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专题04 二项式定理与杨辉三角
题型一：求二项展开式
题型二：求含有参数的二项展开式
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
题型六：整除与余数问题
题型七：近似计算问题
题型八：杨辉三角
题型九：证明组合恒等式
题型十：二项式定理与数列求和
题型十一：排列组合综合
题型一：求二项展开式
1．（24-25 高二·内蒙古赤峰·期中）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于
，由二项展开式的通项得
，
令
解得
，
则所求系数为
，
故选：D
2．二项式
的展开式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式
【分析】由二项式定理求解.
【详解】二项式
，
.
故选：B
3．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）
展开式中，
的系数为（ ）
A．20
B．
C．160
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】求出展开式的通项，令
的指数位置等于即可求解.
【详解】
展开式通项为
，
令
可得
，
所以
的系数为
，
故选：D.
4．二项式
的展开式中为常数项的是（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式
【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x 的幂指数为0 所对项数即可.
【详解】依题意，
的展开式的通项为
，
，
令
，得
，即
是二项式
的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5 项.
故选：C
5．
展开式中的常数项为
A．第5 项
B．第5 项或第6 项
C．第6 项
D．不存在
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k 项
【分析】根据题意，写出
展开式中的通项为
，令
的指数为0，可得的值，由项数与的关系，
可得答案．
【详解】解：根据题意，
展开式中的通项为
，
令
，可得
；则其常数项为第
项；
故选
．
【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意
项数值与的关系,属于基础题．
6．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．210
B．
C．10
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数
【分析】根据二项展开式的通项求出含
的项即可得出结果.
【详解】已知展开式中第
项为
，
令
，解得
；
所以含
的项为
.
因此展开式中
的系数为
.
故选：D
7．（2025·云南楚雄·模拟预测）
展开式中的常数项为（ ）
A．120
B．240
C．280
D．480
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数
【分析】根据二项式定理求出通项即可求得答案.
【详解】
展开式的通项为
，
令
，可得
，
故
展开式中的常数项为
.
故选：B
8．（2025·北京东城·二模）已知
，则实数
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用
【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得
的值.
【详解】因为
，
所以
，
故
.
故答案为：
.
9．（24-25 高三上·北京·期中）在
的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】根据二项式定理的通项公式，利用
项的指数为
即为常数项.
【详解】由
的展开式的通项为
，
令
，
，则
，
即在
的展开式中，常数项为
，
故答案为：
.
10．（24-25 高三上·浙江·开学考试）
的展开式中，常数项为 ．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k 项
【分析】先求出
展开式中的通项公式，然后令
的指数为0 求解.
【详解】由
展开式中的通项公式为：
，
令
，则
，
故
展开式中的常数项为：
，
故答案为：3.
题型二：求含有参数的二项展开式
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）
的展开式中常数项是
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】根据二项式定理的有关知识点列式求解.
【详解】因为
的展开式中常数项是：
，
由
.
故选：C
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的展开式中
的系数为15，则
的系数为（ ）
A．420
B．640
C．720
D．960
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数
【分析】由二项式定理的通项得
，令
即可求
，令
即可
求解.
【详解】由
展开式的通项公式为
，
令
得
，则
的系数
，所以
，
令
可得
，则
项的系数为
．
故选：D.
3．（24-25 高二下·河北·期末）设
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二项式的系数和
【分析】令
，可得
，解出m 的值即可.
【详解】令
，则可得
.
又
，则
．
故选：D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）在
的展开式中，
的系数为5，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】根据题意，可知通项为
，令
，可解问题.
【详解】因为
的通项为
，
令
，解得
，则
，
解方程得：
．
故选：B．
5．（24-25 高二下·河北·期末）已知
的展开式中
的系数为20，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数
【分析】利用二项展开式的通项公式，结合条件，列方程求解.
【详解】设
的展开式中，通项为
，
，
由
，所以
.
由
.
故选：D
6．（2025 高三·全国·专题练习）若二项式
的展开式中
的系数为
，常数项为
，若
，则
的值是 ．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数
【分析】求出二项式的通项，求出
，解方程求解即可.
【详解】
，
令
，得
，则
．
令
，得
，则
．
由
，即
，因为
，解得
．
故答案为：2.
7．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知
的展开式中的第2 项的系数与第2 项二项式系数之
和为198，则展开式中所有项的系数和为 (用数字作答)．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求指定项的二项式系数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得
，可求得
，再用赋值法，令
即可得答案.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
所以展开式中第2 项的系数为
，第2 项的二项式系数为
，
所以
，解得
．
令
，二项式
展开式中的所有项的系数之和为
.
故答案为：
.
8．（24-25 高二下·北京延庆·期末）在
的二项展开式中，常数项为
，则
的值为 .
【答案】1
【难度】0.94
【知识点】由项的系数确定参数
【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为
，即得解.
【详解】由题得
，
令
.
所以常数项为
.
故答案为：1.
9．（2025·湖南娄底·模拟预测）若
的展开式中
的系数为231，则
.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、由项的系数确定参数
【分析】求出
展开式的通项公式，令
的次幂为
求出
，然后利用系数列方程即可求解.
【详解】
的展开式的通项
，
.
令
，解得
，则
，解得
.
故答案为：2.
题型三：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）
展开式中
的系数为（ ）
A．
B．12
C．
D．18
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可．
【详解】根据题意，
展开式中
项为
，
所以
展开式中
的系数为
．
故选：A．
2．（2025·浙江宁波·一模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．0
B．20
C．10
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】先求得
展开式的通项公式，分别求
和
的项，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意得
展开式的通项公式为
，
令
，
，
令
，
，
所以
的系数为0.
故选：A
3．（25-26 高三上·北京·阶段练习）展开式
中
的系数为（ ）
A．
B．
C．160
D．80
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】将
看作5 个相同的括号相乘，利用组合的方法求解.
【详解】
表示5 个
相乘，每个
在相乘时均有三种选择，
选
或
或
．
设选
的有
个，选
的有
个，那么选
的有
个，
则有
，解得
或
或
，
即选5 个
；或者选1 个
、3 个
、1 个
；或者选2 个
、1 个
、2 个
；
因此含
项的系数为
.
故选：A
4．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）
展开式中
的系数为（ ）
A．
B．24
C．
D．16
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】先写出
的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出.
【详解】
的展开式的通项为
，
若从因式
选取
，则需
，
此时
展开式中含
的项为
；
若从因式
选取，则需
，
此时
展开式中含
的项为
；
故
展开式中
的系数为
.
故选：D
5．（25-26 高三上·湖北·阶段练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．162
B．168
C．180
D．185
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】根据给定条件，求出
展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解.
【详解】二项式
展开式的通项公式为
，
所以
的展开式中
的系数为
.
故选：B
6．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】奇次项与偶次项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和、求
指定项的系数
【分析】令
计算可判断A；利用
展开式的通项公式计算可判断B，令
计算可判断C；令
结合C 选项计算可判断D.
【详解】对于A，令
，得
，即
，故A 错误；
对于B，
展开式的通项公式为
，
所以
，故B 错误；
对于C，令
，得
，
即
，故C 正确；
对于D，令
，得
，
即
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
不成立，故D 错误.
故选：C
7．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·期中）
展开式中，
的系数为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题
【分析】分不含
项和含一个
项两种情况，直接根据组合数的知识进行求解即可.
【详解】
展开式中，
的项为
，则
的系数为
.
故答案为：
8．（2025·广东深圳·二模）
的展开式中
的系数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题
【分析】由乘法原理求出展开式中
的项即可得解.
【详解】由题可得展开式中
的项为
，
故展开式中
的系数为
.
故答案为：
9．（25-26 高三上·广东·开学考试）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】应用二项式定理求
展开式通项，根据乘积形式写出含
项，即可得.
【详解】对于
，展开式通项为
，
，
所以含
项为
，
所以该项对应系数为
.
故答案为：
10．（2025 高三·全国·专题练习）在
展开式中，
的系数为 ．
【答案】180
【难度】0.65
【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数
【分析】根据题意其展开式为
，求
的展开式中通项
，令
，即可求解.
【详解】
，若满足题意可知其展开式为
，
其
的展开式中通项
，令
可得
，
所以系数得180，
故答案为：180．
题型四：求二项式系数与项的系数的最值
1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）若
二项展开式中各项的二项式系数只有第6 项最大，则展开
式的常数项的值为（ ）
A．840
B．
C．
D．210
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式系数的增减性和最值
【分析】利用二项式的性质得
，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为二项式系数只有第6 项最大，故
，
又二项展开式的通项公式为
，
令
，则
，
故
，
故选：A.
2．（2025·江苏南通·模拟预测）
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中
二项式系数最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和
【分析】由题意求出
，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】因为
，所以
，二项展开式的通项为
，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为
.
故选：A.
3．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）在
的展开式中，若仅有第5 项的二项式系数最大，则展开
式中系数最大的项是第（ ）项.
A．
B．
C．2 或3
D．3 或4
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值
【分析】首先根据二项式系数最大值问题求
，再根据第
项的系数大于前一项，也大于后一项，根据
不等式，即可求解.
【详解】由
的展开式中，仅第5 项的二项式系数最大，得展开式共9 项，则
，
的展开式的通项公式
，
设展开式中系数最大项是
，则
，即
，
解得
，而
，因此
或
，
，
，
所以展开式中系数最大的项是第3 或4 项.
故选：D.
4．已知
的展开式中第9 项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（ ）
A．第6 项
B．第7 项
C．第8 项
D．第9 项
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数
【分析】先求出展开式的通项
，从而依据展开式中第9 项是常数项得到
，
再依据第
项的系数绝对值大于或等于第
项且大于或等于第项列不等式组即可求得.
【详解】由题意，二项式
展开式的通项公式为：
因为展开式中第9 项是常数项，故
，解得
，
故第
项的系数绝对值为
.
设展开式中第
项的系数绝对值最大，则有
由①可得：
，即
，解得
；
由②可得：
，即
，解得
.
即
，又因为
，故
，即第8 项的系数绝对值最大.
故选：C.
5．（24-25 高二下·河南开封·阶段练习）已知
的展开式中，第5 项与第3 项的二项
式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项
【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出
，再利用递推不等式组可求出系数
最大项.
【详解】由题意，可得二项式
展开式的通项为
，
因为第5 项与第3 项的二项式系数之比为15：2，可得
，即
，
所以
，则
或
（舍），
设展开式中第
项的系数最大，则
，可得
，
解得
，因为
，所以
，
所以系数最大的项为
．
故答案为：
6．（24-25 高二下·上海嘉定·期末）在
的二项展开式中，系数最大的项是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项
【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案.
【详解】令第
项的系数最大，则
，解得
，
因为
，所以
时，二项展开式中系数最大，
则二项展开式中系数最大的项为
.
故答案为：
.
7．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）在
的展开式中，仅第
项的二项式系数最大，则展开式
中系数最大的项是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值
【分析】利用二项式系数的性质得到
，设展开式中系数最大项是
，利用展开式的通项公式得到
，即可求解.
【详解】由
的展开式中，仅第
项的二项式系数最大，得展开式共
项，则
，
所以
的展开式的通项公式
，
设展开式中系数最大项是
，则
，即
解得
，而
，所以
，
，
所以展开式中系数最大的项是
,
故答案为：
.
8．（24-25 高三下·广东清远·开学考试）在
的展开式中，仅第5 项的二项式系数最大，则展开式中
系数最大的项是 .
【答案】
或
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值
【分析】利用二项式系数的性质求出
，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项.
【详解】由
的展开式中，仅第5 项的二项式系数最大，得展开式共9 项，则
，
的展开式的通项公式
，
设展开式中系数最大项是
，则
，即
，
解得
，而
，因此
或
，
，
，
所以展开式中系数最大的项是
或
.
故答案为：
或
题型五：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
1．（24-25 高一下·广东广州·期中）（多选题）已知
的展开式中二项式系数之和为1024，则下
列说法正确的（ ）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数和为256
C．二项式系数最大项为第5 项
D．展开式中常数项为45
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数
和求参数
【分析】由二项式系数和的性质可判断A；由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等可判断
B；由二项式系数最大值可判断C；由展开式通项公式可判断D.
【详解】由
的展开式中二项式系数之和为1024，可得
，故A 正确；
由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，可得展开式中奇数项的二项式系数和为
，故
B 错误；
易知
是最大的二项式系数，所以二项式系数最大项为第6 项，故C 错误；
由
，故D 正确；
故选：AD.
2．（23-24 高二下·天津静海·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．此二项展开式系数最大的项为第4 项
C．此二项展开式的二项式系数和为32
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和
【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4 项的系数可得其小于0，再
计算出第1 项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为
计算即可得；对D：借助赋
值法，令
代入计算后结合
即可得.
【详解】对A：
，则
，故A 错误；
对B：
，即第4 项的系数为
，
令
，有
，故B 错误；
对C：
，故此二项展开式的二项式系数和为
，故C 错误；
对D：令
，则
，又
，
故
，故D 正确.
故选：D.
3．（2025·全国·模拟预测）若
的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．160
B．
C．20
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式的第k 项、二项式的系数和
【分析】先根据二项式系数和求出
，求出展开式通项，令
得
，代入通项即可求出常数
项.
【详解】因为
的展开式的二项式系数和为64，即
，解得
，
则
的展开式通项为
，
令
得
，所以
的常数项为
.
故选：B．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为
81，则其展开式中
的系数是（ ）
A．4
B．8
C．32
D．64
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求
，再根据二项式定理运算求解即可.
【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则
，即
，
即二项式为
，因为
的展开式中各项系数之和为81，
令
可得，
，解得
，
此时二项式为
，其展开式的通项公式为
，
，
令
，得
，所以展开式中
的系数是
.
故选：C.
5．（25-26 高三上·河北·阶段练习）若
的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数
项为a，则
.
【答案】681
【难度】0.65
【知识点】根据二项式的第k 项求值、二项式的系数和
【分析】根据二项式定理写出
的展开式的通项，求得常数项，从而得到a 的值；根据所有奇数
项的二项式系数之和为256 求得n 的值，即可得到
的值.
【详解】
的展开式的通项是
.
的展开式中所有项的二项式系数之和为
，
所以所有奇数项的二项式系数之和为
.
由题可知：
，解得：
.
当
时，
.所以常数项为：
，即
.
所以
.
故答案为：681.
6．（24-25 高二下·天津南开·期中）
的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之
和为243，则展开式中
的系数为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数和求得
，令
，以各项系数和列方程，解方程求得
的值，再结合二项
式展开式的通项公式，求得
的系数.
【详解】因为
的展开式中，各二项式系数和为
，所以
.
再令
，可得各项系数和为
，解得
，
则
展开式中的通项公式为
，
令
，可得
，故展开式中
的系数为
.
故答案为：
.
题型六：整除与余数问题
1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）
除以128 的余数为（ ）
A．51
B．43
C．41
D．33
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】整除和余数问题
【分析】变形为
，再利用二项展开式即可得到答案.
【详解】因为
，
且
显然能被128 整除，
所以所求余数即为681 除以128 的余数.
因为
，所以
除以128 的余数为41.
故选：C.
2．（24-25 高二下·河南·阶段练习）
除以8 的余数为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】应用二项式展开式计算得出余数即可.
【详解】
，
又
，
所以
，
所以
除以8 的余数为3.
故选：B.
3．（24-25 高二下·河南驻马店·阶段练习）已知
除以13 所得余数为m，
除以14 所得余数为n，则
（ ）
A．1
B．
C．13
D．14
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】整除和余数问题
【分析】由
，
，结合二项式定理即可求解.
【详解】因为
，
所以
除以13 所得余数为1，则
；
因为
，
所以
除以14 所得余数为13，则
，因此
．
故选：C
4．若
既能被9 整除又能被7 整除，则正整数a 的最小值为（ ）
A．6
B．10
C．55
D．63
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】整除和余数问题
【分析】分别由
和
结合二项式定理得
和
，再一一检验
时
和
的解的情况即可得解.
【详解】因为
，
所以
，
所以若
既能被7 整除，则
，故
又
，
所以
，
所以若
既能被9 整除，则
，故
，
对于A，若
，则由
可知
无解，故A 错误；
对于B，若
，则由
可知
无解，故B 错误；
对于C，若
，则由
和
得
，故C 正确；
对于D，若
，则由
可知
无解，故D 错误.
故选：C.
5．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）
除以7 的余数是 .
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】先把
化为
，再利用二项式定理展开，即可得解.
【详解】因为
，
所以
除以7 的余数为1.
故答案为：1.
6．（24-25 高二下·江苏连云港·期中）
被9 除所得的余数是 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】整除和余数问题
【分析】由
，然后根据二项式定理结合条件即得.
【详解】因为
又
能被9 整除，
所以
被9 除所得的余数为2，
故答案为：2.
7．（24-25 高二下·湖北武汉·期中）
除以26 所得余数为 .
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题
【分析】由二项式定可得
，即可得出结论.
【详解】
，
因为
都能被26 整除，
所以
除以26 所得余数为1.
故答案为：1
8．
除以9 的余数是 ．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】整除和余数问题
【分析】根据组合数性质得原式等于
，再将其变形为
，最后利用二项展开式即可得到答
案.
【详解】
所以余数是8．
故答案为：8.
题型七：近似计算问题
1．（24-25 高二下·安徽·期中）
的小数点后第三位数字为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】近似计算问题
【分析】利用二项展开式
可得出该小数的前四位数，即可得解.
【详解】因为
，
因此，
的小数点后第三位数字为
.
故选：A.
3．（2024·湖南·二模）某银行在2024 年初给出的大额存款的年利率为
，某人存入大额存款
元，按照
复利计算10 年后得到的本利和为
，下列各数中与
最接近的是（ ）
A．1.31
B．1.32
C．1.33
D．1.34
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】近似计算问题
【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.
【详解】存入大额存款
元，按照复利计算，
可得每年末本利和是以为
首项，
为公比的等比数列，
所以
，
可得
，
故选：D.
4．实数
精确到
的近似值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】近似计算问题
【分析】先将
变形为
，再利用二项式定理展开化简即可得解.
【详解】因为
，
将
精确到
，故近似值为
.
故答案为：
.
5．某公司2021 年实现利润100 万元，计划在以后5 年中每年比一年利润增长8%，则2026 年的利润是
万元.（结果精确到1 万元）
【答案】147
【难度】0.65
【知识点】近似计算问题、指数函数模型的应用（2）
【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】由题意可知，
(万元)，即
2026 年的利润大约是147 万元.
故答案为：147
题型八：杨辉三角
1．（25-26 高三上·福建·开学考试）我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二
项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．第2025 行的第1013 个数和第1014 个数相等
C．在杨辉三角中，第
行所有数字的平方和恰好是第
行的中间一项的数字
D．记杨辉三角中第
行的第个数为
，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算、二项式的系数和
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD.
【详解】对于A，
，
A 正确；
对于B，第2025 行的第1013 个数和第1014 个数分别为
，而
，B 正确；
对于C，第
行所有数字的平方和
，
第
行的中间一项的数字
是
展开式中
项的系数，
而
，
又
展开式中
项的系数为
，
因此
，C 正确；
对于D，因为
，所以
，D 不正确.
故选：D
2．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中
组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个数，
，例如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算
【分析】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D.
【详解】对于选项A，
，故A 错误；
对于选项B，第100 行中第50 个数是
，又
，故B 错误；
对于选项C，第2025 行中第1013 个数和第1014 个数分别为
和
，
因
，故
，故C 正确；
对于选项D，因为
，
则
，故D 错误；
故选：C.
3．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”中，第3 行到第10 行的各行的第4 个数
的和为（ ）
A．124
B．185
C．220
D．330
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角
【分析】由题意可知问题转化为
根据组合数性质计算即可.
【详解】根据题意可知：这些数分别为
，
则由
逐步应用得：
，
所以这些数和为 330.
故选：D.
4．（2024 高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数
学家杨辉于1261 年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律.“杨辉三
角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正
确的是（ ）
A．
B．在第2022 行中第1011 个数最大
C．第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于9 行的第8 个数
D．第34 行中第15 个数与第16 个数之比为2：3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角
【分析】A 选项由
及
即可判断；B 选项
由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由
及
即可判断；D 选项直接计算比值即可
判断.
【详解】由
可得
，故A 错误；
第2022 行中第1011 个数为
，故B 错误；
，故C 正确；
第34 行中第15 个数与第16 个数之比为
，故D 错误.
故选：C.
5．（24-25 高二下·重庆·期末）（多选题）将
（
，1，2，…）按照二项式定理展开后，其各二
项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，
就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则（ ）
A．在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为
B．在“杨辉三角”中，记第
行的第
个数为
，则
C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第
（
，2，…）行全行都为黑色圆
D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126 行的黑色圆比白色圆多一个
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC,由杨辉三角的性质即
可求解D.
【详解】第n 行的所有数字之和为
，A 正确；
，所以
，B 错误；
通过观察规律归纳可知：第
的全行都是奇数，因此可以归纳出第
（
，2，…）行全
行都是奇数，故都为黑色圆，C 正确；
由D 可知第127 行全行为奇数，则由奇数
偶数
奇数，结合
，
则第126 行的127 个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D 正确；
故选：ACD．
6．（24-25 高二下·广东广州·期末）（多选题）我国南宋数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》就
给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的
说法正确的是（ ）
A．第6 行从左到右第4 个数是20
B．第2022 行的第1011 个数最大
C．210 在杨辉三角中共出现了6 次
D．记第
行的第个数为
，则
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角、组合数的计算
【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6 行第4 个数代入即可；
选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022 行中的最大数；选项C：列举出值为210 的组合数即可；选
项D：使用二项式定理进行转化即可.
【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1 行起，第
行的第
个数可表示为
，故第6 行
从左到右第4 个数是
，故选项A 正确；
选项B：第2022 行的第
个数可表示为
，由组合数的性质可知，
最大，因此
，
，故第2022 行的第1012 个数最大，选项B 错误；
选项C：210 在杨辉三角中出现的情况有
（第10 行的第5 个数），
（第10 行的第7 个数），
（第210 行的第2 个数），
（第210 行的第210 个数），
（第21 行的第3 个数），
（第21 行
的第20 个数），共6 次，故选项C 正确；
选项D：第
行的第个数
，因此
，令
，则
，即
，故选项D 正确.
故选：ACD.
7．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性
质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11 阶杨辉三角.
11 阶杨辉三角
（1）第20 行中从左到右的第4 个数为 ；
（2）若第
行中从左到右第7 个数与第9 个数的比为
，则
的值为 .
【答案】 1140 15
【难度】0.65
【知识点】杨辉三角
【分析】（1）根据杨辉三角数字规律可得第20 行中从左到右的第4 个数为
，
（2）列出等式可得
，解得
.
【详解】（1）易知第
行的数从左到右分别为
，
所以第20 行中从左到右的第4 个数为
，
（2）由
，得
，解得
或
（舍去），
即
的值为15.
故答案为：（1）1140；（2）15
8．我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，
如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.
杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为
.请写出一
条其他的性质，用组合数表示为： .从杨辉三角蕴含的规律可知：
.
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角
【分析】利用杨辉三角的数的规律可得结论.
【详解】杨辉三角有很多有趣的性质，如
，
故：
.
故答案为：
（答案不唯一）；
.
题型九：证明组合恒等式
1．（2025 高三·全国·专题练习）求证：
．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】组合数的性质及应用、证明组合恒等式、二项式的系数和
【分析】将右侧式子倒序相加，结合组合数的性质及二项式系数和，即可证.
【详解】设
①，
把①式倒序排列得
，
由
，得
②，
①
②得
，
所以
，得证.
2．（2024 高三·全国·专题练习）求证：
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证明组合恒等式、二项式的系数和
【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论.
【详解】证明：
令
，则
；
两式相加可得
,
所以
；
可得
.
3．已知
．
(1)求
的值
(2) ①证明：
，其中
，
，，
，
；
②利用
的结论求
的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【难度】0.65
【知识点】二项展开式各项的系数和、证明组合恒等式、二项式定理与数列求和
【分析】（1）赋值
和
，即可求解系数的和；
（2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得
，再根据
，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）
令
，得
，
令
，得
，
（2）① 证明：
，
，
②解：
由①得：
，
，
，
，
，
，
．
4．（24-25 高三下·天津·阶段练习）已知数列
满足
，
，数列
满足
，
(1)求
、
、
的值，并证明数列
是等比数列；
(2)证明：
；
(3)
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，求数列
的前
项和．
【答案】(1)
，
，
，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、二项式定理与数列求和
【分析】（1）根据递推公式可求出
、
、
的值，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）化简得出
，利用裂项相消法可证得结论成立；
（3）利用二项式定理化简得出
，再利用分组求和法可求得数列
的前
项和．
【详解】（1）因为数列
满足
，
，
则
，
，
，
，
又因为
，所以
，
，
，
所以
，且
，
所以数列
是首项和公比均为
的等比数列.
（2）由（1）可得
，
所以
，
因此，
.
（3）当
时，
，
此时
，
显然
，
所以
，
，
所以
，显然，
，
所以
，
所以，
，
又因为
也满足
，
故对任意的
，
，
所以，数列
的前
项和为
.
5．（2024 高二下·全国·专题练习）（l）当
，
时，证明：
．
（2）当
，
时，证明：
．
【答案】（l）证明见解析；（2）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】二项式定理与数列求和
【分析】根据题意，利用二项式定理的展开式，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】（1）由二项式定理可得
，
若
，则有
，
所以
成立．
（2）由二项式定理得
，
若
，则有
，
则
，
所以
成立．
题型十：二项式定理与数列求和
1．已知
，展开式中
的系数为
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、求指定项的系数、二项式定理与数列求和
【分析】由题知
，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【详解】∵
，展开式中
的系数为
，
∴则
，
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在
于根据已知条件求得
，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可.
2．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知
，则
；
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、二项式定理与数列求和
【分析】直接用二项展开式的通项可求得
.用赋值法（令
和
），然后两式作差，可求得答案.
【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：
，所以
令
, 得：
……(1)
令
, 得：
即：
……(2)
(1)式与(2)式作差，得：
,
所以
.
故答案为：
；
3．（1）求证：
；
（2）利用等式
可以化简：
；类比上述方法，化简下式：
.
（3）已知等差数列
的首项为，公差为
，求证：对于任意正整数
，函数
总是关于
的一次函
数.
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、证明组合恒等式
【分析】（1）利用组合数公式可证得结论成立；
（2）推导出
，利用二项式定理可化简所求代数式；
（3）由已知可得出
，计算得出
，
利用二项式定理化简函数
的解析式，即可证
得结论成立.
【详解】证明：（1）因为
、
，
，
由组合数公式可得
，故结论成立；
解：（2）因为
、
，
，
则
，
则
；
（3）因为等差数列
的首项为，公差为
，则
，
则
，
所以，
总是关于
的一次函数.
题型十一：排列组合综合
1．（24-25 高二上·辽宁大连·期末）现有位老师，
位女同学，
位男同学，派这些人去参加两项活动.要
求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，
若不同的参与活动的方法有
种，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合、二项式的系数和
【分析】分老师带一位女同学和两位同学两种情况分别求满足要求的方法，由条件列方程求
.
【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为
，
若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为
，
所以符合要求的参与活动的方法
，
由已知
，
所以
，
所以
.
故选：D.
2．（2024·浙江嘉兴·二模）6 位学生在游乐场游玩
三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目
都有人游玩，若
项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A．180 种
B．210 种
C．240 种
D．360 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、排列组合综合、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题
【分析】分A 有2 人和4 人，结合排列组合求解即可.
【详解】若A 有2 人游玩，则有
种；
若A 有4 人游玩，则有
种；
所以共有240 种，
故选：C.
3．2023 年第19 届亚运会将在杭州举行，某大学5 名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分
发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5 名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生
乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（ ）
A．162 种
B．150 种
C．120 种
D．114 种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、分组分配问题
【分析】把5 人按照甲乙不在同一组分成3 组，再作全排列并计算作答.
【详解】将5 人分成三组的分法有
种，其中甲乙同组的分法有
种，
因此符合要求的分组有
种，再把所分组安排工作，共有
种，
所以不同的安排方案有114 种．
故选：D
4．武钢六中近期迎来校庆，学生会制作了4 种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张
卡片，规定：如果收集齐了4 种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6 册，那么小明获奖的
概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率
【分析】先求出6 册书本中卡片的可能情况，再讨论可以获奖的情况，最后利用古典概型的概率公式求解
即可
【详解】这6 册书本中卡片总共有
种可能情况，
其中可以获奖的情况分为两类，
第一类是有3 册书的卡片相同的获奖情况有
种；
第二类是有2 册书的卡片相同的获奖情况有
种；
所以小明获奖的概率是
，
故选：B
5．某班级计划安排学号为1～9 的九名同学中的某5 位，分别担任周一至周五的值日生，要求学号为奇数
的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有 种．(用数字作答)
【答案】720
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合
【分析】分为学号为偶数的同学有3 位和4 位两类进行分类即可得结果.
【详解】第一类：当学号为偶数的同学有3 位时，有
；
第二类：当学号为偶数的同学有4 位时，有
；
所以不同的安排方法有
种，
故答案为：720.
6．有3 本不同的数学书和4 本不同的外语书从左到右依次排放在书架的某一层上，那么其中数学书甲不排
在左边第一个并且英语书
不排在左边第二个的概率为 .（结果用数值表示）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率
【分析】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数，再计算数学书甲不排在左边第一个且英语书
排在
左边第二个的情况数，即可得数学书甲不排在左边第一个并且英语书
不排在左边第二个的方法数，即可
计算所求概率.
【详解】先算出数学书甲不排在左边第一个的情况数为
，数学书甲不排在左边第一个且英语书
排在
左边第二个的情况数为
，
则数学书甲不排在左边第一个并且英语书
不排在左边第二个有
种方法，
所以数学书甲不排在左边第一个并且英语书
不排在左边第二个的概率
.
故答案为：
.
