值，化简求值、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）根据题例解答即可；
（2）由已知求出
−
= −
2
6
1
x
x
，进而即可求解；
（3）由已知得(
)
2
2
1
5
x +
=
，进而可得
2
1
x
x
+
= ，可得
4
3
2
2
1
x
x
x
+
+
= ，进一步代入即可求解.
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【详解】（1）解：∵
6
2
x =
−
，
∴
2
6
x +
=
，
∴(
)
2
2
6
x +
=
，
∴
2
4
4
6
x
x
+
+
=
；
（2）解：∵
3 2 2
x = +
，
∴
3
2 2
x−=
，
∴(
)
2
2
3
6
9
8
x
x
x
−
=
−
+
= ，
∴
−
= −
2
6
1
x
x
，
∴
2
6
25
1
25
24
2 6
x
x
−
+
=
−+
=
=
；
（3）解：∵
5
1
2
x
−
=
，
∴2
1
5
x + =
，
∴(
)
2
2
1
5
x +
=
，即
2
4
4
1
5
x
x
+
+ = ，
∴
2
4
4
4
x
x
+
=
，
∴
2
1
x
x
+
= ，
∴(
)
2
2
21
x
x
+
=
，
∴
4
3
2
2
1
x
x
x
+
+
= ，
∴
4
3
2
2
2025
x
x
x
+
+
+
1 2025
= +
2026
=
．
重难点二、已知条件式，化简求值
这类题核心是整体代换。先整理已知等式，变形得出含字母的整体代数式，
再化简所求式子，拆分出该整体；无需单独求解字母，直接整体代入计算。全程化简根
式，合并同类二次根式，注意隐藏取值范围，防止开方符号出错。
1．（25-26 八年级下·广东汕头·期中）已知
2
(
2)
1
0
a
b
−
+
−=
，则a
b = ______．
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【答案】2
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值、实数的混合运算、已知条件
式，化简求值
【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为0 时，每个非负数都为0 ，据此先求出a 和b 的值，再代
入分式计算即可得到结果．
【详解】
2
(
2)
0
a −
，
1
0
b −
，且
2
(
2)
1
0
a
b
−
+
−=
2
0
a
−
=
，
1
0
b−=
解得
2
a =
，
1
b =
将
2
a =
，
1
b = 代入a
b
得：
2
2
1
a
b =
=
．
2．（25-26 八年级下·四川广元·期中）已知
1
1
1
5
2
y
x
x
=
−+
−
+
，则
x
y−的值为______．
【答案】1
5
【难度】0.9
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值
【详解】解：∵
1
0
x−
，1
0
x
−
，
∴
1
x ，
1
x ，
∴
1
x = ，
∴
0
0
5
5
y =
+
+
=
，
∴
1
1
5
5
x
y−
−
=
=
．
3．（25-26 八年级下·全国·课后作业）已知
1
4
x
x
+
= ，则
1
x
x
+
= _________．
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到
2
1
1
2
x
x
x
x
+
=
+
+
，结合已知条件求出平方后
的结果，最后开方取正根即可得到答案．
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【详解】解：
2
1
1
2
x
x
x
x
+
=
+
+
将
1
4
x
x
+
= 代入得：
2
1
4
2
6
x
x
+
=
+
=
，
∵
1
0
x
x
+
，
∴
1
6
x
x
+
=
．
4．（25-26 八年级上·江西九江·阶段检测）已知
3
m
n
+
= ，
2
mn =
，则
n
m
m
n
+
的值为______．
【答案】3 2
2
/ 3
2
2
【难度】0.85
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值
【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由
3
0
m
n
+
=
，
2
0
mn =
，得
0
m
，
0
n
则可将所求式子变形为n
m
mn
+
，再将
3
m
n
+
=
和
2
mn =
代入求值即可．
【详解】解：设
n
m
x
m
n
=
+
，
因为
3
0
m
n
+
=
，
2
0
mn =
，
所以
0
m
，
0
n
，
则
n
m
n
m
m
n
mn
+
+
=
，
代入
3
m
n
+
= ，
2
mn =
，
得3
3 2
2
2
=
，
故答案为 3 2
2
．
5．（25-26 八年级下·河南开封·阶段检测）若x 表示10 的整数部分，y 表示它的小数部分，求
(
)
10
x y
+
的值．
【答案】
1
【难度】0.85
【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知条件式，化简求值
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【分析】夹逼法求出,x y的值，再根据二次根式的运算法则，进行计算即可.
【详解】解：∵9
10
16
，即3
10
4
，
∴
3,
10
3
x
y
=
=
−，
∴(
)
(
)(
)
10
10
3
10
3
10 9
1
x y
+
=
+
−
=
−= .
6．（25-26 八年级上·江苏南通·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N 满足
·
M N
t
= ，其中t 是有理
数，则称M 与N 是互为“t 相关代数式”．
(1)若M 与3 是互为“6 相关代数式”，则M = ；
(2)若其中
5
M
a
=
−
（a 是有理数），
8
2 5
N = +
，且M 与N 是互为“t 相关代数式”，求a 和t 的值．
【答案】(1)2 3
(2)
4
22
a
t
=
=
，
【难度】0.85
【知识点】二次根式的除法、已知条件式，化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）由题意知3
6
M =
，计算求解即可；
（2）由题意知
(
)(
)
5
8
2 5
M N
a
t
=
−
+
= ，计算求解即可．
【详解】（1）解：
M
与
3 是互为“6 相关代数式”，
3
6
M =
，
6
2 3
3
M
=
=
；
（2）解：
M
与N 是互为“t 相关代数式”，
(
)(
)
5
8
2 5
M N
a
t
=
−
+
= ，
整理得，(
)
2
8
5
8
10
a
a
t
−
+
−
= ，
t
是有理数，
2
8
0
a
−
=
，8
10
a
t
−
= ，
解得
4
22
a
t
=
=
，
．
7．（25-26 八年级下·全国·单元测试）已知
5
x
y
+
= −，
4
xy =
，求
y
x
x
y
+
的值．
【答案】5
2
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【难度】0.85
【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化.
根据题意可得
0,
0
x
y
，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。
【详解】解：∵
5
0
x
y
+
= −
，
4
0
xy =
，
∴
0,
0
x
y
，
∴
y
x
x
y
+
2
2
xy
xy
x
y
=
+
xy
xy
x
y
= −
−
y xy
x xy
xy
+
= −
(
)
xy x
y
xy
+
= −
(
)
4
5
4
−
= −
5
2
=
．
8．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，
我们将“ a
b
+
”和“
a
b
−
”称为一对“对偶式”，如(
)(
)
3
2
3
2
1
+
−
= ，像这样构造“对偶式”可以将
根号去掉，从而进行根式的化简．
(1) 5
2
−
的“对偶式”为__________；
(2)化简：
2
7
5
−
；
(3)已知15
8
1
x
x
−
−
−
= ，求15
8
x
x
−
+
−
的值．
【答案】(1)
5
2
+
(2)
7
5
+
(3)
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7
【难度】0.57
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值、分母有理化
【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为a
b
−
的对偶式为
a
b
+
，所以直接对应构造即可．
（2）因为分母是7
5
−
，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差
公式去掉分母的根号，完成分母有理化．
（3）设所求式子为A，已知式子为15
8
x
x
−
−
−
，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得
到只含常数的结果，且已知15
8
x
x
−
−
−
的值，所以通过计算
(
)
15
8
A
x
x
−
−
−
的结果即可求出A的
值．
【详解】（1）解：根据材料定义：a
b
+
与
a
b
−
互为对偶式，只需改变原式中间的符号，
因此5
2
−
的对偶式为5
2
+
．
（2）解：利用对偶式分母有理化化简：
(
)
(
)(
)
(
)
2
7
5
2
7
5
2
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
+
+
=
=
=
+
−
−
−
+
．
（3）解：设
15
8
A
x
x
=
−
+
−
，
15
8
1
x
x
−
−
−
=
，
根据平方差公式计算：
(
) (
)(
)
(
) (
)
15
8
15
8
15
8
15
8
7
A
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
，
因此15
8
7
x
x
−
+
−
=
．
9．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：已知5
2
1
x
x
−
−
−
= ，求5
2
x
x
−
+
−
的值．
小明同学是这样解答的：
(
)(
) (
)
(
)
2
2
5
2
5
2
5
2
5
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
+
=
，
又
5
2
1
x
x
−
−
−
=
，
5
2
3
x
x
−
+
−
=
．
这种方法称为“构造对偶式”．
已知6
3
1
x
x
−
−
−
= ，解答问题：
(1)求6
3
x
x
−
+
−
的值；
(2)求x 的值．
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【答案】(1)3
(2)
2
x =
【难度】0.55
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法、已知条件式，化简求值、二次根式的加减运算
【分析】（1）利用平方差公式，结合已知条件即可求出6
3
x
x
−
+
−
；
（2）对6
3
x
x
−
+
−
和6
3
x
x
−
−
−
进行求和，通过化简平方即可求出x ．
【详解】（1）解：已知6
3
1
x
x
−
−
−
= ，
(
)(
) (
)
(
)
(
)
2
2
6
3
6
3
6
3
6
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
，
6
3
3
x
x
−
+
−
= ．
（2）解：据（1）可知6
3
1
x
x
−
−
−
= ，6
3
3
x
x
−
+
−
= ，
则(
) (
)
6
3
6
3
1 3
4
x
x
x
x
−
−
−
+
−
+
−
= + =
，
可得2 6
4
x
−
=
，即6
2
x
−
=
，
解得
2
x =
．
10．（25-26 八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知
1
2
1
a
，求
2
2
4
1
a
a
−
+ 的值．他是这样
分析与解的：
(
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a
+
=
=
=
+
−
−
+
∴
1
2
a−=
，
∴(
)
2
1
2
a −
=
，
∴
2
2
1
2
a
a
−
+ =
，
∴
2
2
1
a
a
−
= ，
∴
(
)
2
2
2
4
1
2
2
1
2 1 1
3
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
+ = ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：
1
1
1
.....
3
1
5
3
99
97
+
+
+
+
+
+
(2)若
1
5
2
a =
+
．
①求
2
3
12
5
a
a
+
−
的值．
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②直接写出代数式的值
3
2
2
9
1
a
a
a
+
−
−= ；
2
1
3
13
2026
a
a
a
+
−
+
= ．
【答案】(1) 3 11 1
2
−
(2)①2
−；②
3
−，2025
【难度】0.52
【知识点】二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值、分母有理化
【分析】（1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可；
（2）①由题意易得
5
2
a =
−
，则
2
5
a +
=
，然后可得
2
4
1
a
a
+
= ，进而代入求解即可；
②由①及根据整体思想可进行求解．
【详解】（1）解：原式(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
3 1
5
3
99
97
.....
3
1
3 1
5
3
5
3
99
97
99
97
−
−
−
=
+
+
+
+
−
+
−
+
−
3
1
5
3
99
97
.....
2
2
2
−
−
−
=
+
+
+
3
1
5
3
.....
99
97
2
−+
−
+
+
−
=
99
1
2
−
=
3
1
11
2
=
−；
（2）解：∵
1
5
2
a =
+
，
∴
(
)(
)
1
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
∴
2
5
a +
=
，
∴(
)
2
2
5
a +
=
，
∴
2
4
4
5
a
a
+
+
=
，
∴
2
4
1
a
a
+
= ，
①
(
)
2
2
3
12
5
3
4
5
3 1 5
2
a
a
a
a
+
−
=
+
−
= −
= −；
②
3
2
2
9
1
a
a
a
+
−
−
3
2
2
4
2
9
1
a
a
a
a
=
+
−
−
−
(
)
(
)
2
2
4
2
4
1
a a
a
a
a
a
−
−
=
+
−
+
2
1
a
a
−−
−
=
18 / 79
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3
−
=
；
2
1
3
13
2026
a
a
a
−
+
+
2
1
3
12
2026
a
a
a
a
=
+
+
−
+
(
)
2
1
3
4
2026
a
a
a
a
−
=
+
+
+
1
3
5
2
2026
5
2
=
+
−
−
+
−
(
)
3
5
2
5
2
2026
= +
−−
+
+
3
5
2
5
2
2026
= +
−−
−+
2025
=
．
11．（25-26 八年级下·河南新乡·期末）定义：因为(
)(
)
a
b
a
b
c
+
−
=
，c 是有理数，所以称
a
b
+
与
a
b
−
是关于c 的“美好数”．
例如：(
)(
) (
)
(
)
2
2
5
3
5
3
5
3
2
+
−
=
−
=
，则称5
3
+
与5
3
−
是关于2 的“美好数”．当已知
5
3
+
与m 是关于2 的“美好数”，求m 的值时，可用
(
)
(
)(
)
(
)
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
5
3
5
3
m
−
−
=
=
=
=
−
+
+
−
来得到．
(1)
2
1
+ 关于1 的“美好数”是__________；
(2)若y 是5
1
+ 关于4 的“美好数”，求
2
2
2026
y
y
+
+
的值；
(3)化简：
1
1
1
3
1
5
3
81
79
+
+
+
+
+
+
．
【答案】(1) 2 1
−
(2)2030
(3)4
【难度】0.48
【知识点】二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值、分母有理化
【分析】（1）根据定义进行解答即可；
（2）根据新定义得到
5
1
y =
−，再代入变形后的代数式求解即可.
（3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可．
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【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：2
1
+ 关于1 的“美好数”是
1
2
1
2
1
=
−
+
；
（2）解：∵y 是5
1
+ 关于4 的“美好数”，
∴
4
5
1
5
1
=
=
−
+
y
.
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2026
2
1
2025
1
2025
2030
y
y
y
y
y
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
．
（3）解：
1
1
1
3
1
5
3
81
79
+
+
+
+
+
+
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
3
1
5
3
81
79
3
1
3
1
5
3
5
3
81
79
81
79
−
−
−
=
+
+
+
+
−
+
−
+
−
2
2
2
3
1
5
3
81
79
=
−
−
−
+
+
+
(
)
1
3
1
5
3
81
79
2
=
−
+
−
++
−
(
)
1
81
1
2
=
−
(
)
1 9 1
2
=
−
4
=
．
12．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期末）小明在解决问题：已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．他是这样
分析与解的：
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，
2
3
a
−
= −
，
2
(
2)
3
a
−
= ，
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，
2
4
1
a
a
−
= −，
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出
1
1
n
n
=
+ +
________；
(2)化简
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
；
(3)若
1
37
6
a =
−
，请按照小明的方法求出
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
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【答案】(1)
1
n
n
+ −
(2) 1
2026
−+
(3)5
【难度】0.42
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、已知条件式，化简求值、分母有理化
【分析】（1）把
1
1
n
n
+ +
分母有理化即可；
（2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式；
（3）按照小明的方法，先把
1
37
6
a =
−
分母有理化，可得：
6
37
a −
=
，两边同时平方可得：
2
12
1
a
a
−
= ，等式两边同时乘以a 可得：
3
2
12
a
a
a
=
+
，然后利用整体代入法求出代数式
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
的值．
【详解】（1）解：
1
1
n
n
+ +
(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
n
n
+ −
=
+ +
+ −
(
)
(
)
2
2
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+
−
1
1
n
n
n
n
+ −
=
+ −
1
n
n
=
+ −
；
（2）解：
1
1
1
1
2
1
3
2
2
3
2026
2025
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2
1
2
1
3
2
3
2
2
3
2
3
2026
2025
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
2
1
3
2
2
3
2026
2025
2 1
3
2
4
3
2026
2025
−
−
−
−
=
+
+
+
+
−
−
−
−
2
1
3
2
2
3
2026
2025
=
−+
−
+ −
++
−
1
2026
= −+
；
（3）解：
1
37
6
a =
−
，
(
)(
)
1
37
6
37
6
37
6
37
6
37
6
a
+
=
=
=
+
−
+
−
，
6
37
a
−
=
，
21 / 79
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即
2
(
6)
37
a −
=
，
2
12
36
37
a
a
−
+
=
，
2
12
1
a
a
−
= ，
3
2
12
a
a
a
=
+
，
3
2
10
25
3
a
a
a
−
−
+
2
2
12
10
25
3
a
a
a
a
=
+
−
−
+
2
2
24
3
a
a
=
−
+
(
)
2
2
12
3
a
a
=
−
+
2 1 3
= +
5
=
．
13．（25-26 八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用
的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较4 与
3的大小：解：
4
与3都为正数，且 1
1
4
3
，
4
3
（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我
们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较4 与3的大小：
解：
4
与3都为正数，且
2
2
4
3
，
4
3
（两个正数比较大小，平方大的数就大）
【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式
时：
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
1
5
3
1
5
3
5
3
2
5
3
5
3
5
3
5
3
−
−
−
=
=
=
+
+
−
−
；这里运用了平方差公式，使得这些无理数
通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题：
(1)化简∶
1
7
3
=
+
；
(2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小．
11
7
−
①
与9
5
−
；
23
2
+
②
与
22
3
+
；
(3)已知
2
2
2
2
1
2
1
6
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
−
−
=
+
+
−
，求a 、b 的值．
【答案】(1)
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7
3
4
−
(2)
11
7
9
5
−
−
①
；
23
2
22
3
+
+
②
(3)
5
32
a =
，
3
32
b =
【难度】0.48
【知识点】运用平方差公式进行运算、已知条件式，化简求值、分母有理化、实数的大小比较
【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可；
（2）①取倒数比较正数大小求解即可；②运用平方比较正数大小的方法求解即可；
（3）分别两式相乘和两式相除，得到a 与b 的数量关系，解关于a 、b 的方程组即可．
【详解】（1） 解：
1
7
3
=
+
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
1
7
3
7
3
7
3
4
7
3
7
3
7
3
−
−
−
=
=
+
−
−
；
（2） 解：
(
)(
)
1
11
7
11
7
4
11
7
11
7
11
7
+
+
=
=
−
−
+
①
，
(
)(
)
1
9
5
3
5
4
9
5
9
5
9
5
+
+
=
=
−
−
+
，
11
3
，7
5
，
11
7
3
5
0
+
+
，
1
1
11
7
9
5
−
−
，
11
7
−
与9
5
−
两个数均为正数，
1
1
11
7
9
5
−
−
，
根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得11
7
9
5
−
−
；
(
)
2
23
2
23
2 46
2
25
2 46
+
=
+
+
=
+
②
，(
)
2
22
3
22
2 66
3
25
2 66
+
=
+
+
=
+
，
46
66
，
25
2 46
25
2 66
+
+
，即(
)
(
)
2
2
23
2
22
3
+
+
，
23
2
+
与
22
3
+
两个数均为正数，(
)
(
)
2
2
23
2
22
3
+
+
，
根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得
23
2
22
3
+
+
；
（3） 解：
2
2
2
2
1
2
1
6
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
−
−
=
+
+
−
①
②
，
23 / 79
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①
②得，
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
12
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
，
整理得
2
2
6
b
a
b
−
=
③，
①
②得，
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
−
−
−
+
+
−
+
+
−
=
=
=
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
−
，
整理得
2
a
b
a
b
+
=
−
，
两边平方得
(
)
4
a
b
a
b
−
+
=
，
整理得
5
3
b
a =
④，
将④代入③得
2
2
5
3
6
b
b
b
−
=
，
化简得
2
16
9
6
b
b
=
，
0
b
，
16
1
9
6
b
=
，解得
3
32
b =
，
5
3
5
3
32
32
a
=
=
，
即
5
32
a =
，
3
32
b =
．
重难点三、比较二次根式的大小
常用三种简便方法：平方法，正数根式分别平方，平方值大则原式大；移因
数入根号法，把根号外系数平方移入根号，直接对比被开方数；作差法，两式相减，根据
差值正负判断大小。负根式比较需反向判断，做题优先选平方、移项法，步骤更简洁。
1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： 2 3 3 2
，其中所填的符号是（ ）
A．
B．=
C．
D．无法确定
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【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较
【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步
可得答案．
【详解】解：∵ 2 3
0
> ，3 2
0
2
2
2
(2 3)
2
( 3)
4 3
12
=
=
=
2
2
2
(3 2)
3
( 2)
9 2
18
=
=
=
而 12
18
∴
2
2
(2 3)
(3 2)
∴ 2 3
3 2
．
2．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）比较大小： 2 7 _______5 2 (填“”“”或“= ”)
【答案】
【难度】0.85
【知识点】比较二次根式的大小
【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大
小．
【详解】解：
2
2
2
(2 7)
2
( 7)
4 7
28
=
=
=
，
2
2
2
(5 2)
5
( 2)
25 2
50
=
=
=
．
28
50
，且2 7
0
，5 2
0
，
2 7
5 2
∴
．
3．（25-26 八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1 小于3 的最简二次根式________．
【答案】2 (答案不唯一)
【难度】0.85
【知识点】比较二次根式的大小、最简二次根式的判断
【分析】解题思路是先将整数1 和3 化为二次根式形式，再找出被开方数介于1 和9 之间的最简二次根
式即可．
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【详解】解：1
1
=
，3
9
=
，
所求最简二次根式a 的被开方数a 只需满足大于1 且小于9，且a 的因数中没有除1 以外的完全平方数
即可，其中符合条件的一个最简二次根式是2 (答案不唯一)．
4．（25-26 八年级下·广东广州·期中）比较大小：2 _______ 5 ，3 _______2，
17
−
_______ 3 2
−
．
【答案】
<
<
>
【难度】0.85
【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较
【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两
个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断．
【详解】解：①比较2 和
5 ，
2
5
，
2
5
；
②比较3 和2 ，
3
4
，
3
4
，即3
2
；
③比较
17
−
和3 2
−
，
17
17
−
=
，
3 2
3 2
9 2
18
−
=
=
=
，
17
18
，
17
18
，即
17
3 2
−
−
，
17
3 2
−
−
．
5．（25-26 八年级下·安徽淮南·期中）比较下列两个数的大小：
1
3 3 ________
1
4 4
（选填“＞”或“＜”）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简
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【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系．
【详解】解：
1
3
3
3 =
，
1
4
4
2
4 =
=
∵3
2
∴
1
1
3
4
3
4
．
55．（2026·河北唐山·一模）已知
(
)
23
10
2
p =
+ −
，
12
q =
．
(1)求p，并化简q；
(2)比较p 和q 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
4,
2 3
p
q
=
=
(2)解：p
q
，理由如下：
由（1）可知：
2
2
16,
12
p
q
=
=
，
∵16
12
，
∴p
q
．
【难度】0.87
【知识点】有理数的乘方运算、比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）根据有理数的运算及二次根式的性质可进行求解；
（2）根据二次根式的大小比较可进行求解．
【详解】（1）解：
(
)
23
10
2
9
5
4
p =
+ −
=
−
=
，
12
2 3
q =
=
；
（2）略
6．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式：
(
)(
)
2 1
2
1
1
−
+
= ；(
)(
)
3
2
3
2
1
−
+
= ；(
)(
)
2
3
2
3
1
−
+
= ．
【发现问题】
(1)任务一：请根据上述等式的规律，写出第n 个等式，并证明该等式成立；
【理解应用】
(2)任务二：比较
1
10
3
+
与10
3.1
−
的大小．
【答案】(1)解：(
)(
)
1
1
1
n
n
n
n
+
+
−
+
= （n 为正整数），证明如下：
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∵左边(
)(
)
1
1
n
n
n
n
=
+ −
+ +
(
)
(
)
2
2
1
n
n
=
+
−
(
1)
n
n
=
+
−
1
= =右边，
∴等式成立；
(2)
1
10
3.1
10
3
−
+
【难度】0.52
【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第n 个等式，再利用平方差公式证明等式成
立；
（2）先利用平方差公式对
1
10
3
+
进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关
系．
【详解】（1）略；
（2）解：
(
)(
)
1
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
−
=
=
−
+
+
−
，
∵3
3.1
，
∴3
3.1
−−
，
不等式两边同时加10 得：10
3
10
3.1
−
−
，
即
1
10
3.1
10
3
−
+
．
7．（25-26 八年级下·山东德州·期末）已知
1
2
3
a =
+
，求
2
2
8
1
a
a
−
+ 的值．小明是这样解答的：
解：因为
(
)(
)
1
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
a
−
=
=
=
−
+
+
−
，所以
2
3
a −
= −
所以(
)
2
2
3
a −
=
，即
2
4
4
3
a
a
−
+
=
，所以
2
4
1
a
a
−
= −
所以
(
)
(
)
2
2
2
8
1
2
4
1
2
1
1
1
a
a
a
a
−
+ =
−
+ =
−
+ = −．
请根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：
1
2
1
=
+
_______________；
(2)比较大小：100
99
−
_______________ 99
98
−
（填“”，“”或“ = ”）
(3)若
1
3
2 3
a =
+
，求
2
3
18
1
a
a
−
+ 的值．
【答案】(1) 2 1
−
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(2)
(3)26 16 3
−
【难度】0.57
【知识点】比较二次根式的大小、已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】（1）通过分母有理化直接化简；
（2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小；
（3）先对a 分母有理化，再直接代入计算．
【详解】（1）解：
1
2
1
2
1
2
1
2 1
2
1
( 2
1)( 2
1)
−
−
=
=
=
−
−
+
+
−
；
（2）解：
( 100
99)( 100
99)
1
100
99
100
99
100
99
−
+
−
=
=
+
+
，
( 99
98)( 99
98)
1
99
98
99
98
99
98
−
+
−
=
=
+
+
∵100
99
99
98
0
+
+
∴
1
1
100
99
99
98
+
+
∴100
99
99
98
−
−
（3）解：
1
3
2 3
3
2 3
2 3
3
9 12
3
3
2 3
(3
2 3)(3
2 3)
a
−
−
−
=
=
=
=
−
+
+
−
∴
2
2
2 3
3
12 12 3
9
7
4 3
(
)
3
9
3
a
−
−
+
−
=
=
=
∴
2
7
4 3
2 3
3
3
18
1
3
18
1
3
3
a
a
−
−
−
+ =
−
+
7
4 3
6(2 3
3) 1
=
−
−
−
+
7
4 3 12 3 18 1
=
−
−
+
+
26 16 3
=
−
．
8．（25-26 八年级下·浙江舟山·期末）综合与实践
小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果0
a
b
，那么
a
b
”．
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【直观感受】如图1，面积为
2
1cm ，
2
2cm ，，
2
5cm 的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点
均与原点O重合，数轴上标有它们的边长1，
2 ，，5 ．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的
数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小．
(1)【画图探究】请你类比图1，在图2 中画图探究“如果0
a
b
，那么
a
b
”．（★注：这里画图探
究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图）
(2)【应用推理】当
1
n 时，请你用探究得到的结论，求证：
2
2
1
n
n
+ ．
(3)【拓展提升】记
1
2
3
n
S
n
=
+
+
+
+
（n 为正整数，且
2
n
），请你也用探究得到的结论，求
证：
3
1
n
S
n
+ ．
【答案】(1)
(2)证明：∵
(
)
2
2
1 2
1
n
n
n
+ −
=
−
，且
1
n ，
∴(
)
2
1
0
n −
，即
2
1
2
0
n
n
+ −
，
∴
2
1
2
n
n
+
，即
2
0
2
1
n
n
+ ，
∴；
2
2
1
n
n
+
(3)证明：∵n 为正整数，且
2
n
，
∴
3
1
2
n
n
n
S
n
n
n
n
n n
n
=
+
+
+
+
+
=
=
个
，
又∵
3
3
0
1
n
n
+ ，
∴利用探究的结论可以得到
3
3
1
n
n
+ ，
∴
3
1
2
1
n
S
n
n
=
+
+
+
+
．
【难度】0.4
【知识点】二次根式的应用、比较二次根式的大小、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据
(
)
2
2
1 2
1
n
n
n
+ −
=
−
且(
)
2
1
0
n −
可得
2
0
2
1
n
n
+ ，再利用探究的结论即可证明；
（3）将
n
S 与
3
n 进行比较，再根据
3
3
0
1
n
n
+ 和已知结论即可证明．
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【详解】（1）略
（2）略
（3）略
9．（25-26 八年级下·江苏扬州·阶段检测） 阅读并回答问题：为了化简
2
a
b
，我们尝试找到两个数
m 、n ，使
2
2
m
n
a
+
=
且mn
b
=
，则可将
2
a
b
化为
2
2
2
m
n
mn
+
，即
2
(
)
m
n
，从而使得
2
a
b
化
简．
例如，
2
2
2
5
2 6
3
2
2 6
3
2
2 2
3
( 3
2)
+
=
+
+
=
+
+
=
+
（
）（
）
，
所以
2
5
2 6
( 3
2)
3
2
+
=
+
=
+
．
请仿照上例化简下列根式．
(1)
4
2 3
+
=______；
(2) 19
4 15
−
=_______；
(3)计算：
1
1
1
1
1
3
2 2
5
2 6
7
2 12
9
2 20
4051 2 2025 2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
．
(4)比较(
)
2023
2022
−
与(
)
2024
2023
−
的大小，并说明理由．
【答案】(1) 3
1
+
(2) 15
2
−
(3)
2026
1
−
(4)(
) (
)
2023
2022
2024
2023
−
−
．
【难度】0.42
【知识点】比较二次根式的大小、复合二次根式的化简、分母有理化
【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可；
（4）利用分子有理化，即可比较大小．
【详解】（1）解：
(
)
2
4
2 3
3
1
3
1
+
=
+
=
+ ；
（2）解：
(
)
2
19
4 15
15
2
15
2
−
=
−
=
−；
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（3）解：
1
1
1
1
1
3
2 2
5
2 6
7
2 12
9
2 20
4051 2 2025 2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
5
4
2026
2025
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
2
1
3
2
4
3
5
4
2026
2025
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
1
3
2
4
3
5
4
2026
2025
=
−+
−
+
−
+
−
+
+
−
2026 1
=
−；
（4）解：(
) (
)
2023
2022
2024
2023
−
−
．理由如下，
(
)(
)
(
)
2023
2022
2023
2022
1
2023
2022
2023
2022
2023
2022
−
+
−
=
=
+
+
，
(
) (
)(
)
(
)
2024
2023
2024
2023
1
2024
2023
2024
2023
2024
2023
−
+
−
=
=
+
+
，
∵
1
1
2023
2022
2024
2023
+
+
，
∴(
) (
)
2023
2022
2024
2023
−
−
．
重难点四、二次根式的应用
解题分三步：审题提取等量关系，用含二次根式的式子表示数量；结合几
何、行程、面积公式列式；完整化简计算，结果化为最简根式。几何类题型常结合勾股定
理，计算长度时注意线段为正数，最后结合题意检验结果是否符合现实场景。
1．（25-26 八年级下·安徽芜湖·期中）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积为
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．在ABC
中，
A
，
B
，
C
所对的边
分别为a ，b ，c ，若
12
a =
，
6
b =
，
10
c =
，则ABC
的面积为（ ）
A．8 14
B．8 15
C．28
D．32
【答案】A
【难度】0.85
32 / 79
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【知识点】二次根式的应用
【分析】 先根据三边长求出p 的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形面积即可.
【详解】解：∵
12
a =
，
6
b =
，
10
c =
，
∴
12
6 10
14
2
2
a
b
c
p
+ +
+ +
=
=
=
，
∴ABC
的面积
(
)(
)(
)
(
) (
) (
)
14
14 12
14
6
14 10
14 2 8 4
64 14
8 14
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
=
.
2．（25-26 八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知
1
2
OA A
是等腰直角三角形，
1
90
A
=
，依次以点
(
)
2,3,4,5,
n
A
n =
为直角顶点作等腰
1
Rt
n
n
OA A +
△
，若
1
1
OA = ，则
8
9
OA A
△
的周长为（ ）
A．8 8 2
+
B．16 8 2
+
C．16 16 2
+
D．20
16 2
+
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二次根式的应用、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形
【分析】先分别求出
1
2
OA A
、
2
3
OA A
△
、
3
4
OA A
△
的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：∵
1
2
OA A
是等腰直角三角形，
1
90
A
=
，
1
1
OA = ，
∴
1
1
2
1
O
A
A
A =
= ，
2
2
2
1
1
2
OA =
+
=
，
∴
1
2
OA A
的周长为
1
1
2
2
2
2
OA
A A
OA
+
+
=
+
，
同理可得：
2
3
OA A
△
的周长为
(
)
2 2
2
2 2
2
+
=
+
，
3
4
OA A
△
的周长为
(
) (
) (
)
2
4
2 2
2 2
2
2
2
2
+
=
+
=
+
，
归纳类推得：
1
n
n
OA A +
的周长为(
)
(
)
1
2
2
2
n−
+
（n 为正整数），
∴
8
9
OA A
△
的周长为(
) (
) (
)
(
)
8 1
7
2
2
2
2
2
2
−
+
=
+
(
)
8 2 2
2
=
+
16 2 16
=
+
．
3．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出
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了已知三角形三边a，b，c 求面积的公式
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
+
−
=
−
．如图，在ABC
中，
AD
BC
⊥
，若
5
AB
c
=
=
，
6
BC
a
=
=
，
7
AC
b
=
=
，则AD的长为（ ）
A．
37
3
B．
38
3
C．
39
3
D．2 10
3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二次根式的应用
【分析】根据给出的公式求出三角形的面积，等积法求出AD的长即可.
【详解】解：∵在ABC
中，
5
AB
c
=
=
，
6
BC
a
=
=
，
7
AC
b
=
=
，
∴
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
5
6
7
1
1
5
6
7
26
5
6
5 6
4
2
4
2
2
S
+
−
+
−
=
−
=
−
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
1
6
26
2
2
2
S
BC AD
AD
=
=
=
，
∴
39
3
AD =
.
4．（25-26 八年级下·江苏常州·期末）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦
高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度
m
h
与所需的时间
s
t 满足关系式
5
h
t =
，如果1 个鸡蛋从离地面60 m 的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是
_________s ．
【答案】2 3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用
【分析】将已知的下落高度
60
h =
代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间．
【详解】解：把
60
h =
代入
5
h
t =
，得
60
12
2 3
5
t =
=
=
，
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∴如果1 个鸡蛋从离地面60 m 的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是2 3s ．
5．（25-26 八年级下·广东广州·期末）正方形的边长为a ，它的面积与一个长为12、宽为4 的长方形的面
积相等，则a 的值为________．
【答案】
4 3
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用
【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解a 的值.
【详解】解：根据题意，得
2
2
12 4
48
4
3
a =
=
=
，
正方形边长
0
a
，舍去负根，
解得：
4 3
a =
．
6．（25-26 八年级下·福建福州·期末）中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用
三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三
边长分别为a，b，c，记
2
a
b
c
p
+ +
=
，那么三角形的面积
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
=
−
−
−
．若ABC
的三边
长分别为5，6，7，则ABC
的面积为______．
【答案】6 6
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简
【详解】解：∵ABC
的三边长分别为5，6，7，
∴
5
6
7
9
2
2
a
b
c
p
+ +
+ +
=
=
=
，
∴
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
(
) (
) (
)
9
9
5
9
6
9
7
=
−
−
−
216
=
6 6
=
．
7．（25-26 八年级下·陕西安康·阶段检测）据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（米）
与其起跳速度v（米/秒）之间满足
2
2
v
h
g
=
（其中
10
g =
米/秒2 ）．若某运动员在训练中要使起跳后身体
重心提高4 米，则其起跳时的速度应为________米/秒．（结果化为最简）
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【答案】4 5
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用
【分析】将
4
h =
，
10
g =
代入公式
2
2
v
h
g
=
求解v ，结合速度的实际意义确定v 为正，再将结果化为最简二
次根式即可．
【详解】解：将
4
h =
，
10
g =
代入
2
2
v
h
g
=
，得
2
4
2 10
v
=
，
整理得
2
80
v =
，
由实际意义可知，
0
v
，
因此
80
4 5
v =
=
．
8．（25-26 八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式：①
1
2
1
3
3
3
+
=
；②
1
3
2
4
4
4
+
=
；③
1
4
3
5
5
5
+
=
，…请用含(
)
1
n n
的式子写出你猜想的规律：_________．
【答案】
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用、用代数式表示数、图形的规律
【详解】解：①
1
2
1
3
3
3
+
=
可变形为
1
1 1
1+
=
1 2
1 2
1 2
+
+
+
+
，
②
1
3
2
4
4
4
+
=
可变形为
2
1
2 1
2
=
2
2
+ 2
2
2
+
+
+
+
，
③
1
4
3
5
5
5
+
=
可变形为
1
3 1
3+
=
3
2
3
2
3
2
+
+
+
+
，
，
∴第(
)
1
n n
的式子为
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
．
9．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收
到电视节目信号的区域就越广．已知广播电视塔的高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单
位：km）之间存在近似关系
2
r
Rh
=
，其中R 是地球半径，
6400km
R
．已知某地电视塔的高约为
600m，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径．（结果保留最简二次根式）
【答案】该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径约为16 30km
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用
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【分析】把
6400km,
0.6km
R
h
=
=
代入
2
r
Rh
=
计算即可.
【详解】解：由题意，得600m
0.6km
2
r
Rh
=
=
，
，
∴当
6400km,
0.6km
R
h
=
=
时，
2 6400 0.6
r =
(
)
16 30 km
=
．
∴该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径约为16 30km．
10．（25-26 八年级下·河北廊坊·期中）已知边长分别为(
)
5
3 m
+
，(
)
5
3 m
−
的两个正方形的面积分
别为
1S ，
2
S ．
(1)求
1
2
S
S
+
的值；
(2)求这两个正方形的周长之和．
【答案】(1)
2
16m
(2)8 5m
【难度】0.86
【知识点】二次根式的应用
【详解】（1）解：∵边长分别是(
)
(
)
5
3 m,
5
3 m
+
−
的两个正方形的面积分别为
1S ，
2
S ，
∴
2
2
1
m
( 5
3)
S =
+
，
(
)
2
2
2
m
5
3
S =
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1
2
5
3
5
3
S
S
+
=
+
+
−
5
2 15
3 5
2 15
3
= +
+ + −
+
(
)
2
16 m
=
；
（2）解：两个正方形的周长分别为(
)
4
5
3 m
+
和 (
)
4
5
3 m
−
，
总周长为(
)
(
)
( )
4
5
3
4
5
3
4 5
4 3
4 5
4 3
8
m
5
+
+
−
=
+
+
−
=
．
11．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）我们规定用(
)
,a b 表示一对数对，其中
0
a
，
0
b
．给出如下定
义：记
1
m
a
=
，n
b
=
，将(
)
,
m n 称为数对(
)
,a b 的“衍生数对”．
例如：(
)
4,1 的“衍生数对”为1 ,1
2
；
(1)数对(
)
9,3 的“衍生数对”是______；
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(2)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
3,3 2 ，求ab 的值；
(3)若数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
,
m n ，当
1
a 时，比较m
n
+
和mn 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1) 1 , 3
3
(2)6
(3)解：m
n
mn
+
，理由如下：
由题意得：
1
a ，
0
b
，
∵数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
,
m n ，
∴
1
m
a
=
，n
b
=
，
∴m
n
mn
+
−
1
1
b
b
a
a
=
+
−
1
a b
b
a
+
−
=
(
)
1
1
b
a
a
+
−
=
，
∵
1
a ，
0
b
，
∴
1
a ，
0
b
，
∴
1
0
a −
，
∴
(
)
1
1
0
b
a
+
−
，
∴
(
)
1
1
0
b
a
m
n
mn
a
+
−
+
−
=
，
∴m
n
mn
+
．
【难度】0.65
【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、求一个数的算术平方根
【分析】（1）根据“衍生数对”的定义解答即可；
（2）根据“衍生数对”的定义求出a ，b 的值，代入计算即可；
（3）先得出
1
m
a
=
，n
b
=
，再根据
1,
0
a
b
可得
1
a ，
0
b
，然后计算m
n
mn
+
−
，判断与0
的大小关系即可．
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【详解】（1）解：∵1
1
3
9
=
，
∴数对(
)
9,3 的“衍生数对”是1 , 3
3
．
（2）解：∵数对(
)
,a b 的“衍生数对”是(
)
3,3 2 ，
∴1
3
a
=
，
3 2
b =
，
∴
1
3
a =
，
18
b =
，
∴1
3
a = ，
18
b =
，
∴
1
3
a =
，
∴
1 18
6
3
ab =
=
．
（3）略．
12．（25-26 八年级下·湖北宜昌·期末）综合与实践．
【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘．
【探究过程】
活动一：定义“漂亮数”——对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根
都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”．
活动二：将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1 的整数．
(1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”．
①1，9，16________；②3，9，12________；③5，20，45________；
(2)1，4，9 是“漂亮数”，2，8，18________（填“是”或“不是”）“漂亮数”．
(3)结论：若a，b，c 是“漂亮数”，则ka，kb ，kc （
1
k ，且k 是整数）________（填“是”或“不是”）“漂
亮数”，并说明理由．
【答案】(1)①是；②否；③是
(2)是
(3)是，理由如下：
ka
kb
ka kb
k ab
=
=
，
ka
kc
ka kc
k ac
=
=
，kb
kc
kb kc
k bc
=
=
，
a
，b ，c 是“漂亮数”，
ab
，
ac ，bc 是整数，
k
也是整数，
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k ab
，k ac ，k bc 都是整数，
ka
，kb，kc 是“漂亮数”．
【难度】0.57
【知识点】二次根式的应用、求一个数的算术平方根、求二次根式的值
【分析】根据漂亮数的定义解题即可．
【详解】（1）解：①1 9
3
=
，1 16
4
=
，9 16
12
=
，
∴1，9，16 是漂亮数；
②3 9
3 3
=
，不是整数，
∴3，9，12 不是漂亮数；
③5 20
10
=
，5 45
15
=
，20 45
30
=
，
∴5，20，45 是漂亮数；
（2）解：
2 8
4
=
，
2 18
6
=
，8 18
12
=
，
∴2，8，18 是漂亮数；
（3）略
13．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如
果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：m ）与它的入水速度v（单位：m/s）满足：
2
20
v
h =
．实验中，测试物体从距离海平面40m的桥面下落．
(1)求该物体的入水速度；（结果保留根号）
(2)若物体的入水速度超过30 m/s会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理
由．（参考数据：2
1.414
）
【答案】(1) 20 2 m/s
(2)本次实验不会触发红色警报．
理由如下：
∵
20 2
20 1.414
28.28m/s
v =
=
，28.28m/s<30m/s ，
∴本次实验不会触发红色警报．
【难度】0.62
【知识点】二次根式的应用、利用平方根解方程
【分析】（1）先把
40m
h =
代入公式
2
20
v
h =
即可得出v 的值．
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（2）先计算出20 2 ，然后再和30 比较即可得出答案．
【详解】（1）解：把
40m
h =
代入
2
20
v
h =
，得
2
40
20
v
=
，
解得：
20 2
v =
，负值舍去．
答：该物体的入水速度为20 2 m/s ．
（2）解：略；
14．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）再谈海伦-秦九韶公式
材料1：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50 年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角
形三边长求其面积的海伦公式
(
)(
)(
)
S
p p
a
p
b
p
c
−
−
−
=
（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，
2
a
b
c
p
+ +
=
，S为三角形的面积）；
材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
2
2
2
2
2
2
1
4
2
a
b
c
S
a b
+
−
=
−
，其中三角形边长分别为a 、b 、c ，三角形的面积为S．
【解决问题】
(1)已知如图在ABC
中，
10
AB =
，
7
AC =
，
9
BC =
．ABC
的面积______；
(2)当ABC
的三边长分别为
3
a = ，
7
b =
，
10
c =
时，这个三角形的面积为________；
(3)在（1）基础上，设AB 边上的高为
1h ，BC 边上的高为
2h ，AC 边上的高为
3h ，求
1
2
3
h
h
h
+
+
的值．
【答案】(1)6 26
(2) 3 6
2
(3) 446 26
105
【难度】0.62
【知识点】二次根式的应用
【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可；
（2）利用秦九韶公式进行计算即可；
（3）用等积法进行求解即可.
【详解】（1）解：∵
10
AB =
，
7
AC =
，
9
BC =
，
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∴
10
7
9
13
2
p
+ +
=
=
，
∴ABC
的面积
(
) (
) (
)
13
13 10
13
7
13
9
6 26
=
−
−
−
=
；
（2）解：∵
3
a = ，
7
b =
，
10
c =
，
∴这个三角形的面积为
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
3
7
10
1
3
7
4
2
+
−
−
(
)
2
1
9 7
3
4
=
−
3 6
2
=
；
（3）解：由题意，
1
2
3
1
1
1
6 26
2
2
2
AB h
BC h
AC h
=
=
=
，
∵
10
AB =
，
7
AC =
，
9
BC =
，
∴
1
3
2
6 26
12 26
4 26
,
,
5
7
3
h
h
h
=
=
=
，
∴
1
2
3
6 26
4 26
12 26
446 26
5
3
7
105
h
h
h
+
+
=
+
+
=
.
15．（22-23 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，一条河流的BD段长为12km，在B 点的正北方4km处
有一村庄A，在D 点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C 到A 村和E 村的距
离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：
(1)将桥C 建在何处时，可以使得桥C 到A 村和E 村的距离和最小？请在图中画出此时C 点的位置；
(2)小明发现：设BC
x
=
，则
12
CD
x
=
−，则
(
)
2
2
2
2
4
12
2
AC
CE
x
x
+
=
+
+
−
+
，根据（1）中的结论可以
求
(
)
2
2
2
2
4
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值，并求出最小值．
【答案】(1)如图，点C 即为所作：
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(2)当
8
x = 时，
(
)
2
2
2
2
4
12
2
x
x
+
+
−
+
的值最小，最小值为6 5 ．
【难度】0.45
【知识点】二次根式的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接AE ，交BD于点C 即可；
（2）如图所示，过点A作AJ
ED
⊥
，交ED延长线于点J ，连接AE 交BD于C，根据平行线间间距相等
得到
4km
12km
DJ
AB
AJ
BD
=
=
=
=
，
，则
6km
JE
DJ
DE
=
+
=
，利用勾股定理求出AE 的长即可得到答
案．
【详解】（1）解：略；
（2）解：如图所示，过点A作AJ
ED
⊥
，交ED延长线于点J ，连接AE 交BD于C，
由题意得，AB
BD
DE
BD
⊥
⊥
，
，
∴AB
EJ
AJ
BD
∥
，
∥
，
∴
4km
12km
DJ
AB
AJ
BD
=
=
=
=
，
，
∴
6km
JE
DJ
DE
=
+
=
，
在Rt
AJE
△
中，由勾股定理得
2
2
6 5km
AE
AJ
JE
=
+
=
，
∴由（1）的结论可知AC
CE
+
的最小值为6 5km，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得
2
2
4
AC
x
=
+
在Rt
CDE
△
中，由勾股定理得
(
)
2
2
12
2
CE
x
=
−
+
∴
(
)
2
2
2
2
4
12
2
AC
CE
x
x
+
=
+
+
−
+
，
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∴
(
)
2
2
2
2
4
12
2
x
x
+
+
−
+
的最小值为6 5 ，
设BC
x
=
，则
12
DC
x
=
−
，
∵
1
1
1
2
2
2
AJE
S
AJ
JE
JE C D
AJ
AB
=
=
+
△
，
∴
(
)
1
1
1
12 6
6
12
12 4
2
2
2
x
=
−
+
，
解得
8
x = ，
答：当
8
x = 时，
(
)
2
2
2
2
4
12
2
x
x
+
+
−
+
的值最小，最小值为6 5 ．
16．（25-26 八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】
小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：1
1
1
1 2
2
= −
，
1
1
1
2 3
2
3
=
−
，1
1
1
3 4
3
4
=
−
，在学
习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规
律，请将探究过程补充完整：
特例1：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1 2
1
2
+
+
= +
= + −
，
特例2：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
2
3
+
+
= +
= +
−
，
特例3：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3 4
3
4
+
+
= +
= +
−
．
【发现规律】
(1)
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
+
+
=
+
________（
1
n ，且n 为整数）．
【应用规律】
(2)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2025
2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
_______
(3)如果
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
6
1
n
n−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
（
5
n
，且n 为整数）的小数部分是0.125，求出
它的整数部分．
【答案】(1)
1
1
1
1
n
n
+
−
+
(2) 4104675
2026
(3)4
【难度】0.42
【知识点】二次根式的应用、与实数运算相关的规律题、实数的混合运算
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【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可；
（2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可；
（3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得
1
1
4
4
−+
−
n
n ，结合
5
n
可判断，小数部分为1
1
4 −n ，从而求
出n 的值，最后计算出整数部分即可．
【详解】（1）解：总结规律可得，
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
+
+
= +
−
+
+
；
（2）解：利用（1）的规律可得，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2025
2026
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2025
2026
= + −
+ +
−
+
+ +
−
1
1
1
1
1
1 2025
1
2
2
3
2025
2026
=
+
−
+
−
+
+
−
1
2025 1
2026
=
+ −
4104675
2026
=
；
（3）解：同理（2）可得，
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
6
1
n
n−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
5
6
1
= +
−
+ +
−
+
+ +
−
−
n
n
(
)
1
1
1
1
1
1
1
4
4
5
5
6
1
n
n
n
−
−
=
+
−
+
−
+
+
−
1
1
4
4
=
−+
−
n
n
∵
5
n
，
∴1
1
4
n
，
∴原数的小数部分为1
1
4 −n ，
∴1
1
0.125
4 −
=
n
，解得
8
n = ，
∴原数的整数部分为8 4
4
−
=
．
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模块二、实数的运用
重难点一、实数的混合运算
实数混合运算遵循 “先乘方开方，再乘除，最后加减，括号优先”。根
式、整式、分数统一规范计算，能套用平方差、完全平方公式优先简化；每一步及时化简
二次根式，合并同类根式，分母有理化同步完成，分步演算减少跳步，规避符号与计算失
误。
1．（21-22 九年级下·云南曲靖·期中）计算：(
)
1
0
1
π
3
2
−
−
+
=
______．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算
【详解】解：(
)
1
0
1
π
3
1
2
3
2
−
−
+
= +
=
．
2．（25-26 七年级下·安徽安庆·期末）计算：(
)
2026
3
1
4
8
2
2
−
+
−
+
+
．
【答案】3
2
+
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算
【详解】解：(
)
2026
3
1
4
8
2
2
−
+
−
+
+
1 2 2
2
2
= + −+ +
3
2
= +
．
3．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）计算：
(
)
2
0
1
36
2026
π
3
−
−
−
+
．
【答案】14
【难度】0.85
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算、求一个数的算术平方根
【详解】解：原式
6 1 9
= −+
14
=
．
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4．（25-26 七年级下·云南文山·期末）计算：
2026
3
1
8
2
16
−
+
−−−+
．
【答案】1
−
【难度】0.85
【知识点】有理数的乘方运算、实数的混合运算、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、求一个
数的立方根
【分析】先计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果．
【详解】解：
2026
3
1
8
2
16
−
+
−−−+
1 2 2 4
= −−−+
1
= −．
5．（25-26 七年级下·吉林·期末）计算：(
)
(
)
2
2
3
1
2
27
2
9
−
+
−
−
+
−
【答案】7
【难度】0.85
【知识点】实数的混合运算、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】先利用算术平方根、乘方、立方根、绝对值化简，然后再计算即可．
【详解】解：(
)
(
)
2
2
3
1
2
27
2
9
−
+
−
−
+
−
(
)
1
2
3
3
2
= +
−−
+ −
3 3 3 2
= + + −
7
=
．
6．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）计算：
(1)
4
0
2
1
( 1)
(3.14
π)
(
)
3
−
−
−
−
+ −
(2)
2 3
2
4
12
6
(2
)
7
a
a
a
a
a
−
+
(3)学校理化实验中心有一块长方形场地如图所示，长为
5
a
b
+
，宽为a
b
+
，准备在场地中划出两个边长
为a
b
−
的正方形区域存放备用实验器材，剩下的阴影区域作为实操实验区．
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①用含a 、b 的代数式表示实操实验区的面积；
②若
15
a =
米，
5
b =
米，求实操实验区的面积．
【答案】(1)9
(2)
6
2a
(3)①
2
2
10
3
a
ab
b
−
+
+
；②600 平方米
【难度】0.65
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、负整数指数幂、完全平方公式在几何图形中的应用、实数的
混合运算、多项式乘多项式与图形面积
【分析】（1） 先分别计算乘方、零次幂、负指数幂，再进行加减运算；
（2） 依次计算积的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法，再合并同类项；
（3） ①用长方形总面积减去两个正方形面积，展开化简得到阴影面积代数式；
②将
15
a =
，
5
b =
代入化简后的代数式求值即可．
【详解】（1）解：
2
4
0
1
( 1)
(3.14
)
3
−
−
−
−
+ −
(
)
2
1 1
3
= −+ −
0
9
=
+
9
=
（2）解：
2 3
2
4
12
6
(2
)
7
a
a
a
a
a
−
+
6
6
6
8
7
a
a
a
=
−
+
6
(8
7 1)a
=
−+
6
2a
=
（3）解：①长方形面积：(
5 )(
)
a
b a
b
+
+
，单个正方形面积：
2
(
)
a
b
−
，
2
(
5 )(
)
2(
)
S
a
b a
b
a
b
=
+
+
−
−
阴影
2
2
2
2
5
5
2(
2
)
a
ab
ab
b
a
ab
b
=
+
+
+
−
−
+
2
2
2
2
6
5
2
4
2
a
ab
b
a
ab
b
=
+
+
−
+
−
2
2
10
3
a
ab
b
= −
+
+
答：实操实验区面积为
2
2
10
3
a
ab
b
−
+
+
．
②当
15
a =
，
5
b =
时，
2
2
10
3
a
ab
b
−
+
+
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2
2
15
10 15 5
3 5
= −
+
+
225 750
75
= −
+
+
600
=
答：实操实验区的面积为600 平方米．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）计算：
(
)
2
2
0
2
1
1
2
2026
5
2
3
−
−
+ −
+
−
．
【答案】9
【难度】0.7
【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算
【详解】解：
(
)
2
2
0
2
1
1
2
2026
5
2
3
−
−
+ −
+
−
1
4
9 1
4
= −
+ +
1 9 1
= −+ +
9
=
．
8．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）计算
(1)(
)
(
)
1
0
2
1
π
2026
2
3
−
−
+
−
−
；
(2)(
)(
)
2
1
2
1
12
3
+
−
+
【答案】(1)2
(2)3
【难度】0.75
【知识点】运用平方差公式进行运算、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算、实数的混合运
算
【详解】（1）解：原式1 3 2
= + −
2
=
．
（2）解：原式(
)
2
2
2
1
4
=
−
+
2 1 2
=
−+
3
= ．
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重难点二、新定义实数的混合运算下的实数运算
解题关键是读懂题干自定义运算法则，把陌生符号转化为熟悉的实数运算
式。先拆解运算顺序，区分前后数字对应关系，再代入根式、整数列式；按实数运算法则
逐步化简，合并同类二次根式，计算完成后代回定义验证，防止混淆自定义运算的前后项
顺序。
1．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）规定新运算：*
2
a b
a
b
=
+
，则(
)
3 *5
−
等于（ ）
A．1
B．3
C．1
−
D．3
−
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算
【分析】先把(
)
3 *5
−
写出整数的混合运算，然后再运用整数混合运算法则计算即可．
【详解】解：由新运算规则得，(
)
(
)
3 *5
2
3
5
6
5
1
−
=
−
+
= −+
= −．
2．（25-26 七年级下·广西玉林·期末）十六世纪的数学家试图求解方程
2
1
0
x + =
时，陷入了困境．在实数
范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家
们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：2i
1
= −，其中i 是虚数单位，如
2
2i i
2i
2
=
= −．虚数与实
数结合形成复数，复数的形式为
i
a
b
+
，其中a 叫实部，b 叫虚部，如复数2
3i
+
中，2 是实部，3 是虚
部，那么(
)
1 6i
i
+
的实部为（ ）
A．6
−
B．1
−
C．1
D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题为新定义运算题，根据题目给出的虚数定义和运算法则，展开计算得到结果后，根据实部
的定义即可求解．
【详解】解：
2
(1 6i) i
1 i
6i i
i
6i
+
= +
= +
，
2i
1
= −
，
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原式
(
)
i
6
1
6
i
= + −
= −+ ，
复数
i
a
b
+
中，a 为实部，
(
)
1
6i
i
+
的实部为6
−，
故选：A．
3．（25-26 七年级下·广东汕头·期末）已知
x 表示不超过x 的最大整数，例如
1.5
1
= ，
0.8
1
−
= −．则
5
3.4
−
＋
的结果为________．
【答案】2
−
【难度】0.85
【知识点】无理数的大小估算、有理数加法运算、新定义下的实数运算
【分析】根据
x 的定义，先估算5 的大小范围，再分别求出两个取整结果，求和即可得到答案.
【详解】解：
2
2
4
=
，
2
3
9
=
，
2
5
3
，
根据定义可得
5
2
=
，
又
4
3.4
3
−−
−
，
因此不超过3.4
−
的最大整数为4
−，
即
3.4
4
−
= −，
(
)
5
3.4
2
4
2
+ −
=
+ −
= −
.
4．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于实数a 、b ，定义运算“※”如下：
2
a
b
a
ab
=
−
※
，则4 6
※
的结果的立方根为______．
【答案】2
−
【难度】0.85
【知识点】求一个数的立方根、新定义下的实数运算
【详解】解：根据定义，
2
4
6
4
4 6
16
24
8
=
−
=
−
= −
※
，
3
8
2
−= −，
∴4 6
※ 的结果的立方根为2
−．
5．（25-26 七年级下·宁夏吴忠·期末）定义新运算：对于任意实数a，b，都有
2
2
a
b
a
ab
=
−
，其中等号
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右边是通常的减法及乘法运算．如
2
1
1=1
2 1 1=
1
−
−
．请计算
(
)
2
1
−
= ______．
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】根据给出的定义新运算，列出算式求解．
【详解】解：
(
)
(
)
2
2
1
2
2 2
1
4
4
8
−
=
−−
=
+
=
．
6．（2026·河南周口·二模）进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二
进一就是二进制，为了区分不同基数的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数），例
如：十进制数
3
2
1
2026
2 10
0 10
2 10
6 1
=
+
+
+ ；又如：二进制数(
)2
101
，其中
(
)
2
1
2
101
1 2
0 2
1 1
=
+
+
4
0 1
5
=
+ + = ，把二进制数(
)2
1111
转换成十进制等于_____．
【答案】15
【难度】0.85
【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算
【分析】理解题目给出的进位制展开规则，按照规则将二进制数展开后计算即可得到结果．
【详解】解：(
)
3
2
1
0
2
1111
1 2
1 2
1 2
1 2
=
+
+
+
8
4
2 1
= + + +
15
=
．
7．（25-26 七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在正实数范围内定义一种新运算“★”：
3
2
m
n
m
n
=
−
★
，
如：
3
2 1
2 2
1
1
=
−
=
★
．请你运用这种计算方式计算式子：18
27 =
★
________．
【答案】3
【难度】0.75
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、新定义下的实数运算
【详解】解：∵
3
2
m
n
m
n
=
−
★
，
∴
3
18
27
2 18
27
6 3
3
=
−
=
−=
★
．
8．（24-25 七年级下·河北唐山·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆
2
2
b
ab
ab
a
=
+
+ ．
如：1☆
2
3
1 3
2 1 3 1
16
=
+ + =
．
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(1)求(
)
2
−
☆3的值；
(2)若
1
2
a +
☆3☆
−
=
1
8
2
，求a 的值；
(3)若2 ☆x
m
=
，1
4 x
☆3
n
=
（其中x 为有理数），试比较m ，n 的大小．
【答案】(1) 32
−
(2)
3
a =
(3)m
n
【难度】0.65
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减运算、含乘方的有理数混合运算、
新定义下的实数运算
【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是
解本题的关键．
（1）原式用已知的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于a 的方程求解即可；
（3）已知等式利用新定义表示出m ，n ，然后用作差法比较即可．
【详解】（1）解：(
)
2
−
☆
(
)
(
)
2
3
2 3
2
2
3
2
32
= −
+ −
+ −
= −
．
（2）解：
1
2
a +
☆3
2
1
1
1
3
2
3
2
2
2
a
a
a
+
+
+
=
+
+
(
)
8
1
a
=
+
(
)
8
1
a +
☆
1
2
−
(
)
(
)
(
)
2
1
1
8
1
2 8
1
8
1
2
2
a
a
a
=
+
−
+
+
−
+
+
(
)
2
1
a
=
+
(
)
2
1
8
a
+
=
解得
3
a = ．
（3）解：由题意
2
2
2
2
2
2
2
4
2
m
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+ ，
2
1
1
1
3
2
3
4
4
4
4
n
x
x
x
x
=
+
+
=
，
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2
2
2
0
m
n
x
−
=
+
，
m
n
．
9．（重庆市秀山县2026 年春期期末考试八年级数学试题）对于一个四位自然数M ，如果M 满足各个数
位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，那么称这
个数M 为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记
(
)
11
M
F M =
．例如：
1573
M =
，因为1 7
5 3
8
+
= + =
，所以
1573是一个“吉利数”，
(
)
1573
1573
143
11
F
=
=
．若N 是“吉利数”，请写出一个满足条件的N _____；若一
个四位自然数Q 是“吉利数”，且
( )
8
F Q 为整数，则满足条件的四位自然数Q 的最大值与最小值之差为
______．
【答案】1078（答案不唯一） 5544
【难度】0.55
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、新定义下的实数运算
【分析】本题理解新定义“吉利数”，将吉利数用数位数字表示出来，再根据整除条件找出满足要求的最大
和最小吉利数，计算差值即可，用到整式化简和整除的性质．
【详解】解：第一问，根据吉利数定义，取千位数字为1，百位数字为0 ，则十位数字为8 1
7
−=
，个位数
字为8 0 = 8
−
，四个数字1,0,7,8互不相同，满足吉利数要求，因此N
1078
=
是一个符合条件的吉利数，答
案不唯一；
第二问，设吉利数Q 的千位数字为x ，百位数字为y ，可得十位数字为8
x
−
，个位数字为8
y
−
，其中
1
7
x
，0
8
y
，,x y为整数，且四个数位数字互不相同，则
(
) (
)
1000
100
10 8
8
990
99
88
Q
x
y
x
y
x
y
=
+
+
−
+
−
=
+
+
，
( )
90
9
8
11
Q
F Q
x
y
=
=
+
+ ，
( )
8
F Q
为整数，
90
9
8
x
y
+
+
能被8整除，可得2x
y
+
能被8整除．
欲使Q 最大，x 取最大可能值，当
7
x =
时，2 7
14
y
y
+
=
+
，14
y
+
是8的倍数且
8
y
，得
2
y =
，此时
四个数位数字7,2,1,6 互不相同，符合要求，得最大
7216
Q =
；
欲使Q 最小，x 取最小可能值，当
1
x = 时，2 1
2
y
y
+
=
+
，2
y
+
是8的倍数且
0
y
，得
6
y =
，此时四
个数位数字1,6,7,2 互不相同，符合要求，得最小
1672
Q =
；
因此最大值与最小值的差为7216 1672
5544
−
=
．
10．（25-26 七年级下·湖南湘潭·期末）阅读下面的文字，解答问题．
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新定义：若无理数T 的被开方数T （T 为正整数）满足
(
)
2
2
1
n
T
n
+
（其中n 为正整数），则称无理
数T 的“阳光区间”为(
)
,
1
n n +
；同理规定无理数
T
−
的“阳光区间”为(
)
1,
n
n
−−
−
．例如：因为
2
2
1
2
2
，所以1
2
2
，所以2 的“阳光区间”为(
)
1,2 ，
2
−
的“阳光区间”为(
)
2, 1
−
−
．
请解答下列问题：
(1) 15 的“阳光区间”是_______；
23
−
的“阳光区间”是_______；
(2)若无理数
a
−
（a 为正整数）的“阳光区间”为(
)
3, 2
−
−
，
3
a +
的“阳光区间”为(
)
3,4 ，求a 的值；
(3)实数x ，y ，m 满足关系式：
2
3
3
4
2
2026
2026
x
y
m
x
y
m
x
y
x
y
+
−
+
+
−
=
+
−
+
−
−
，求m 的算术
平方根的“阳光区间”．
【答案】(1)(
)
3,4 ，(
)
5, 4
−
−
(2)7 或8
(3)(
)
45,46
【难度】0.54
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、估计算术平方根的取值范围、新定义下的实数运算
【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可；
（2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a 的范围，再结合a 为正整数，确定a 的值；
（3）先根据
2026
0
x
y
+
−
，2026
0
x
y
−
−
，得出
2026
x
y
+
=
，进而得出
2
3
0
3
4
2
0
x
y
m
x
y
m
+
−
=
+
−
=
，可得
2026
m
x
y
=
+
=
，再根据“阳光区间”的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵
2
2
3
15
4
，
∴3
15
4
，
∴15 的“阳光区间”为(
)
3,4 ，
∵
2
2
4
23
5
，
∴4
23
5
，
∴
23
−
的“阳光区间”为(
)
5, 4
−
−
；
（2）解：∵无理数
a
−
（a 为正整数）的“阳光区间”为(
)
3, 2
−
−
，
∴2
3
a
，
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∴4
9
a
，
∵
3
a +
的“阳光区间”为(
)
3,4 ，
∴3
3
4
a
+
，
∴9
3 16
a
+
，解得6
13
a
，
∴6
9
a
，
又∵a 为正整数，
∴
7
a =
或8；
（3）解：∵
2
3
3
4
2
2026
2026
x
y
m
x
y
m
x
y
x
y
+
−
+
+
−
=
+
−
+
−
−
，
∴
2026
0
x
y
+
−
，2026
0
x
y
−
−
，
∴
2026
x
y
+
，
2026
x
y
+
，
∴
2026
x
y
+
=
，
2026
0
x
y
+
−
=
，2026
0
x
y
−
−
=
，
∴
2
3
3
4
2
0
x
y
m
x
y
m
+
−
+
+
−
= ，
∵
2
3
0
x
y
m
+
−
，
3
4
2
0
x
y
m
+
−
，
∴
2
3
0
3
4
2
0
x
y
m
x
y
m
+
−
=
+
−
=
①
②，
−
②
①得
0
x
y
m
+
−
=
，
∴
2026
m
x
y
=
+
=
，
∴m 的算术平方根为
2026 ，
∵
2
2
45
2026
46
，
∴45
2026
46
，
∴
2026 的“阳光区间”为(
)
45,46 ．
11．（26-27 七年级上·广西南宁·开学考试）阅读材料：在课本鸽巢问题中，采用尽量平均分的方法：把
m 个物品放入k 个抽屉，用物品总数除以抽屉数，如果有余数，数量最多的抽屉内物品个数为商加1；如
果恰好整除，则结果等于商．我们将这个结果记作新运算(
)
,
R m k ．例如：7 3
2
1
=
，因此
(
)
7,3
3
R
=
；6 3
2
=
，因此
(
)
6,3
2
R
=
．
规定：当抽屉数k 固定不变时，
若
(
)
(
)
(
)
,
,
,
R a
b k
R a k
R b k
+
=
+
，则称a 与b 为分配不变数组；
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若
(
)
(
)
(
)
,
,
,
R a
b k
R a k
R b k
+
+
，则称a 与b 为分配缩减数组．
(1)直接写出结果：
(
)
23,2
R
= ________，并计算(
)
(
)
18,5
21,5
R
R
+
；
(2)若
4
k =
，请完成下列问题：
①判断19和17 是属于分配不变数组还是分配缩减数组，写出完整推理过程；
②自然数x 满足12
38
x
，若x 和17 构成分配不变数组，求符合条件的自然数共有_____个．
【答案】(1)12，9
(2)①分配缩减数组 ②6
【难度】0.42
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、新定义下的实数运算
【分析】（1）根据定义，计算即可；
（2）①先根据定义，计算，再根据分配不变数组或分配缩减数组的定义，作出判断即可；
②根据题意，得(
)
(
)
(
)
(
)
17,4
,4
17,4
,4
5
R x
R x
R
R x
+
=
+
=
+
，分
(
)
,4
R x
有余数和整除两种情况求解即
可．
【详解】（1）解：
23 2
11
1
=
，
(
)
23,2
11 1
12
R
=
+ =
；
18 5
3
3
=
，
(
)
18,5
3 1
4
R
=
+ =
；
21 5
4
1
=
，
(
)
21,5
4 1
5
R
=
+ =
；
(
)
(
)
18,5
21,5
4
5
9
R
R
+
=
+
=
．
（2）解：①
19 4
4
3
=
，
(
)
19,4
4 1
5
R
=
+ =
；
17
4
4
1
=
，
(
)
17,4
4 1
5
R
=
+ =
；
(
)
(
)
19,4
17,4
5
5
10
R
R
+
=
+
=
．
(
)
19 17
4
9
+
=
，
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(
)
19 17,4
9
R
+
=
；
(
)
(
)
(
)
19 17,4
19,4
17,4
R
R
R
+
+
，
故19与17 为分配缩减数组．
②解：
17
4
4
1
=
，
(
)
17,4
4 1
5
R
=
+ =
；
x
和17 构成分配不变数组，
(
)
(
)
(
)
(
)
17,4
,4
17,4
,4
5
R x
R x
R
R x
+
=
+
=
+
，
设
4
x
q
r
=
+
，q 为商，r 是余数，且0
4
r
，
当
0
r =
时，
4
x
q
=
，
(
)
,4
R x
q
=
，
(
)
(
)
,4
17,4
5
R x
R
q
+
=
+
，
(
)
17
4
16 1
4
4
1
x
q
q
+
=
+
+ =
+
+
(
)
17,4
4 1
5
R x
q
q
+
=
+
+ =
+
，
(
)
(
)
(
)
(
)
17,4
,4
17,4
,4
5
R x
R x
R
R x
+
=
+
=
+
，符合要求，
故x 是4 的倍数，在12
38
x
中，是4 的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6 个；
当
0
r
时，
4
x
q
r
=
+
，
(
)
,4
1
R x
q
=
+ ，
(
)
(
)
,4
17,4
1 5
6
R x
R
q
q
+
=
+ +
=
+
，
(
) (
)
17
4
16
1
4
4
1
x
q
r
q
r
+
=
+
+ + =
+
+
+
(
)
17,4
4 1
5
R x
q
q
+
=
+
+ =
+
，
5
6
q
q
+
+
(
)
(
)
(
)
17,4
,4
17,4
R x
R x
R
+
+
，不符合要求，
综上所述，在12
38
x
中，是4 的倍数的自然数有16，20，24，28，32，36，一共有6 个．
12．（25-26 七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即
a 表示不超过a 的最大整
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数；同时对任意实数a 定义“
a ”为：
a
a
a
=
−
．例如：
1.5
1, 1.5
1.5 1
0.5
=
=
−=
；
(
)
5.1
6,
5.1
5.1
6
0.9
−
−
−
=
−
=
−−
=
．
(1)计算：
5
=
_____，
3.14
−
= _____；对任意实数x ，直接写出
x 的取值范围_____
(2)对于任意实数x ，定义如下运算：计算
0a
x
=
，当
x 不等于0 时，令
1
1
x
x
=
；之后计算
1
1
a
x
=
，
当
1x
不等于0 时，令
2
1
1
x
x
=
；最后计算
2
2
a
x
=
．我们称“
0
1
2
1
1
a
a
a
+
+
”为实数x 的连分数近似．例如
当
12
7
x =
时，
5
1,
7
x
x
=
=
，因此
0
1
7
1,
5
a
x
=
=
；继续计算得
1
1
2
1,
5
x
x
=
=
，因此
1
2
5
1,
2
a
x
=
=
；最后算
出
2
2
2
a
x
=
=
，从而12
7 的连分数近似为：
1
5
1
1
3
1
2
+
=
+
．
①按上述运算规则，写出当
39
16
x = −
时，它的连分数近似为_____．
②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当
2
x =
时，它的连
分数近似为_____．
（在计算过程中可能会用到下列等式：
1
2
1
2
1
=
+
−
）
【答案】(1)2 ；0.86，0
{ }
1
x
(2)①
5
2
−
；② 7
5
【难度】0.49
【知识点】实数的混合运算、实数的大小比较、新定义下的实数运算
【分析】(1)根据[ ]
a 表示不超过a 的最大整数，{ }
[ ]
a
a
a
=
−
进行计算。
(2) 本题考查连分数近似的新定义运算。按照给定的递推规则，依次计算
0
1
2
,
,
a a a ，再代入连分数近似公
式求值．
【详解】（1）解：
2
5
3
，
[ 5]
2
=
，
[ 3.14]
4
−
= −
，
{ 3.14}
3.14
( 4)
0.86
−
= −
−−
=
，
[ ]
[ ] 1
x
x
x
+
，
0
[ ]
1
x
x
−
，
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即0
{ }
1
x
．
（2）① 解：
39
2.4375
16
x = −
= −
，
0
[ ]
[ 2.4375]
3
a
x
=
= −
= −，
39
9
{ }
( 3)
16
16
x
= −
−−
=
，
{ }
0
x
，
1
1
16
{ }
9
x
x
=
=
，
1
1
16
[
]
1
9
a
x
=
=
=
，
1
16
7
{ }
1
9
9
x
=
−=
，
1
{ }
0
x
，
2
1
1
9
{ }
7
x
x
=
=
，
2
2
9
[
]
1
7
a
x
=
=
=
，
连分数近似为
0
1
2
1
1
3
1
1
1 1
a
a
a
+
= −+
+
+
，
1
3
2
= −+
，
5
2
= −
．
(2) ② 解：
2
x =
，
0
[ ]
[ 2]
1
a
x
=
=
= ，
{ }
2
1
x
=
−，
{ }
0
x
，
1
1
1
2
1
{ }
2
1
x
x
=
=
=
+
−
，
1
1
[
]
[ 2
1]
2
a
x
=
=
+
=
，
1
{ }
( 2
1)
2
2
1
x
=
+
−
=
−，
1
{ }
0
x
，
2
1
1
1
2
1
{ }
2
1
x
x
=
=
=
+
−
，
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2
2
[
]
[ 2
1]
2
a
x
=
=
+
=
，
连分数近似为
0
1
2
1
1
1
1
1
2
2
a
a
a
+
= +
+
+
，
1
1
5
2
= +
，
2
1
5
= +
，
7
5
=
．
重难点三、实数运算的实际应用
先梳理题干实际场景中的数量关系，将长度、面积、造价等现实数值转化为
实数算式，包含开方、根式运算。列式后严格按照实数运算规则化简计算，根式结果化为
最简形式；结合实际意义取舍答案，如长度、数量不能为负数，最终作答贴合题目实际问
题。
1．（25-26 七年级下·福建福州·期中）如图，按照国际标准，A系列纸的长与宽的比例均符合2 :1；其
中，
0
A 纸的面积为
2
1m ；将
0
A 纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张
1A 纸；再将
1A 纸沿两条长边中点
的连线裁切得两张
2
A 纸…依此类推，得
3
4
5
,
,
A A
A 等等的纸张（如图所示）．若设
4A 纸张的宽为m
x
，则下
列列式正确的是（ ）
A．2
1
x =
B．
2
2
1
x =
C．
2
1
2
8
x =
D．
2
1
2
16
x =
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实数运算的实际应用
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【分析】由
4A 纸张的宽为m
x
，表示出
0
A 纸的宽和长，根据
0
A 纸面积为
2
1m 求解．
【详解】解：由图得，当
4A 纸张的宽为m
x
时，
0
A 纸的宽为4 m
x
，
∵纸张长与宽的比为2 :1，
∴
0
A 纸的长为4 2 m
x
，
∵
0
A 纸面积为
2
1m ，
∴4 2
4
1
x
x
= ，
∴
2
1
2
16
x =
．
2．（24-25 八年级上·河南周口·阶段检测）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝
藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的
位置由实数x 决定，且满足方程
3
5
x −
=
．
小明兴奋地说：“我觉得x 的值应该是3
5
+
；”
小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．”
那么小美所说的另一个值是（ ）
A．3
5
−
B．3
5
−+
C．3
5
−−
D．以上都不对
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数运算的实际应用
【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：∵
3
5
x −
=
，
∴
3
5
x -
=?
，
∴
3
5
x = +
或
3
5
x = −
，
∴小美所说的另一个值是3
5
−
．
故选：A．
3．（25-26 七年级上·山东威海·期末）如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为
2
8cm ，用这两个小正方
形剪拼成如图2 所示的一个大正方形．
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(1)图2 中拼成的大正方形纸片的边长为______cm；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为
3:1且面积为
2
12cm ？请通过计算说明理由．
【答案】(1)4
(2)
不能，理由：设长方形纸片的宽为cm
x
，则长为3 cm
x
，由题意得：3
12
x x
=
，
解得
1
2
2
2
x
x
=
= −
，
（不符合题意，舍去）
∴3
6
x =
，
∵6
4
，
∴不能剪出这样的长方形．
【难度】0.94
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用
【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算．
（1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长．
（2）通过设长方形纸片的宽为cm
x
，长为3 cm
x
，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断
裁剪的可行性．
【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为
2
8cm ，
∴大正方形纸片的面积为
2
8 2
16cm
=
，
∴大正方形纸片的边长为16
4cm
=
；
故答案为：4 ；
（2）略
4．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，
其下落的时间(s)
t
和高度(
)
m
h
近似满足公式
5
h
t =
（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从80m的高空落到地面的时间；
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(2)小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2 倍，她的说法正确吗？请说明理
由；
(3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J ）
10
=
物体质量(
)
kg 高度(m) ．某质量为0.2kg 的小球经
过3s 落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只
需要65J 的能量）
【答案】(1)4 秒
(2)
解：不正确． 理由：
当
160m
h =
时，
( )
160
32
4 2 s
5
5
h
t =
=
=
=
．
4 2
8
，
她的说法不正确．
(3)90J ；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人
【难度】0.85
【知识点】二次根式的应用、乘方的应用、实数运算的实际应用
【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
（1）把
80m
h =
代入公式即可；
（2）把
160m
h =
代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论；
（3）求出h ，代入题干计算公式即可求出．
【详解】（1）解：由题意知：当
80m
h =
时，
( )
80
16
4 s
5
5
h
t =
=
=
=
；
故物体从80m的高空落到地面的时间为4 秒．
（2）略
（3）解：
5
h
t =
，
3
t =
，
2
5
h
t
=
，
(
)
2
5
5 9
45 m
h
t
=
=
=
，
所带能量
( )
10 0.2 45
90 J
=
=
，
这个小球在下落过程中所带能量有90J ．
启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人．
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5．（17-18 七年级下·贵州黔西南·阶段检测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设,a b 是有理数，且满足
2
3 2 2
+
= −
a
b
，求
a
b 的值．
解：由题意，得(
)
(
)
3
2
2
0
a
b
−
+
+
=
．
因为,a b 都是有理数，
所以
3,
2
a
b
−
+
也是有理数．
因为2 是无理数，
所以
2
0,
3
0
b
a
+
=
−
=
，即
3,
2
a
b
=
= −，
所以
(
)
3
2
8
a
b = −
= −．
根据阅读材料，解决问题：
设,x y都是有理数，且满足
2
2
5
10
3 5
x
y
y
−
+
=
+
，求x
y
+
的值．
【答案】x
y
+
的值为7 或1
−
【难度】0.85
【知识点】实数运算的实际应用
【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为
(
)
(
)
2
2
10
5
3
0
x
y
y
−
−
+
−
=
，从而得出
2
2
10
0,
3
0
x
y
y
−
−
=
−
=
，求出
3,
4
y
x
=
= ，最后代入求值即
可．
【详解】解：因为
2
2
5
10
3 5
x
y
y
−
+
=
+
，
所以(
) (
)
2
2
10
5
3 5
0
x
y
y
−
−
+
−
=
，
所以(
)
(
)
2
2
10
5
3
0
x
y
y
−
−
+
−
=
．
因为,x y都是有理数，
所以
2
2
10,
3
x
y
y
−
−
−也是有理数．
因为5 是无理数，
所以
2
2
10
0,
3
0
x
y
y
−
−
=
−
=
，
解得
3,
4
y
x
=
= ，
当
4,
3
x
y
=
= 时，
7
x
y
+
=
，
当
4,
3
x
y
= −
=
时，
1
x
y
+
= −．
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综上所述，x
y
+
的值为7 或1
−．
6．（21-22 七年级下·河南濮阳·期中）计算下列各题：
(1)已知2
1
a−的平方根是3
± ，4 是3
1
a
b
+
−的算术平方根，求5a
b
+ 的立方根；
(2)如果(
)
(
)
2
2
1
2
5
a
b
+
−
−
= ，其中a，b 为有理数，求3a 的平方根．
【答案】(1)3
(2)
5
【难度】0.56
【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根和立方根的综合应用、实数运算的实际应用
【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义求出a 和b 的值，代入计算5a
b
+ 后，再求其立方根即可．
（2）整理原等式，分离出有理部分和无理部分，根据,a b 是有理数得到方程组，求解得到a 后计算3a ，
再求其平方根即可．
【详解】（1）解∶∵ 2
1
a−的平方根是3
± ，
∴
2
2
1
( 3)
9
a −=
=
， 解得
5
a =
．
∵ 4 是3
1
a
b
+
−的算术平方根，
∴
2
3
1
4
16
a
b
+
−=
=
，
把
5
a =
代入得∶ 15
1 16
b
+ −=
， 解得
2
b = ，
∴ 5
5 5
2
27
a
b
+
= +
=
，
∵ 27 的立方根是3，
∴ 5a
b
+ 的立方根是3．
（2）解：∵2
2
1
2
5
(
)
(
)
a
b
+
−
−
=
，
∴ (
) (
)
2
2
5
0
2
a
b
a
b
−
+
+
= +
，
∵
,a b 为有理数，
2 是无理数，
∴
2
5
0
a
b
a
b
−
=
+
=
，解得
5
3
5
3
a
b
=
= −
，
∴
5
3
3
5
3
a =
=
，
∴ 3a 的平方根是
5
．
7．（25-26 七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料：
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材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1 的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼
在一起，得到的大正方形面积为
2
2 1
，其边长2 就是原边长为1 的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，A 系列纸为长方形，其中A0 纸的面积为1 平方米，将A0 纸沿长边对折、剪
开，便成A1 纸；将A1 纸沿长边对折、剪开，便成A2 纸；将A2 纸沿长边对折、剪开，便成A3 纸；将
A3 纸沿长边对折、剪开，便成A4 纸，如图2，我们日常使用的A4 纸就是这样由A0 纸多次对折裁
开得到的．
将A4 纸按如图3 所示的方式折叠，则A4 纸的长:宽= __________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5 纸的面积是__________平方米．
(2)A4 纸的长:宽= __________．
(3)按照图2 的A 系列纸生成过程，经过探究发现，A 系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比
都相等．请你估算面积为1 平方米的A0 纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，
2
1.414, 0.7072
0.841
）
【答案】(1) 1
32
(2) 2 :1
(3)A0 纸的长为1189mm，宽为841mm
【难度】0.6
【知识点】乘方的应用、算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用
【分析】（1）根据A 系列纸的面积规律即可求出答案；
（2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案；
（3）设A0 纸的宽为m
x
，则长为2 m
x
，则
2
1
x
x
= ，运算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知， A0 纸的面积为1 平方米，
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A1 纸的面积为1
2 平方米，
A2 纸的面积为
2
1
1
2
4
=
平方米，
A3 纸的面积为
3
1
1
2
8
=
平方米，
A4 纸的面积为
4
1
1
2
16
=
平方米，
A5 纸的面积是
5
1
1
2
32
=
平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知AC
AB
=
，由材料一可知，在图3 折叠得到正方形中
2 1
AB AF =
∶
∶，
2 1
AC AF =
∶
∶，即A4 纸的长宽之比为2 1
∶；
（3）解：设A0 纸的宽为m
x
，则长为2 m
x
，
依题意得
2
1
x
x
= ，
2
1
2
x =
，
∵2
1.414
，
∴
2
0.7072
x
，
∵
0.7072
0.841
x
（负值不合题意，舍去），
∴
0.841m
841mm
x
=
，
∴
(
)
2
1.414 841mm
1189 mm
x =
，
答：A0 纸的长为1189mm，宽为841mm．
重难点四、与实数运算相关的规律
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先观察给出的实数、根式算式，拆分等式左右两边的数字、根号结构，横向
纵向对比，提炼通用规律代数式。用含 n 的式子总结规律后，代入数值验证规律是否成
立；利用推导出的规律快速求解后续算式，运算时同步化简二次根式，简化规律代入后的
计算步骤。
1．（25-26 七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，2 ，3 3 ，－2，5 ，3 6 ，
7
−
，8 ，3 9 ，
10
−
，…．按此规律可推得这一列数中的第2026 个数应是（ ）
A．
2026
B．
2026
−
C．3 2026
D．2026
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键．
观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方
根，且每个数对应的数字与项数相同．
【详解】解：由条件可知：这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负
平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同，
∵ 2026 3
675
1
=
，
∴ 第2026项为负平方根，即
2026
−
.
故选：B．
2．（24-25 七年级下·山东德州·阶段检测）规律探究设
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1 2
S
= +
+
=
+
，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2 3
S
= +
+
=
+
，
2
3
2
2
1
1
1
1
1
3
4
3 4
S
= +
+
=
+
，…，则
1
2
3
24
S
S
S
S
+
+
+
+
的值为
（ ）
A．24
25
B．
24
5
C．
24
24 25
D．
23
2324
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】与实数运算相关的规律题、求一个数的平方根
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【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律．
【详解】解：由题意得：
2
1
1
1
1
1
1
1 2
1
2
S
=
+
= +
−
，
2
2
1
1
1
1
1
2 3
2
3
S
=
+
= +
−
，
2
3
1
1
1
1
1
3 4
3
4
S
=
+
= +
−
，
2
4
1
1
1
1
1
4 5
4
5
S
=
+
= +
−
，
，
2
1
1
1
1
1
(
1)
1
n
S
n n
n
n
=
+
= +
−
+
+
，
1
2
24
S
S
S
+
++
1
1
1
1
1
1 1
1
1
2
2
3
24
25
= + −
+ +
−
++ +
−
1
24 1
25
=
+ −
24
24 25
=
，
故选：C．
3．（25-26 八年级下·云南文山·期末）有一组数据按如下规律排列：
2
3
4
5
6
7
,
,
,
,
,
,
2
4
8
16
32
64 则第
2026 个数是（ ）
A．
2025
2025
2
B．
2025
2026
2
C．
2026
2026
2
D．
2026
2027
2
【答案】D
【难度】0.76
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第n 个数的通用表达式，再代入
2026
n =
计算即可
得到结果．
【详解】观察已知数据找规律：
第1个数为
1
1 1
2
2
2
+
=
，
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第2 个数为
2
2 1
3
2
4
+
=
，
第3个数为
3
3 1
4
2
8
+
=
，
…
∴ 归纳可得，第n 个数为
1
2n
n + ，
当
2026
n =
时，代入得：第2026个数为
2026
2026
2026 1
2027
2
2
+
=
．
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干
和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、
巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙
寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天
干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戊
亥
如果1949年为己丑年，依据上述规律推断，2026年应为（ ）
A．癸亥年
B．丙午年
C．癸酉年
D．甲子年
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】在干支纪年法中，天干周期为10，地支周期为12，已知1949年为己丑年，只需计算2026与
1949的年数差，根据余数确定对应天干和地支即可．
【详解】解：∵ 2026 1949
77
−
=
，
∴ 从1949年向后推77 年得到2026年，
1949年的天干己对应序号6 ，地支丑对应序号2 ，
∵ 天干周期为10，77 10
7
=
余7 ，
∴己向后推7 位可得天干为丙，
∵ 地支周期为12，77 12
6
=
余5，丑向后推5位可得地支为午，
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∴ 2026年为丙午年．
5．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如4
2
=
；而非完
全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如5
2.236
．除此之外，我
们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表：
a
…
0.2
2
20
200
…
a
…
0.4472
1.414
4.472
？
…
利用这一规律，计算
200 ________．
【答案】14.14
【难度】0.76
【知识点】与实数运算相关的规律题、与算术平方根有关的规律探索题
【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算
术平方根小数点向右移动一位，结合2
1.414
即可求出200 的近似值．
【详解】解：观察表格数据可得：
当被开方数扩大为原来的100倍时，其算术平方根扩大为原来的10倍．
200
2 100
=
，
2
1.414
，
200
2 100
10 2
10 1.414
14.14
=
=
=
．
6．（25-26 七年级上·北京·期中）对于一个有理数a ，定义其伙伴为
( )
2
1
f a
a
=
−，如：3的伙伴为
( )
3
2 3 1
5
f
=
−=
，即3的伙伴是5；5的伙伴为
( )
5
2 5 1
9
f
=
−=
，即5的伙伴是9；9的伙伴为
( )
9
2 9 1
17
f
=
−=
，……，如此继续下去，一个数的伙伴的伙伴……，构成这个数的伙伴群落．
(1)已知b 是a 的伙伴，则b = ___________；（用含a 的式子表示）
(2)如果一个数的伙伴群落只有一个数，则这个数是___________；
(3)若a ，b ，c 是伙伴群落中连续的三个数（即b 是a 的伙伴，c 是b 的伙伴），用含a 的代数式表示c ；
(4)在（3）的条件下，你认为(
)
(
)
1
2
1
c
b
−
−
−
是一个常数吗？如果是，请你求出这个常数，如果不是，请
说明理由．
【答案】(1)
2
1
b
a−
=
(2)1
(3)
4
3
c
a
=
−
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(4)是常数，0
【难度】0.85
【知识点】数字类规律探索、列代数式、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了根据新定义进行代数式运算、方程求解以及常数判断，熟练理解 “伙伴” 的定义并运
用代数运算规则是解答本题的关键．
（1）根据伙伴的定义直接推导b 与a 的关系；
（2）通过 “伙伴群落只有一个数” 的条件建立方程求解；
（3）根据连续伙伴的关系，逐步代入推导c 关于a 的代数式；
（4）将b 、c 用含a 的式子代入，通过代数运算判断是否为常数．
【详解】（1）解：由题意得，
2
1
b
f a
a
．
（2）解：设这个数为x ，因为这个数的伙伴群落只有一个数，所以x 的伙伴就是它自己．由伙伴定义列
方程为
2
1
x
x
=
−，解得
1
x = ．
（3）解：
b
是a 的伙伴，
2
1
b
a
=
−，
又
c
是b 的伙伴，
2
1
2 2
1
1
4
3
c
b
a
a
．
（4）解：将
2
1
b
a−
=
，
4
3
c
a
=
−代入(
)
(
)
1
2
1
c
b
−
−
−
得：
4
3
1
2 2
1 1
4
4
4
4
0
a
a
a
a
．
7．（18-19 七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式：
等式1：
1
1
1
2
4
2
−
=
；等式2：
1
1
2
3
9
3
−
=
；等式3：
1
1
3
4
16
4
−
=
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4 个等式为 ，第10 个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含n 的式子表示第n 个等式所反映的运算规律为 ．
【答案】(1)
4
5
2
1
1
5
5
−
=
；
10
11
12
1
1
1
1
1
−
=
(2)
(
)
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
−
=
+
+
+
【难度】0.85
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1 的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右
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边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可；
（2）根据（1）分析中的规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题意可猜想第4 个等式为
4
5
2
1
1
5
5
−
=
，第10 个等式为
10
11
12
1
1
1
1
1
−
=
；
（2）解：第1 个等式为
1
1
1
2
4
2
−
=
，
第2 个等式为
1
1
2
3
9
3
−
=
，
第3 个等式为
1
1
3
4
16
4
−
=
，
第4 个等式为
4
5
2
1
1
5
5
−
=
，
……
以此类推可得第n 个等式为
(
)
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
−
=
+
+
+
．
8．（20-21 八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
+
+
= + −
=
；
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
6
+
+
= +
−
=
；
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
12
+
+
= +
−
=
；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)
2
2
1
1
1
4
5
+
+
= __________________；
50
1
49
64
+
= __________________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （为正整数）表示的等式：______；
(3)利用上述规律计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2020
2021
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
【答案】(1)
1
120 ，
1
156
(2)
2
2
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
n
n
n n
+
+
= +
+
+
(3)
2020
2020 2021
【难度】0.85
【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简
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【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的
关键．
（1）根据已知等式的规律可得结论；
（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3）根据已知等式的规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题中规律可得
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
20
+
+
= +
−
=
；
2
2
50
1
1
1
1
1
1
1
1
1
49
64
7
8
7
8
56
+
=
+
+
= +
−
=
．
（2）解：根据题中规律可得
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1)
1
(
1)
n
n
n
n
n n
+
+
= +
−
= +
+
+
+
；
（3）解：原式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2020
2021
= + −
+ +
−
+ +
−
++ +
−
1
2021
2021
=
−
2020
2020 2021
=
．
9．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①
31
1
= ；②
3
3
1
2
3
+
=
；③
3
3
3
1
2
3
6
+
+
=
；④
3
3
3
3
1
2
3
4
+
+
+
= __________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①
(
)
1
2
2
1
2
2
+
+
=
，②
(
)
1 3
3
1
2
3
2
+
+
+
=
；③
(
)
1
4
4
1
2
3
4
2
+
+
+ +
=
；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
(
)
1
2
3
1
n
n
+
+ +
+
+
+
=
___________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①
3
3
3
3
3
1
2
3
99
100
+
+
+
+
+
；
②
3
3
3
3
3
11
12
13
19
20
+
+
+
+
+
．
【答案】（1）10；（2）(
2)(
1)
2
n
n
+
+
；（3）①5050；②41075
【难度】0.85
【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
（2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2 即可；
（3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
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【详解】解：（1）
3
3
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
10
+
+
+
= +
+ +
=
；
（2）根据以上等式的规律可得，
(
)
(
2)(
1)
1 2
3
1
2
n
n
n
n
+
+
+ + +
+
+
+
=
；
（3）①
3
3
3
3
3
1
2
3
99
100
+
+
+
+
+
1 2 3 4 5
99 100
= + + + + +
+
+
(1 100) 100
2
+
=
5050
=
；
②
3
3
3
3
3
11
12
13
19
20
+
+
+
+
+
(
)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
2
3
18
19
20
1
2
3
10
=
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
(
)
(
)
2
2
1 2
3
20
1 2
3
10
=
+
+ +
+
−
+
+ +
+
2
2
2
2
20
21
10
11
4
4
=
−
400 441 100 121
4
4
=
−
44100
3025
=
−
41075
=
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求
规律是解题关键
10．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式：
第1个等式：
1
1
1
2
3
3
+
=
；第2 个等式：
1
1
2
3
4
4
+
=
；第3个等式：
1
1
3
4
5
5
+
=
；第4 个等式：
1
4
6
+
= ________；…
按照上述规律，完成下列问题：
(1)补全第4 个等式：
1
4
6
+
= ________，写出第5个等式：___________________；
(2)写出第n 个等式，并证明．
【答案】(1)
1
5 6
；
1
1
5
6
7
7
+
=
(2)
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
（n 为正整数），
证明：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
，
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∴
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
．
【难度】0.6
【知识点】与实数运算相关的规律题、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案；
（2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第n 个等式，并证明结论．
【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第4 个等式是
1
1
4
5
6
6
+
=
，第5个等式是
1
1
5
6
7
7
+
=
，
验证结论：
1
25
1
4
5
6
6
6
+
=
=
，
1
36
1
5
6
7
7
7
+
=
=
，
故答案为：
1
5 6
；
1
1
5
6
7
7
+
=
；
（2）解：
(
)
1
1
1
2
2
n
n
n
n
+
=
+
+
+
（n 为正整数），
证明略．
11．（25-26 七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下列等式：
第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
+
+
= + −
；
第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
+
+
= +
−
；
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
+
+
= +
−
；
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
+
+
= +
−
；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6 个等式： ；
(2)写出第n 个等式： ；（用含n 的等式表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式：
第①式：
2
1
1
1 2
3
1
6
=
=
，
第②式：
2
2
1
1
2
2
3 5
5
6
+
=
=
，
第③式：
2
2
2
1
1
2
3
3 4 7
14
6
+
+
=
=
，
第④式：
2
2
2
2
1
1
2
3
4
4 5 9
30
6
+
+
+
=
=
，
请你思考后解答下列问题：
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(3)
2
2
2
2
1
2
3
20
+
+
++
= ；
(4)
2
2
2
2
1
2
3
n
+
+
++
= （用含n 的式子表示）；
(5)计算：
2
2
2
2
2
21
22
23
39
40
+
+
++
+
；
【拓展应用】：
(6)计算：
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
100
1
1
1
1
+
1
2
2
3
3
4
99
100
1
2
0
0
0
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
．
【答案】(1)
2
2
1
1
1
1
1
1
6
7
6
7
+
+
= +
−
(2)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
+
+
= +
−
+
+
(3)2870
(4)
(
)(
)
1
1 2
1
6 n n
n
+
+
(5)19270
(6)1353
【难度】0.47
【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6 个等式，可得答案；
（2）由（1）归纳可得答案；
（3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（5）将
2
2
2
2
2
21
22
23
39
40
+
+
++
+
变形为
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
40
1
2
3
20
+
+
+
+
−
+
+
+
+
，结合所给规律代入
进行计算即可得到答案；
（6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
+
+
= + −
；
第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
+
+
= +
−
；
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
+
+
= +
−
；
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
+
+
= +
−
；
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第5 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
5
6
5
6
+
+
= +
−
；
第6 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
6
7
6
7
+
+
= +
−
；
（2）解：由（1）归纳可得：
第n 个等式：
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
+
+
= +
−
+
+
.
（3）解：第①式：
2
1
1
1 2
3
1
6
=
=
，
第②式：
2
2
1
1
2
2
3 5
5
6
+
=
=
，
第③式：
2
2
2
1
1
2
3
3 4 7
14
6
+
+
=
=
，
第④式：
2
2
2
2
1
1
2
3
4
4 5 9
30
6
+
+
+
=
=
，
…，
2
2
2
2
1
1
2
3
20
20 21 41
2870
6
+
+
+
+
=
=
；
（4）解：第①式：
2
1
1
1 2
3
1
6
=
=
，
第②式：
2
2
1
1
2
2
3 5
5
6
+
=
=
，
第③式：
2
2
2
1
1
2
3
3 4 7
14
6
+
+
=
=
，
第④式：
2
2
2
2
1
1
2
3
4
4 5 9
30
6
+
+
+
=
=
，
…，
观察可知，等式右边最后一个乘数为2
1
n+ ，
∴
(
)(
)
2
2
2
2
1
1
2
3
1 2
1
6
n
n n
n
+
+
+
+
=
+
+
；
（5）解：
2
2
2
2
2
21
22
23
39
40
+
+
+
+
+
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
40
1
2
3
20
=
+
+
+
+
−
+
+
+
+
1
40 41 81 2870
6
=
−
22140
2870
=
−
19270
=
；
（6）解：第1 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
+
+
= + −
；
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第2 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
+
+
= +
−
；
第3 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
3
4
3
4
+
+
= +
−
；
第4 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
4
5
4
5
+
+
= +
−
；
第5 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
5
6
5
6
+
+
= +
−
；
第6 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
6
7
6
7
+
+
= +
−
；
第99 个等式：
2
2
1
1
1
1
1
1
99
100
99
100
+
+
= +
−
；
99个等式的和为：
1
1
1 99 1
100
100
100
+ −
=
−
；
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
1
2
2
3
3
4
99
100
100
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
1
1
100
100
100
=
−
+
100
=
；
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
100
1
1
1
1
250
1
2
2
3
3
4
99
100
100
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
1
1 100 101 201 100
250
6
=
−
338250
1
250
=
1353
=
.
