文档文本内容
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（三）
一．填空题（共5 小题）
1．（2026•扬州）如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，点F 在DE 的延长线上．若△ADE
的面积是3，则△BCF 的面积是 ．
2．（2026•凉山州）如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，过点P 作PC∥OB 交OA 于点C，若OC＝2，
∠POB＝15°，则点P 到OB 的距离PD 的长是 ．
3．（2026•南充）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P 爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为
cm．
4．（2026•广安）已知三角形的两边长分别为2 和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为
．
5．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件 ，使得
△ABC≌△DEF．
二．解答题（共14 小题）
6．（2026•北京）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），过AC 的中点D 作AC 的垂线l，交
2
AB 于点E．点M 在DE 的延长线上，∠ABM＝30°．
（1）如图1，α＝30°，求证：AB＝2DM；
（2）如图2，点N 在ED 的延长线上，∠ABN＝30°．连接AM，AN，直接写出∠MAN 的大小，并证明．
7．（2026•贵州）项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20．
如图①是小红所在学校的无障碍坡道．（坡度= 坡面的铅直高度
坡面的水平宽度）
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC＝4.8 米，坡角∠BAC＝14°．为检测该坡道是否符合国家
标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务一：如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC 的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，
并说明理由；
任务二：如图③，受地面条件限制，该坡道CA 方向能用的水平宽度只有20 米．小红设计了一个“回
转坡道”的方案示意图：在F 处安装支柱DF＝0.8 米，在E 处留EC＝2 米的通道，入口为点E，经过
两个坡道ED 与DB 再到达点B，且EF＝16 米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合
标准？如果符合，请说明理由；如果不符合，请提出修改建议．
（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）
8．（2026•陕西）如图，△ABC 为等边三角形，点D 在AC 的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：
△ABD≌△CBE．
3
9．（2026•广元）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个
纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在△AOB 与△COD 中，∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，OA＝6，OC＝4，将△COD 绕
点O 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线BD 与直线AC 相交于点E．
【初步探究】
（1）如图2，∠AEB 的度数为 ；
【尝试应用】
（2）如图2，若BE∥OA，求CE 的长；
【创新提升】
（3）若C，D，E 三点构成以CD 为腰的等腰三角形，请直接写出AC 的长．
10．（2026•新疆）（1）解方程：3
2 x =
2
x +3．
（2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正
方形ABCD 的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，求BF 的长．
11．（2026•内江）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点F 是DC 的中点，连接AF 并延长交BC 的延
长线于点E．
（1）求证：△ADF≌△ECF；
（2）若CE＝BC，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
12．（2026•福建）如图，△ABC 是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
4
13．（2026•乐山）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．
14．（2026•眉山）【问题背景】
数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D 是BC 边上的动点（不与点B，C 重
合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE 与AC 交于点F．
【初步探究】
（1）如图1，在点D 的运动过程中，试探究CE 与BD 的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，当点D 运动到CD＝4 时，求EF 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，点M 为ED 延长线上一点，且满足MC＝MF，当BD
DC =k（k＞1）时，求MD
DF 的值（用含
k 的式子表示）．
15．（2026•山东）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点．
（1）求证：△EDF≌△ECF；
（2）判断四边形AEFG 的形状，并说明理由．
5
16．（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E 是线段BC 的中点．求证：△ABE≌△DCE．
17．（2026•遂宁）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，点E 是线段AD 的中点，过点A 作
AF∥BC 交CE 的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：△DEC≌△AEF；
（2）判断四边形ADBF 的形状并说明理由．
18．（2026•安徽）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c 是勾股
数，记为（a，b，c）．
设m，n 为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）
为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．
【规律探究】
分别对m，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数（m2﹣n2，
2mn，m2+n2）
序号
2
1
（3，4，5）
1
3
1
（8，6，10）
2
2
（5，12，13）
3
4
1
（15，8，17）
4
6
2
（12，16，20）
5
3
（7，24，25）
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据如表规律，请完成下列问题：
（1）m＝5，n＝1 对应的勾股数是（ ， ， ），序号为 ；
（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝ ，n＝ ；
（3）序号为15 的勾股数是（ ， ， ）．
【项目拓展】
（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号
的增大而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．
请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
19．（2026•成都）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究．
如图，△ABC≌△EAD，AB＝AC＝nBC（n＞1），点D 在AC 边上，延长ED 交AB 于点F．
【初步感知】
（1）求证：AF2＝FD•FE；
【深入探究】
（2）如图1，当n＝2，AD＝1 时，求BF 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，将△EAD 绕点E 按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA′D′，若F，A′，
D′三点共线，且点A 的对应点A′满足A′A⊥A′B，求n 的值．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（三）
参考答案与试题解析
一．填空题（共5 小题）
1．（2026•扬州）如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，点F 在DE 的延长线上．若△ADE
的面积是3，则△BCF 的面积是
6
．
【考点】三角形中位线定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由三角形的面积公式得到△ABE 的面积＝△ADE 面积的2 倍＝6，△BCE 的面积＝△ABE 的面
积＝6，由三角形中位线定理推出DE∥BC，得到△BCF 的面积＝△BCE 的面积＝6．
【解答】解：∵D 是AB 的中点，
∴△ABE 的面积＝△ADE 面积的2 倍＝3×2＝6，
∵E 是AC 的中点，
∴△BCE 的面积＝△ABE 的面积＝6，
∵D，E 分别是AB，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，
∴△BCF 的面积＝△BCE 的面积＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，关键是由三角形中位线定理推出DE∥BC，掌
握三角形的面积公式．
2．（2026•凉山州）如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，过点P 作PC∥OB 交OA 于点C，若OC＝2，
∠POB＝15°，则点P 到OB 的距离PD 的长是
1
．
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【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】1．
【分析】过点P 作PE⊥OA 于点E，由平行线的性质得∠CPO＝∠POB＝15°，再证明∠COP＝
∠CPO，得PC＝OC＝2，∠PCE＝∠COP+∠CPO＝30°，进而由含30°角的直角三角形的性质得PE= 1
2
PC＝1，然后由角平分线的性质得PD＝PE＝1 即可．
【解答】解：如图，过点P 作PE⊥OA 于点E，则∠PEC＝90°，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠POB＝15°，
∵点P 是∠AOB 的平分线上一点，
∴∠COP＝∠POB＝15°，
∴∠COP＝∠CPO，
∴PC＝OC＝2，∠PCE＝∠COP+∠CPO＝30°，
∴PE= 1
2PC＝1，
∵PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及含30°角的直角三角形的
性质等知识，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
3．（2026•南充）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P 爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为
100
cm．
9
【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】100．
【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【解答】解：如图，将长方体的前面和右面展开，
∴PQ=√(40+ 40)
2+60
2=100（cm）；
如图，将长方体的前面和上面展开，
∴PQ=√4 0
2+(60+ 40)
2=20√29（cm）；
如图，将长方体的下面和右面展开，
∴PQ=√4 0
2+(60+ 40)
2=20√29（cm）；
10
∵25＜29，
∴5＜√29，
∴100＜20√29，
∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了对平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而
两点之间线段最短是解题的依据．
4．（2026•广安）已知三角形的两边长分别为2 和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为
9
．
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【答案】9．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围
再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：3﹣2＜a＜2+3，
即1＜a＜5，
∵a 为整数，
∴a 的最大整数值为4，
则三角形的最大周长为2+3+4＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件AB
＝
DE
（答案不唯一）
，使得
△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】AB＝DE（答案不唯一）．
【分析】由AB∥DE 得∠B＝∠DEF，再由BE＝FC 得BC＝EF，①当添加AB＝DE 时，可依据
“SAS”判定△ABC 和△DEF 全等；②当添加∠A＝∠D 时，可依据“AAS”判定△ABC 和△DEF 全等；
③当添加∠ACB＝∠F 时，可依据“ASA”判定△ABC 和△DEF 全等；据此可得出答案AB＝DE（答案
11
不唯一）．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
∴BC＝EF，
①当添加AB＝DE 时，
在△ABC 和△DEF 中，
{
AB = DE
∠B =∠DEF
BC = EF
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
②当添加∠A＝∠D 时，
在△ABC 和△DEF 中，
{
∠A =∠D
∠B =∠DEF
BC = EF
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
③当添加∠ACB＝∠F 时，
在△ABC 和△DEF 中，
{
∠ACB =∠F
BC = EF
∠B =∠DEF
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关
键．
二．解答题（共14 小题）
6．（2026•北京）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），过AC 的中点D 作AC 的垂线l，交
AB 于点E．点M 在DE 的延长线上，∠ABM＝30°．
（1）如图1，α＝30°，求证：AB＝2DM；
（2）如图2，点N 在ED 的延长线上，∠ABN＝30°．连接AM，AN，直接写出∠MAN 的大小，并证明．
12
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）∵l⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，
∴∠BAC＝∠ABM，
∴AC∥MB，
，∴∠BME＝∠ADE＝90°，
∴AE＝2DE，BE＝2EM，
∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；
（2）∠MAN 的大小为60°，
证明：如图，过点A 分别作BM，BN 的垂线，分别交BM，BN 的延长线于点P，Q，
在Rt△ABP 中，∠ABM＝30°，
∴AP = 1
2 AB，
∵D 是AC 的中点，
∴AD = 1
2 AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AP，
13
∵∠ADM＝90°＝∠P，
又∵AM 是Rt△ADM 和Rt△APM 的公共边，
∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），
∴∠DAM＝∠PAM，
∵∠ABN＝∠ABM＝30°，
∴AD＝AQ，
∵∠ADN＝90°＝∠Q，
∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），
∴∠DAN＝∠QAN，
∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，
∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，
∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．
【分析】（1）l⊥AC 得∠ADE＝90°，通过∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，所以∠BAC＝∠ABM，则
有AC∥MB，然后通过直角三角形的性质可得AE＝2DE，BE＝2EM，再由线段的和与差即可求解；
（2 ）过点A 分别作BM ，BN 的垂线，分别交BM ，BN 的延长线于点P ，Q ，分别证明
Rt△ADM≌Rt△APM （HL ），Rt△ADN≌Rt△AQN （HL ），所以∠DAN ＝∠QAN ，又因为
∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，则∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，从而可得∠MAN＝
∠DAM+∠DAN＝60°．
【解答】（1）证明：∵l⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，
∴∠BAC＝∠ABM，
∴AC∥MB，
，∴∠BME＝∠ADE＝90°，
∴AE＝2DE，BE＝2EM，
∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；
（2）解：∠MAN 的大小为60°，
证明：如图，过点A 分别作BM，BN 的垂线，分别交BM，BN 的延长线于点P，Q，
14
在Rt△ABP 中，∠ABM＝30°，
∴AP = 1
2 AB，
∵D 是AC 的中点，
∴AD = 1
2 AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AP，
∵∠ADM＝90°＝∠P，
又∵AM 是Rt△ADM 和Rt△APM 的公共边，
∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），
∴∠DAM＝∠PAM，
∵∠ABN＝∠ABM＝30°，
∴AD＝AQ，
∵∠ADN＝90°＝∠Q，
∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），
∴∠DAN＝∠QAN，
∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，
∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，
∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，线段的和与差，垂线的性质，全等三角形的判定与性质
等，掌握其相关知识点是解题的关键．
7．（2026•贵州）项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20．
如图①是小红所在学校的无障碍坡道．（坡度= 坡面的铅直高度
坡面的水平宽度）
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC＝4.8 米，坡角∠BAC＝14°．为检测该坡道是否符合国家
标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务一：如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC 的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，
并说明理由；
任务二：如图③，受地面条件限制，该坡道CA 方向能用的水平宽度只有20 米．小红设计了一个“回
转坡道”的方案示意图：在F 处安装支柱DF＝0.8 米，在E 处留EC＝2 米的通道，入口为点E，经过
两个坡道ED 与DB 再到达点B，且EF＝16 米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合
标准？如果符合，请说明理由；如果不符合，请提出修改建议．
（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）
15
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下：
在Rt△ABC 中，tan∠BAC= BC
AC ，
∴tan14°= BC
4.8 ≈0.25，解得BC≈1.2（m），
∵1.2
4.8 = 1
4 = 5
20 ＞1
20．
∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；
（2）小红设计的方案图符合标准，理由如下：
过点D 作DG⊥BC 于点G，
由题意得，在Rt△EDF 中，DF＝0.8m，EF＝16m，
∴tan∠DEF= DF
EF = 0.8
16 = 1
20．
∴坡道ED 符合标准；
由题意得，CG＝DF＝0.8m，DG＝CF＝EF+CE＝16+2＝18m．
∴BG＝ BC﹣CG＝1.2﹣0.8＝0.4（m），
在Rt△BDG 中，tan∠BDG= BG
DG = 0.4
18 = 1
45 ＜1
20，
∴坡道DB 符合标准，
又∵CF＝18＜20，满足地面要求，
∴小红设计的方案图符合标准．
【分析】（1）根据坡度的定义解Rt△ABC 求BC，然后比较14°的坡度与国家标准即可；
（2）过点D 作DG⊥BC 于点G，分别在Rt△EDF、Rt△BDG 中求出坡道ED、DB 的坡度，再比较CF
的长度与20m 的大小即可．
【解答】解：（1）该坡道不符合标准要求，理由如下：
在Rt△ABC 中，tan∠BAC= BC
AC ，
∴tan14°= BC
4.8 ≈0.25，解得BC≈1.2（m），
16
∵1.2
4.8 = 1
4 = 5
20 ＞1
20．
∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；
（2）小红设计的方案图符合标准，理由如下：
过点D 作DG⊥BC 于点G，
由题意得，在Rt△EDF 中，DF＝0.8m，EF＝16m，
∴tan∠DEF= DF
EF = 0.8
16 = 1
20．
∴坡道ED 符合标准；
由题意得，CG＝DF＝0.8m，DG＝CF＝EF+CE＝16+2＝18m．
∴BG＝ BC﹣CG＝1.2﹣0.8＝0.4（m），
在Rt△BDG 中，tan∠BDG= BG
DG = 0.4
18 = 1
45 ＜1
20，
∴坡道DB 符合标准，
又∵CF＝18＜20，满足地面要求，
∴小红设计的方案图符合标准．
【点评】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
8．（2026•陕西）如图，△ABC 为等边三角形，点D 在AC 的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：
△ABD≌△CBE．
【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠ECB，
在△ABD 与△CBE 中，
{
AB =CB
∠A =∠BCE
AD =CE
，
17
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，进而利用SAS 证明△ABD≌△CBE 解答即可．
【解答】证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠ECB，
在△ABD 与△CBE 中，
{
AB =CB
∠A =∠BCE
AD =CE
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用SAS 证明△ABD≌△CBE 解答．
9．（2026•广元）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个
纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．
在△AOB 与△COD 中，∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，OA＝6，OC＝4，将△COD 绕
点O 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线BD 与直线AC 相交于点E．
【初步探究】
（1）如图2，∠AEB 的度数为
30°
；
【尝试应用】
（2）如图2，若BE∥OA，求CE 的长；
【创新提升】
（3）若C，D，E 三点构成以CD 为腰的等腰三角形，请直接写出AC 的长．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）30°；
（2）√7；
（3）4√2-2√3或2√6+2．
【分析】（1）先证明△OBA∽△ODC，再证明△AOC∽△BOD，则∠OAC＝∠OBD，然后根据三角形
的外角性质求解即可；
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（2）连接OE，证明△ATB≌△OTE（SAS），则可得∠TEO＝∠TBA＝90°，然后对Rt△COE 运用勾股
定理求解即可；
（3）连接OE，由（1）知∠OAC＝∠OBD，记直线AE 与BO 交于点T，证明∠OET＝∠CDO＝90°，
则C，O，E，D 四点共圆，可得∠CDE+∠COE＝180°，然后分CD＝DE 和CD＝CE 两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，
∴△OBA∽△ODC，∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，即∠AOC＝∠BOD，
∴OB
OD = OA
OC ，
∴OA
OB = OC
OD ，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
如图，记AE，BO 交于点T，
∵∠OTE＝∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠AEB，
∴∠AEB＝∠AOB＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵OA＝6，∠AOB＝30°，
∴AB = 1
2 OA =3，
如图，连接OE，
∵BE∥OA，
19
∴∠OBE＝∠AOB＝30°，∠OAE＝∠AEB＝30°，
∴∠OAE＝∠AOB，∠OBE＝∠AEB，
∴TA＝TO，TE＝TB，
∵∠ATB＝∠OTE，
∴△ATB≌△OTE（SAS），
∴∠TEO＝∠TBA＝90°，OE＝AB＝3，
∵OC＝4，
∴CE =√OC
2-O E
2=√4
2-3
2=√7；
（3）连接OE，
由（1）知∠OAC＝∠OBD，记直线AE 与BO 交于点T，
∵∠ATO＝∠BTE，
∴△ATO∽△BTE，
∴AT
BT = OT
ET ，
∴AT
OT = BT
ET ，
∵∠ATB＝∠OTE，
∴△ATB∽△OTE，
∴∠OET＝∠ABT＝90°，
∴∠OET＝∠CDO＝90°，
∴C，O，E，D 四点共圆，
∴∠CDE+∠COE＝180°，
当CD＝DE 时，∠ECD＝∠CED＝30°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∴CE =OC ×sin ∠COE = 4× √3
2 =2√3，OE=OC ×cos∠COE = 4× 1
2 =2，
∴AE =√A O
2-O E
2=√6
2-2
2= 4√2，
∴AC = AE -CE = 4√2-2√3，
20
在Rt△CDO 中，OC＝4，∠COD＝30°，
∴CD = 1
2 CO =2，
当CD＝CE＝2 时，同理可得\angleOET＝90°，
∴OE =√OC
2-C E
2=√4
2-2
2=2√3，
∴AE =√O A
2-O E
2=√6
2-(2√3)
2=2√6，
∴AC＝AE+CE=2√6+2，
综上：若C，D，E 三点构成以CD 为腰的等腰三角形，AC 的长为4√2-2√3或2√6+2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，四点共圆等，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．（2026•新疆）（1）解方程：3
2 x =
2
x +3．
（2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正
方形ABCD 的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，求BF 的长．
【考点】勾股定理的证明；解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x＝9；
（2）6．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式
方程的解；
（2）根据正方形的面积求出边长，设BF＝x，在Rt△ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）3
2 x =
2
x +3，
21
3（x+3）＝2×2x，
3x+9＝4x，
x＝9，
经检验，当x＝9 时，2x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝9；
（2）∵正方形ABCD 的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，
∴EF＝FG＝2，AB＝10，
设BF＝x，则AF＝BG＝x+2，
在Rt△ABF 中，AF2+BF2＝AB2，
∴（x+2）2+x2＝102，
解得：x＝6 或x＝﹣8（舍），
即BF 的长为6．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（2026•内江）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点F 是DC 的中点，连接AF 并延长交BC 的延
长线于点E．
（1）求证：△ADF≌△ECF；
（2）若CE＝BC，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CEF，
∵点F 是CD 的中点，
∴DF＝CF，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）由（1）可知，△ADF≌△ECF，
∴AD＝CE，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【分析】（1 ）根据平行线的性质得∠DAF ＝∠CEF ，再证明DF ＝CF ，然后由AAS 证明
22
△ADF≌△ECF 即可；
（2）结合△ADF≌△ECF，得出AD＝CE，因为CE＝BC，则AD＝BC，再结合AD∥BC，即可作答．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CEF，
∵点F 是CD 的中点，
∴DF＝CF，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）解：由（1）可知，△ADF≌△ECF，
∴AD＝CE，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌
握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2026•福建）如图，△ABC 是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】∵BD⊥BC，CE⊥BC，
∴∠CBD＝∠BCE＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠ABD＝∠ACE＝150°．
在△ABD 和△ACE 中，
{
AB = AC
∠ABD =∠ACE
BD =CE
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD＝AE．
23
【分析】依据题意，先证明∠ABD＝∠ACE，从而利用SAS 可以证明得解．
【解答】证明：∵BD⊥BC，CE⊥BC，
∴∠CBD＝∠BCE＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠ABD＝∠ACE＝150°．
在△ABD 和△ACE 中，
{
AB = AC
∠ABD =∠ACE
BD =CE
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD＝AE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂直的定义、等式的基本性质等基
础知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键．
13．（2026•乐山）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力．
【答案】在△ABC 和△ABD 中，
{
AC = AD
∠CAB =∠DAB
AB = AB
，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC＝BD．
【分析】根据已知条件及AB 是△ABC 和△ABD 是公共边可依据“SAS”判定△ABC 和△ABD 全等，然
后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：在△ABC 和△ABD 中，
{
AC = AD
∠CAB =∠DAB
AB = AB
，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC＝BD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的
关键．
24
14．（2026•眉山）【问题背景】
数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D 是BC 边上的动点（不与点B，C 重
合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE 与AC 交于点F．
【初步探究】
（1）如图1，在点D 的运动过程中，试探究CE 与BD 的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，当点D 运动到CD＝4 时，求EF 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，点M 为ED 延长线上一点，且满足MC＝MF，当BD
DC =k（k＞1）时，求MD
DF 的值（用含
k 的式子表示）．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题．
【答案】（1）CE＝BD，理由如下：
由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）6
5 √13；
（3）1
k -1．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS）即可得证；
（2）先由勾股定理求解DE，然后根据等腰直角三角形求解AE，AB，再证明△AEF∽△ABD，得到
25
EF
BD = AE
AB
即可；
（3）证明△MCD∽△MEC 即可得到DM
CM = DC
CE = DC
BD = 1
k ，则DM
FM = DM
CM = 1
k ，从而得解．
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD，
∵∠CAE＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）∵BC＝10，CD＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴DE =√DC
2+C E
2=√4
2+6
2=2√13，
在Rt△ADE 中，AD＝AE，
∴DE =√A D
2+ A E
2=√2 AD，∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE= √2
2 DE = √2
2 ×2√13=√26，
同理可求AB＝AC= √2
2 BC = √2
2 ×10=5√2，
∵∠AEF＝∠B＝45°，∠EAF＝∠BAD＝90°﹣∠DAF，
∴△AEF∽△ABD，
∴EF
BD = AE
AB ，
∴EF
6 = √26
5√2，
解得EF = 6
5 √13；
（3）由（1）可得，△ABD≌△ACE，
26
∴∠ECA＝∠B＝45°，
∵MC＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC，
∴∠FCD+∠MCD＝∠ECF+∠FEC，
∵∠DCF＝∠ECF＝45°，
∴∠MCD＝∠MEC，
∵∠M＝∠M，
∴△MCD∽△MEC，
∴DM
CM = DC
CE = DC
BD ，
∵BD
DC =k(k ＞1)，
∴DM
CM = DC
CE = DC
BD = 1
k ，
∵CM＝FM，
∴DM
FM = DM
CM = 1
k ，
∴DM
FD =
1
k -1．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定
理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．（2026•山东）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点．
（1）求证：△EDF≌△ECF；
（2）判断四边形AEFG 的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】（1）∵在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点，
∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，
∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，
∴∠FED＝∠CEF，
∵EF＝EF，
∴△EDF≌△ECF（SAS）；
（2）四边形AEFG 是平行四边形，
27
理由如下：
∵点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点，
∴EF∥AB，EF= 1
2AB，
∵AG= 1
2AB，
∴EF＝AG，
∴四边形AEFG 是平行四边形．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ED＝EC＝AE，利用等边对等角，
三角形的中位线定理推导角相等，准备三角形全等的条件，得出△EDF≌△ECF；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点，
∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，
∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，
∴∠FED＝∠CEF，
∵EF＝EF，
∴△EDF≌△ECF（SAS）；
（2）四边形AEFG 是平行四边形，
理由如下：
∵点E，F，G 分别是边AC、BC，AB 的中点，
∴EF∥AB，EF= 1
2AB，
∵AG= 1
2 AB，
∴EF＝AG，
∴四边形AEFG 是平行四边形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定．
16．（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E 是线段BC 的中点．求证：△ABE≌△DCE．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明：∵点E 是线段BC 的中点，
∴BE＝CE，
28
在△ABE 和△DCE 中，
{
AB = DC
BE =CE
AE = DE
，
∴△ABE≌△DCE（SSS）．
【分析】先根据线段中点的定义得到BE＝CE，然后根据“SSS”可判断△ABE≌△DCE．
【解答】证明：∵点E 是线段BC 的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE 和△DCE 中，
{
AB = DC
BE =CE
AE = DE
，
∴△ABE≌△DCE（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5 种判定方法是解决问题的关键；选
用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
17．（2026•遂宁）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，点E 是线段AD 的中点，过点A 作
AF∥BC 交CE 的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：△DEC≌△AEF；
（2）判断四边形ADBF 的形状并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；
推理能力．
【答案】（1）∵点E 是线段AD 的中点，
∴DE＝AE，
∵点D 在BC 上，AF∥BC 交CE 的延长线于点F，
∴∠DCE＝∠AFE，
在△DEC 和△AEF 中，
{
∠DEC =∠AEF
∠DCE =∠AFE
DE = AE
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
29
（2）四边形ADBF 是矩形，
理由：连接DF，
由（1）得△DEC≌△AEF，
∴CE＝FE，
∵DE＝AE，
∴四边形ACDF 是平行四边形，
∴AF＝CD，DF＝AC，
∵在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，
∴BD＝CD，DF＝AB，
∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴AF∥BD，且AF＝BD，
∴四边形ADBF 是平行四边形，
∵四边形ADBF 是平行四边形，且DF＝AB，
∴四边形ADBF 是矩形．
【分析】（1）由点E 是线段AD 的中点，得DE＝AE，由AF∥BC 交CE 的延长线于点F，得∠DCE＝
∠AFE，而∠DEC＝∠AEF，可根据“AAS”证明△DEC≌△AEF．
（2）连接DF，由全等三角形的性质得CE＝FE，因为DE＝AE，所以四边形ACDF 是平行四边形，则
AF＝CD，DF＝AC，由AB＝AC，AD 平分∠BAC，得BD＝CD，DF＝AB，可证明四边形ADBF 是平行
四边形，进而证明四边形ADBF 是矩形．
【解答】（1）证明：∵点E 是线段AD 的中点，
∴DE＝AE，
∵点D 在BC 上，AF∥BC 交CE 的延长线于点F，
∴∠DCE＝∠AFE，
在△DEC 和△AEF 中，
{
∠DEC =∠AEF
∠DCE =∠AFE
DE = AE
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
（2）解：四边形ADBF 是矩形，
理由：连接DF，
由（1）得△DEC≌△AEF，
∴CE＝FE，
∵DE＝AE，
∴四边形ACDF 是平行四边形，
∴AF＝CD，DF＝AC，
∵在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，
30
∴BD＝CD，DF＝AB，
∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴AF∥BD，且AF＝BD，
∴四边形ADBF 是平行四边形，
∵四边形ADBF 是平行四边形，且DF＝AB，
∴四边形ADBF 是矩形．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三
角形的“ 三线合一” 、矩形的判定等知识，推导出DE ＝AE ，∠DCE ＝∠AFE ，进而证明
△DEC≌△AEF 是解题的关键．
18．（2026•安徽）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c 是勾股
数，记为（a，b，c）．
设m，n 为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）
为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．
【规律探究】
分别对m，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数（m2﹣n2，
2mn，m2+n2）
序号
2
1
（3，4，5）
1
3
1
（8，6，10）
2
2
（5，12，13）
3
4
1
（15，8，17）
4
2
（12，16，20）
5
3
（7，24，25）
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据如表规律，请完成下列问题：
（1）m＝5，n＝1 对应的勾股数是（
24
，
10
，
26
），序号为
7
；
（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝
6
，n＝
1
；
（3）序号为15 的勾股数是（
11
，
60
，
61
）．
【项目拓展】
（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号
的增大而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．
31
请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【考点】勾股数；规律型：图形的变化类；函数的表示方法．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）24，10，26，7；
（2）6，1；
（3）11，60，61；
（4）不正确，理由：
当m＝5，n＝4 时，m2+n2＝52+42＝41，序号为(5-1)×(5-2)
2
+ 4 =10；
当m＝6，n＝1 时，m2+n2＝62+12＝37，序号为(6-1)×(6-2)
2
+1=11；
∵41＞37，10＜11，
∴序号从10 增加到11 时，m2+n2的值减小，
∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得m2﹣n2＝352m＝12，m2+n2＝37，把m2﹣n2＝35，m2+n2＝37，两式
相加并结合已知条件则求出m 的值，然后把m 的值代入2mn＝12 求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m 对应的勾股数组数为（m﹣1）组，从得出m 值从2 取到k 时，
勾股数的总组数为k(k -1)
2
组，然后根据题意得出k(k -1)
2
=15，求出k 的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【解答】解：（1）当m＝5，n＝1 时，m2﹣n2＝52﹣12＝24，2mn＝2×5×1＝10，m2+n2＝52+12＝26，
∴m＝5，n＝1 对应的勾股数是（24，10，26），序号为7，
故答案为：24，10，26，7；
（2）根据题意，得m2﹣n2＝35，2mn＝12，m2+n2＝37，
∴m2﹣n2+m2+n2＝35+37，即2m2＝72，
又∵m＞0，
∴m＝6，
把m＝6 代入2mn＝12，得2×6n＝12，
解得n＝1，
∴勾股数（35，12，37）对应的m＝6，n＝1，
故答案为：6，1；
（3）由表格知，当m＝2 时，符合题意的勾股数有2﹣1＝1 组；
当m＝3 时，符合题意的勾股数有3﹣1＝2 组；
当m＝4 时，符合题意的勾股数有4﹣1＝3 组；
……，
32
当m＝k（k≥2 的整数）时，符合题意的勾股数有（k﹣1）组；
此时一共有1+2+3+⋯+(k -1)= k(k -1)
2
组勾股数，
当k(k -1)
2
=15时，解得k＝6 或k＝﹣5（舍去），
∴序号为15 时，m＝k＝6，n＝k﹣1＝5，
∴m2﹣n2＝62﹣52＝11，2mn＝2×6×5＝60，m2+n2＝62+52＝61，
序号为15 的勾股数是（11，60，61），
故答案为：11，60，61；
（4）不正确，理由：
当m＝5，n＝4 时，m2+n2＝52+42＝41，序号为(5-1)×(5-2)
2
+ 4 =10；
当m＝6，n＝1 时，m2+n2＝62+12＝37，序号为(6-1)×(6-2)
2
+1=11；
∵41＞37，10＜11，
∴序号从10 增加到11 时，m2+n2的值减小，
∴他的猜想不正确．
【点评】本题考查了勾股数，掌握勾股数是解题的关键．
19．（2026•成都）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究．
如图，△ABC≌△EAD，AB＝AC＝nBC（n＞1），点D 在AC 边上，延长ED 交AB 于点F．
【初步感知】
（1）求证：AF2＝FD•FE；
【深入探究】
（2）如图1，当n＝2，AD＝1 时，求BF 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，将△EAD 绕点E 按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA′D′，若F，A′，
D′三点共线，且点A 的对应点A′满足A′A⊥A′B，求n 的值．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）∵△ABC≌△EAD，
33
∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E，
又∵∠AFD＝∠EFA，
∴△AFD∽△EFA，
∴AF
FE = FD
AF ，
∴AF2＝FD•FE；
（2）2
3；
（3）√2+1．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FAD＝∠E，结合∠AFD＝∠EFA，证明△AFD∽△EFA，
再利用相似三角形的性质即可证明；
（2）根据题意得BC＝AD＝1，AB＝AC＝AE＝DE＝2，由△AFD∽△EFA，得到AF
FE = FD
AF = AD
AE = 1
2，
则FE＝2AF，FD = 1
2 AF，再利用线段的和差列出关于AF 长的方程，求出AF = 4
3 ，即可求解BF 的长；
（3）连接A'F，设BC＝AD＝1，由（2）中的结论可得 AB＝AC＝AE＝DE＝n，根据旋转的性质得AE
＝A'E，∠EA'D'＝∠EAD，则∠EAA'＝∠EA'A，设∠EA'D'＝∠EAD＝α，导角可得∠EAF＝∠EA'F＝
180°﹣α ，则∠FAA' ＝∠FA'A ，推出AF ＝A'F ，再结合A'A⊥A'B ，推出BF ＝A'F ，则
AF = BF = 1
2 AB = 1
2 n，再由△AFD∽△EFA 得到FE =nAF = 1
2 n
2，FD= 1
n AF = 1
2，再利用线段的和
差列出关于n 的方程，即可求解n 的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E，
又∵∠AFD＝∠EFA，
∴△AFD∽△EFA，
∴AF
FE = FD
AF ，
∴AF2＝FD•FE；
（2）解：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD＝1，AB＝AE，AC＝DE，
∵AB＝AC＝nBC，n＝2，
∴AB＝AC＝AE＝DE＝2，
由（1）得，△AFD∽△EFA，
∴AF
FE = FD
AF = AD
AE = 1
2，
∴FE＝2AF，FD = 1
2 AF，
34
∴DE = FE - FD = 3
2 AF =2，
解得AF = 4
3 ，
∴BF = AB - AF =2- 4
3 = 2
3，
即BF 的长为2
3；
（3）解：如图，
设BC＝AD＝1，
由（2）中的结论可得AB＝AC＝AE＝DE＝n，
由旋转的性质得，AE＝A'E，∠EA'D'＝∠EAD，
∵∠EAA'＝∠EA'A，
设∠EA'D'＝∠EAD＝α，
∵F，A'，D'三点共线，
∴∠EA'F+∠EA'D'＝180°，
∴∠EA'F＝180°﹣α，
∵AE＝DE，
∴∠AED＝180°﹣2α，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠AED＝180°﹣2α，
∴∠EAF＝∠BAC+∠EAD＝180°﹣2α+α＝180°﹣α，
∴∠EAF＝∠EA'F，
∴∠EAF﹣∠EAA'＝∠EA'F﹣∠EA'A，即∠FAA'＝∠FA'A，
∴AF＝A'F，
∵A'A⊥A'B，
∴∠AA'B＝90°
∴∠FA'A+∠FBA'＝90°，∠FA'A+∠FA'B＝90°，
∴∠FBA'＝∠FA'B，
∴BF＝A'F，
35
∴AF = BF = 1
2 AB = 1
2 n，
由（1）得，△AFD∽△EFA，
∴AF
FE = FD
AF = AD
AE = 1
n，
∴FE =nAF = 1
2 n
2，FD= 1
nAF= 1
2，
∴DE＝FE﹣FD= 1
2 n
2- 1
2 =n，
解得n=√2+1（负值已舍去），
∴n 的值为√2+1．
【点评】本题考查了三角形综合问题，熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理，是解题的关键．
36
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接
利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
3．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析
式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之
亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△= 1
2 ×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
7．全等三角形的判定
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（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
9．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
10．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起
解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
11．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
38
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
12．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
13．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
15．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用
面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
16．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5 满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股
数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
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③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
17．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合
问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E 分别是AB、AC 的中点
∴DE∥BC，DE= 1
2BC．
19．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四
边形的综合考查．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/21 10:12:58；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.com；学号：41418968
